DE THI HSG CASIO 9

Bài 5: a) Cho biết tại một thời điểm gốc nào đó, dân số của một quốc gia B là a người. Tỉ lệ tang dân số trung bình mỗi năm của quốc gia đó là m %. Phương pháp lặp dùng để tìm số hạng [r]

(1)

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY 2

Chủ đề - Buổi TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 7

Chủ đề DẠNG TOÁN LIÊN PHÂN SỐ 13

Chủ đề - Buổi DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC 16

Chủ đề - Buổi DẠNG TỐN TÌM ƯỚC VÀ BỘI 25

Chủ đề - Buổi DẠNG TỐN TÌM ƯỚC VÀ BỘI 28

Chủ đề - Buổi DẠNG TỐN PHƯƠNG TRÌNH 30

Chủ đề - Buổi Dạng tốn tìm chữ số thập phân thứ n sau dấu phẩy số thập phân vơ hạn tuần hồn 32

Chủ đề - Buổi DẠNG TOÁN DÃY TRUY HỒI 33

Chủ đề - Buổi DẠNG TOÁN NGÂN HÀNG VÀ DÂN SỐ 37

Chủ đề - Buổi MỘT VÀI THUẬT TOÁN CƠ BẢN 38

PHỤ LỤC 48

Chương 1: 48

GIẢI NHANH CÁC DẠNG BÀI TỐN LỚP BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX 48

Chương 2: 51

GIẢI NHANH CÁC DẠNG BÀI TOÁN LỚP BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX 51

Chương 3: 53

GIẢI NHANH CÁC DẠNG BÀI TOÁN LỚP BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX 53

Chương 4: 57

(2)

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY

1.1 Phím Chung:

Phím Chức Năng

ON Mở máy

SHIFT OFF Tắt máy

  Cho phép di chuyển trỏ đến vị trí liệu phép tốn cần sửa 1 Nhập số

Nhập dấu ngăn cách phần nguyên với phần thập phân số thậpphân. + - x  Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia.

AC Xố hết

DEL Xố kí tự vừa nhập.

  Dấu trừ số âm.

CLR Xố hình.

1.2 Phím Nhớ:

RCL Gọi số ghi ô nhớ

STO Gán (Ghi) số vào ô nhớ

A B C D

E F X Y M

Các ô nhớ, ô nhớ nhớ đợc số riêng, Riêng ô nhớ M thêm chức nhớ M+; M- gán cho

M  M  Cộng thêm vào số nhớ M trừ bớt số nhớ M. 1.3 Phím Đặc Biệt:

SHIFT Chuyển sang kênh chữ Vàng.

ALPHA Chuyển sang kênh chữ Đỏ

(3)

( ; ) Mở ; đóng ngoặc.

EXP Nhân với luỹ thừa nguyên 10

 Nhập số 

,,,

 ,,, Nhập đọc độ; phút; giây

DRG Chuyển đơn vị độ , rađian, grad

Rnd Làm tròn giá trị.

nCr Tính tổ hợp chập r n nPr Tính chỉnh hợp chập r n 1.4 Phím Hàm :

sin cos tan Tính TSLG: Sin ; cosin; tang

sin

cos

tan Tính số đo góc biết TSLG:Sin; cosin; tang.

log ln Lôgarit thập phân, Lôgarit tự nhiên.

x

e 10e Hàm mũ số e, số 10

x

x Bình phơng , lập phơng.

3 n Căn bậc hai, bậc ba, bậc n.

x Số nghịch đảo

 Số mũ.

!

x Giai thừa

% Phẩn trăm

Abs Giá trị tuyệt đối

/

ab c ; d c/ Nhập đọc phân số, hỗn số ; Đổi phân số số thập phân, hỗn số. CALC Tính giá trị hàm số.

/

d dx Tính giá trị đạo hàm

Dấu ngăn cách hàm số đối số đối số cận.

dx  Tính tích phân.

ENG Chuyển sang dạng a * 10n với n giảm. ENG  Chuyển sang dạng a * 10n với n tăng.

Pol( Đổi toạ độ đề toạ độ cực

Rec( Đổi toạ độ cực toạ độ đề

Ran # Nhập số ngẫu nhiên

1.5 Phím Thống Kê:

DT Nhập liệu

; Dấu ngăn cách giữ số liệu tần số.

S SUM Gọi x2 ; x ; n

S VAR Gọi x ; n

(4)

x ; n Số trung bình; Độ lệch chuẩn.

x

 Tổng số liệu

2

x

 Tổng bình phơng số liệu.

2 Một số kiến thức cần thiết máy tính điện tử

- Mỗi phím có số chức Muốn lấy chức chữ ghi màu vàng phải ấn phím

SHIFT ấn phím Muốn lấy chức phím ghi chữ màu đỏ phải ấn phím ALPHA trớc ấn phím đó.

- Các phím nhớ: A B C D E F X Y M (chữ màu đỏ)

- Để gán giá trị vào phím nhớ nêu ta ấn nh sau: *) Ví dụ: Gán số vào phím nhớ B : Bấm 5 SHIFT STO B

- Khi gán số phím nhớ đó, số nhớ cũ phím bị số nhớ đợc thay thế.

- Chẳng hạn ấn tiếp: 14 SHIFT STO B số nhớ cũ B bị đẩy ra, số nhớ B

lúc 14.

- Để lấy số nhớ nhớ ta sử dụng phím ALPHA *) Ví dụ: 34 SHIFT STO A (nhớ số 34 vào phím A ) Bấm 24 SHIFT STO C (nhớ số 24 vào phím C )

Bấm tiếp: ALPHA A  ALPHA C  (Máy lấy 34 A cộng với 24 trong C đợc kết là 58).

