Phần còn lại này, chúng ta để ý nhiều hơn tới các dạng toán liên quan tới lý thuyết chia hết trong vành đa thức, những vấn đề về đa thức bất khả qui, đa thức nguyên tố cùng nhau, .... li[r]
(1)ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên chỉnh sửa
TS Trần Huyên
Ngày 29 tháng năm 2005
Bài 15 Các Bài Toán Về Vành Đa Thức
Lý thuyết vành đa thức dạng toán liên quan tới chúng phong phú đa dạng Tuy nhiên giới hạn chương trình, quan tâm chủ yếu tới dạng toán vành đa thức liên quan tới khái niệm lý thuyết vành Rải rác, mục khác chuyên đề ơn tập này, ta có số ví dụ chúng Phần lại này, để ý nhiều tới dạng toán liên quan tới lý thuyết chia hết vành đa thức, vấn đề đa thức bất khả qui, đa thức nguyên tố nhau, liên quan với nghiệm đa thức Xin nhắc lại rằng, riêng vành đa thức trường K,K[x]luôn vành Ơclít Và xử lý tập vành đa thức, kết quả, tính chất vành Ơclit (và vành chính) thường áp dụng hiệu Ta không quên nhắc tới kết hay sử dụng vành đa thức thường biết tên "định lý Bezout", vành đa thức f(x) chia hết cho đa thức bậc g(x) nghiệm g(x) nghiệm f(x) Hơn xử lý toán vành đa thức cụ thể, ta cần tới tri thức cụ thể vành đó; đặc biệt với vành đa thức trường số : C[x],R[x], Q[x], mà việc hệ thống lại xin phép dành cho độc giả
Ví dụ 1: Chog(x),f(x)∈C[x] đa thức khác Chứng minh rằngf(x),g(x)là nguyên tố chúng khơng có nghiệm chung
GIẢI
Nếuf(x), g(x)không nguyên tố nhau, tồn tạih(x)vớideg(h)≥1sao cho(f(x), g(x)) =
h(x)
Theo định lý đại số, deg(h)≥1 nên h(x) có nghiệm phứcx0 Hiển nhiên x0 nghiệm chung f(x) g(x)
Ngược lại, f(x)và g(x)có chung nghiệm x0 Theo định lý Bezout f(x)và g(x)có chứa chung nhân tử (x−x0), nên (f(x), g(x))6=
(2)Ví dụ 2: Cho trường K⊂ F đa thức f(x) ∈K[x] bất khả qui K[x] có nghiệmx=x0 ∈F Cho g(x)∈K[x] đa thức nhận x=x0 ∈F làm nghiệm Chứng minh f(x)\g(x)
GIẢI
Trong vành đa thức K[x] xem vành chính, mối quan hệ đa thức bất khả qui f(x) với đa thức g(x) nằm hai khả f(x)\g(x)
(f(x), g(x)) =
Nếu(f(x), g(x)) = 1, tồn đa thứct(x), s(x)∈K[x]sao chos(x).f(x) +t(x).g(x) = Hệ thức sau này, K[x] ⊂ F[x] nên có F[x], tức F[x] có
(f(x), g(x)) =
Tuy nhiên theo giả thiết toán đa thức f(x), g(x) nhận x0 ∈ F làm nghiệm, nên theo định lý Bezout, trongF[x]cảf(x), g(x)có nhân tử chung(x−x0) Tức khơng thể xảy trường hợp (f(x), g(x)) =
Vậy xảy : f(x)\g(x)
Ví dụ 3: Trong vành đa thức K[x] với K trường, cho đa thức f(x) Sử dụng phép đổi biến
x=ay+b (a6= 0) ta xây dựng đa thứcg(y) =f(ay+b) Chứng minh đa thức f(x)bất khả qui đa thức g(y) bất khả quy
GIẢI
Dễ thấy mệnh đề tương đương với mệnh đề sau :
f(x)không bất khả qui ⇔g(y) không bất khả qui
Trước hết nếuf(x)không bất khả qui, tồn đa thứcf1(x), f2(x)∈K[x]vớideg(f1)≥1,
deg(f2)≥1sao cho f(x) =f1(x).f2(x) Khi ta có:
