vị trí nằm ngang, như trên hình vẽ 12, sau đó được buông ra. Tính gia tốc của hai vật nặng và lực căng của dây treo khi các vật bắt đầu chuyển động. Định luật bảo toàn moment động lượng.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ 1: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
Dạng 1: Chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định I KIẾN THỨC VẬN DỤNG
1 Chuyển động quay đều: = => = const
Trong tốn này, thơng thường ta chọn gốc thời gian lúc bắt đầu khảo sát (t = 0) Góc quay: = o + t
2 Chuyển động quay biến đổi đều: = const ( gia tốc góc vật rắn chuyển động quay)
+ Biểu thức tính gia tốc: =
t o
+ Tốc độ góc tức thời: = o + t: Vận tốc góc biến đổi theo hàm bậc thời gian t.
+ Góc quay: = o + ot +
2
t2 => = -
o = ot +
2
t2 góc quay thời gian t.
Trong đó: o, o toạ độ góc, tốc độ góc thời điểm ban đầu (t=0)
* Liên hệ vận tốc góc, gia tốc góc góc quay: 2 - o
= 2( - o) => = - o =
2
2 o
Lưu ý: + Trong chuyển động nhanh dần: > chuyển động chậm dần < + Liên hệ vận tốc dài, vận tốc góc bán kính quỹ đạo: v = r
+ Liên hệ gia tốc hướng tâm vận tốc dài: aht = an =
r v2
= 2r.
+Trong chuyển động quay biến đổi đều, gia tốc vật rắn bao gồm hai thành phần, thành phần tiếp tuyến thành phần pháp tuyến:
+ Thành phần tiếp tuyến a : Đặc trưng cho biến thiên nhanh hay chậm độ lớn vector vận tốc t v
=> a t v a t v
+Thành phần pháp tuyến a : Đặc trưng cho biến thiên nhanh hay chậm hướng vector vận tốc n v
=> a n v
*Khi ta có: a an at => a2 = 2t n a a
Với: at = r an = 2r => a = r 4 r2 II LUYỆN TẬP ( Tự luận )
Bài 1:Tìm vận tốc góc trung bình trái đất quay xung quanh trục với chu kì 24
Giải
Theo đề ta có : t = 24 , = 2 (rad)
Vận tốc góc trung bình trái đất quanh trục là: =
t
= ( / ) 7,3.10 ( / )
86400
2 rad s 5 rad s
Lưu ý: dạng tập biết vận tốc góc trung bình khoảng thời gian vật quay, tính góc quay (hoặc ngược lại) thì hồn toàn tương tự
Bài 2: Một bánh đà động quay nhanh dần đều, sau khởi động 2s góc quay bánh đà 140 rad.
Tốc độ góc thời điểm là:
Hướng dẫn:
- áp dụng công thức 0 0t 1 t2
2
, chọn mốc thời gian lúc vật bắt đầu khởi động có toạ độ góc
ban đầu 0, suy t2 22 2.140 70rad / s2
2 t
- Mặt khác t 70.2 140rad / s
t t
Bài 3: Khi nghiên cứu máy bay trực thăng, người ta xác định vận tốc rôto thay đổi từ 320 vòng/phút
đến 225 vòng/phút 1,5 phút rôto quay chậm dần để dừng lại
(2)b) Với gia tốc góc trung bình sau cánh quạt dừng lại, kể từ lúc chúng có vận tốc góc ban đầu 320 vịng/phút
c) Kể từ lúc chúng có vận tốc góc ban đầu 320 vịng/phút, cánh quạt cịn quay vòng dừng?
Giải
a) Gia tốc góc trung bình: TB = 60( / ) 0,11( / )
2 60 , ) 320 225
( 2
0 rad s rad s
t
t
Dấu (-) cho biết cánh quạt quay chậm lại
b) Thời gian để cánh quạt dừng lại kể từ vận tốc góc có giá trị 320 vịng/phút tính:
t = ( ) 5,1
60 11 , ) 320 ( s TB (phút) c) Áp dụng công thức: 2 -
02 = TB
Số vòng quay được: n =
2
Ta có: n =
2 2 60 ) 11 , ( 320 2
TB (vòng) 812(vòng)
Bài 4: Một đĩa mài bắt đầu quay với vị trí góc 0 = gia tốc góc khơng đổi = 0,35 rad/s2 Tính tốc độ góc đĩa
tại thời điểm t = 18s số vòng mà đĩa quay thời gian
Giải
Tốc độ góc đĩa thời điểm t = 18s là: = t = 0,35.18 = 6,3 (rad/s) Góc đĩa quay khoảng thời gian t = 18s là: =
2
t2 =
2
.0,35.182 56,7 (rad)
Số vòng quay : n =
2 = 2
7 , 56
vòng
Bài 5: Một đĩa bắt đầu quay quanh trục với gia tốc góc khơng đổi Sau 5,0s quay 25 rad.
a) Gia tốc góc đĩa bao nhiêu?
b) Vận tốc góc trung bình thời gian bao nhiêu?
c) Vận tốc góc tức thời đĩa cuối thời gian t = 0,5s bao nhiêu?
