Hãy tham khảo Đề thi KSCL tuyển chọn HSG lớp 12 môn Toán năm 2017-2018 của trường THPT Yên Lạc để giúp các em biết thêm cấu trúc đề thi như thế nào, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho kì thi sắp tới đạt điểm tốt hơn.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC KÌ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 ĐỀ THI MƠN TỐN NĂM HỌC 2017 - 2018 Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm: 01Trang Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x 1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x 1 điểm thuộc (C) mà khoảng cách từ điểm đến đường thẳng : x y 2 Cho hàm số y x4 2mx2 2m m4 (C) Tìm m để đồ thị (C) hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính nhỏ 2 y y x x x Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: y 1 y x Câu (1,0 điểm) Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh G i t p h p tam giác có ba đ nh ba đ nh (H) Ch n ng u nhi n tam giác T nh ác suất để ch n đư c tam giác có cạnh cạnh đa giác (H) tam giác kh ng có cạnh cạnh đa giác (H) Câu (1,0 điểm) Hai tơ hai vị trí A B cách km, xuất phát B1 A B lúc, e từ A theo hướng AA1 vng góc với AB với v n tốc d km/h, e từ B đến A với v n tốc km/h ác định thời điểm tính từ xuất phát đến xe từ B đến A mà khoảng A1 cách d hai xe lớn nhất? Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị m để bất phương trình sau với m i x 4;6 : x2 x 24 x x m Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng O y, cho đường trịn I có hai đường kính AB MN với A(1;3), B(3; 1) Tiếp tuyến I B cắt đường thẳng AM AN lần lư t E F Tìm t a độ trực tâm H MEF cho H nằm tr n đường thẳng d : x y có hồnh độ dương Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vu ng A B ; AB BC 4a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vu ng góc với mặt phẳng ABCD G i H trung điểm AB , biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng SHD a 10 T nh thể t ch khối chóp S.HBCD cosin góc hai đường thẳng SC HD Câu (1,0 điểm) ét số thực a, b, c thỏa m n a b c a b2 c2 27 Tìm giá trị lớn biểu th c: P a b4 c ab a b ac a c bc b c HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, Giám thị khơng giải thích thêm H t n th sinh: Số báo danh: SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC Câu 1.1 (1,0đ) Cho hàm số y x 1 x 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 ĐỀ THI MƠN TỐN NĂM HỌC 2017 - 2018 Nội dung đ h (C) Vi ph (C) i nh ng điểm huộ (C) mà ho ng ng : x y 3 Điểm ng h nh i p u n điểm đ đ n đ đ h ng h ng a 1 ) (C ); a a 1 a 1 a 3 a 1 Từ giả thiết ta có d ( M , ) 2 a 3a a T Đ: D \ 1 G i điểm M (a; 0,25 a 5a a a 0,25 a a Với a M (2;3) Do phương trình tiếp tuyến (C) Với a M (3;2) Do phương trình tiếp tuyến (C) y x 2 1.2 (1,0đ) y 2 x 0,25 0,25 V y phương trình tiếp tuyến (C) cần tìm là: y 2 x 7; y x 2 Cho hàm số y x4 2mx2 2m m4 (C) Tìm m để đ th (C) c a hàm số có ba điểm cực tr t o thành tam giác nội ti p đ ng trịn có bán kính nhỏ T p ác định D x Ta có: y ' x3 4mx , y ' x m Hàm số có điểm cực trị ch m T a độ điểm cực trị là: A 0; m4 2m , B m ; m4 m2 2m ,C m ; m m 2m 0,25 Tam giác ABC cân A G i H trung điểm BC ta có H 0; m4 m2 2m Suy SABC m2 m 0,25 G i R bán k nh đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ta có: A A BH AH BC.AH AB BC R sin A R sin cos R 2R R 2 AB AB AH AB2 0,25 m4 m 1 33 m m 2 m 2 2m 2m 2m 1 m Dấu ảy m2 2m Suy R V y m Câu (1,0đ) Gi i hệ ph 2 y y x x x 1 nh s u: y y x 2 ng Điều kiện Đ: 4 x 1, y Phương trình 1 2y 0,25 y2 x x x x 2y y ét hàm số f t 2t t hàm đồng biến tr n Thay vào (2) ta có 1 x x 3 từ (3) ta có y x 2x x x ét hàm số g x x x x hàm li n tục nghịch biến tr n 4;1 có g 3 Do v y hệ phương trình có nghiệm x; y 3;2 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Cho đ gi i (H) 22 nh G i ph p m gi đ nh (1,0đ) đ nh (H) Ch n ng u nhi n m gi ong , nh suấ để h n đ m gi nh nh đ gi (H) m gi h ng nh nh đ gi (H) Đa giác lồi (H) có 22 cạnh n n có 22 đ nh Số tam giác có đ nh ba đ nh đa giác (H) C322 1540 0,25 Số phần t kh ng gian m u n() C 