Sách hướng dẫn học tập Giải tích (2)

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP GIẢI TÍCH (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội HÀ NỘI - 2006 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP GIẢI TÍCH Biên soạn : Ts VŨ GIA TÊ LỜI GIỚI THIỆU GIAỈ TÍCH (TỐN CAO CẤP A ) học phần học phần GIẢI TÍCH 1, ĐẠI SỐ ( TOÁN CAO CẤP A , A ) dành cho sinh viên năm thứ thuộc nhóm ngành khối kĩ thuật Giáo trình dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên đại học với hình thức đào tạo từ xa Giáo trình biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 Bộ Giáo dục- Đào tạo theo đề cương chương trình Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng phê duyệt năm 2006 cho hệ đào tạo qui Ở Việt nam, hình thức đào tạo từ xa triển khai nhân rộng từ 10 năm mẻ Với cách học này, đòi hỏi người học phải làm việc độc lập nhiều hơn, lấy tự học, tự nghiên cứu Do tài liệu học tập, cụ thể giáo trình phải coi phương tiện quan trọng Các yếu tố chúng tơi ý viết giáo trình này, cụ thể là: Nội dung trình bày ngắn gọn, xác Trừ số định lí có chứng minh nhằm rèn luyện tư củng cố kiến thức, hầu hết định lí đưa thừa nhận với mục đích áp dụng Tương ứng nội dung kiến thức có ví dụ minh họa nhằm hướng người học hiểu sâu sắc biết cách áp dụng Trong chương có mục đích, u cầu phần tóm tắt nội dung để người học dễ đọc, dễ thuộc Các câu hỏi mang tính trắc nghiệm cuối chương sở đánh giá kiến thức có người học nội dung chương Giáo trình gồm chương, tương ứng với đơn vị học trình (60 tiết) Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Chương Tích phân bội Chương Tích phân đường tích phân mặt Chương Lý thuyết trường Chương Phương trình vi phân Mặc dù cố gắng nhiều, song không tránh khỏi sơ suất nội dung lỗi ấn lốt, chúng tơi mong góp ý kiến cám ơn điều Nhân đây, chân thành cám ơn Ban Giám đốc Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, Trung tâm Đào tạo Bưu Viễn thơng 1, đặc biệt Phịng Đào tạo Đại học từ xa bạn đồng nghiệp tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ hồn thành giáo trình Hà Nội, 7-2006 Tác giả Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ GIỚI THIỆU Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số mở rộng cách tự nhiên cần thiết phép tính vi phân hàm số biến số Các toán thực tế thường xuất phụ thuộc biến số vào hai biến số nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T chất lỏng biến đổi theo độ sâu z thời gian t theo công thức T = e − t z , nhiệt lượng toả dây dẫn phụ thuộc vào điện trở dây, cường độ dịng thời gian dẫn điện theo cơng thức Q = 0, 24 RI 2t ,v.v…Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn Để học tốt chương này, ngồi việc nắm vững phép tính đạo hàm hàm biến số, người học phải có kiến thức hình học khơng gian (xem [ 2] ).Trong chương này, yêu cầu người học nắm vững nội dung sau: Các khái niệm chung khơng gian  n (n chiều) Mô tả miền xác định đồ thị hàm hai biến Phép tính đạo hàm riêng vi phân tồn phần Nắm vững qui tắc tính đạo hàm riêng sở tính đạo hàm hàm biến Cơng thức tính đạo hàm riêng hàm số ẩn