Phương pháp giải Toán tích phân

Trần Só Tùng Tích phân Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân Các giới hạn đặc biệt: sin x =1 a) lim x ®0 x x =1 x ®0 sin x Hệ quả: lim sin u(x) =1 u(x)®0 u(x) u(x) =1 u(x)®0 sin u(x) ln(1 + x) =1 x® x lim lim lim x ỉ 1ử b) lim ỗ + ữ = e, x ẻ R x đƠ ố xứ Heọ quaỷ: lim (1 + x) x = e x®0 lim ex - =1 x® x Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp hệ quả: (c)’ = (c số) (x a )' = ax a-1 (ua )' = aua-1u ' ỉ1ư ç ÷' = - èxø x ( x )' = x x (e )' = ex u' ổ1ử ỗ ữ' = - u ốuứ ( u ) ' = u' u u (e )' = u'.e u (ax )' = a x ln a (a u )' = a u ln a u ' u' (ln x )' = (ln u )' = x u u' (loga x ') = (loga u )' = x.ln a u.ln a (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu u' (tgx)' = = + tg x (tgu)' = = (1 + tg u).u' 2 cos x cos u -1 - u' (cot gx)' = = -(1 + cot g x) (cot gu)' = = - (1 + cot g u).u' 2 sin x sin u Vi phaân: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a ; b) có đạo hàm x Ỵ (a; b) Cho số gia Dx x cho x + Dx Ỵ (a; b) Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) vi phân hàm số y = f(x) x, ký hiệu dy (hoặc df(x)) dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng định nghóa vào hàm số y = x, dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Trang Tích phân Trần Só Tùng NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN §Bài 1: NGUYÊN HÀM Định nghóa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x) Nếu thay cho khoảng (a ; b) đoạn [a ; b] phải có thêm: F '(a+ ) = f(x) F '(b - ) = f(b) Định lý: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) : a/ Với số C, F(x) + C nguyên hàm hàm số f(x) khoảng b/ Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) viết dạng: F(x) + C với C số Người ta ký hiệu họ tất nguyên hàm hàm số f(x) ị f(x)dx Do viết: ị f(x)dx = F(x) + C Bổ đề: Nếu F¢(x) = khoảng (a ; b) F(x) không đổi khoảng Các tính chất nguyên hàm: · · · · ( ò f(x)dx ) ' = f(x) ò af(x)dx = aò f(x)dx (a ¹ 0) ị [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx ò f(t)dt = F(t) + C Þ ị f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C (u = u(x)) Sự tồn nguyên hàm: · Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn [a ; b] có nguyên hàm đoạn Trang Trần Só Tùng Tích phân BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp thường gặp (dưới u = u(x)) ò dx = x + C ò du = u + C x a+1 ò x dx = a + + C (a ¹ -1) ua+1 ị u du = a + + C dx = ln x + C x (x ¹ 0) ị a ị ò e dx = e x x ò a dx = x du = ln u + C u ò e du = e u +C ax +C ln a (a ¹ -1) a u ị a du = (0 < a ¹ 1) u (u = u(x) ¹ 0) +C au +C ln a (0 < a ¹ 1) ò cos xdx = sin x + C ò cos udu = sin u + C ò sin xdx = - cos x + C ò sin udu = - cos u + C dx ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C du ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C dx ò sin x = ò (1 + cot g x)dx = - cot gx + C dx = x +C x ò2 du ò sin du = u +C u ò2 (x > 0) ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ¹ 0) sin(ax + b)dx = cos(ax + b) + C ò a (a ¹ 0) dx ò ax + b = a ln ax + b + C òe ò ax + b u = ò (1 + cot g u)du = - cot gu + C dx = eax + b + C a (a ¹ 0) dx = ax + b + C ax + b a (a ¹ 0) Trang (u > 0) Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b) Xác định F’(a+) Xác định F’(b–) ìF '(x) = f(x), "x Ỵ (a ; b) ï + Bước 2: Chứng tỏ íF '(a + ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) ỵ Ví dụ 1: CMR hàm số: F(x) = ln(x + x + a) với a > nguyên hàm hàm số f(x) = x2 + a R Giải: Ta có: F '(x) = [ln(x + x + a)]' = (x + x + a)' x + x2 + a 2x 1+ x2 + a x + x2 + a = = x2 + a + x x + a(x + x + a) = Vậy F(x) với a > nguyên hàm hàm số f(x) R ìïex Ví dụ 2: CMR hàm số: F(x) = í ïỵ x + x + x ³ x < ìex x ³ Là nguyên hàm hàm số f(x) = í treân R 2x + x < ỵ Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: a/ Với x ¹ , ta có: ìe x x > F '(x) = í ỵ2x + x < b/ Với x = 0, ta có: Trang x2 + a = f(x) Trần Só Tùng · Tích phân Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = F '(0 - ) = limx®0 · F(x) - F(0) x + x + - e0 = lim= x ®0 x-0 x Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = F '(0 + ) = lim+ x®0 F(x) - F(0) ex - e0 = lim+ = x®0 x-0 x Nhận xét F '(0 - ) = F '(0 + ) = Þ F '(0) = ìe x x ³ Tóm lại: F '(x) = í = f(x) ỵ2x + x < Vậy F(x) nguyên hàm hàm số f(x) R Bài toán 2: Xác định giá trị tham số để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Dùng đồng hàm đa thức Þ giá trị tham số Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b) Xác định F’(a+) Xác định F’(b–) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: ìF '(x) = f(x), "x Ỵ (a ; b) ï + Þ giá trị tham số íF '(a ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) ỵ Bài toán 3: Tìm số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG · Dùng công thức học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề cho để tìm số C Thay giá trị C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm Trang Tích phân Trần Só Tùng ìx2 x £ Ví dụ 3: Xác định a , b để hàm số: F(x) = í ỵax + b x > ì2x nguyên hàm hàm số: f(x) = í ỵ2 x £ x > R Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: ì2x x < a/ Với x ¹ , ta có: F '(x) = í ỵ2 x > b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục x = 1, : lim- F(x) = lim+ F(x) = f(1) Û a + b = Û b = - a (1) x ®1 x ®1 · Đạo hàm bên trái hàm số y = F(x) điểm x = F'(1) = lim x ®1 f(x) - F(1) x2 - = lim= x ®1 x - x -1 · Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) ñieåm x0 = F '(1+ ) = lim+ x ®1 F(x) - F(1) ax + b - ax + - a - = lim+ = lim+ = a x ®1 x ®1 x -1 x -1 x -1 Hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = (2) Thay (2) vào (1), ta b = –1 Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = 1, a = 2, b = –1 Khi đó: F’(1) = = f(1) Tóm lại với a = 2, b = F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Ví dụ 4: Xác định a , b , c để hàm số: F(x) = (ax + bx + c)e -2x laø nguyên hàm F(x) = - (2x - 8x + 7)e-2 x R Giải: Ta có: F '(x) = (2ax + b)e-2 x - 2(ax + bx + c)e -2x = éë-2ax + 2(a - b)x + b - 2cùûe-2x Do F(x) nguyên hàm f(x) R Û F '(x) = f(x), "x Ỵ R Û - 2ax + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x + 8x - 7, "x Ỵ R ìa = ìa = ï ï Û ía - b = Û í b = -3 ï b - 2c = -7 ïc = ỵ ỵ Vậy F(x) = (x - 3x + 2)e-2x Trang Traàn Só Tùng Tích phân BÀI TẬP ỉ x pư Bài Tính đạo hàm hàm số F(x) = ln tg ỗ + ữ ố2 4ứ Tửứ ủoự suy nguyên hàm hàm số f(x) = cos x ì ln(x + 1) ,x¹0 ï Bài Chứng tỏ hàm số F(x) = í x ï0 ,x = ỵ ì ln(x + 1) ,x¹0 ï nguyên hàm hàm số f(x) = í x + x2 ï1 ,x=0 ỵ Bài Xác định a, b, c cho hàm soá F(x) = (ax + bx + c).e- x nguyên hàm hàm số f(x) = (2x - 5x + 2)e- x R ĐS: a = –2 ; b = ; c = –1 Bài a/ b/ Tính nguyên hàm F(x) f(x) = Tìm nguyên hàm F(x) f(x) = sin ÑS: a/ F(x) = Baøi a/ x + 3x + 3x - vaø F(0) = (x + 1)2 x2 +x+ ; x +1 x ổ pử p vaứ F ỗ ữ = è2ø b/ F(x) = (x - sin x + 1) Xác định số a, b, c cho hàm số: F(x) = (ax + bx + c) 2x - nguyên hàm hàm số: f(x) = b/ 20x - 30x + ổ3 treõn khoaỷng ỗ ; + ¥ ÷ è2 ø 2x - Tìm nguyên hàm G(x) f(x) với G(2) = ĐS: a/ a = 4; b = -2; c = 1; b/ G(x) = (4x - 2x + 10) 2x - - 22 Trang Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN ị f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C với a ¹ Ví dụ 1: CMR , ị f(x)dx = F(x) + C Giải: Ta có: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) với a ¹ a Áp dụng tính chất 4, ta được: 1 ị f(ax + b)dx = a ị (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (đpcm) Ghi chú: Công thức áp dụng cho hàm số hợp: ị f(t)dt = F(t) + C Þ ị f(u)du = F(u) + C, với u = u(x) Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau: a/ ị (2x + 3) dx b/ ò cos4 x.sin xdx c/ ò 2e x dx ex + d/ ò (2 ln x + 1)2 dx x Giaûi: 1 (2x + 3)4 (2x + 3)4 +C= + C a/ Ta có: ị (2x + 3) dx = ò (2x + 3) d(2x + 3) = 2 b/ Ta có: ị cos4 x.sin xdx = - ị cos xd(cos x) = c/ Ta coù: cos5 x +C 2ex d(ex + 1) x dx = ò ex + ò ex + = ln(e + 1) + C (2 ln x + 1)2 1 d/ Ta có: ị dx = ị (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C x 2 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định sau: a/ ị 2sin x dx b/ ò cot g2 xdx c/ ị tgxdx Giải: a/ Ta có: ị 2sin x dx = ò (1 - cos x)dx = x - sin x + C ỉ b/ Ta coự: ũ cot g xdx = ũ ỗ - ÷ dx = - cot gx - x + C è sin x ø c/ Ta coù: ò tgxdx = ò sin x d(cos x) dx = - ò = - ln cos x + C cos x cos x Trang d/ ò tgx dx cos3 x Trần Só Tùng d/ Ta có: Tích phân tgx ò cos x dx = ò sin x d(cos x) 1 dx = - ò = - cos -3 x + C = + C 4 cos x cos x 3cos3 x Ví dụ 4: Tính tích phân bất định sau: a/ x ị + x dx b/ òx dx - 3x + Giải: a/ Ta có: x d(1 + x ) dx = = ln(1 + x ) + C ò + x2 ò 1+ x b/ Ta coù: òx 1 ỉ dx = ị dx = ũ ỗ ữdx - 3x + (x - 1)(x - 2) è x - x -1 ø = ln x - - ln x - + C = ln x-2 + C x -1 BAØI TẬP Bài Tìm nguyên hàm hàm số: x a/ f(x) = cos2 ; b/ ÑS: a/ (x + sin x) + C ; f(x) sin x - cos x + cos3 x + C b/ Bài Tính tích phân bất định : a/ ị e (2 - e d/ e2-5x + ò ex dx; x -x )dx; b/ e/ ÑS: a/ 2e - x + C; x d/ ex ò 2x dx ; c/ 2x.3x.5x ò 10x dx ex ò ex + 2dx ex + C; (1 - ln 2)2 x b/ - e2-6 x - e- x + C; e/ c/ 6x +C ln ln(ex + 2) + C Baøi Tính tích phân bất định : a/ ị d/ ò (1 - 2x) x + x -4 + dx ; 2001 dx; e/ x3 ÑS: a/ - + C; x d/ ò b/ ò x x dx ; c/ òx x + dx ; - ln x dx x 55 x + C; b/ (1 - 2x)2002 - + C; 2002 Trang e/ c/ (x + 1) x + + C ; (3 + ln x) + ln x + C Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng biểu thức mà nguyên hàm biểu thức nhận từ bảng nguyên hàm phép biến đổi đơn giản biết Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt phép phân tích rút ý tưởng cho riêng từ vài minh hoạ sau: · Với f(x) = (x - 2)2 viết lại f(x) = x - 4x + · Với f(x) = x - 4x + viết laïi f(x) = x - + x -1 x -1 · Với f(x) = 1 viết lại f(x) = x - 5x + x -3 x -2 · Với f(x) = · Với f(x) = (2 x - 3x )2 viết lại f(x) = x - 2.6 x + x · Với f(x) = cos3 x.sin x viết lại f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x 1 viết lại f(x) = ( - 2x - 2x + 1) 2x + + - 2x = cos3x.sin x + cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + sin 2x · tg x = (1 + tg x) - · cot g x = (1 + cot g x) - · x n (1 + x ) + 1 = xn + 1+ x + x2 Đó vài minh hoạ mang tính điển hình Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: I = ị x(1 - x)2002 dx Giải: Sử dụng đồng thức : x = – (1 – x) ta được: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 Khi đó: I = ị (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x) =- (1 - x)2003 (1 - x)2004 + + C 2003 2004 Toång quát: Tính tích phân bất định: I = ị x(ax + b)a dx, với a ¹ 1 Sử dụng đồng thức: x = ax = [(ax + b) - b] a a Trang 10 ... x) + ln x + C Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng... tgt.cos t = + x2 ỵ Phương pháp áp dụng để giải toán tổng quát: I= ị dx (a + x )2 k +1 , với k Ỵ Z Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tích tích phân I = ị f(x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta... f[j(t)].j '(t)dt Từ ta trình bày hai toán phương pháp đổi biến sau: Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tích tích phân bất định I = ị f(x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước: + Bước