g(y) =f(ay+b) =f1(ay+b).f2(ay+b) = g1(y).g2(y) với
g1(y) = f1(ay+b)có deg(g1) = deg(f1)≥1
g2(y) = f2(ay+b)có deg(g2) = deg(f2)≥1 tức g(y) không bất khả qui
Tiếp theo để ý x=ay+b (a6= 0) y=cx+d, đóc=a−1 d=−ba−1 Vì g(y) = f(ay+b) f(x) = g(cx+d) Do g(y) = g1(y).g2(y) với deg(g1) ≥
deg(g2)≥1
f(x) =g(cx+d) = g1(cx+d).g2(cx+d) =f1(x).f2(x) với
f1(x) = g1(cx+d)có deg(f1) =deg(g1)≥1
(3)tức nếug(y)khơng bất khả qui f(x)khơng bất khả qui
Ví dụ 4: Trong vànhQ[x] cho đa thức:
f(x) = (x−a1)(x−a2) .(x−an)−1
trong a1, a2, , an số nguyên phân biệt Chứng minh f(x) bất khả qui
Q[x] Đa thứcf(x) có bất khả qui trongR[x] hay C[x]không ? GIẢI
Nếu f(x) không bất khả qui, tồn đa thức hệ số nguyên h(x), g(x) bậc lớn hay cho
f(x) =g(x).h(x)
Khi ta códegg(x)< degf(x)vàdegh(x)< degf(x)dodegf =degg+deghvàdegg≥1, degh≥1)
Do f(ai) = −1 với i = 1,2, , n, nên g(ai).h(ai) = −1, ∀i Bởi g(ai), h(ai) ∈ Z nên từ suy g(ai) +h(ai) = Nếu g(x) +h(x) 6= deg(h(x) +g(x)) ≤ max{deg(g), deg(h)} tức
deg(h(x) +g(x))< deg(f(x)) =n Và ta có h(x) +g(x) đa thức bậc bé n lại có n nghiệm
a1, a2, , an; điều khơng thể Vậy phải có : h(x) +g(x) = 0, h(x) = −g(x)
f(x) = g(x).h(x) = −[g(x)]2
Điều xảy hệ số cao
f(x) = (x−a1)(x−a2) .(x−an)−1
là +1, hệ cao −(g(x))2 là số âm Mâu thuẩn rẳng f(x) bất khả qui Q[x]
(4)BÀI TẬP
1 Cho trườngK⊂F đa thức f(x), g(x)∈K[x] Chứng minh (f(x), g(x)) =
trong K[x]⇔(f(x), g(x)) = F[x] ChoK trường f(x)∈K[x]mà
f(x) =a0+a1x+ .+anxn vớia0.an6= n≥1 Chứng minh rằngf(x)là bất khả quy K[x]khi
g(x) = a0xn+a1xn−1+ .+an−1x+anlà bất khả quy
3 Choa1, a2, , an số nguyên phân biệt Chứng minh đa thức sau bất khả quy Q[x]:
(a) (x−a1)(x−a2) .(x−an) + với n lẻ (b) (x−a1)2(x−a2)2 .(x−an)2+
4 Chứng minh với vànhK giao hốn, có đơn vị khẳng định sau tương đương (a) Klà trường
(b) K[x] vành Ơclít (c) K[x] vành
(5)THAY CHO LỜI KẾT
Độc giả thân mến !
Thế bạn dạo qua trang web chuyên đề ôn thi Đại số sở tới "điểm dừng"!
Có thể bạn cho rằng, khơng tìm thêm điều mẻ bạn kỳ vọng Bạn thông cảm, vốn chun đề ơn tập phép nói nhiều nói lại điều "biết nói mãi"!
Có thể bạn cho đâu đó, q trình triển khai chun đề, có đơi chút sa đà lệch lạc so với yêu cầu "cơ bản" chun đề ơn tập ? Rất bạn đúng, bạn để lựa chọn nội dung làm hài lịng người thật khó khăn!
Dù bạn thu lượm nhiều hay từ chuyên đề chúng tôi; dù bạn hứng thú "cưỡi ngựa xem hoa", điểm kết thúc này, xin nói lời chia tay Tạm biệt bạn, chúc bạn mùa thi kết mĩ mãn Và hẹn gặp bạn tương lai gần giảng đường Cao học ĐHSPTPHCM Khi hẳn có nhiều chuyên đề mẻ, hấp dẫn để trao đổi trực tiếp
Lời cuối muốn nhắn gởi lại bạn : Trước khởi công dựng tiếp tầng lầu cho lâu đài tri thức mình, bạn gia cố lại móng tịa lâu đài thật chắn, thật vững chãi!