Cơng thức vi phân toàn phần biết cách áp dụng vào phép tính gần Nắm vững khái niệm cách tính đạo hàm theo hướng Giải thích đạo hàm riêng theo biến x, y, z đạo hàm theo hướng trục Ox, Oy, Oz Bài tốn tìm cực trị Qui tắc tìm cực trị tự do, phương pháp nhân tử Lagrange NỘI DUNG 1.1 Các khái niệm chung 1.1.1 Không gian n chiều * Ta biết điểm không gian chiều đặc trưng hoàn toàn số (x, y, z) tọa độ Descartes nó: x hoành độ, y tung độ z cao độ Tổng quát sau: Mỗi có thứ tự n số thực ( x1 , x2 , , xn ) gọi điểm n chiều Kí hiệu M ( x1 , x2 , , xn ) có nghĩa điểm n chiều M có toạ độ x1 , x2 , , xn Tập điểm M ( x1 , x2 , , xn ) gọi khơng gian Euclide n chiều Kí hiệu tập  n * Cho M ( x1 , x2 , , xn ) ∈ n , N ( y1 , y , , y n ) ∈ n Gọi khoảng cách M N, kí hiệu d(M, N), số thực tính theo cơng thức: Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số d ( M , N ) = ( x1 − y1 ) + + ( xn − y n ) = 2 n ∑ (x i =1 i − yi ) Tương tự ,  , 3 ta nhận bất đẳng thức tam giác  n Tức với điểm A, B, C  n ta có: d ( A, C ) ≤ d ( A, B) + d ( B, C ) * Cho M ( x1 , x2 , , xn ) ∈ n ε 0 ε - lân cận lân cận bán kính ε * Cho E ⊂ n Điểm > Tập Ωε (M ) = {M ∈ n : d(M, M ) < ε} gọi M0 hình cầu mở tâm M0 bán kính ε (H.1.1a) M ∈ E gọi điểm E có Ω ε ( M ) ⊂ E (∃ε > 0) Điểm N ∈ n gọi điểm biên E Ω ε ( M ) chứa điểm thuộc E điểm E (∀ε > 0) Tập E gọi mở điểm điểm trong, gọi đóng chứa điểm biên Tập điểm biên E kí hiệu ∂E Bao đóng E hay tập E đóng ký hiệu E có E = E ∪ ∂E (H.1.1a) không thuộc * Tập E gọi bị chặn hay giới nội tồn số N cho E ⊂ Ω N (0) * Tập E gọi liên thông cặp điểm M1, M2 E nối với đường cong liên tục nằm trọn E Tập liên thông E gọi đơn liên bị giới hạn mặt kín (một đường cong kín  ; mặt cong kín 3 ) (H.1.1a) Tập liên thơng E gọi đa liên bị giới hạn từ hai mặt kín trở lên rời đơi (H.1.1b) Ví dụ 1: Xét tập sau  A = {( x, y ) : x + y < 4} B = {(1,2), (−1,0), (0,0)}  Giải: ∂A = {( x, y ) : x + y = 4} - đường trịn tâm O bán kính 2, A = {( x, y ) : x + y ≤ 4} - hình trịn kể biên A,  tập liên thông, B không liên thông (gồm điểm rời rạc) Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số A, B tập giới nội,  không giới nội (cả mặt phẳng 0xy) 1.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến số Cho D ⊂ n Gọi ánh xạ: f :D→R Hay M(x1 , x , , x n ) ∈ D u = f (M) = f (x1 , x , , x n ) ∈ hàm số n biến số xác định D D gọi miền xác định hàm số f; x1 , x2 , , xn biến số độc lập, u gọi biến số phụ thuộc 1.1.3 Miền xác định hàm nhiều biến số Người ta quy ước: Nếu cho hàm số u = f(M) mà khơng nói miền xác định D phải hiểu miền xác định D hàm số tập hợp điểm M cho biểu thức f(M) có nghĩa Miền xác định hàm số thường tập liên thông Sau số ví dụ miền xác định hàm số biến số, biến số Ví dụ 2: Tìm miền xác định hàm số sau mô tả hình học miền đó: a) z = − x − y , b) z = ln( x + y ) , c) u = y − x2 − y2 − z2 Giải: a Miền xác định tập (x, y) ∈ cho − x − y ≥ hay x + y ≤ Đó hình trịn đóng tâm O bán kính (H.1.2a) Hình trịn đóng mơ tả hệ bất phương trình: ⎧⎪− ≤ x ≤ ⎨ ⎪⎩− − x ≤ y ≤ − x b Miền xác định tập (x, y) ∈ thoả mãn x + y > hay y > -x Đó nửa