- Phím lặp lại quy trình đó:

  máy tính Casio fx - 500 - Ô nhớ tạm thời: Ans

*) Ví dụ: Bấm  số đợc gán vào ô nhớ Ans Bấm tiếp: 5  6 Ans  (kết 38)

- Giải thích: Máy lấy nhân với cộng với Ans *) Cơng dụng phím SOLVE

Nếu sử dụng máy fx570MS bạn biết có phím SOLVE đặc tính hẳn so với máy fx500MS, vậy cơng dụng gì?

Đó lệnh để máy tính tìm nghiệm gần phương trình ẩn bât kỳ dựa vào số đầu mà ta nhập vào

Nhập vào phương trình ta dùng phím dấu = màu đỏ khơng cần máy tự hiểu Ví dụ: nhập

hoặc nhập

đều ấn SHIFT SOLVE , máy hỏi giá trị đầu cần nhập bao nhiêu, sau nhập vào giá trị đầu, ta ấn SHIFT SOLVE lần máy tìm nghiệm dựa vào số đầu

Đặc điểm hẳn MS so với ES phím SOLVE:

Máy MS ta sử dụng biến số máy để làm ẩn số (A,B,C,D, ,X,Y,M) máy ES dùng biến X, biến khác xem số cho trước

Lệnh SOLVE thực ưu việt giải phương trình bậc ẩn

Đối với phương trình X+3=0 ta nhẩm nghiệm tức khắc, sử dụng hiệu trong trường hợp phương trình bậc phức tạp

Ví dụ: phuơng trình

(5)

phân tích ra, chuyển vế đổi dấu, đưa X bên, số bên nghiệm, máy tính bạn chỉ việc nhập y chang biểu thức vào sử dụng lệnh SOLVE vài giây máy cho kết Đối với phương trình giải xong máy cho kết

Tuy nhiên phương trình bậc máy MS đổi nghiệm phân số, ấn SHIFT , máy đổi dạng phân số , tiện lợi

Lưu ý: giải số bạn muốn sử dụng kết tiếp phải ấn lại ghi nháp sử dụng số đó, khơng sử dụng trực tiếp kết lưu lại

Ví dụ phương trình sau giải xong, kết tự động gán vào X, bạn ấn tiếp sau ấn tiếp SHIFT SOLVE máy không đổi dạng phân số

Vì sau giải ra, bạn phải gán lại số vừa tìm dạng cách: Ấn -113/129 SHIFT STO X

Sau ấn tiếp X+1= máy cho dạng phân số

Loại giải phương trình áp dụng tốt cho tính tốn mơn Hóa học, ví dụ bạn có nhiều phương trình Hóa học, phương trình cho chất khí đó, tổng số mol chất khí tính theo ẩn số, đề lại cho số mol chất khí rồi, việc nhập vào phương trình, dùng SOLVE và cho kết nhanh gọn

Những biến dạng phương trình bậc ẩn: Đó dạng phân thức chứa biến

Ví dụ: Giải phương trình

Nếu để nguyên phương trình nhập vào máy máy giải khó lâu, đơi khơng nghiệm (Can't Solve), nhập ngầm chuyển mẫu thức sang vế, nhập sau:

Rồi SOLVE máy giải dễ dàng kết 47/37 Sử dụng SOLVE để giải phương trình bậc cao ẩn bậc cao

Lưu ý phương trình bậc cao giải số phương trình dạng thức MTBT Phương pháp chủ yếu áp dụng cho phương trình bậc phân tích biểu thức bậc Có thể dùng phương pháp Ferrari để giải phương trình bậc phương pháp lâu dùng MTBT

Đối với phương trình bậc đơn giản, tức dùng lệnh SOLVE ta tìm nghiệm dạng số nguyên hay hữu tỉ thật dễ dàng cho bước tiếp theo, cần tách ta phương trình bậc dùng chương trình cài sẵn máy giải tiếp

Đối với phương trình máy tính tìm dạng vơ tỉ ta sử dụng định lý Viet đảo để tìm cách phân tích

Ví dụ: giải phương trình:

Dùng máy tính ta nhập vào phương trình, sau dùng SOLVE để giải, điều quan trọn phương pháp này là ta phải biết đổi số đầu cho phù hợp để tìm nhiều ngiệm tốt

Như phương trình trên, ta ấn CALC nhập số đầu sau để xem biến thiên hàm số sau đó dùng lệnh SOLVE:

giả sử ban đầu nhập 0, kết 10 tiếp theo nhập 1, kết -6

như có nghiệm nằm (0;1) ta chia đôi thử với 0,5, kết 5,75>0 vậy nghiệm nằm (0,5;1)

tiếp tục chia đôi, ta nhập 0,75, kết 0,7421875

(6)

có thể cho máy tự giải

Dùng số đầu ta sử dụng SOLVE để giải kết tìm nghiệm 0,780776406

Nhập số vào A để sử dụng sau tiếp tục tiềm nghiệm khác

Sử dụng cách tương tự ta tiếp tục tiềm nghiệm khác nhập vào biến B,C,D giả sử

Sau ta tính tổng tích đơi thấy:

Như ta có: tương đương

(7)

Chủ đề - Buổi TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Ví dụ 1 Thực phép tính

1 1

1 .