Giải
a) Gia tốc đĩa : =
25 25 2 t
(rad/s2) = (rad/s2)
b) Vận tốc góc trung bình : TB = ( / )
5 25 s rad t
= (rad/s)
c) Vận tốc góc tức thời cuối thời gian 5s là: = 0 + t = 2.0,5 = 1(rad/s)
Bài 6: Một bánh xe quay nhanh dần quanh trục Lúc bắt đầu tăng tốc, bánh xe có tốc độ góc 5
rad/s Sau 10s tốc độ góc tăng lên đến 10 rad/s Hãy tìm: a) Gia tốc góc bánh xe
b) Góc mà bánh xe quay khoảng thời gian c) Số vịng mà bánh xe quay thời gian
Giải
a) Gia tốc góc bánh xe : =
t 10 10
(rad/s2) = 0,5 (rad/s2)
b) Góc mà bánh xe quay 10s: = - 0 = 0t +
2
t2 = 5.10 +
2
.0,5.102 = 75 (rad)
c) Số vòng mà bánh xe quay 10s:
(3)Bài 7: Một đĩa mài quay với tốc độ góc 0 = - 4,6 rad/s gia tốc góc khơng đổi = 0,35 rad/s2 Xác định
thời điểm để:
a) Tốc độ đĩa mài
b) Đĩa quay vòng theo chiều dương
Giải
a) Vì 0 = - 4,6 rad/s = 0,35 rad/s2 nên ban đầu đĩa quay chậm dần theo chiều âm
Thời điểm tốc độ đĩa mài xác định: t1 =
= 13s
35 ,
) , (
b) Sau tốc độ đĩa 0, đĩa quay nhanh dần với gia tốc góc = 0,35 rad/s2 Thời gian để đĩa
quay vịng theo chiều dương tính: t =
35 ,
2
2
13,4 (s) Thời điểm để đĩa quay vòng theo chiều dương là: t = t1+t 26,4(s)
Bài 8: Tại thời điểm ban đầu bánh đà có vận tốc góc 4,7 rad/s, gia tốc góc - 0,25rad/s2 =
a) Đường mốc đạt góc cực đại max theo chiều dương thời điểm nào?
b) Đến thời điểm đường mốc 2 max
1
?
Giải
a) Ban đầu vận tốc góc gia tốc góc trái dấu nên bánh đà quay chậm dần đến tốc độ góc đường mốc đạt toạ độ cực đại
Khi đó: = 0 + t1 = t1 = 0,25( ) 18,8( )
7 ,
0 s s
Đường mốc đạt góc cực đại max :
= max = 0 + 0t1 +
2
t12 = 4,7.1,88 +
2
(-0,25).1,882 = 44,18 (rad)
b) Khi max
2
ta có: 4,7t +
2
(-0,25)t2 =
2 18 , 44
t = 5,15 s t = 32 s
Bài 9: Một vật rắn quay quanh trục cố định theo phương trình: t2 2t 3(rad s, )
a) Từ thời điểm t1 = 1s đến thời điểm t2 = 3s, vật quay vịng, tính tốc độ góc trung bình vật
trong khoảng thời gian
b) Tính tốc độ góc tức thời vật thời điểm t = 5s
ĐS: a) n = 1,91 vòng, tb 6(rad s/ )
b) 12(rad s/ )
Bài 10: Một vật rắn quay biến đổi quanh trục cố định Do có ma sát nên PT tốc độ góc là:
3( , )
4
t
rad s
a) Tính góc quay tốc độ góc trung bình vật 4s kể từ lúc bắt đầu xét chuyển động b) Kể từ lúc bắt đầu xét chuyển động, vật quay vòng
c) Tính tốc độ góc tức thời vật thời điểm t = 20s
ĐS: a) 10(rad), tb 2,5(rad s/ )
b) n = 2,86 vòng c) 0(rad s/ ) ( sau thời gian t = 12s vật dừng )
Bài 11: Một bánh xe bán kính 50cm quay với chu kì 0,1 giây Hãy tính:
a) Vận tốc dài vận tốc góc điểm vành bánh xe
b) Gia tốc pháp tuyến điểm vành bánh; điểm bán kính
(4)a) Vận tốc góc điểm vành bánh xe là: 62,8( / )
,
2 rad s
T
- Vận tốc dài điểm vành bánh xe : v.r 62,8.0.531,4(m/s)
b) Gia tốc pháp tuyến điểm vành bánh xe: 62,82.0,5 1971,92( / 2)
1 r m s
an
- Gia tốc pháp tuyến điểm bán kính: 985,96( / )
2
2
2
2 m s
a r
a n
n
Bài 12: Một bánh xe có bán kính R=10cm lúc đầu đứng n, sau quay xung quanh trục với gia tốc bằng
3,14rad/s2 Hỏi, sau giây thứ nhất:
a) Vận tốc góc vận tốc dài điểm vành bánh?
b) Gia tốc tiếp tuyến gia tốc pháp tuyến gia tốc toàn phần điểm vành bánh? c) Góc gia tốc tồn phần bán kính bánh xe (ứng với điểm vành bánh)?
