Các phương pháp tính tích phân I.[r]
(1)II Phương pháp tích phân phần: Cho u, v hai hàm số biến x Ta có:
( ) ( )
d uv udv vdu
d uv udv vdu udv vdu
uv udv vdu
udv uv vdu
Đối với tích phân: b b b audv uv a avdu
Bài tốn 1: Tính P x A x dx( ) ( ) P x( ) đa thức, A x( ) cos sin
x
e x x Cách giải: Đặt ( )
( ) u P x dv A x dx
Tính tích phân sau:
1
4
0 0
1
2
0 0
1 2
0
1) . 9) 1 cos 16) 1 sin 2 2) 2 1 10) 2 1 cos 17) .sin 3) 2 11)
x
x
x
x e dx x xdx x xdx
x e dx x dx x xdx
x e dx x
2
3
2
0
1 2 2
4
0 0
1 2 2 2
3
2
0 0
.cos 18) .sin 4) x 1 12) 1 cos 19) .tan 5) 4 2 1 13) sin cos 20) sin 6) 1+e
x
x
x
xdx x xdx
e dx x x dx x xdx
x x e dx x x xdx x dx xdx
2
1 2
2
0
ln
0
1 2 3 2
4
0
14) 2 cos 7) . 15) .cos 8) ( 1) 16) .tan
x
x
x xdx
x e dx x xdx
x e x dx x xdx
(2)Bài tốn 2: Tính .cos sin
ax ax
e bxdx e bxdx
Cách giải: Đặt u eax
lần dùng phương pháp tích phân phần
Tính tích phân sau:
3
0
2 2
0
3
1) .sin 4) .sin 4 2) .cos 2 5) .sin 3) .sin 5
x x
x x
x
e xdx e xdx
e xdx e xdx
e xdx
Bài tốn 3: Tính P x( ).lnxdx P x( ): đa thức có dạng 1n
x
Cách giải: Đặt ln
( )
u x dv P x dx
Tích tích phân sau:
2
1
3 2 e 3 2
2
3
1) ln 10) ln 2) ln 11) ln 3) ln
e e
xdx x xdx
x x dx x xdx
x xdx
1 2
1
3 2
2
1
2
12) ln
4) ln 13) ln(1 ) ln
5) 14) ln( 5) ln
6)
e e
e
x xdx
x xdx x x dx
x
dx x x dx
x x
dx x
3
2
2
2
2 2
1
2 e
3 ln 15)
1 ln ln
7) 16)
1
8) ln 17)
x dx x
x x x
x
dx dx
x x
x
xdx x
3 e
cos(ln )
9) ln
e
x dx x
xdx x
(3)Các phương pháp tính tích phân I Phương pháp đổi biến số:
1)Dạng 1: Tính b ( ) a f x dx
Đặt x( )t với ( )t có đạo hàm liên tục ;
Lấy dx'( )t dt, đổi cận a, b thành ,
Biểu thị f x dx( ) theo t dt Giả sử f x dx g t dt( ) ( ) Tính g t dt( )
Tính tích phân sau:
2
2 2 2
2
0
2
2
2 2
0
1
1) 4 3)
1 1
2) 4)
1 1
x x dx dx
x x
dx dx
x x
2) Dạng 2: Tính b ( )
a f x dx
Đặt t u x ( )với u(x) có đạo hàm liên tục u a u b( ), ( ) Lấy dt u x dx '( ) , đổi cận a, b thành u(a), u(b)
Biểu thị f(x)dx theo t,dt Giả sử f x dx g t dt( ) ( ) Tính
( ) ( ) ( )
u b
u a g t dt
Tích phân hàm số hữu tỉ
a) Bài tốn 1: Tính 2 dx a ,
ax bx c
Trường hợp 1: Phương trình ax2bx c 0 vơ nghiệm
Khi đó:
2
2
1
1
1
ax bx c x
dx dx
ax bx c x
Đặt tantx
Trường hợp 2: Phương trình ax2bx c 0có nghiệm kép x0
Khi đó:
2
0
2
0
1
ax bx c a x x
dx dx
ax bx c a x x
(4) Trường hợp 3: Phương trình ax2bx c 0có nghiệm phân biệt x x1,
Khi đó:
2
1
2
1 2
1
( )( )
1 1
( )( )
1
ln ln
ax bx c a x x x x
A B
dx dx dx
ax bx c a x x x x a x x x x
A x x B x x C
a
b) Bài toán 2: Tính 1
2
a x b dx ax bx c
Cách giải: Biến đổi: a x b1 1(2ax b )
1
2 2
2
2
(2 )
1 ln
a x b ax b ax b
dx dx dx dx
ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c
ax bx c dx
ax bx c
(Đây toán nói trên)
c) Bài tốn 3: Tính
( )
f x dx ax bx c
, f x là đa thức có bậc 2
Cách giải: Chia tử cho mẫu Ví dụ: Tính tích phân sau:
3
1 2
2 2
0 0
3
0 1
2 2
1 -1
1
2
0
1 11
1) 4) 7) 10)
2 16
1
2) 5) 8) 11)
2 4
1
3) 6)
1
x x x x
dx dx dx dx
x x x x x x x
x x
dx dx dx dx
x x x x x x x
dx d
x x x x
2
1 1
2
0 0
3
1
1 10
9) 12)
2 9
2 10
13)
x x x
x dx dx
x x x x
x x x
dx
x x
d) Bài toán 4: Tính 2 2
sin sin cos cos dx
a x b x x c x
Cách giải: Chia tử mẫu hàm số hữu tỉ cho cos2x, ta
2
1