1 9 3,5 1 4 0,25

2 : :

7 100 69

9 10 .0,5. 2 7

1

2 1: 1 2,2.10

5 A       

Đối với toán giáo viên nên cho học sinh phân tích thứ tự thực phép tính sử dụng dấu ngoặc để viết lại phép tính sau

 

1 9 7 1 1 1 1 69

2 : : 3,5: .0,5 100 : 1: 1 . : 7

9 10 2 5 2 4 0,25 1 2,2.10

A            



   

 

 

   

Cho học sinh phân tích thêm số cách làm khác ví dụ tách A thành nhiều biểu thức nhỏ chẳng hạn

1 9 1

2 : :

9 10 2

A  B C

Khi học sinh hiểu thứ tự phép tính biểu thức giáo viên cho em viết quy trình bấm phím, phân tích sai lầm dẫn tới máy tính cho kết sai Ví dụ như:

Nếu ta không dùng dấu ngoặc để viết biểu thức A mà nhập y nguyên biểu thức A vào máy máy hiểu sai mẫu số phân số phức tạp Như phân số 69

1 2,2.10 khơng đặt ngoặc đơn mẫu máy tính hiểu 69 2,2.10

1 

Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau: a) B = 5290627917848 : 565432

Bài 2: Tính (Kết thu viết dạng phân số số thập phân) A = 28 521 581 52 123

3  

Bài 3: Tính làm tròn đến chữ số thập phân:

C = 0,32 36:0,40,030,09(5:,(30,153,:882,)5) 0,67  (2,101,,00325965):(:10,2,0130,045)      

Bài 4: Tính làm trịn đến chữ số thập phân:

D = 

                       : 528 75 , : , 18 : 180 , , 84 13

Bài 5: Tìm x làm tròn đến chữ số thập phân:

0,3 (x 1) 11 : 08 , 140 30 29 29 28 24 23 23 22 22 21                     

Bài 6: Tính:

5 : 17 ) ( 35 : ) 25 10 ( 25 64 , 25 , : ,        

*) Kết quả:

Bài 1: 356 789 Bài 2: A =

91 6166

Bài 3: C = 15 Bài 4: D = -

1393 10

(8)

III Hướng dẫn nhà

- Giải tập sau:

Bài : Tính: M = 182

80808080 91919191 343 49 1 27 2 : 343 49 4 27 1                          

Bài : Tính: N = 515151 434343 611 243 23 3 611 10 243 10 23 10 10 : 113 11 89 11 17 11 11 113 89 17 5 129 187                           *******************************

Chủ đề - Buổi TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Bài 9: Tính: C = 26:

21 : 15 , 25 57 , 28 ( : 84 , ) 81 , 33 06 , 34 ( ) , , ( , ) , , ( :               D =     125 , : 1 ) 8333 , 25 , : 1 36 : , ( , 12 8999 , , : 35       

Bài 10: a) Tìm x biết:

1301 0137 , : 81 , 17 20 62 : 35 2 88 , 1 20 3 , : 65 , 20 003 , : x                                              

b) Tìm y biết:

                     25 , , , 1 2 : 66 11 44 13 y , 14 : 51 , 48 25 , , 15

Bài 11: Tính giá trị x từ phương trình sau:

a) 

                                         , : , , , 4 2 : 15 , , 15 : , 25 , x , b)         ) 15 , , ( : 17 12 : 75 , , , : , 12 4 , x : 35 , 15 ,

0 2

                      

Bài 12: a) Tính C biết 7,5% bằng:

8 : 20 217 110 17 55               

b) Tìm x biết:

14 1 , 0125 , ) 25 , : , ( , , : x :                     

(9)

Bài 9: C = 7

2

; D =

260 89

39 Bài 10: x 6, 000 172 424

y = 25 Bài 11: a) x  -903, 4765135

b) x -1, 39360764

Bài 12: a) C = 200 b) x = - 20,384 IV Hướng dẫn nhà

Bài 13: Tính giá trị biểu thức viết kết dạng phân số::

A = 

                   

 3,7

5 2 , : : 2 1

B = 

       121 : 11 : 12 C = 99 194 11 60 25 , 75 , 10 11 12 15 24 10                          

d) D = 0,3(4) + 1,(62) : 14

11 90 : ) ( , 11  

Chủ đề - Buổi TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Ví dụ Tính X  5 13 5 13 dấu chấm có nghĩa lặp lặp lại cách viết căn thức có chứa 13 cách vơ hạn

Đối với tốn này, dùng kiến thức toán học để biến đổi tìm đáp số nhưng nhiều thời gian Ta cần phân tích cho học sinh thấy tốn có quy luật sau:

Ta phải tính từ ngồi Giả sử dấu thứ n ta kết a1 dấu thứ n+1

sẽ có kết 5a1 =a2 13a1 =a2 Dấu 13a2 =a3 5a2 =a3.

Vậy ta thấy kết sau thức 13 cộng với kết trước, mà kết trước lại tự động lưu vào

Do ta cần dùng phương pháp lặp tính

Tính 5 13 lặp dãy 13 Ans : Ans     Bấm dấu liên tục (vì có vơ hạn thức) ta có kết sau

Nếu 13 Ans ta kết 4.Nếu 5 Ans ta được k t qu l Vì ế ả à bi u th c X ây b t ể ứ ở đ ắ đầ àu l nên ta l y k t qu l X=3ấ ế ả à

Bài 14: Tính giá trị biểu thức sau:

  : 1 25 33 : 3 : ) ( , ) ( ,               

Bài 15: Tính: A = : ) , , ( 17 2 : 25 08 , 25 64 , 25 , : ,                          

Tìm 2,5% của:

04 , 2 : 18 83 30 85       

Tìm 5% :

5 , : ) 25 , 21 ( 16 5 14 3         

Bài 16: Tính:

(10)

A = 1989 1988 1985 1983 1987 ) 3972 1986 ( ) 1992 1986

( 2

       

B = (6492 + 13  180)2 – 13 (2649180)

Bài 17: Tính:

A =  

 