Giải
a) Vận tốc góc sau giây thứ nhất: = t = 3,14.1 = 3,14 rad/s
Vận tốc dài điểm vành bánh xe: v = r = 3,14 0,1 = 0,314 m/s b) Gia tốc tiếp tuyến: at = r = 3,14.0,1 = 0,314m/s2
Gia tốc pháp tuyến: an = 2r = 3,142.0,1 = 0,985 m/s2
Gia tốc toàn phần: a = at2an2 1,03m/s2
c) Góc gia tốc tồn phần bán kính bánh xe xác định: tg =
985 ,
314 ,
n t
a a
= 17046’
Dạng 2: Phương trình động lực học vật rắn quay quanh trục cố định. Moment lực – moment quán tính vật rắn
I KIẾN THỨC VẬN DỤNG
a
n a
t
a
(5)1 Mối liên hệ gia tốc góc moment lực:
* Moment lực vật có trục quay cố định: M = Fd - M > F có tác dụng làm vật quay theo chiều dương;
- M < F có tác dụng làm vật quay theo chiều ngược với chiều dương * Mối liên hệ gia tốc góc moment lực:
+ Lực tác dụng theo phương tiếp tuyến: Ft = mat
=> Moment lực tác dụng lên vật: M = Ftr = matr = (mr2)
Đối với vật rắn có kích thước khối lượng đáng kể: M = M = i (m r )
2 i i 2 Moment quán tính: I =
i ir
m (kgm2)
* Moment quán tính số dạng hình học đặc biệt (quay quanh trục đối xứng vật) + Thanh có tiết diện nhỏ so với chiều dài: I =
12
ml2.
+ Khối trụ đặc hay đĩa tròn: I =
mR2.
+ Hình trụ rỗng hay vành tròn ( Chất điểm ): I = mR2.
+ Khối cầu đặc: I =
mR2, khối cầu rỗng: I =
3
mR2
+ Thanh mỏng có trục quay đầu thanh: I =
ml2.
* Định lí trục song song ( Huy-ghen – Stai- nơ) : I = IG + md2
trong d khoảng cách từ trục đến trục quay qua trọng tâm G
3 Phương trình động lực học vật rắn quay quanh trục cố định: M = I II LUYỆN TẬP ( Tự luận )
Bài 1: Một đồng chất AB dài l = 1m khối lượng m1 = kg Gắn vào hai đầu A B hai chất điểm khối lượng m2 = 3kg m3 = 4kg Tìm momen qn tính hệ trường hợp:
a) Trục quay vng góc với trung điểm AB b) Trục quay đầu A vng góc với c) Trục quay cách A khoảng l/4 vng góc với
Giải
a) Mơ men qn tính trục quay (O) qua trung điểm AB: I1 =
12
m1l2
Mô men quán tính m2 trục quay (O): I2 = m2R22 = m2 l
Mô men quán tính m3 trục quay (O): I3 = m3R32 = m3 l
Momen quán tính hệ trục quay (O): I = I1 + I2 + I3 = 12
1
m1l2 + m2 l
+ m3 l
= 12
2 l
( m1 + 3m2 + 3m3)
Thay số: I = 12
1
(3 + 3.3 + 3.4) = (kg.m2)
b) Trục quay vng góc với đầu A tính: Mơ men qn tính trục quay (A): I1 =
3
m1l2
Mơ men qn tính m2 trục quay (A): I2 =
Mơ men qn tính m3 trục quay (A): I3 = m3R32 = m3l2
Mô men quán tính hệ trục quay (A): I = I1 + I2 + I3 =
3
m1l2 + 0+ m3 l2 =
3
.3.12 + 0+ 4.12 = (5 kgm2)
A O B
m2 m3
A B
(6)c) Trục quay (O’) cách A khoảng l/4 vng góc với
Áp dụng định lí trục song song ta tính mơ men qn tính trục quay (O’): I1 =
12
m1l2 + m1 (
4
l
)2 =
48
m1l2
Mơ men qn tính m2 trục quay (O’):
I2 = m2R22 = m2 16 2
l m l
Mô men quán tính m3 trục quay (O’):
I3 = m3R32 = m3 16
9
3
3
l m l
Mô men quán tính hệ trục quay (O’): I = I1 + I2 + I3 =
48
l
m +
2
16
l
m +
3
16
l
m = 2,875 kg.m2
Bài 2: Thanh mảnh có khối lượng M, dài L gập thành khung hình tam giác ABC Tính mơ men qn tính
của khung trục quay qua A vng góc với khung
Giải
Ta thấy:
mAB =mBC = mCA = m = M/3 lAB =lBC = lCA = l = L/3.
Mơ men qn tính khung trục quay qua A vng góc với khung: I = IAB + IBC + ICA
Trong đó: IAB = ICA =
3
ml
Áp dụng định lí trục song song ta tính mơ men qn tính BC trục quay qua A IBC:
IBC = I(G)BC + m (AG)2
Trong đó: I(G)BC =
12
ml ; AG =
3
l
IBC =
12
ml + m.(
3
l )2 =
6
ml
Suy ra: I = 2
3
ml +
6
ml = 1,5ml2 = 1,5 2
18
3 ML
L M
Bài : Một đĩa đặc có bán kính R = 0,25m quay quanh trục đối xứng qua tâm Một sợi dây mảnh nhẹ
được quấn quanh vành đĩa Người ta kéo đầu sợi dây lực không đổi F =12N Hai giây sau kể từ lúc kéo, tốc độ quay đĩa 24rad/s Tính momen lực tác dụng lên đầu đĩa, gia tốc đầu dây góc quay thời gian
Hướng dẫn:
+Moment lực tác dụng lên đầu đĩa: M = FR = (N.m) +Gia tốc góc đầu dây: =
t o
= 12rad/s2.
