[r]
(1)A _ Đặt Vấn Đề
Trong trình giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS thi tinh Nhằm phát huy trí lực , kĩ giải tốn , khả t sáng tạo , độc lập , có óc khái quát tổng hợp Đặc biệt cung cấp cho học sinh phơng pháp suy nghĩ , cách nhìn nhận vấn đề , tốn với phẩm chất tốn học
Với khả có hạn , vốn kinh nghiệm , qua đọc nghiên cứu sách , cộng với học hỏi đồng nghiệp , mạnh dạn viết vài dịng trình bày vấn đề khơng cịn mẻ Nay tơi đem đến cho bạn nhìn nhận tham khảo
B Néi dung
“ Bình phơng biểu thức không âm cách nhìn ứngdụng Khởi đầu ( a- b)2 0 víi
a, b
DÊu “=” x¶y a= b Tõ a2 – 2ab + b2 0
a2 +b2
(a +b)2 (1)
2
2
a b
ab víia, b
2(a2 +b2 ) (a+b)2
2 Víi a, b 0 Chia vÕ cña (1) cho ab ta cã
a b
b a (2)
3 Céng vÕ cña (1) vµ 2ab ta cã (a+b)2 4ab (3)
2
a b
ab
Víi a,b 0 Khai ph¬ng vÕ ta cã
2
a b
ab
( B®t si với số không âm ) Chia vế (3) cho ab(a+b)>0 Ta cã
a b ab a b
(4) Hay
1
a b a b
1
4a4ba b
5 Chia hai vÕ cña (4) cho a>0 ta cã
2
2
a
b a
b
b>0 (5) a +b2 2b
a
6 a, b>0 Lấy nghịch đảo đổi chiều vế (5) ta có: 21 2
2aba b (6) 1 2 2
2
a b
a b a b
( nh©n vÕ víi a+b )
1 2 2
2
a b
a b a b
7 Bớt vế cña (6) cho ab ta cã a2 – ab +b2 ab(a+b) (7)
8 a2+b22ab
(2)
2 2
2
a b a b
(chia vế cho 4) (a- b)2 0
(a- c)2 0 2(a2 b2 c2)
2ab +2ac +2ca
(b- c)2 0 (a,b,c>0)
3(a2 +b2+ c2) (a+b+c)2.
Bµi tập áp dụng Bài 1:
a, b, c số đo cạnh tam giác ( p lµ nưa chu vi)
CMR : 1 1
p a p b p c a b c
Gi¶i Tõ (4) ta cã 1
a b a b
T¬ng tù : 1 4
2
p a p b p a b c 1 4
2
p b p c p b c a 1 4
2
p c p a p a c b 2VT 1
a b c
VT
1 1
a b c
Bµi
Cho a,b ,c >0 CMR
2 2 2
2 2
a b b c c a
c a b
a+b+c
Gi¶i
Tõ c«ng thøc (5) ta cã :
2 2
2 2
a
c a
c b
a b
a c
b c
b
T¬ng tù :
2 2
a b c
a b c
c a b (1) a2 b2 c2 b c
b c a (2) Céng (1) víi (2) ta cã :
2 2 2
2 2
a b b c c a
a b c
c a b
(3)Cho a, b ,c >0 CMR : 2
2
a b c a b c
b c c a a b
Gi¶i
Tõ (5) ta cã : +
22
( ) 2
2
( ) 2
2
( ) 2
a
b c a a
b c b
a c b b
a c c
a b c c
b c
2 2
4 4
2( )
a b c
a b c b c a c a b
Chia vÕ cho ta có đpcm
Bài
Cho x>0 Q* CMR
21
1 x 16
x x
Gi¶i Tõ (3) ta cã (1+x)24x
12 1 41
x x x x
đpcm
Bài
Cho a, b, c >0 CMR :
2
1 1 1
3
ab ac bc a b a c b c
Gi¶i Tõ (3) cã (a+b)2 4ab
Chia 2vÕ cho ab(a+b)2> Ta cã
T¬ng tù : +
21
1
1
ab a b ac a c bc b c
2
2
21 1 1
4
ab ac bc a b b c a c
2
2
21 1 1
3 4.3
ab ac bc a b a c b c
2
1 1
4
a b a c b c
Theo (9)
(4)CMR: 2
a3 b3 c3
ab a b
bc b c
ac a c( )
Gi¶i Tõ (7) ta cã : +
33
3 ( )
a b ab a b b c bc b c c a ac a c
2
a3b3c3
ab a b( )bc b c( ) ( a c ) BµiCho (x,y)lµ nghiƯm cđa hpt : ax-by=0 x +y =1 T×m Max :xy
Gi¶i
TÝnh x, y ax=by (có thể sd t/cdÃy tỉ số băng :a b y x ax+ay = ay+by
a(x+y) = y(a+b) a =y(a+b) y a
a b
Khi
21
ab xy
a b
Max
4
xy a b Khi
2
x y
Bµi 8
Cho a, b, c >0
CMR : 1 1 1
2a b c 2b a c 2c a b 4a4b4c Gi¶i
Tõ(4) cã 1 1
4 16 16
a b a b a b a b
4 1
2
1 1 1 1
2 ( ) 4( ) 4 16 16
a b c a b c
a b c a b c a b c a b c
T¬ng tù :
1 1
2 ( ) 16 16
1 1
2 ( ) 16 16
b a c b a c
c a b c a b
Cộng vế với vế bđt rút gọn ta có đpcm
Bài 9
a, b,c >0 Tho¶ m·n 1 b a c CMR :
2
a b c b a b c b
(5)Tõ (gt) a c b ac
b = a c ac
2
a b a b
2 2
ac a
a c ac a
a c
= 32
2
a ac a c
a a
T¬ng tù :
2
c b c b
c b c
VÕ tr¸i = 3 3
2 2
a c c a ac c ca a
a c ac
=
2
3( ) 3.2
4
2 2
a c ac ac ac ac
ac ac ac
Bµi10.