 0,66 :1,98 3,53 2,75 :0,52 75 , 25 , 505 , , : 619 , 64 2 2     

Bài 18: Tính a) x =

4 1,345 3,143 189,3 

b) y =

7 621 , 732 , 815 , 

c) z = 5 17

7 35 , 712 13 , 816   Bài 19:

a) Tính: T = 4 2

51 , 23 , ) 14 , 75 , ( 213 ,   

b) Tìm x biết:

2 4 (0,713) 162 , x   

*) Kết quả:

Bài 14 :

-225 79

Bài 15:a)

3 b) 24 11

c)

448

51 Bài 16: a) 1987

b) 179383941361 Bài 17: 575 , 12 40 23 12 

Bài 18 : a) x = 0,7639092108 b) y = 70,09716521

c) z = 96,26084259

Bài 19:

a) T = 0,029185103 b) x = 0,192376083 IV Hướng dẫn nhà

Bài 20: Tính:

A = 9 4 5 9 4 5

2 12 17 2 12 17 2         

Bài 21: Tính

a) B = 3 5 4  2 203 25

b) C = 3

3

3 6 2

2 18 54 126 200      

c) D = 23 34 4 8 89 9

d) E = 2 34 4 56 6 78 8 9

Bài 22: Tính gần đến chữ số thập phân:

a) A = 1- 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

       

b) B = 98 87 76 65 54 43 3 2

c) C = -

7 4     

*) Kết quả:

Bài 20: A = 5 Bài 21: a) B = b) C = c) D = 1,911639216

d) E = 0,615121481

Bài 22: a) A = - 0,313231759 b) B = 1,319968633 c) C = 4,547219337 *******************************

(11)

Bài 23: Tính:

sin20.sin180.sin220.sin380.sin420.sin580.sin620.sin780.sin820

tag50 + tag100 + tag150 + … + tag800 + tag850

Hướng dẫn:

Nhập tồn phép tính Lập quy trình truy hồi

X = X + : A = A + Tag (5 + X) Nhấn CALC

Nhập X = 0, A = Tag 50

Bấm liên tục đến X + = 800, ta kết 34, 55620184

Bài 24: Cho sin x = 0,356 (0 < x < 900 )

Tính A = (5cos3x – 2sin3x + cos x) : (2cos x – sin3x + sin2x)

Hướng dẫn:

Tìm x sau tính giá trị biểu thức với x tìm được, có hai cách tìm x +) Dùng SHIFT, CALC

+) Dùng SHIFT, SIN

Bài 25: Cho cos2x = 0,26 (0 < x < 900)

Tính B =

x g cot x tg x tg x sin x sin 2 2    Hướng dẫn:

cos2x = 0,26 => cosx =

0,26 (vì < x < 900 ) Từ tìm x giải tương tự tập 24

Bài 26: Cho biết sin x = 0,482 (0 < x < 900)

Tính C =

x tg ) x sin x (cos x tg ) x cos ( x sin 3 3   

- Giải tương tự tập 24

Bài 27: Cho biết sin2x = 0,5842 (0 < x <900)

Tính D =

x cos ) x g cot )( x tg ( ) x sin ( x cos ) x cos ( x sin 2 3      

- Giải tương tự tập 25

Bài 28: Cho biết tgx = tg330 tg340 tg350 … tg550 tg560 (0 < x < 900)

Tính E =

x cos x sin ) x cos x sin ( ) x sin ( x g cot ) x cos ( x tg 3 3       Hướng dẫn:

Lập quy trình truy hồi

X = X + : A = A tg (33 + X) Nhấn CALC

Nhập X = A = tg 330

Bấm liên tục “=” đến X + = 23 ta tgx = 0,6494075932 Nhập tiếp SHIFT, tg(ans), = ta giá trị x = 330

Từ ta nhập biểu thức tính kết 1,657680306 Bài 29: Cho cos x.sin (900 – x) = 0,4585 (0 < x < 900)

Tính F =

x g cot x tg x sin x sin x sin x sin 2     Hướng dẫn:

Thay sin (900 - x) = cosx => cos2x =0,4585 => cosx = 0,4585

Từ tìm x tính giá trị biểu thức

Bài 30 : Nêu phương pháp(kết hợp tính máy giấy) tính xác số: 10384713

= ?

Hướng dẫn:

(12)

 3

3

3 3

1038471 1038.10 471

1038 10 3.1038 10 471 3.1038.10 471 471

1118386872000000000 1522428372000000 690812874000 104487111

 

   

Cộng giấy sau:

1 1 8 0 0 0 0

1 2 0 0 0

+ 8 0

1 4 1

KQ: 1 1 1 9 9 0 9 9 9 1 2 8 9 3 6 1 1 1 1

Bài 31: Tìm kết xác phép tính sau:

A = 12578963  14375 = ? B = 1234567892 = ? C = 10234563 = ?

Hướng dẫn :

- Thực tương tự tập 30

A = 12578963 x 14375 = (12570000 + 8963) 14375 B = 1234567892 = (12345000 + 6789)2

C = 10234563 = (1023000 + 456)3

*) Kết quả:

Bài 23: a) 0,01727263568; b) 34,55620184 Bài 24: 2,524628397

Bài 25: B = 3,78122123 Bài 26: 3,750733882

Bài 27: D = 0,410279666 Bài 28: E = 1,657680306

Bài 29: F = 1,382777377 Bài 30: 1119909991289361111

Bài 31: A = 180822593125; B = 15241578750190521; C =1072031456922402816 IV Hướng dẫn nhà

- Xem lại bài

*******************************

Chủ đề DẠNG TOÁN LIÊN PHÂN SỐ

VD: Tính giá trị biểu thức:

3 1

1

    

