sangkienkinhnghiemmontoan

I. Đặt vấn đề 1. Lý do chọn đề tài: a. Để rèn luyện kỹ năng, phơng pháp giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản, ngời thầy giáo cần giúp các em tổng hợp phân loại các phơng pháp giải và các dạng thờng gặp để các em dễ nhớ, dễ vận dụng. b. Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó và rộng của bộ môn Toán nhng nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn, sâu hơn về giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, về mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác và trong quá trình giải toán khả năng t duy sáng tạo của ngời học đợc phát triển mạnh. Thực tế khi giải các bài tập về bất đẳng thức học sinh thờng gặp nhiều khó khăn vì cách giải chúng không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nào nh ở một số mảng kiến thức khác. Qua nhiều năm giảng dạy toán ở trờng phổ thông, là ngời thầy, tôi thờng trăn trở suy nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng sắp xếp hợp lý một số phơng pháp và bài tập về chứng minh bất đẳng thức với mong muốn giúp học sinh tự tin hơn khi đứng trớc một số bài toán về bất đẳng thức cụ thể là các bài toán chứng minh bất đẳng thức. c. Phạm vi và giới hạn bài viết. Khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi muốn tổng hợp phân loại các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và các ví dụ áp dụng dành cho học sinh THCS đặc biệt là học sinh khá giỏi lớp 8; 9. Để bài viết không quá dài, phần giải các ví dụ tôi không trình bày chi tiết. 2. Kiến thức cần nắm vững 2.1. Định nghĩa bất đẳng thức: Với hai số a, b bất kỳ ta nói rằng a b a -b 0 a b a -b 0 2.2. Tính chất: 1. a > b ; b >c a > c 2. a >b a + c > b + c 3. a > b ; c > 0 ac > bc a > b ; c < 0 ac < bc 5. a > b ; c > d a + c > b + d a > b ; c < d a - c < b - d 6. a > b 0 ac > bd 7 a > b > 0 ; 0 < c < d c a > d b 8. a > b > 0 a n > b n a > b a n > b n (n lẻ) a b a n > b n ( n chẵn ) 9. Nếu m > n >0 thì a >1 a m > a n a =1 a m = a n 0 < a < 1 a m = a n 10. a > b , ab > 0 a 1 < b 1 2.3. Các hằng bất đẳng thức: 1. a 2 0 với mọi a. Dấu bằng xẩy ra a = 0 2. a 0 với mọi a. Dấu bằng xẩy ra a = 0 3. a a với mọi a. Dấu bằng xẩy ra a 0 4. ba + a + b với mọi a,b. Dấu bằng xẩy ra ab 0 5. ba a - b với mọi a,b. Dấu bằng xẩy ra ab > 0 và a b II. Nội dung: 1. Ph ơng pháp sử dụng định nghĩa : 1.1. Phơng pháp giải: Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A - B. Nếu hiện A - B dơng thì khẳng định đợc A > B là bất đẳng thức cần chứng minh. 1.