Luận án tiến sĩ về môđun cohen macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không cohen macaulay trên vành noether

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LƯU PHƯƠNG THẢO VỀ MƠĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN-MACAULAY TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LƯU PHƯƠNG THẢO VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN-MACAULAY TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS Lê Thị Thanh Nhàn TS Trần Nguyên An THÁI NGUYÊN - NĂM 2019 Tóm tắt Cho (R, m) vành giao hốn Noether địa phương, M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay M , ký hiệu nCM(M ), tập iđêan nguyên tố p R cho Mp không Cohen-Macaulay Khi R thương vành Gorenstein địa phương, M có mơđun tắc KM Ta nói M Cohen-Macaulay tắc (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng tắc) mơđun tắc KM M Cohen-Macaulay (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng) Luận án nghiên cứu môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc số quỹ tích khơng Cohen-Macaulay: quỹ tích khơng CohenMacaulay nCM(M ), quỹ tích khơng Cohen-Macaulay nCM(KM ), quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s M, ký hiệu nCM>s (M ) Trong luận án, đặc trưng cấu trúc môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Chúng tơi làm rõ mối quan hệ quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc KM quỹ tích khơng CohenMacaulay M Chúng tơi nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội môđun đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng, từ đưa cơng thức tính chiều quỹ tích khơng CohenMacaulay theo chiều > s Luận án chia thành chương Chương nhắc lại số kiến thức sở môđun Cohen-Macaulay, mơđun Cohen-Macaulay suy rộng, mơđun Artin, mơđun tắc môđun khuyết Trong Chương 2, giới thiệu khái niệm hệ tham số tắc, mối quan hệ hệ tham số tắc hệ tham số chuẩn tắc Chúng thiết lập đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc thơng qua hệ tham số tắc cải tiến kết trước cấu trúc môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Trong Chương 3, chúng tơi đưa mối liên hệ chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun M chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc KM Đặc biệt hơn, chúng tơi rằng, ngồi mối quan hệ bao hàm nCM(KM ) ⊆ nCM(M ) hai quỹ tích độc lập với Trong Chương 4, làm rõ thay đổi tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội môđun đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng ϕ : Rp → RP , P ∈ Spec(R) p = P ∩ R Sử dụng kết này, chúng tơi đưa cơng thức tính chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả Lưu Phương Thảo Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới giáo kính u tơi GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cơ tận tình bảo, hướng dẫn từ ngày tập làm nghiên cứu khoa học Với tất niềm đam mê nghiên cứu khoa học tâm huyết người thầy, cô truyền thụ cho không tri thức tốn học mà cịn phương pháp nghiên cứu, cách phát giải vấn đề Cô gương sáng cho lớp học trị chúng tơi phấn đấu noi theo nỗ lực vượt qua khó khăn để đạt tới thành công Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn thứ hai - TS Trần Nguyên An Thầy ln quan tâm, động viên, khích lệ hỗ trợ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu Tôi xin trân trọng cảm ơn GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy người giảng dạy cho kiến thức Đại số giao hoán từ ngày tơi cịn học viên cao học Cho tới nay, học nghiên cứu sinh, thầy quan tâm, giúp đỡ động viên suốt q trình học tập Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên cho hội học tập nghiên cứu Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy giáo đồng nghiệp Tổ Hình học - Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm quan tâm động viên giúp đỡ nhiều mặt thời gian làm nghiên cứu sinh Tôi xin cảm ơn chị Nguyễn Thị Kiều Nga, em Trần Đỗ Minh Châu anh chị em nhóm seminar Đại số Đại học Thái Nguyên đồng hành tơi, động viên, khích lệ, chia sẻ với tơi học tập sống Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình mình, đặc biệt Bố mẹ, Chồng hai Con trai yêu quý, động viên, chia sẻ khó khăn ln mong mỏi tơi thành cơng Đó nguồn động viên lớn, giúp tơi vượt qua khó khăn để tơi hoàn thành luận án Tác giả Lưu Phương Thảo Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 18 1.1 Môđun Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay suy rộng 18 1.2 Môđun Artin 21 1.3 Mơđun tắc mơđun khuyết 25 Chương Môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc 28 2.1 Hệ tham số tắc 29 2.2 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc 35 Chương Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc 46 3.1 Một số tính chất qua chuyển phẳng 47 3.2 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc 51 Chương Đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s 58 4.1 Iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương qua chuyển phẳng 59 4.2 Chiều bội qua chuyển phẳng 64 4.3 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng 70 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 79 Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa phương với m iđêan cực đại nhất, M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d Ta ln có mối liên hệ hai bất biến độ sâu chiều M cho công thức depth M ≤ dim M Nếu depth M = dim M M gọi mơđun Cohen-Macaulay Khi R R-mơđun Cohen-Macaulay, ta nói R vành Cohen-Macaulay Lớp mơđun Cohen-Macaulay mở rộng chúng thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Cấu trúc lớp môđun đặc trưng qua hầu hết lý thuyết quen biết Đại số giao hoán (số bội, đối đồng điều địa phương, địa phương hóa, đầy đủ hóa, ) Các mơđun xuất nhiều lĩnh vực khác Toán học Đại số đồng điều, Lý thuyết bất biến, Tổ hợp Hình học đại số Luận án liên quan đến hai hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay sau Mở rộng thứ dựa theo hiệu số I(x; M ) độ dài (M/xM ) số bội e(x; M ) với x hệ tham số M Chú ý M Cohen-Macaulay I(x; M ) = với (hoặc với mọi) hệ tham số x Từ đó, giả thuyết đặt D A Buchsbaum [11] năm 1965 sau: I(x; M ) := (M/xM ) − e(x; M ) số không phụ thuộc vào hệ tham số x M Câu trả lời phủ định cho giả thuyết W Vogel v J Stu ăckrad [51] a nm 1973, v họ nghiên cứu lớp vành môđun thỏa mãn điều kiện giả thuyết, gọi vành môđun Buchsbaum [42] Năm 1978, N T Cường, P Schenzel N V Trung [48] giới thiệu mở rộng lớp mơđun Buchsbaum, lớp mơđun M thỏa mãn điều kiện sup I(x; M ) < ∞, cận lấy theo hệ tham số x M , họ gọi chúng môđun Cohen-Macaulay suy rộng Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum môđun Cohen-Macaulay suy rộng trở nên quen biết Đại số giao hoán Tiếp tục mở rộng theo hướng này, ta lớp môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s, với s ≥ −1 số nguyên (xem [45]) Chú ý M Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay theo chiều > −1 Khi R thương vành Cohen-Macaulay, M Cohen-Macaulay suy rộng M Cohen-Macaulay theo chiều > Hướng mở rộng thứ hai lớp môđun Cohen-Macaulay dựa vào cấu trúc mơđun tắc, trường hợp R ảnh đồng cấu vành Gorenstein địa phương (R , m ) chiều n Với số nguyên n −i i i := ExtR R-môđun hữu hạn sinh i ≥ 0, đặt KM (M, R ) Khi KM gọi môđun khuyết thứ i M Đặc biệt, với i = d ta ký d gọi môđun tắc M Khi KM Cohenhiệu KM := KM Macaulay, ta nói M Cohen-Macaulay tắc Chú ý M mơđun Cohen-Macaulay KM mơđun Cohen-Macaulay Vì thế, lớp mơđun Cohen-Macaulay tắc mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay Khái niệm vành mơđun Cohen-Macaulay tắc xuất phát từ toán sau: Giả sử (R, m) miền nguyên, địa phương Ký hiệu Q(R) trường thương R Câu hỏi tự nhiên đặt tồn hay không vành trung gian R ⊆ B ⊆ Q(R) cho B R-môđun hữu hạn sinh B vành Cohen-Macaulay? Vành B (nếu tồn tại) gọi Macaulay hóa song hữu tỷ R Đây toán quan trọng Đại số giao hoán Năm 2004, P Schenzel [38] chứng minh miền nguyên Noether địa phương R có Macaulay hóa song hữu tỷ R vành Cohen-Macaulay tắc Năm 2006, L T Nhàn [33] đưa đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay tắc thơng qua tính triệt tiêu độ dài thặng dư môđun đối đồng điều địa phương ứng với hệ tham số f -dãy chặt giới thiệu [15] Tiếp theo, ... ứng Cohen- Macaulay suy rộng tắc) mơđun tắc KM M Cohen- Macaulay (tương ứng Cohen- Macaulay suy rộng) Luận án nghiên cứu mơđun Cohen- Macaulay suy rộng tắc số quỹ tích khơng Cohen- Macaulay: quỹ tích. .. lớp mơđun Cohen- Macaulay suy rộng tắc số quỹ tích khơng Cohen- Macaulay vành Noether địa phương Mục đích thứ luận án đặc trưng cấu trúc lớp mơđun Cohen- Macaulay suy rộng tắc R thương vành Gorenstein... VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LƯU PHƯƠNG THẢO VỀ MƠĐUN COHEN- MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN- MACAULAY TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số