Cách ấn phím ý nghĩa lần ấn sau:  Nhớ vào phím Ans

1  abc Ans Máy thực phép tính

s 1

An

 được kq

1 nhớ vào Ans

 Máy thực phép tính

s 1

An

 được kq

1 nhớ vào Ans

s 1

An

 được kq

1 nhớ vào Ans  Máy thực phép tính

s 1

An

 được kq 11

7

1 nhớ vào Ans

s 1

An

 được kq 18 11

(13)

Kết cuối 18 11

Bài 1: Tính:

a) 1 1 1 1 1 1 1        b) 3 3 3      

c) d)

1         2 2 2 2        

*) Hướng dẫn:

Cách 1: Nhập toàn liên phân số gán phần liên phân số liên phân số q dài mà máy tính khơng nhập hết

Cách 2: Sử dụng nút nghịch đảo số

x tính từ lên

Cách 3: sử dụng nút ANS

- Các tập khác hồn tồn tương tự Bài 2: Tính:

5        

Bài 3: Lập quy trình bấm phím tính giá trị liên phân số sau:

M = 292 1 15    

- GV hướng dẫn chi tiết HS cách trình bày làm

Bài 4: Tính giá trị biểu thức viết dạng phân số:

a) A =

5 20   

b) B =

8   

c) C =

(14)

Bài 5: Tìm số tự nhiên a b biết: b a 1051 329    

*) Hướng dẫn: Sử dụng nút nghịch đảo số

x

Bài 6: Tính giá trị biểu thức viết kết dạng phân số:

a) A =

3 5     

b) B =

4 3    

Bài 7: Tính lập quy trình bấm phím liên phân số sau:

M = 1 2 1 1 1 1       

- GV hướng dẫn chi tiết HS cách trình bày làm *) Kết toán liên phân số

1a) 21 13 = 21 34 1b) 665 2241 665 246

 1c)

516901 223884

1d)

985 408

2)

39300 4753

3) 3087

21802 4a) A = 8157 104

4b) B =

1807 700

4c) C = 760

137 36

5a) a = ; b = 6a) A =

382 233

4 6b) B =

142 43

7) M =

67 49

IV Hướng dẫn nhà

Bài 8: Tính tổng sau cho kết dạng phân số:

M = 2       

b) N =

2       

Bài 9: Thời gian mà đất quay vòng quanh mặt trời viêt dạng:

20 365     

(15)

365 +

4

thí năm lại có năm nhuận, cịn xác hơn, dùng liên phân số

29 365

1

365 

 

29 năm có năm nhuận Hãy tính giá trị (dưới dạng phân số) liên phân số sau:

a)

3

1

1 365

  

; b) 365 +

5

1

  

; c)

20

1

1 365

    

2) Kết luận (ngày xác số năm nhuận dựa theo phân số nhận được) so sánh với cách tính năm lại có năm nhuận

*******************************

Chủ đề - Buổi DẠNG TỐN VỀ ĐA THỨC

I Lí thuyết

- Định lí: Cho hai đa thức biến f(x) g(x) 0 Bao ta tìm hai đa thức q(x)

r(x) cho:

f(x) = g(x).q(x) + r(x)

- Trong bậc đa thức r(x) nhỏ bậc đa thức g(x) + f(x) : Đa thức bị chia

+ g(x) : Đa thức bị chia

+ q(x) : Đa thức thương, gọi tắt thương + r(x) : Đa thức dư, gọi tắt dư

- Nếu r(x) = 0, ta có phép chia hết - Nếu r(x) 0, ta có phép chia có dư

- Định lí Bê – du: Khi chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a dư phép chia f(a)

- Hệ định lí Bê – du: Nếu x = a nghiệm đa thức f(x) đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a

- Định lí nghiệm nguyên đa thức:

Cho đa thức f(x) = a xn n an 1 xn 1  a x1 a0

Nếu f(x) có nghiệm ngun nghiệm phải ước số hạng độc lập a0

(hạng tử tự do) - Đặc biệt :

+) Nếu tổng hệ số đa thức có nghiệm

+) Nếu hiệu tổng hệ số hạng tử bậc chẵn với tổng hệ số hạng tử bậc lẻ đa thức có nghiệm –

+) Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng p

q p ước hạng tử tự do, q ước dương hệ số

của hạng tử có bậc cao

Đối với dạng tốn giáo viên hướng dẫn học sinh dùng máy tính để thử Tuy nhiên thử số mà dùng biến chạy lặp

a Tìm thương dư phép chia đa thức f(x) cho (x-a).

Cơ sở: Giả sử f(x) = g(x).(x-a) + r [g(x) thương r số dư] Thế f(a) = g(a).(a-a) + r

Suy f(a) = o + r hay rf a( )

(16)

trị đa thức a

Còn muốn tìm thương ta sử dụng sơ đồ hoocner với quy trình ấn VD2 sau VD1:

Tím số dư phép chia đa thức f(x) = x14-x9-x5+x4+x2+x-723 cho (x-1,624)

Cách làm:

1,624 → X

Nhập biểu thức x14-x9-x5+x4+x2+x-723 (chữ X) ấn 

Kết quả: 85,921

VD2:

Tìm thương dư phép chia đa thức f(x) = x3 -5x2+11x-19 cho (x-2)?.

Mơ hình sơ đồ Hoocner:

Quy trình: → A

1 x A + (-5) = SHIFT abc (Ghi kết -3)

x A + 11 = SHIFT b c

a (Ghi kết 5)

x A +(-19)= SHIFT abc (Ghi kết -9)

Vậy thương 1x2 – 3x + 5, dư -9

b Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử. Cơ sở:

“Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có nghiệm x

1, x2 viết dạng ax2 + bx + c =

a(x-x1)(x-x2)”

“Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ

p

q p ước a0, q ước

a0”

Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có a1=1 nghiệm hữu tỷ ước a0”

Nếu đa thức f(x) có nghiệm a đa thức f(x) chia hết cho (x-a) VD1: Phân tích đa thức f(x) = x2 + x - thành nhân tử?