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a,b,c > 0. chứng minh rằng (a + b + c) ( a 1 + b 1 + c 1 ) 9 Giải: Xét hiệu H = (a + b + c) ( a 1 + b 1 + c 1 ) - 9 = ( b a + a b - 2) + ( c a + a c - 2) + ( c b + b c - 2) = ( ) ( ) ( ) bc cb ac ca ab ba 222 + + Do a,b,c > 0 H 0 Theo định nghĩa bất đẳng thức: (a + b + c) ( a 1 + b 1 + c 1 ) 9 Dấu = xẩy ra H = 0 a = b = c Ví dụ2: Cho a > 0, b > 0. chứng minh rằng: 3 33 22 + + baba Giải: Xét hiệu: A = 3 33 22 + + baba Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta đợc: A = 8 3 (a + b) (a - b) 2 Vì a > 0 , b > 0 a + b > 0 mà (a - b) 2 0 A 0 Theo định nghĩa 2 33 ba + 3 2 + ba Dấu bằng xẩy ra a = b 1.3. Bài tập tơng tự: Bài 1: Chứng minh: b a + a b 2 với ab > 0 Bài 2: Chứng minh: x 2 + y 2 + z 2 2xy + 2yz - 2x Bài 3: Cho a,b,c > 0 chứng minh: 22 2 cb a + + 22 2 ac b + + 22 2 ba c + cb a + + ac b + + ba c + 2. Ph ơng pháp sử dụng tính chất 2.1. Phơng pháp giải: Sử dụng một hay nhiều tính chất đã nêu ở 2.2 để biến đổi. Từ đó khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh 2.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a, b > 2. Chứng minh ab > a + b Giải: Ta có: a > 2 , b > 0 ab > 2b (1) (Tính chất 3) b > 2 , a > 0 ab > 2a (2) (Tính chất 3) Từ (1) và (2) 2ab > 2 (a + b) (Tính chất 4) ab > a + b (Tính chất 3) Ví dụ 2: Cho x 0, y 0, z 0. Chứng minh rằng: (x + y) (y + z) (z + x) 8xyz Giải: Ta có: (x-y) 2 x 2 - 2xy +y 2 0 x 2 + 2xy +y 2 4xy (Tính chất 2) (x+y) 2 4xy (1) Tơng tự ta có: (y+z) 2 4yz (2) (x+z) 2 4xz (3) Nhân từng vế (1),(2),(3) [(x+y)(y+z)(x+z)] 2 (8xyz ) 2 (Tính chất 6) (x+y)(y+z)(x+z) 8xyz (Tính chất 8) 2.3. Bài tập tơng tự: Bài 1: Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a 4 +b 4 > 8 1 Bài 2: Chứng minh rằng: 2 2 b a + 2 2 c b + 2 2 a c b c + a b + c a Bài 3: Cho x + y = 2. Chứng minh : x 4 + y 4 2 3. Ph ơng pháp phân tích : ( Biến đổi tơng đơng) 3.1. Phơng pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi nó tơng đơng với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng. 3.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b) 2 2 (a 2 + b 2 ) với mọi a , b. Giải: (a + b) 2 2(a 2 + b 2 ) (1) a 2 +2ab +b 2 - 2a 2 - 2b 2 0 -(a 2 - 2ab + b 2 ) 0 -( a - b) 2 0 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng bất đẳng thức (1) đúng (đpcm) Ví dụ 2: Cho 2 số a, b thoả mãn: a + b = 1 Chứng minh: a 3 + b 3 +ab 2 1 (1) Giải: (1) a 3 + b 3 +ab - 2 1 0 (a + b) (a 2 - ab + b 2 ) +ab - 2 1 0 a 2 - ab + b 2 + ab - 2 1 0 (vì a + b = 1) a 2 + b 2 - 2 1 0 2a 2 + 2b 2 - 1 0 2a 2 + 2(1 - a) 2 - 1 0 ( vì b = 1 - a) 4 (a - ) 0 2 1 2 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tơng đơng )1( đúng Dấu bằng xảy ra a = 2 1 = b 3.3. Bài tập tơng tự Bài 1: Với mọi a, b chứng minh a 4 + b 4 a 3 b + ab 3 Bài 2: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh a b ba b a Bài 3: Chứng minh x 4 + y 4 2 6 2 6 x y y x + với x 0,0 y 4. Ph ơng pháp tổng hợp 4.1. Phơng pháp giải: Từ một bất đẳng thức đã biết là đúng, dùng các phép biến đổi tơng đơng biến đổi bất đẳng thức đó về bất đẳng thức cần chứng minh. Phơng pháp giải này làm cho học sinh thấy khó ở chỗ là không biết nên bắt đầu từ bất đẳng thức nào nhng nếu biết phơng pháp giải này ngợc với phơng pháp phân tích thì cũng rất dễ tìm ra bất đẳng thức xuất phát. 4.