mặt phẳng có biên đường y = -x (H.1.2b) Nửa mặt phẳng mơ tả hệ bất phương trình: ⎧− ∞ < x < +∞ ⎨ ⎩− x < y < +∞ c Miền xác định tập (x, y, z) ∈3 thoả mãn x + y + z < Đó hình cầu mở tâm O bán kính (H.1.2c) Hình cầu mở mơ tả hệ bất phương trình: ⎧− < x < ⎪⎪ 2 ⎨− − x ≤ y ≤ − x ⎪ ⎪⎩− − x − y ≤ z ≤ − x − y Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 1.1.4 Ý nghĩa hình học hàm hai biến số Cho hàm biến z = f(x,y) với ( x, y ) ∈ D Tập điểm (x, y, z) ∈3 với z = f(x,y) gọi đồ thị hàm số cho Như đồ thị hàm biến thường mặt cong không gian chiều 0xyz Đồ thị hàm số mô tả cách trực quan hàm số thể ý nghĩa hình học hàm số Dưới ta xét mặt cong đặc biệt đơn giản, thơng dụng tốn học ứng dụng A Mặt phẳng: Mặt phẳng đồ thị hàm hai biến tuyến tính, nói cách khác phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = A2 + B + C > Chẳng hạn C ≠ có z = − ( D + Ax + By ) , hàm số xác định  C B Ellipsoid Ellipsoid mặt cong, phương trình tắc có dạng (H.1.3) x2 y2 z2 + + =1 a b2 c Đây hàm hai biến cho dạng không tường minh (dạng ẩn) Hàm số đa trị Chẳng hạn coi z biến phụ thuộc vào x y miền xác định hình ellipse có bán trục x2 y a b: + ≤ a b Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Khi a = b = c = R ta có mặt cầu tâm gốc toạ độ bán kính R: x + y + z = R C Paraboloid elliptic Phương trình tắc paraboloid elliptic có dạng (H.1.4): x2 y2 + =z a b2 Miền xác định hàm số  Khi a = b tức phương trình có dạng: x2 + y2 = a2z Gọi paraboloid tròn xoay D Mặt trụ bậc * Mặt trụ elliptic (H.1.5) có phương trình tắc: x2 y2 + =1 a b2 * Mặt trụ hyperbolic (H.1.6) có phương trình tắc: x2 a2 − y2 b2 = −1 * Mặt trụ parabolic (H.1.7) có phương trình tắc: Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số y = px E Mặt nón bậc Phương trình tắc mặt nón có dạng (H.1.8) x2 y2 z2 + − =0 a b2 c 1.1.5 Giới hạn hàm số nhiều biến số Khái niệm giới hạn hàm số nhiều biến số đưa khái niệm giới hạn hàm biến số Ở biến số đóng vai trị khoảng cách d(M0, M) hai điểm M0 M không gian  n Để đơn giản cách viết xét khơng gian chiều  * Nói dãy điểm Mn(xn, yn) dần đến điểm M0(x0, y0); kí hiệu M n → M n → ∞ ⎧⎪lim x n = x n →∞ lim d ( M , M n ) = ⎨ n→∞ yn = y0 ⎪⎩lim n →∞ * Cho hàm z = f(x,y) xác định lân cận M0(x0, y0), trừ điểm M0 Ta nói hàm f(M) có giới hạn l M(x,y) dần đến M0(x0, y0) dãy điểm Mn(xn, yn) thuộc lân cận dần đến M0 ta có: lim f ( x n , y n ) = l n →∞ Thường kí hiệu lim f ( M ) = l hay M →M lim ( x , y ) → ( x0 , y0 ) f ( x, y ) = l Sử dụng ngôn ngữ " ε , δ " định nghĩa sau: Hàm số f(M) có giới hạn l M → M ∀ε > 0, ∃δ > : < d ( M , M ) < δ ⇒ f ( M ) − l < ε Chú ý: Tất khái niệm giới hạn vơ hạn định lí giới hạn: tổng, tích, thương giống hàm số biến số Từ định nghĩa ta nhận thấy: Giới hạn l hàm số f ( x, y ) M → M không phụ thuộc đường M tiến đến M , hai đường M tiến đến M mà f ( M ) tiến đến hai giá trị khác hàm số khơng có giới hạn M Ví dụ 3: Tìm giới hạn a x2 y ( x , y ) →( , ) x + y lim b xy ( x , y ) →( , ) x + y lim c lim ( x , y ) →( , ) xy x2 + y2 Giải: a Ta có x2 y −0 ≤ y, x2 + y2 d ( M ,O) = x + y ∀ε > 0, ∃δ = ε < x + y < δ ⇒ y