Dùng chức giải phương trình bậc hai cài sẵn máy để tìm nghiệm f(x) ta thấy có nghiệm x1 = 2; x2 = -3

Khi ta viết được: x2 + x - = 1.(x-2)(x+3)

VD2: Phân tích đa thức f(x) = x3+3x2 -13 x -15 thành nhân tử?

Dùng chức giải phương trình bậc cài sẵn máy để tìm nghiệm f(x) ta thấy có nghiệm x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1

Khi ta viết được: x3+3x2 -13 x -15 = 1.(x-3)(x+5)(x+1).

VD3: Phân tích đa thức f(x) = x3- 5x2 +11 x -10 thành nhân tử?

Dùng chức giải phương trình bậc cài sẵn máy để tìm nghiệm f(x) ta thấy có nghiệm thực x1 =

Nên ta biết đa thức x3- 5x2 +11 x -10 chia hết cho (x-2).

Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x3- 5x2 +11 x -10 cho (x-2) ta có:

Khi tốn trớ tìm thương phép chia đa thức f(x) cho (x-2)

Quy trình:

2 → X

(17)

x X  11  SHIFT b c

a Ghi 5

x X  10  SHIFT abc Ghi 0

Khi ta có f(x) = (x-2)(x2- 3x + 5)

Tam thức bậc hai x2- 3x + vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử nữa.

Vậy x3- 5x2 +11 x -10 = ( x-2)(x2- 3x + 5)

VD4:Phân tích đa thức f(x) = x5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhân tử?

Nhận xét: Nghiệm nguyên đa thức cho Ư(60)

Ta có Ư(60) = {1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60}

Lập quy trình để kiểm tra xem số nghiệm đa thức:

Gán: -1 → X

Nhập vào máy đa thức:X5 + 5X4 – 3X3–X2 +58X -60 rồi ấn dấu  máy báo kq -112

Gán tiếp: -2 → X / # /  / máy báo kq -108

Gán tiếp: -3 →X/ # /  / máy báo kq 0

Do ta biết x = -3 nghiệm đa thức cho, nên f(x) chia hết cho (x+3) Khi tốn trớ tìm thương phép chia đa thức f(x) cho (x-3)

Quy trình:

-3 → X

1 x X   SHIFT abc Ghi 2

x X   SHIFT abc Ghi -9

x X   SHIFT abc Ghi 26

x X  58  SHIFT b

c

a Ghi -20

x X  60  SHIFT abc Ghi 0

Khi ta có f(x) = (x+3)(x4+2x3-9x2+26x-20)

* Ta lại xét đa thức g(x) = x4+2x3-9x2+26x-20

Nghiệm nguyên ước 20

Dùng máy ta tìm Ư(20) = {1;2;4;5;10;20}

Lập quy trình để kiểm tra xem số nghiệm đa thức g(x):

Gán: -1 → X

Nhập vào máy đa thức: x4+2x3-9x2+26x-20 rồi ấn dấu  máy báo kq -96

Gán tiếp: -5 → X / # /  / máy báo kq 0

Do ta biết x = -5 nghiệm đa thức cho, nên f(x) chia hết cho (x+5) Khi tốn trớ tìm thương phép chia đa thức f(x) cho (x+5)

Quy trình:

-5 → X

1 x X   SHIFT abc Ghi -3

x X    SHIFT b

c

a Ghi 6

x X  26  SHIFT abc Ghi -4

x X   20  SHIFT abc Ghi 0

(18)

* Tiếp tục dùng chức giải phương trình bậc để tìm nghiệm nguyên đa thức h(x) = x3

-3x2+6x-4

Kết quả, đa thức h(x) có nghiệm x = nên chia h(x) cho (x-1) ta được:

h(x) = (x-1)(x2-2x+4)

Ta thấy đa thức (x2-2x+4) vô nghiệm nên phân tích thành nhân tử.

Vậy f(x) = (x+3)(x+5)(x-1)(x2-2x+4)

Ví dụ Tìm tất nghiệm ngun dương x y thoả mãn phương trình: 5x + 7y = 112 Ta có 112 7 ( 16)

6

y

x  y Gán 0 A lặp dãy A+1A:(112-7A)6 =…=

Ở ta thấy có quy luật A đóng vai trị y tự động tăng lên đơn vị sau lần lặp Do đó ta việc ấn dấu nhặt kết phép tính (112-7A) 6 số ngun dương, x Công việc dừng lại A = 16 Vì A > 16 x âm.

Phương pháp giáo viên giới thiệu cho học sinh áp dụng để giải số dạng tốn khác Ví dụ tìm a số A= 123 45a để A chia hết cho 9

I Bài tập:

Bài 1: Tính (làm trịn đến chữ số thập phân) Cho C =

5 x

1 x x x x

3 

   

x = 1,8363 Hướng dẫn:

+ Gán 1,8368 X

+ Nhập biểu thức C, di chuyển trỏ vào biểu thức ấn “=” + Nếu tính với giá trị khác ta dùng phím CALC nhanh Bài 2: Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625

Tính P(2 2)

Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3

Hướng dẫn:

P(x) + a2 chia hết cho x + ó P(-3) + a2 = Từ tìm a

Bài 3:

Tính P(x) = 17x5 – 5x4 + 8x3 + 13x2 – 11x – 357 x = 2,18567

Bài 4:

Cho P(x) = x3 – 2,531x2 + 3x – 1,356 Tính P(-1,235) với chữ số thập phân.

