b) Có đồ thị cắt trục hoành 3 điểm phân biệt, 1 điểm, 2 điểm... 3) Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm.. 4) Từ Bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.[r]
(1)(2)Bài toán:
Dựa vào đồ thị hàm số sau, điểm hàm số sau có giá trị lớn (nhỏ nhất) khoảng cho
a) y=-x2+1 khoảng (-;+) b) khoảng
Lập bảng biến thiên hàm số tương ứng với khoảng cho
2
x
y
.(x 3)
3
3; & 3;42 2
−2 10
−2
x y
−6 −4 −2
−4 −2
x y
x - 0 +
y’
y
x 1/2 3/2 y’
(3)1 Khái niệm cực trị hàm số: Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định tập hợp D x0 D
a) x0 điểm cực đại hàm số f tồn khoảng
(a;b) chứa x0 cho (a;b) D
f(x) < f(x0) với x (a;b) \{x0}.
• Ta nói hàm số đạt cực đại x0
(4)1 Khái niệm cực trị hàm số: Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định tập hợp D x0 D
Hàm số đạt cực đại cực tiểu xo, ta gọi hàm số đạt cực trị xo f(xo) gọi giá trị cực trị hàm số
b) x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng
(a;b) chứa x0 cho (a;b) D
f(x) > f(x0) với x (a;b) \{x0}.
• Ta nói hàm số đạt cực tiểu x0
(5)2 Điều kiện cần để có cực trị: Định lý 1:
Nếu f có đạo hàm xo đạt cực trị xo f’(xo) =0
Chứng minh: (xem SGK)
(6)Hàm số y=x3
Hàm số có đạo hàm triệt tiêu x=0 khơng có cực
trị x=0.
−6 −4 −2
−2
x y
có đồ thị: Ví dụ 1:
(7)Ví dụ 2: b) Hàm số
3 x (5 x)2
3
y
x (5 x)
−6 −4 −2
2
x y
Hàm số đạt cực đại x=2 ,cực tiểu x=0.
Chú ý: hàm khơng có đạo hàm x=0
có đồ thị:
Như vậy: Hàm số đạt cực trị điểm mà
(8)3)Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
a) Nếu f’(x) >0; x(a; x0) f’(x) <0; x(x0;b) hàm số đạt cực đại x0
Định lý 2: (điều kiện đủ 1)
Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0) ( x0;b) Khi đó:
(9)x a x0 b y’ +
-y CĐ
x a x0 b y’ - +
y
CT
Chú ý: Tại x0 chỉ cần hàm số liên tục, khơng thiết có
đạo hàm
(10)Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm số ta làm bước sau:
1) Tìm y’
2) Tìm điểm xi (i=1, 2, ) đạo hàm hàm số
bằng hàm số liên tục khơng có đạo hàm. 3) Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm.
4) Từ Bảng biến thiên suy điểm cực trị
\
(11)Bảng biến thiên
x - -1 +
y’ + - - + y -1 11
• Hàm số đạt cực đại x=-1,yCĐ=-1 đạt cực tiểu
x=1,yCT=11
Ví dụ 3: Tìm điểm cực trị hàm số: TXĐ: D=R\{0}
Đạo hàm:
3
y 3x x y x 2 3(x 1) x
x
x
(12)Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng (a; b) chứa điểm x0, f’(xo)=0 f’’(xo)≠0 điểm xo
a) Nếu f’’(x0) <0 hàm số f đạt cực đại điểm xo b) Nếu f’’(x0) >0 hàm số f đạt cực tiểu điểm xo
Chú ý: Nếu f’’(x0)=0 trở lại dấu hiệu đủ thứ
Ví dụ 5: Hàm số y =x4 có y’’(0)=y’(0)=0 ,dấu hiệu đủ thứ
(13)Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số ta làm bước sau:
1) Tìm f’(x)
2) Tìm nghiệm xi (i=1, 2, ) phương trình f’(x)=0.
3) Tìm f”(x) tính f”(xi).
* Nếu f’’(xi) <0 hàm số f đạt cực đại điểm xi
* Nếu f’’(xi) >0 hàm số f đạt cực tiểu điểm xi
\
(14)Ví dụ 6: Dùng dấu hiệu đủ tìm cực trị hàm số: 1) y= x4-2x2-1
2) y= sin2x+x
Bài tập :
1) BTSGK
2) Tìm m để hàm số y= x3-6x2+3(m+2)x-m-6
a) Hàm số có cực trị Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị
(15)Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm số ta làm bước sau:
1) Tìm y’
2) Tìm điểm xi (i=1, 2, ) đạo hàm hàm số
bằng hàm số liên tục khơng có đạo hàm. 3) Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm.
(16)Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số ta làm bước sau:
1) Tìm f’(x)
2) Tìm nghiệm xi (i=1, 2, ) phương trình f’(x)=0.
3) Tìm f”(x) tính f”(xi).
* Nếu f’’(xi) <0 hàm số f đạt cực đại điểm xi
* Nếu f’’(xi) >0 hàm số f đạt cực tiểu điểm xi
\
(17)Dạng 1: Tìm cực trị hàm số.
PP: Dùng dấu hiệu dấu hiệu
Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số đạt CĐ, CT hay đạt cực trị điểm
PP: B1: Dùng dấu hiệu lập phương trình dấu hiệu lập hệ gồm phương trình bất phương trình ẩn tham số
B2: Giải để tìm giá trị tham số B3: Thử lại (khi sử dụng dấu hiệu 1) Dạng 3: CMR hàm số ln có CĐ CT.
(18)Bài 1: Tìm cực trị hàm số.
Bài 2: Tìm cực trị hàm số.
3
1
1)y x 2x 3x
3
2)y x
x
4
3)y x 2x
2
x 2x
4)y
x
(19)Bài 3: Cho hàm số: Tìm m để 1) Hàm số đạt CT x=2
2) Hàm số đạt CĐ x=2
Bài 4: Cho hàm số: Tìm m để 1) Hàm số có CĐ CT
2) Hàm số có CĐ, CT cực trị đồ thị hàm số cách gốc tọa độ
2
x mx
y
x m
3 2
(20)Bài 5: Cho hàm số: CMR hàm số cho ln có CĐ, 1CT bình phương khoảng cách cực trị hàm số 20
Bài 6: Cho hàm số: Tìm m để hàm số có CĐ, CT điểm cực trị đồ thị hàm số với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông O
2
x (m 1)x m
y x 2
x 2(m 1)x m 4m
y
x