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a, b 0. Chứng minh ab ba 2 2 + (Bất đẳng thức Côsi) Giải: Theo giả thiết a, b 0 ab 0 ab xác định. Ta có: ( a - b) 2 0 a 2 - 2ab +b 2 0 a 2 + 2ab +b 2 4ab ( a - b) 2 4ab a + b 2 ab (vì a + b 0 ) ab ba + 2 (đpcm) Dấu = xảy ra a = b. Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 22 2222 dbcadcba ++++++ Giải: Ta có: (ad - bd) 2 0 a 2 d 2 - 2adbc + b 2 c 2 0 a 2 d 2 - 2adbc + b 2 c 2 + a 2 c 2 + b 2 d 2 a 2 c 2 + b 2 d 2 a 2 d 2 - 2adbc + b 2 c 2 + a 2 c 2 + b 2 d 2 a 2 c 2 + 2acbd + b 2 d 2 a 2 (c 2 + d 2 ) + b 2 (c 2 + d 2 ) (ac + bd) 2 ( )( ) ++ 2222 dcba ac + bd ( vì ac + bd > 0) a 2 + b 2 + 2 ( )( ) 2222 dcba ++ + c 2 + d 2 2ac + 2bd + a 2 + b 2 + c 2 +d 2 ( ( )( ) 2222 dcba ++ ) 2 (a + c) 2 + (b + d) 2 ( ) ( ) 22 2222 dbcadcba ++++++ (đpcm) Dấu = xảy ra d c b a = Chú ý: với a, b, c, d >0 thì các phép biến đổi trong cách giải trên là tơng đơng. 4.3. Bài tập tơng tự: Chứng minh các bất đẳng thức Bài 1: a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca với mọi a, b Bài 2: (x-y) 2 + (y -z) 2 + (z -x) 2 3(x 2 + y 2 +z 2 ) với mọi x, y, z Bài 3: 3 33 22 + + baba với a > 0 , b > 0 5. Ph ơng pháp phản chứng : 5.1. Phơng pháp giải: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A B ( hoặc A < B) thì ta giả sử A < B (hoặc A B). Từ điều mà ta vừa giả sử cùng với giả thiết của bài toán ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết với các kiến thức đã học. Cuối cùng ta khẳng định kết luận của bài toán A B ( hoặc A < B) là đúng. Giải nh vậy gọi là phơng pháp phản chứng. 5.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a 2 + b 2 2 . Chứng minh: a + b 2 Giải: Giả sử: a + b > 2 a 2 + 2ab + b 2 > 4 (1) Ta có: (a - b) 2 0 a 2 - 2ab + b 2 0 2ab a 2 + b 2 a 2 + b 2 + 2ab 2(a 2 + b 2 ) Mặt khác theo giả thiết ta có: a 2 + b 2 2 2(a 2 + b 2 ) 4 Suy ra: a 2 + b 2 + 2ab 4 (2) mâu thuẫn với (1). Vậy phải có a + b 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > 0 thì a > 0, b > 0, c > 0. Giải: giả sử a 0 Nếu a = 0 thì abc = 0 trái với giả thiết abc > 0 Nếu a < 0 : do a + b + c > 0 nên b + c > 0 Do abc > 0 nên bc < 0 a(b + c) + bc < 0 Hay ab + ac + bc < 0 trái với giả thiết ab + ac + bc > 0 Vậy a > 0. Tơng tự ta chứng minh đợc b > 0, c > 0 5.3. Bài tập tơng tự: Bài 1: cho các số a, b, c , m, n, p thoả mãn: ap - 2bn + cm = 0 và ac - b 2 = 0 chứng minh mp - n 2 0 Bài 2: chứng minh rằng: Nếu a 3; b 3; a 2 + b 2 25 thì a + b 7 Bài 3: Cho a 3 + b 3 = 2. Chứng minh a + b 2 6. Ph