+ Góc quay dây: =
t2 = 24rad.
Hoặc ta tính theo cơng thức: = tbt =
2
( + o)t = 24rad
Bài 4: Tác dụng moment 0,75N.m lên chất điểm chuyển động đường trịn bán kính 60cm, làm
chất điểm chuyển động với gia tốc 2,5rad/s2 Tính moment quán tính chất điểm trục quay qua tâm và
vng góc với đường trịn Tính khối lượng chất điểm
Hướng dẫn:
A
B
C G
A B
m2 m3
(7)+Tìm I: Ta có M = I => I =
M
= 0,3kgm2
+Tìm khối lượng vật: I = mR2 => m = R
I
= 00,36,3 65 kg
Bài 5: Một lực tiếp tuyến 10N tác dụng vào cánh ngồi bánh xe có đường kính 80cm Bánh xe quanh quanh
trục từ trạng thái nghỉ sau 1,5s quay vịng Tính momen qn tính bánh xe
Hướng dẫn:
+ tìm gia tốc góc: =
t o
= 4
rad/s2.
+ Moment quán tính bánh xe: I =
mR2
mặt khác ta có: F = m R => m =
R F
=> I = 2
1
FR
=
kgm2.
Bài 6: Một bánh xe chịu tác dụng mô men lực M1 không đổi 20Nm Trong 10 s đầu, tốc độ góc bánh xe tăng từ đến 15 rad/s Sau mô men lực M1 ngừng tác dụng, bánh xe quay chậm dần dừng lại sau
30s Cho biết mơ men lực ma sát có giá trị không đổi suốt thời gian chuyển động 0,25M1
a) Tính gia tốc góc bánh xe chuyển động nhanh dần chậm dần b) Tính mơ men qn tính bánh xe trục
Giải
a) Gia tốc góc bánh xe:
- Giai đoạn quay nhanh dần đều:
1
1 1,5rad/s
t
- Giai đoạn quay chậm dần đều:
2
1 0,5rad/s
t
b) Tổng mô men lực tác dụng vào bánh xe giai đoạn quay nhanh dần đều: M = M1 + Mms = 20 – = 15Nm
Mơ men qn tính bánh xe: I =
1 M
= 10kgm2.
Bài 7: Một đĩa mài hình trụ có khối lượng 0,55kg bán kính 7,5cm Mơ men lực cần thiết phải tác dụng lên đĩa để
tăng tốc từ nghỉ đến 1500vòng/phút 5s bao nhiêu? Nếu biết sau ngừng tác dụng mơ men lực đĩa quay chậm dần dừng lại 45s
Giải
Mô men quán tính đĩa trục quay trùng với trục hình trụ là: I =
mR2 = 1,55.10-3 (kgm2)
Gia tốc góc đĩa tăng tốc: 1 = 5 ( / )
60 /
1500
1
s rad t
) / (
10 rad s2
Gia tốc góc đĩa quay chậm dần: 2 = - ( / )
45 60 /
1500
2
s rad t
) / (
10 rad s2
Áp dụng phương trình động lực học chuyển động đĩa ta có:
+ Khi quay chậm dần đĩa chịu tác dụng lực ma sát sinh mô men cản: Mms = I2
+ Khi tăng tốc đĩa chịu tác dụng mô men lực làm quay mô men cản lực ma sát: MF + Mms = I 1 MF = I 1 - I 2 = I(1 - 2 ) = 1,55.10-3(10+
9 10
) (Nm) = 0,054Nm
Bài 8: Một thùng nước có khối lượng m thả xuống giếng nhờ sợi dây quấn quanh rịng rọc có bán kính
R moment qn tính I trục quay Khối lượng dây khơng đáng kể, rịng rọc coi quay tự không masat quanh trục cố định Xác định biểu thức tính gia tốc thùng nước
(8)+ Thùng nước chịu tác dụng trọng lực P lực căng T dây
+Theo định luật II Newton: mg – T = ma (thùng nước chuyển động tịnh tiến) => T = m(g – a)
+ Moment lực cho chuyển động quay thùng nước: M = TR = I => m(g – a)R = I
R a
<=> mgR = maR + I R
a
= maR(1 + 2
mR I
) => a = )
mR I (
g
2
Bài 9: Trên hình vẽ : rịng rọc đĩa đồng tính có khối lượng M =2,5kg có bán kính R =
20cm, lắp trục nằm ngang cố định Một vật nặng khối lượng m = 1,2kg treo vào sợi dây không trọng lượng quấn quanh mép đĩa Hãy tính gia tốc vật nặng rơi, gia tốc góc đĩa sức căng dây Giả thiết dây không trượt ma sát ổ trục
Giải
- Các lực tác dụng lên M gây mômen trục ròng rọc: T2
- Các lực tác dụng lên m gồm P1 ,T1 Áp dụng định luật II Niu tơn cho vật m:
mg – T1 = ma (1)
Áp dụng phương trình động lực học cho vật rắn chuyển động quay M:
T2R = I = 2
2
MR (2)
Với
R a
, T1 = T2 = T (3)
Từ (1) ,(2) (3) ta có:
2 / , , ,
2 , ,
2 m s
m M
m g
a
Gia tốc góc đĩa :
24 /
2 ,
8 ,
4 rad s
R a
Lực căng dây T:
T Ma 2,5.4,8 6,0N
2
1
Bài 10: Rịng rọc có khối lượng m = 0,1 kg phân bố vành tròn bán kính r = cm quanh trục nó.
một dây mảnh có kích thước khơng đáng kể, khơng dãn vắt qua rịng rọc hai đầu gắn vào vật nặng A, B khối lượng m1 = 300g m2 = 100g Hệ thống thả cho chuyển động với vận tốc bằng
không Lấy g = 10 m/s2.
a) Tính gia tốc vật A,B gia tốc góc rịng rọc. b) Tính tốc độ góc rịng rọc vật A 0,5 m. c) Tính lực căng hai bên ròng rọc.
