Thứ ngày tháng 12 năm 2010 BáO CáO CHUYÊN Để THáNG 12 Ngới báo cáo : Nguyễn Thị Kim Anh Tên chuyên đề : Tìm hai số nguyên dơng khi biết một số yếu tố trong đó có UCLN và BCNN A-ĐặT VấN Đề Trong chơng trình số học 6, học sinh chỉ mới biết đến các kháI niệm ớc chung lớn nhất ( UCLN ) và bội chung nhỏ nhất ( BCNN ) , còn các ứng dụng của chúng học sinh chỉ mới biết một phần nhỏ trong việc giảI các bài tập về rút gọn phân số hay quy đồng mẫu số Trong khi đó UCLN và BCNN có vai trò rất quan trọng trong việc giảI các bài tập về tìm hai số nguyên dơng khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về UCLN và BCNN , các bài tập về tìm số Do đó để học sinh hiểu sâu hơn về các ứng dụng của UCLN và BCNN trong việc giảI toán đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh , tôI đa ra một số ứng dụng của UCLN và BCNN. Một số bài toán có liên quan đến việc tìm số : - Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : tích và UCLN ( BCNN ) - Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : ka+lb=m và UCLN ( BCNN ) - Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : UCLV và BCNN - Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : m.UCLN + n.BCNN=k và p.a+q.b=m B- NộI DUNG 1- Phơng pháp chung: 1.1- Dựa vào định nghĩa UCLN để biểu diễn hai số phảI tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số . 1.2 - Trong một số trờng hợp có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa UCLN< BCNN và tích của hai số nguyên dơnga,b đó là: a.b=(a,b) [ ] ba, , (a,b) là UCLN và [ ] ba, là BCNN của a và b 2- Một số ví dụ minh họa Bài toán 1 : Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : [ ] ba, =900 và (a,b) =10 Lời giảI : Do vai trò a,b là nh nhau, không mất tính quát, giả sử a b ,do (a,b)=10 nên a=10a 1 ; b=10b 1 , a 1 b 1 (do a b) Với a 1 ,b 1 z + ; (a 1 ,b 1 )=1 Theo định nghĩa BCNN : [ ] ba, =a 1 b 1 d (d=(a,b) )=a 1 b 1 10=900 a 1 b 1 =90 a 1 =1 , b 1 =90 a=10, b=900 a 1 =2 , b 1 =45 a=20, b=450 a 1 =5 , b 1 =18 a=50 , b=180 a 1 =9 , b 1 =10 a=90 , b=100 Bài toán 2 : Tìm số nguyên dơng a,b, biết ab=24300 và (a,b)=45 Lời giải Lập luận nh bài 1, giả sử a b : Do (a,b)=45 a=45a 1 , b=45b 1 với a 1 ,b 1 z + , (a 1 ,b 1 )=1 ; a 1 b 1 Vì vậy ab=45a 1 .45b 1 =2025a 1 b 1 24300=2025a 1 b 1 a 1 b 1 =12 a 1 =1 , b 1 =12 a=45 , b=540 a 1 =3 , b 1 =4 a=135 , b=180 Bài toán 3 : Tìm hai số nguyen dơng a.b biết ab=4320 và BCNN (a,b)=360 Lời giảI : Ta có ab =(a,b) [ ] ba, (a,b)=12 , bài toán đa về dạng bài toán 2: a =12 ; b=360 Kết quả a =24 ; b=180 a =36 ; b=120 a =60 ; b=72 Bài toán 4: Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : b a =2,6 và (a,b) =5 Lời giảI : Ta có : (a,b)=5 a=5a 1 , b=5b 1 , với a 1 , b 1 Z + ,( a 1, ,b 1 ) =1. Vì vậy: = b a b a 1 1 =2.6 5 13 1 1 = b a a 1 =13 a =65 b 1 =5 b =25 Bài toán 5: Tìm a,b biết : 5 4 = b a và [ ] 140, = ba Lời giảI : Đặt (a,b) =d vì 5 4 = b a , mặt khác (4,5) =1 nên a=4d , b=5d Lu ý [ ] 140205.4, === ddba d=7 a =28 , b =35 Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : a+b =84 và (a,b) =6 Lời giảI : Giả sử a b . Do (a,b) =6 nên a=6a 1 , b=6b 1 , với a 1 ,b 1 Z + (a 1 ,b 1 ) =1 ; Vì vậy : a+b =84 6(a 1 ,b 1 ) =84 a 1 + b 1 =14 a 1 =1 ; b 1 =13 a =6 ; b =78 a 1 =3 ; b 1 =11 a =18 ; b =66 a 1 =5 ; b 1 =9 a =30 ; b =54 Bài toán 7 : Tìm a,b biết : a+b=42 và [ ] ba, =72 Lời giảI : Gọi d=(a,b) a=a 1 d , b=b 1 d với a 1 .b 1 Z + , (a 1 ,b 1 )=1 Không mất tính tổng quát giả sử a b a 1 b 1 Do đó a+b= d(a 1 +b 1 ) =42 (1) [ ] ba, = a 1 b 1 d =72 (2) d là UC(42,72) d 1,2,3,6 Lần lựot thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính a 1 , b 1 ta thấy chỉ có tr- ờng hợp : a 1 + b 1 =7 a 1 =3 đ =6 a 1. b 1 =12 b 1 =4 ( thoả mãn điều kiện của a 1 ,b 1 ) a =18 Vởy d=6 và b =24 Bài toán 8: Tìm a,b biết a -b=7 [ ] 140, = ba Lời giảI : Gọi d=(a,b) a=a 1 d , b=b 1 d với a 1 ,b 1 Z + , (a 1 ,b 1 ) =1 Do đó a-b=d(a 1 -b 1 ) =7 (3) [ ] = ba, a 1 b 1 d =140 (4) d 1,7 Thay lần lợt các giá trị của d vào (3) và (4) để tính a 1 ,b 1 ta đợc kết quả duy nhất : a 1 -b 1 =1 a 1 =5 d =7 a 1 b 1 =20 b 1 =4 a=35 vậy d=7 và b =28 C - KếT LUậN Trên đây là một số bài toán củng nh phơng pháp giảimà bảnthân tôI tích luỹ đợc qua quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh, rất mong đợc sự góp ý của các bạn đồng nghiệp . Xin chân thành cảm ơn . . b=180 Bài toán 3 : Tìm hai số nguyen dơng a.b biết ab=4320 và BCNN (a,b)=360 Lời giảI : Ta có ab =(a,b) [ ] ba, (a,b)=12 , bài toán đa về dạng bài toán. b=180 a 1 =9 , b 1 =10 a=90 , b=100 Bài toán 2 : Tìm số nguyên dơng a,b, biết ab=24300 và (a,b)=45 Lời giải Lập luận nh bài 1, giả sử a b : Do (a,b)=45