1185030 Số tam giác có cạnh cạnh đa (H) 22.18 396 Số tam giác có hai cạnh cạnh đa (H) 22 Số tam giác kh ng có cạnh cạnh đa (H) là: 1540 - 396 - 22 = 1122 1540 0,25 G i A biến cố hai tam giác đư c ch n có tam giác có cạnh cạnh (H) tam giác kh ng có cạnh cạnh (H) Số phần t A n(A) C1396 C1122 n(A) C1396 C1122 748 ác suất biến cố A p(A) n() 1185030 1995 Câu (1,0đ) Hai ô tơ hai vị trí A B cách 5km, xuất phát lúc, e từ A theo hướng AA1 vng góc với AB với v n tốc km/h, e từ B đến A với v n tốc km/h ác định thời điểm 0,25 B1 A d A1 0,25 B mà khoảng cách d hai xe lớn nhất? Tại thời điểm t ( t ) sau xuất phát, khoảng cách hai xe d Ta có: d AB12 AA12 5 BB1 AA12 7t 6t 2 Xét hàm f t 7t 6t với t 0,25 0,25 Ta có hàm số đạt giá trị lớn t V y khoảng cách hai e lớn thời điểm uất phát t h 0,25 Câu Tìm giá trị m để bất phương trình sau với m i x 4;6 : (1,0 đ) x2 x 24 x x m Điều kiện ác định D 4;6 Bất phương trình x x x x 24 m 0,25 Đặt t x x 24 x 4;6 nên t 0;5 Bất phương trình có dạng: t t 24 m ét hàm số f t t t 24 0;5 ta có Max f t f 5 0,25 V y để bất phương trình sau với m i x 4;6 ch m 0,25 0;5 Câu 6.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vu ng A B; (2,0 đ) AB BC 4a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vu ng góc với mặt phẳng (ABCD) G i H trung điểm AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) a 10 T nh thể t ch khối chóp S.HBCD cosin góc hai đường thẳng SC HD S A D K M H E B C N Tam giác SAB cân n n SH AB SAB) ( ABCD) ( SAB) ( ABCD) AB SH ( ABCD) SH AB 0,25 CK HD, K HD mà SH ( ABCD) SH CK Do CK (SHD) d (C,(SHD)) CK a 10 T nh đư c CH a 20 HK a 10 CK Do tam giác CH vu ng cân K Nên KHC 45 DHC 45 tan DHC Tam giác ABH vu ng B nên tan BHC tan BHC tan CHD tan BHD tan( BHC CHD) 3 tan BHC.tan CHD AD BHD AHD 180 Do tan AHD AD 6a AH ( AD BC ) AB Ta có S ABCD 20a 2 SHBCD S ABCD S AHD 20a 6a 14a 0,25 0,25 0,25 28a V y VS HBCD SH S HBCD 3 Tam giác SHC vu ng H n n SC a 32 G i M AC HD; E BC HD hi AEBD hình bình hành n n EB AD 4a EC 10a 0,25 AD AM 6a 3 3 3a AM MC AC a 32 EC MC 10a 5 8 Trong mặt phẳng (ABCD), k CN//HD với N thuộc đường AB Do góc SC HD góc CN SC AD//EC nên 10 a BN a 3 208 10 a; CN BN BC a Ta có: SN SH HN 3 Ta có: AH HN HN p dụng định l C sin tam giác SCN , ta có SC CN SN cos SCN 2SC.CN cos(SC , HD) cos(CN , SC ) cos SCN V y cos( SC , HD) cos SCN Câu Trong mặt phẳng O y, cho đường tròn I có hai đường kính AB MN với (1,0 đ) A(1;3), B(3; 1) Tiếp tuyến I B cắt đường thẳng AM AN lần lư t E F Tìm t a độ trực tâm H MEF cho H nằm tr n đường thẳng d : x y có hồnh độ dương 0,25 E H M B I' A I N 0,25 F Đường trịn I có tâm I 2;1 ,bán kính r AF đường cao tam giác MAF nên H,A,F thẳng hàng AI song song với HM nên AI NI HM 2AI HM NM G i I ' đối x ng với I qua A nên I '(0;5) I I’ 2AI H , I I’ / /H hình bình hành I’H I r nên HMII' H d H (t; t 6), t ; I ' H (t 0)2 (t 5)2 t V y H (1;7) 2t 2t t 2(l ) 0,25 0,25 0,25 Câu é số hự a, b, c hỏ m n a b c a2 b2 c2 27 1,0 đ T m gi n nhấ iểu : P a b4 c ab a b2 ac a c bc b2 c P a b c a 3b ab3 a 3c ac3 b3c bc a a b c b3 b a c c c a b 0,25 a b3 c a b3 c3 a3 b c b2 c bc b c a; bc 1 2 b c b2 c a 27 a a 3a 2 Do 0,25 a3 b3 c3 a a 27 a a 3a a3 9a 27a 108 Ta có b c 3; bc a 3a Ta lu n có b c 4bc, b, c Do a a 3a a 3;5 Ta có P 3a3 27a2 81a 324 0,25 ét hàm số f (a) 3a3 27a 81a 324 ác định li n tục tr n 3;5 f '(a) 9a 54a 81; a 3;5 f '(a) a 3;5 f (3) 243 f (5) 381 f (3 2) 81 324 V y GT N f (a) 381 a Do GT N P 381 a 5; b c 1 HẾT - 0,25 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC Câu 1.1 (1,0đ) Cho hàm số y x 1 x 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 ĐỀ THI MƠN TỐN NĂM HỌC 2017 - 2018 Nội dung đ h (C) Vi ph... (H) là: 1540 - 396 - 22 = 1122 1540 0,25 G i A biến cố hai tam giác đư c ch n có tam giác có cạnh cạnh (H) tam giác kh ng có cạnh cạnh (H) Số phần t A n(A) C1396 C 1122 n(A) C1396 C 1122 748 ... nhất? Tại thời điểm t ( t ) sau xuất phát, khoảng cách hai xe d Ta có: d AB12 AA12 5 BB1 AA12 7t 6t 2 Xét hàm f t 7t 6t với t 0,25 0,25 Ta có