Bài 11: Một đĩa khối lượng m1 = 600g, bán kính r1 = 40cm quay tự xung
quanh trục xuyên qua tâm Một đĩa nhỏ khối lượng m2 = 350g, bán kính r2
= 30cm ghép chặt trục với đĩa lớn Một sợi dây quấn nhiều vịng quanh đĩa nhỏ, có đầu dây buộc vào vật m3 = 400g Thả cho hệ thống chuyển động Tính:
a) Quãng đường vật m3 chuyển động sau 2s từ lúc bắt đầu thả.
b) Gia tốc góc đĩa lực căng dây.
m
R
T1 T2
P1 m
R
+
m
1
m2
m2 m
1
(9)Bài 12: Hai vật A B có khối lượng m = 1kg, liên kết với dây nhẹ, khơng dãn, vắt qua
rịng rọc bán kính R = 10cm mơ men qn tính I = 0,050kgm2 (hình vẽ) Biết dây khơng trượt ròng rọc Lúc
đầu, vật giữ đứng yên, sau hệ vật thả Người ta thấy sau 2s, rịng rọc quay quanh trục vòng gia tốc vật A, B không đổi Cho g = 10m/s2 Coi ma sát trục rịng rọc khơng đáng kể
a) Tính gia tốc góc rịng rọc b) Tính gia tốc hai vật
c) Tính lực căng dây hai bên rịng rọc d) Tính hệ số ma sát trượt vật B với bàn
Giải
a) Gia tốc góc rịng rọc tính: Từ = t2/2 = 2 /t2 = 6,28rad/s2
b) Gia tốc hai vật: a = R = 0,63m/s2.
c) Lực căng dây hai bên ròng rọc: - Đối với vật A: PA – TA = ma
TA = mg-ma = 9,17 (N) = T’A
- Đối với ròng rọc: (TA – TB)R = I
TB = TA - I /R = 6,03 (N)
d) Hệ số ma sát tính:
- Đối với vật B: TB – Fms = ma Fms = TB – ma = 5,4 (N)
- Hệ số ma sát trượt vật B mặt bàn là: = Fms/mg = 0,55
Bài 13: Cho hệ hình vẽ Khối lượng vật ròng rọc là:
m1 = 4kg, m2 = kg, m = kg Rịng rọc xem đĩa trịn đồng chất có
bán kính R = 10cm Bỏ qua ma sát Lấy g = 10m/s2 Cho = 300 Hãy tính:
a) Gia tốc m1, m2 gia tốc góc rịng rọc
b) Lực căng sợi dây nối với m1 m2
Giải
a) Các lực tác dụng lên m1 gồm: P1
,T1,N Các lực tác dụng lên m2 gồm: P2
,T2
Các lực tác dụng lên rịng rọc gây mơ men trục quay: / T , /
2 T
Áp dụng định luật II Niutơn cho vật m1 vật m2 ta được:
m1g.sin - T1 = m1a1 (1)
T2 – m2g = m2a2 (2)
Áp dụng phương phương động lực học cho chuyển động quay rịng rọc ta có:
T1R – T2R = I. (3)
Mặt khác: T’1 = T1, T’2 = T2 , a1 = a2 = a = R, I =
2
mR (4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có:
= ( / )
) 1 ( ,
) , ( 10 )
2 (
) sin
(
2
2
2
1 rad s
m m m R
m m
g
= ( / )
11
200 rad s2
a1 = a2 = a = R = 0,1 1,8
11 200
(m/s2).
b) Lực căng dây tính: T2 = m2(g + a2 ) = 1.(10+1,8) = 11,8 (N)
T1 = m1g.sin - m1a1 = 4.10.0,5 – 4.1,8 = 12,8 (N)
m1
m2
m
m1
m2
N
1
P P2
1
T
2
T
/
T
/
T
A B
A
B TB
TA T’A T’B
(10)Bài 14: Thanh đồng chất OA khối lượng m chiều dài l quay tự mặt phẳng
thẳng đứng với trục quay (O) nằm ngang Ban đầu giữ nằm ngang thả cho rơi Tính gia tốc góc thanh, gia tốc dài đầu thời điểm bắt đầu thả
Giải
Tại thời điểm thả để chuyển động (thanh nằm ngang), mô men lực làm quay là:
2 2
l mgl M P
Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay ta có : M = I M
I
với 1 2/ 2 3 .
3 / 3 2
mgl g I ml
ml l
Gia tốc dài đầu A thời điểm bắt đầu thả: l g
l g l a
2 3
Bài 15: Có hai vật nặng, vật có khối lượng m = 100g treo vào hai đầu một
thanh không trọng lượng, độ dài l1+l2 với l1=20cm l2=80cm Thanh giữ
vị trí nằm ngang, hình vẽ 12, sau bng Tính gia tốc hai vật nặng lực căng dây treo vật bắt đầu chuyển động Lấy g = 10m/s2.