Tìm số dư với chữ số thập phân phép chia sau: (3x4 – 2x3 – x2 – x + 7) : (x – 4,532)

Hướng dẫn:

b) Số dư phép chia giá trị đa thức 3x4 – 2x3 – x2 – x + x = 4,532

Bài 5: Tìm phần dư phép chia đa thức:

(2x5 – 1,7x4 + 2,5x3 – 4,8x2 + 9x – 1) : (x – 2,2)

Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

x4 + 2x3– 13x2 – 14x + 24 b) x4 + 2x3 – 25x2 – 26x + 120

20x2 + 11xy – 3y2 d) 8x4 – 7x3 + 17x2 - 14x + 32

x5 – 4x4 + 3x3 + 3x2 – 4x + f) 6x4 – 11x3 – 32x2 + 21x + 36

Hướng dẫn:

- Sử dụng máy tính để tìm nghiệm (dùng SHIFT, CALC dùng CALC tìm nghiệm ước hệ số tự do), dựa vào nghiệm để phân tích

- Có thể sử dụng sơ đồ Hooc – ne để tìm nghiệm Bài 7: Tính A =

5 x x x

1 x x x x

2

  

   

x = 1,8165 *) K t qu :ế ả

Bài 1: 7,1935 Bài 2: - 509,0344879; a = 27,5136329

Bài 3: 498,438088 Bài 4: a) - 10,805 ; b) 1061,318

Bài 5: 85,43712 Bài 6: a) (x – 1)(x + 2)(x – 3)(x + 4)

(19)

Bài 6: d) (x2 + x + 2)(8x2 – 15x + 16) Bài 6: e) (x – 1)2(x + 1)(x2 – 3x + 1)

x 1 2 x 1 x x

2

     

         

   

Bài 7: A = 1,498465582 IV Củng cố

Bài 8:

Tìm số dư phép chia

12 x

7 x 35 x x3



  

Tìm số dư phép chia:

617 , x

321 , x 256 , x3

  

V Hướng dẫn nhà

Bài 9: Tìm số dư phép chia :

318 , x

319 , x 458 , x 857 , x 723 ,

x5



 

Bài 10: Tìm số dư phép chia:

624 , x

723 x x x x x

x14 

     

(20)

Chủ đề - Buổi DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC

Bài 11:

Tìm a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6

Hướng dẫn:

Đặt A(x) = x4 + 7x3 + 2x2 + 13x , tính A(-6) cho A(-6) + a = Từ tìm a

Bài 12: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 5x2 – 13x + a

Với điều kiện a đa thức P(x) chia hết cho 2x +

Với giá trị a tìm câu trên, tìm số dư r chia đa thức P(x) cho 3x – Bài 13: Cho đa thức P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x – 50

Gọi r1 phần dư phép chia P(x) cho x – r2 phần dư phép chia P(x) cho x –

Tìm bội chung nhỏ r1 r2

Bài 14: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m

Với điều kiện m đa thức P(x) chia hết cho 2x + Với m tìm câu a, tìm số dư r chia đa thức 3x –

Với m tìm câu a) phân tích đa thức P(x) thừa số bậc Tìm m n để hai đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m

Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n chia hết cho x – 2

e) Với n tìm câu trên, phân tích Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n tích thừa số bậc nhất.

Bài 15:

Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n

Tìm giá trị m n để đa thức P(x) Q(x) chia hết cho x –

Với giá trị m n vừa tìm được, chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm Hướng dẫn:

R(x) = P(x) – Q(x) = x3  x2 x 6 x x  x3

Đa thức

x x 3 vô nghiệm nên R(x) có nghiệm x =

Bài 16:

a) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f

Biết P(1) = ; P(2) = ; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tìm giá trị P(6) ; P(7) ; P(8)

b) Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q

Biết Q(1) = 5; Q(2) = ; Q(3) = ; Q(4) = 11 Tính giá trị Q(10); Q(11) ; Q(12) ; Q(13) Hướng dẫn:

a) P( x )x2 x x    x x      x 5   

b) Q( x )2x 3 x x    x x      4

Bài 17: Cho đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết f(

3

) =

108

; f(

2  ) =

8 

f(

5

) =

500 89

Tính giá trị giá trị gần với chữ số thập phân f(

3

) Hướng dẫn:

7

1 1

f ( ) a b c

3 108 36 a 2

3

1 1

f ( ) a b c b

2 4

1 c 17

1

89

1 a b c

f ( ) 4

25 100

5 500

     



  



 

  

       

  

  



      

 

 



=> f(x) = x3 2x2

  => f(

3 ) = - 0, 34259

Bài 18: Cho đa thức P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m

(21)

Tìm giá trị m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5

Muốn cho đa thức có nghiệm x = m có giá trị ?

Bài 19: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e cho biết P(1) = 3;

p(2) = ; P(3) = 19; P(4) = 33; P(5) = 51

Tính P(6) ; P(7) ; P(8) ; P(9) ; P(10) P(11)

Hướng dẫn: Đặt P(x) = x x    x   x   x 5    g( x )

=> P(1)g(1); P(2)g(2); P(3)g(3) (*)

Ta nhận thấy bậc g(x) không lớn 4, giả sử g(x) =

Ax Bx C

Từ (*) ta tìm A = 2, B = 0, C = => g(x) =

2x 1

Thử lại: P(x) = x x    x   x   x 5    2x2 1

Thấy P(4) = 33; P(5) = 51 (đúng với giả thiết)