cos x atan x btanx c dx
Sau đặt ttanx
Ví dụ: Tính tích phân sau:
4
2
0
3
4
2
0
3
1
1) 4)
sin cos cos sin 2cos
tan tan tan
2) 3) 5)
cos cos cos cos
dx dx
x x x x x
x x x
dx dx dx
x x x x
(5)e) Bài tốn 5: Tính b (cos ).sin
a f kx kxdx
, ab f(sin ).coskx kxdx,
1 (ln )
b
a f kx xdx
Cách giải: Đặt tcoskx, tsinkx, tlnkx
Ví dụ: Tính tích phân sau:
2 e
2
0
2 sin
2
2
0
sin cos 2sin 1+3ln ln
1) 9) 17) dx
1 cos sin
sin ln
2) 11) cos cos 18)
ln cos 4sin
x
x x x x x
dx dx
x x x
x x
dx e x xdx
x
x x
3
1
2
0
2
0
1
sin sin 2ln
3) 12) cos 19)
1 3cos 2ln
sin cos3
4) 13)
cos sin
e
dx x
x x x
dx xdx dx
x x x
x x
dx dx
x x
16
2
0
3
2
2
0
6
2
1 20)
ln
sin cos
5) 14)
1 3cos 2sin
4sin cos
6) 15)
1 cos 5sin cos
7) cos sin cos
dx
x x
x x
dx dx
x x
x x
dx dx
x x x
x x
04 4
2
0 2 2
16) cos sin cos sin
8)
sin 2cos cos
xdx x x x dx
x
dx x
x x
f) Bài toán 6: Các dạng đặc biệt khác
Cho hàm số yf x( )liên tục a a;
Nếu yf x( )là hàm số lẻ a ( )
a f x dx
Nếu yf x( )là hàm số chẵn a ( ) a ( )
a f x dx a f x dx
Tính sinnxdx, cos nxdx
Nếu n số chẵn dùng công thức hạ bậc Nếu n số lẻ có cách: C1: Hạ bậc, C2:
2
2
sin sin (1 cos )
cos cos (1 sin )
m n
m n
dx x x dx
dx x x dx
Tính sin coskx kxdx Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng
Cho 2
0
sin cos
J=
sin cos sin cos
n n
n n n n
x x
I dx dx
x x x x
a) Bằng cách đặt
x t Chứng minh I J
(6)Ví dụ: Tính tích phân sau:
3
5 5
2
2
3 0
2
3 2 2 3
2
1
4
.sin cos
1) 2 6) 11) 16) cos
1 cos sin
sin cos
2) 7) 12) ln 17) cos c sin
x x x x x
x x dx dx dx xdx
x x
x x
x xdx dx x x dx x
x
2
2 2
2
3
0
4 2 ln3
2
4 3
0
os x
cos
3) 8) 13) 18) sin sin sin
sin cos sin
4) 9) 14)
sin cos 2 1
x x
dx x
x
x x dx dx dx x x xdx
x
x x
x x e
dx dx dx
x x x x e
ln3ln5
2
1 1
19)
2
1
5) ln 10) 15) 20)
1
2
x x
e x
x x
dx
e e
dx dx
e x dx dx
x x x e e
Tích phân hàm số vơ tỉ
Phương pháp chung: Đặt t
Tính tích phân sau:
2 3 2 10
1 -1
5
3 3 2 5 2 3
2
0
9 3 3 5
1
1
1) 6) 12) 18)
1 3
2 2) 7) 13) 19)
4
3) 8) 14)
x x
dx x x dx dx dx
x x x x x
dx x x
x x dx x x dx dx
x x x
x xdx x x dx
01 -12
7
4 1 2
3
-1 0
4
2 ln2
5
0
20)
2
4) 9) 15) 21)
5
2
5) 10) 16) 22)
2
1
x x
x x dx x xdx
x
dx dx x dx x x dx
x x
x x e
dx dx dx dx
x x
x x e
6
2
ln5 ln8 2 ln5
ln ln3 ln2
1
11) 17) 23)
1
x x x
x x
x x
e e e
dx e e dx dx
e e
(7)1 '
'
1) 2)
3) ( -1)
1
1
4) ln ln
1
5) ln
dx C dx x C
x u
x dx C u u dx u du C
u du
dx x C dx u C
x u u
dx ax b C
ax b a
'
'
6)
1 7)
8) ( 0, 1) ln
u
x x u u
ax b ax b
x u
x
e dx e C u e dx e du e C
e dx e C
a a
a dx C a a u a dx a
a
' '
ln 9) cos sin .cos cos sin 10) sin cos sin sin cos
1
11) cos( ) sin(
u
udu a C
a
xdx x C u udx udu u C
xdx x C u udx udu u C
ax b dx a
'
2 2
)
12) sin( ) cos( )
1
13) tan tan tan tan
cos cos cos
1 14)
si
ax b C
ax b dx ax b C
a
u
dx x dx x C dx du x dx u C
x u u
'
2 2
1
1 cot cot cot cot
n sin sin
u
dx x dx x C dx du x dx x C
x u u
Các tính chất nguyên hàm tích phân
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
b b
a a
b b
a a
a
f x dx F x C f x dx F x F b F a
kf x dx k f x dx kf x dx k f x dx f x g x dx f x dx g x dx f x g x dx
( ) ( )
( ) ( ) ( )
b b b
a a
a a
b b
a a
f x dx g x dx f x dx
f x dx f x dx
c ( ) b ( ) b ( )
a f x dx c f x dx a f x dx