ơng pháp quy nạp toán học 6.1. Phơng pháp giải: Nếu cả 2 vế của bất đẳng thức phải chứng minh đều phụ thuộc vào đối số tự nhiên n thì có thể dùng phơng pháp quy nạp toán học. Khi đó đòi hỏi phải chứng minh: + Bất đẳng thức đúng với n = 1 (hoặc đúng với n = n 0 là giá trị tự nhiên bé nhất thừa nhận đợc của n theo yêu cầu của đề bài) + Thừa nhận bất đẳng thức đúng với n = k (k > 1 hoặc k > n 0 ) rồi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1. 6.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 3 thì 2 n > 2n + 1 (1) Giải: Với n= 3 ta có 2 3 = 8,; 2n + 1 = 7 2 n > 2n + 1 đúng với n = 3 Giả sử (1) đúng với n = k (k 3, kN ) Tức là 2 k > 2k + 1. Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1 hay 2 k+1 > 2(k+1) +1 hay 2 k+1 > 2k+3 (2) Thật vậy: hay 2 k+1 =2.2 k mà 2 k > 2k +1 2 k+1 > 2. (2k +1) = (2k+3)+(2k-1) > 2k+3 (vì 2k -1>0) (2) đúng với k 3 Vậy 2 n > 2n + 1 với mọi n nguyên dơng và n 3. Ví dụ 2: chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì (n+1)(n+2)(n+3).2n > 2 n (1) Giải: Với n = 2 thì (1) đúng với n = k (k N, k 2) tức là (k+1)(k+2)(k+3).2k > 2 k . Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1 tức là phải chứng minh (k+2)(k+3)(k+4)2(k+1) > 2 k+1 Hay (k+2)(k+3)(k+4)(2k+2) > 2 k+1 Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta có: (k+2)(k+3)(k+4)2k > 2 k (k +1)(k+2)(k+3)(2k)(2k+1) > 2 k 2(k +1)(k+2)(k+3)(2k)(2k+1) > 2.2 k (k+2)(k+3)(2k)(2k+1)(2k+2) > 2 k+1 Vậy bất đẳng thức (1) đúng với mọi số tự nhiên n >1 nghĩa là: (n+1)(n+2)(n+3).2n > 2 n 6.3. Bài tập t ơng tự Bài 1: Cho a 0, b 0, n N. Chứng minh rằng 22 nn n baba + + Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n 3 thì n 2 > n + 5 Bài 3: Chứngminh rằng vớimọi số nguyên dơng n thì 1 13 1 . 2 1 1 1 > + ++ + + + nnn 7. Ph ơng pháp xét các khoảng giá trị của biến 7.1. Phơng pháp giải: Có những bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A(x) > 0 mà không cho thêm giả thiết nào nữa ta có thể suy nghĩ theo cách giải sau: Nếu biểu thức A(x) viết đợc về dạng tổng các hạng tử nx(x-a) thì ta xét các khoảng giá trị của biến x chẳng hạn nh x a và x < a để sử dụng định nghĩa bất đẳng thức x a 0 ax hay x < a x -a < 0. Trong trờng hợp bất đẳng thức cần chứng minh cha có dạng A(x) > 0 hay A(x) < 0 trớc hết ta chuyển vế để đa về dạng đó. 7.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh x 10 -x 9 +x 4 - x+ 1 >0 Giải: Xét A = x 10 -x 9 +x 4 - x+ 1 = x 9 (x-1) + x(x 3 -1) +1 (1) Hoặc A = x 10 + x 4 (1-x 5 ) +(1-x) (2) + Nếu x 1 x 9 > 0; x-1 0; x 3 +1 0 Nên từ (1) A > 0 + Nếu x < 1 1-x 5 > 0; 1-x > 0 mà x 10 0 và x 4 0 nên từ (2) A > 0. Ví dụ 2: Chứng minh 12x 4 + 8x 3 +11x 2 +7x+10 >0 Giải: xét B = 12x 4 + 8x 3 +11x 2 +7x+10 (1) Hoặc B= 10(x 4 + x 3 +x 2 +x+1) + 2x 4 +x 2 -2x 3 -3x (2)