a, b,c , a+b+c =1
CMR : a+b+c 4(1-a)(1-b)(1-c)
Gi¶i Tõ a+b+c=1 b+c=1-a
c c2 1 1 c2 0
VÕ ph¶i = 4(b+c)(1-b)(1-c)
(b c ) (1 b) (1
2 c)=(1 c) (12 c) (1 c2) 1 c a b 2c
Bµi 11.
a,b,c lµ cạnh tam giác
CMR a b c
b c a c a b a b c
Giải Đặt x= b+c-a
y= c+a-b x+y+z=a+b+c z= a+b-c
a+b+ c = x+y+z
- a+b+b = x
2a =y+z
2
y z
a
T¬ng tù
2
x z b ,
2
x y c
1
2 2
1
(2 2)
x z x z x y y z x y x x
VT
x y x x x y z z y
Dấu “=” xảy x=y=z a=b=c Tức ABC
Bài 12
a,b,c la 3cạnh tam giác CM abc (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
(6)x y 2 xy
2
y z yz
z x zx
2 2
x y y z z x
xyz abc
Bµi 13
Cho a,b,c >0 CM :
2 2 2
a b b c c a
a b c
a b b c c a
Gi¶i Theo (8) ta cã : 2(a2 +b2) (a+b)2
2
2
a b a b
a b
đpcm
Bài 14.
Cho a,b,c > CM : a b2 2 b c2 2 c a2 2 1
a b b c c a a b c
Gi¶i Theo (6) ta cã : 2 2 1
2
a b
a b a b
đpcm
Bài 15
Cho a,b >0 vµ a+b=1 CMR :
2
1 25
5
a b
a b
Gi¶i Tõ (8) cã 2(a2+b2) (a+b)2
2 2
2
a b a b
2
2
1
2
3
a b a b
VT a b
a b a b
a b b a
đpcm
Bài 16
Cho a,b,c >0 CMR
1 1
1 1 1
a b c
a b b c c a
Gi¶i Tõ(4) 1
a b a b
1
1 4 a b
a b
T¬ng tù cộng vế với vế ta có đpcm
Bài 17
a,b,c >0 CMR:
15
2
a b c b c c a a b
b c a c a b a b c
(7)C¸ch
Theo (2) a b
b a
2 2
1 1
1 1
3
1 1
3
1 1
2
b c c a a b b c c a a b
M
a b c a a b b c c
a b c a b c
N
b c c a a b b c c a a b
a b c
b c c a a b
a b b c c a
b c c a a b x y z
x y z
3
1
3
2
1
.9
2
3 15
2
x y y z z x
y x z y x z
M N
Cách2.(Rất ngắn) Xét VT biến đổi
Bài 18.
Cho 2số dơng a,b có a+b=1 CMR
2 2
1
)
2
) 14
a
ab a b b
ab a b
Gi¶i a, Tõ (3) cã
2
4 ( )
4
ab a b ab
ab
(v× a,b >0)
Tõ (4) cã 2 2
2
1
1 1 1
2
1
.4
2 ( )
a b a b
ab a b ab ab a b
a b
(8)DÊu “=”x¶y a=b=1
2
b, Tơng tự nh ta có
2 2 2
2
2 1
3
2 2
1
.4 12 14
2
ab a b ab a b ab ab a b
a b
Bµi19
Cho a,b ,c,d >0 CMR: a c b d c a d b
a b b c c d d a
Giải Sử dụng công thức (4)
Bµi 20.
Cho a +b=2 CMR : a4+b4 2
Gi¶i
Tõ (8) 2(a2+b2) (a+b)2= 4
L¹i cã : 2(a4+b4) (a2+b2)2 =4
a4+b4 2
Bµi 21
Gi¶i hpt
2 2
2
2
2
2
2
x y x y
z y z
x z
Bµi 22
Cho 2sè x,y kh¸c CMR
2
2
x y x y
A
y x y x
Bµi 23
Cho |a| , |b| vµ|a+b|=
Tìm giá trị lớn 1 a2
+ b2
(Đề thi vào lớp 10 THPT Hải Dơng) Giải
Ta cã : A= 1 a2
+ 1 b2 0
XÐt A2=
2 2
2 2
2 2
1 (1 )(1 )
2 ( ) 1
4 2( ( )
| |
a b a b
a b a b
a b a b
A
1 A
(9)
2
| |
4
3 | |
2
a a a
a a
2
a b
2
a b
Bµi25
Cho x, y, z số nguyên dơng thoả mÃn 1
xyz (1) CMR
1 1
2x y z x2y z x y 2z (Đề thi đại học khối A năm 2005 ) Gi¶i
Cách 1: Ap dng bđt (a-b)2 0
(a-b)2 4ab
1
a b a b ab
1 1
4
a b a b
Đẳng thức xảy a=b Ta có :
1 1 1 1 1
2x y z (x y) x z x y x z 16 x y x z
Đẳng thức xảy x=y=z (x+y =x+z , x=y, x=z ) T¬ng tù :
1 1 1
2 16
1 1 1
2 16
y x z y z y x
z x y z x z y
Cộng vế với bđt ta đợc đpcm Cách
(10)
1 1 1 1 1
2 ( ) 16
1 1
8 16 16
1 1
2 16 16
1 1
2 16 16
x y z x z y x y z x y z
x y z
y z x y z x
z x y z y x
Cộng vế với bđt ta cã ®pcm