Giải
Các lực tác dụng lên m1 m2 hình vẽ 13
Áp dụng định luật II Niu tơn cho m1 m2 ta được:
m2g - T2= m2a2 (1) ; T1 - m1g = m2a1 (2)
Đối với thanh: T2l2-T1l1 = (3) Mặt khác:
2
l l a a
(4)
Từ (1),(2),(3),(4) với lưu ý m1=m2 = m =100g ta có: a1 =
g l l
l l l
2 2
2
1 /
17 30
s m
a2 =
g l l
l l l
2 2
2
2 /
17 120
s m
T1= m1(g+a1) = N
17 20
T2= m2(g-a2) = N
17
Dạng 3: Moment động lượng Định luật bảo toàn moment động lượng Năng lượng vật rắn quay quanh trục cố định.
I KIẾN THỨC VẬN DỤNG
1.Biểu thức moment động lượng trục: L = I (kgm2s-1) 2 Định luật bảo toàn moment động lượng: L = const.
Phát biểu: Nếu tổng moment lực tác dụng lên vật rắn (hay hệ vật rắn) trục
tổng moment động lượng vật rắn (hay hệ vật) trục bảo toàn.
m m
l1 l2
A O
•
A O
P
•
l
1 l2
T1 T2
(11)+ Nếu M = L =const
+ Đối với hệ vật: L1 + L2 +….+ Ln = const
+Nếu vật có moment qn tính thay đổi: I11 = I22 = ……=Inn 3.Động vật rắn quay quay trục cố định: Wđ =
2
I2 = I L2
Trong L moment động lượng vật rắn I moment quán tính vật rắn quay quanh trục cố định
4 Định lí độ biến thiên động vật rắn quay quanh trục cố định:
Phát biểu: Độ biến thiên động vật rắn tổng công ngoại lực tác dụng lên vật Nếu công này dương động tăng cơng âm động giảm.
Biểu thức: Wđ = Wđ2 - Wđ1 = AF hay Wđ =
2
I
2 -
2
I
1 = AF
Lưu ý: Động vật rắn vừa chuyển động quay vừa chuyển động tịnh tiến: Wđ =
I2 +
mv2
5 Định luật bảo tồn cho vật rắn có trục quay cố định nằm ngang trường hợp bỏ qua ma sát
W = Wt + Wđ = mghG +
2
I = số
Trong đó: hG = l(1-cos) độ cao khối tâm vật rắn so với mốc ta chọn 0,
l: khoảng cách từ khối tâm đến trục quay,
góc đường thẳng nối khối tâm trục quay so với phương thẳng đứng
II LUYỆN TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Một cứng mảnh chiều dài m có khối lượng khơng đáng kể quay xung quanh trục vng góc với
thanh qua điểm Hai cầu kích thước nhỏ có khối lượng 0,6 kg gắn vào hai đầu Tốc độ dài cầu m/s Momen động lượng hệ ?
Hướng dẫn:
+ Mơ men qn tính hệ I=2.m.R2=0,3(kg.m2)
+ Tốc độ góc cầu : = R
v
= 8rad/s
Suy mô men động lượng hệ là:: L = I = 2,4kgm2s-1
Bài 2: Hai bánh xe A B có động quay, tốc độ góc A = 3B Tỷ số mơ men qn tính A B I I
A B có giá trị bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Ta có động bánh xe A B nên: WđB = WđA <=>
2
I
B =
2
I
A =>
A B I I
=
2 A B) (
=
Bài 3: Một bánh đà có momen qn tính I=0,5(kg.m2) Do chịu tác dụng ngoại lực nên momen động lượng
của vật giảm từ 5kg/m2xuống kg/m2 Công ngoại lực bao nhiêu?
Hướng dẫn: Momen động lượng vật trước tác dụng ngoại lực: L1 = I11 = => 1 = 10(rad/s)
Động vật lúc là: W1 =
2
I
1
= 25J
Momen động lượng vật sau tác dụng ngoại lực: L = I22 = =>2 = 4(rad/s)
Động vật lúc : W1 =
2
I
2
= 4J :
Công ngoại lực tác dụng vào vật biến thiên động vật: A= W1- W2=2(J)
Bài 4: Một khối cầu lăn không trượt mặt phẳng nằm ngang với v= 5m/s khối lượng khối cầu m = 8(kg).
Mơmen qn tính khối cầu trục xuyên tâm I =
mR2 Tính động khối cầu? Hướng dẫn:
(12)=> Wđ =
2
I2 +
mv2 =
2
5
mR22 +
2
mv2 =
5
mv2 +
2
mv2 =
10
mv2.
Thay giá trị vào ta tìm Wđ = 140J
Bài 5: Một viên bi có khối lượng m = 200g, bán kính R = 1,5cm lăn khơng trượt mặt phẳng nghiêng, viên bi
đạt tốc độ 50vịng/s động tồn phần viên bi ?
Hướng dẫn :
Ta có : = 50vịng/s = 100 (rad/s)
Vì hịn bi lăn khơng trượt nên động tồn phần : =
2
I2 +
mv2 =
2
5
mR22 +
2
mv2 =
5
mv2 +
2
mv2 =
10
mv2
Thay giá trị vào ta tìm : Wđ = 3,14J
Bài 6: Một đĩa trịn bán kính R = 20cm , khối lượng m1 = 4kg quay quanh trục thẳng đứng qua tâm với tốc độ góc = 2rad/s Trên đĩa có mảnh gắn chặt với nó, có khối lượng m2 = 0,5kg, dài 2R nằm trùng với đường kính đĩa Tính mơ men động lượng hệ
HD:
I =
m1R2 +
12
m2 (2R)2 =
2
m1R2 +
3
m2 R2
L = I = (
m1R2 +
3
m2 R2 ) L = (
2
.4+
.0,5 ) 0,22.2 0,17kgm2/s.
Bài 7: Một sàn quay có dạng đĩa trịn đồng chất khối lượng M = 25 kg, bán kính R = 2m Một người khối lượng
m =50 kg đứng mép sàn Sàn người quay với tốc độ 0,2 vịng/s Khi người tới điểm cách trục quay 1m tốc độ góc người sàn bao nhiêu?
HD:
Mơ men qn tính ban đầu hệ :
) ( 250 50 25 2
1 2 2
1 MR mR kgm
I
Mô men quán tính hệ người cách trục quay 1m:
100( )
4 50 25
1 2 2
2 kgm
R m MR
I
Momen động lượng hệ ban đầu: L1 = I11
Khi người cách trục quay 1m momen động lượng hệ là: L2= I22
Áp dụng định luật bảo tồn momen động lượng ta có:
L1 = L2 hay I11 = I22 0,5 vßng/s
100 , 250 1
2
I I
Bài 8: Một người ngồi ghế quay, hai tay cầm hai tạ, 3,0kg Khi người dang tay
theo phương ngang, tạ cách trục quay 1,0m người quay với tốc độ góc 0,75rad/s Giả thiết mơ men qn tính hệ “người + ghế” khơng đổi 3,0kg.m2 Sau kéo tạ theo phương ngang lại gần trục quay
cách trục quay 0,30m Tìm tốc độ góc hệ “người + ghế”
HD:
Coi người, ghế tạ hệ
Áp dụng định luật bảo tồn mơ men động lượng cho hệ nói ta có L1 = L2 I11=I22
Với: I1 = + 2.3.12 = (kgm2) I2 = + 2.3.(0,3)2 = 3,54 (kgm2)
Do đó: 1,9( / )
54 , 75 , 1
2 rad s
(13)Bài 9: Một đứa trẻ, khối lượng M đứng mép sàn quay có bán kính mơ men qn tính I Sàn đứng n Bỏ
qua ma sát trục quay Đứa trẻ ném đá khối lượng m theo phương ngang, tiếp tuyến với mép sàn.Tốc độ đá so với mặt đất v Hỏi :
a) Tốc độ góc sàn quay b) Tốc độ dài đứa trẻ
HD:
Coi sàn, đứa trẻ đá hệ Thời gian ném đá nhỏ ta bỏ qua xung mơ men lực tác dụng vào hệ coi mô men động lượng hệ bảo toàn thời gian tương tác
Mô men động lượng hệ trước ném đá L0 = ( sàn, đứa trẻ, đá đứng yên)
Mô men động lượng hệ sau ném đá là: Lhệ= Lsàn + Ltrẻ +Lđá Lhệ = I + MR2 + mvR
Áp dụng định luật vảo tồn mơ men động lượng : Lhệ= (I MR 2)mvR0
a) Tốc độ góc đứa trẻ : mR2
I MR
b) Tốc độ dài đứa trẻ :
2
mvR v R
I MR
Bài 10: Một mảnh, đồng tính, dài 0,5m, khối lượng 0,4kg Thanh có thể
quay mặt phẳng nằm ngang, quanh trục thẳng đứng qua khối tâm Thanh đứng n, viên đạn khối lượng 3,0g bay mặt phẳng ngang cắm vào đầu Phương vận tốc viên đạn làm với góc 600 Vận tốc góc sau va chạm là
10rad/s Hỏi tốc độ viên đạn trước va chạm bao nhiêu?
HD:
Mô men động lượng đạn trước va chạm: L1 = mv
2
l
Sin600 = 3.10-3. v
2
5 ,
0 = 0,650v
Mô men động lượng hệ sau viên đạn cắm vào thanh:
Lh = 12.4.(0,5) 3.10 (0,25) 0,835
1
12
1 2
ml
Ml
Áp dụng định luật bảo tồn mơ men động lượng: Lh = L1 v = 0,650 1,28
835 ,
(m/s)
Bài 11: Hai cầu, khối lượng M = 2,0kg gắn hai đầu mảnh khối lượng khơng đáng kể dài
50,0cm Thanh quay không ma sát mặt phẳng thẳng đứng quanh trục nằm ngang qua tâm Khi nằm ngang có cục matít có khối lượng m= 50,0g rơi vào cầu vào cầu dính vào Tính tốc độ góc hệ sau cục matít rơi vào?
HD: Coi với hai cầu cục matít hệ Vì thời gian va chạm ngắn khối lượng cục
matít nhỏ nên ta bỏ qua xung mô men lực tác dụng vào hệ coi mô men động lượng hệ bảo toàn thời gian va chạm
Mô men hệ trước va chạm (mô men động lượng cục ma tít) là:
2
1
l mv L
Mô men động lượng hệ sau va chạm :
4
2
2
2
l m M L
l m I I
L h
Ö 2
2 l M I
víi
600
(14)Theo định luật bảo tồn mơ men động lượng :
2
2
2
2
l mv l
m M L
L
=>
M m l rad s
mv
/ 15 , 50 , 050 , 00 ,
0 , 050 , 2
2
Bài tập áp dụng.
1 Một bánh xe bán kính 0,20m lắp vào trục nằm ngang không ma sát Một sợi dây không khối lượng quấn
quanh bánh xe buộc vào vật, khối lượng 2,0kg Vật trượt không ma sát mặt phẳng nghiêng 200 so với mặt phẳng ngang với gia tốc
2,0m/s2 Lấy g = 10m/s2 Hãy tính:
a) Lực căng dây
(15)c) Tốc độ góc bánh xe sau quay từ nghỉ 2,0s
Đáp số: a) 2,7N; b) 0,054kgm2; c) 10rad/s2.
2 Một mảnh đồng chất có chiều dài l = 1m, trọng lượng P = 5N quay xung quanh trục thẳng góc với thanh
và qua điểm Tìm gia tốc góc mơ men lực tác dụng lên M = 0,1Nm
Đáp số: = 2,25rad/s2
3 Một trụ đặc đồng chất khối lượng m= 100kg quay xung quanh trục nằm ngang trùng với trục trụ Trên trụ
có quấn sợi dây khơng giãn trọng lượng không đáng kể Dầu tự có treo vật nặng khối lượng M= 20kg Để vật nặng tự chuyển động Tìm gia tốc vật nặng sức căng sợi dây
Đáp số: a = 2,8m/s2; T = 140,2N
4 Hai vật khối lượng 2,00kg 1,5 kg nối với sợi dây mảnh vắt
qua ròng rọc gắn mép bàn Vật 1,5 kg bàn (hình vẽ ) Rịng rọc có mơ men qn tính 0,125kg.m2 bán kính 15cm Giả sử dây khơng trượt
trên rịng rọc, ma sát mặt bàn trục ròng rọc khơng đáng kể Hãy tính: a) Gia tốc vật
b)Lực căng hai nhánh dây
Đáp số: a) a1 = a2 = 3,24m/s2; b)T1=13,1N; T2=4,86N
5 Thanh mảnh có chiều dài l, khối lượng m có trục quay nằm ngang cách đầu đoạn l/4 Ban đầu thanh
được giữ nằm ngang, sau bng cho chuyển động Tính gia tốc trường hợp: a) Ngay sau buông tay (thanh nằm ngang)
b) Thanh làm với phương đứng góc 300. Đáp số: a)
l g
7 12
; b)
l g
7
6 Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m = 2kg, bán kính r = 10cm quay quanh trục vng góc với mặt
đĩa với tốc độ góc 10rad/s Tác dụng lên đĩa mơ men hãm đĩa quay chậm dần đều, sau 10 s đĩa dừng lại a) Tính mơ men qn tính đĩa
b) Tính độ lớn mơ men hãm
Đáp số: a) 0,01(kgm2); b) 0,01Nm
1 Một vận động viên trượt băng nghệ thuật tăng tốc độ từ 0,5vịng/s đến vịng/s Nếu mơ men qn tính lúc
đầu 4,6kgm2 lúc sau bao nhiêu? Đáp số: 0,77kgm2.
2 Một xi lanh đặc, đồng chất, khối lượng 10kg, bán kính 1m quay với vận tốc góc rad/s quanh trục Một cục
ma tít, khối lượng 0,25kg, rơi thẳng đứng vào xi lanh điểm cách trục 0,9m dính vào Hãy xác định vận tốc hệ cục ma tít dính vào
Đáp số: 6,73rad/s.
3 Hai đĩa có ổ trục lắp vào trục Đĩa thứ có mơ men quán tính 3,3kgm2,
làm quay với
tốc độ 450vịng/phút Đĩa thứ haicó mơ men qn tính 6,6kgm2,được làm quay với tốc độ 900vịng/phút Sau cho
chúng ghép sát để chúng quay đĩa Hỏi vận tốc góc sau ghép bao nhiêu?
Đáp số: 750 vòng/phút.
4 Một sàn quay hình trụ khối lượng 180 kg bán kính 1,2m đứng yên Một đứa trẻ , khối lượng 40kg, chạy
trên mặt đất với tốc độ 3m/s theo đường tiếp tuyến với mép sàn nhảy lên sàn Bỏ qua ma sát với trục quay Tính: a) Mơ men qn tính sàn
b) Mơ men động lượng đứa trẻ
c) vận tốc góc sàn đứa trẻ sau nhảy lên sàn
Đáp số: a 1300kg.m2; b 144kg.m2/s; c 0,768 rad/s.
5 Một tiết diện đều, khối lượng m, chiều dài h, đứng yên, thẳng đứng mặt đất bị vật khối
lượng mv = m bay theo phương ngang với vân tốc v đến va chạm mềm với đầu thanh, làm cho bị đổ
Xem quay quanh đầu Hãy tính:
a) Mơ men động luợng hệ trước va chạm trục quay đầu
m2
(16)b) Tốc độ góc sau va chạm
Đáp số: a mvh; b. h v
4
khối lượng khối lượng Tốc độ dài n động lượng quán tính ngoại lực Cơng Động lực tác dụng n động