Từ ta tìm tiếp P(6) ; P(7) ; P(8) ; P(9) ; P(10) P(11) *) K t qu :ế ả

Bài 11 : a = 222

Bài 12: a) a = 12 ; b) r = 2

Bài 13: - 556 Bài 14: a) m = 12; b) r = 0

Bài 14: c) (2x3)(3x 2)( x  2) Bài 15: Hướng dẫn trên

Bài 16: a)P(6) = 156; P(7) = 769; P(8) = 2584

b) Q(10) = 3047; Q(11) = 5065 ;Q(12) = 7947 ; Q(13) = 11909

Bài 17 : f(2/3) = - 0,34259

Bài 18: a) 2144,40625; b) m = -141,40625 Bài 18 : c) m = - 46

Bài 19: P(6) = 193 ; P(7) = 819 ; P(8) = 2649 ; P(9) = 6883 ; P(10) = 15321; P(11) = 30483

Bài 20: Cho đa thức P(x) = x

35 32 x 63 82 x 30 13 x 21

1 x 630

1

 

Tính giá trị đa thức x = - 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; Chứng minh đa thức nhận giá trị nguyên với x nguyên

Bài 21: Cho đa thức f(x) = + x2 + x3 + x4 + + x49 Tính f(1,2008)

Bài 22: Tính giá trị biểu thức:

A = y50 y49 y48 y2 y 1 x x 48 x 49 x 50 x

     

(22)

Chủ đề - Buổi DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC

- Tiếp tục cho học sinh giải tập 20; 21; 22 cho nhà tiết trước - Hướng dẫn:

*) Bài tập 20:

a) P(- 4) = P(- 3) = P(- 2) = P(- 1) = P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) =

b) Do 4 ; 3 ; 2; 1 ; ; 1; 2 ; 3 ; 4 nghiệm P(x) nên: P(x) = 6301 (x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)

Với x nguyên ta có: (x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 630

Vậy P(x) ln có giá trị ngun với x nguyên *) Bài tập 21:

+) Cách 1: Nhập 49  X

x

1 1,2008



  , ấn “=” ta kết 46850,36313

+) Cách 2: Lập công thức truy hồi Nhập A = A + : X = X + (1,2008)A

CALC, = , nhập A = 1, X =

Nhấn đến A + = 49 , ta kết *) Bài tập 22:

- Làm tương tự tập 21

- GV cho HS thực theo hai cách đối chiếu kết Yêu cầu HS tự luyện lớp tập sau:

Bài tập 23: Tính giá trị biểu thức

5

A( x )3x  2x 2x  7x x1 1,234 vµ x2 1,345

Kết quả: A( x )1 4,645914508; A( x )2 2,137267098

Bài tập 24:

Tìm số dư chia đa thức

x  3x  4x 7 cho x –

Cho hai đa thức

P(x) = x4 5x3  4x2 3xm; Q( x )x4 4x3  3x2 2xn

Tìm m = ? n = ? để P(x) Q(x) chia hết cho x -3

Kết quả: a) Dư b) m = - 189; n = - 168

Bài tập 25: Cho đa thức P(x) =

x ax bx cx dxf

Biết P 1  1; P 2  4; P 3  9;P 4  16; P 5  28

Tính P ;P ;P 8      ?

Hướng dẫn:

Giả sử P( x )x2 x x    x x      x   

Vì P(5) = 28 nên : 28 = 25 + 4.3.2.1.(5 - ) Từ tìm  = 39

8

Vậy P( x ) x2 x x  x x x     39 

8

      

Kết : P 6  171; P 7  814; P 8  2689

Bài tập 26: Xác định đa thức A(x) =

x ax bx cxd

(23)

Tính A ;  A 9  ?

Hướng dẫn:

A(x) = 2x 1 x x    x x      4 x4  10x3 35x2  50x24  a = - 10 ; b = 35 ; c = -50 ; d = 24

Kết quả: A(8) = 855 ; A(9) = 1697

Bài tập 27: Cho P( x )x3 ax2 bx 1

Xác định a b để x

7

 



nghiệm P(x) Với a, b tìm , tìm nghiệm cịn lại P(x) Hướng dẫn: a) Trục thức mẫu ta có x = - 35

Để x

7

 



nghiệm P(x) P(6 - 35 ) =

3

2 2

x ax bx

1

bx ax x b ax x a(6 35 ) (6 35 )

x 6 35

    

            



3

6a 65 a 35 13 35 b Hay b 65 6a a 35 13 35

a 13 b 13

P( x ) x 13x 13x

    

   

   

 

    

P(x) có nghiệm x1 1; x2 11,91607978; x3  6 35

Bài tập 28: a) Tìm m để P x  3x3  4x2 25x 7 m chia hết cho x – 0,75

b) Cho P(x) =

ax bx cx20052006

Tính P(-8), biết P(8) = 19931994 Hướng dẫn:

m = - 10, 765625

Đặt Q(x) =

ax bx cx, hàm lẻ nên Q( x )Q( x )

Ta có: P 8  Q 8 20052006 => Q(8) = 19931994 – 20052006 = - 120012 => Q(- 8) = - Q(8) = 120012

Vậy : P8 Q8 2005200620172018

- Xem lại dạng tập chữa

(24)

Chủ đề - Buổi DẠNG TỐN TÌM ƯỚC VÀ BỘI

A – Dạng tóan ƯCLN I – Lý thuyết

*) Cách 1: A a

B  b (phân số tối giản)=> ƯCLN (A ; B) = A : a

*) Cách 2: Thuật tốn Ơ – clít A = |B – A| : B = |A – B| CALC

Nhập A = … B = …

Nhấn “=” liên tục đến kết cuối ƯCLN (A ; B) *) Cách 3: Dùng chức máy thuật tốn Ơ – clít - Trước hết biết cách tìm số dư phép chia A cho B

Số dư phép chia A cho B A B A

B   

 

  ,

A B    

  phần nguyên A chia cho B

- Để tìm ƯCLN (a , b) ta dựa vào chức máy thuật tốn Ơ-clít sau: Gán a vào A ; b vào B (a > b) Bấm:

Alpha A : Alpha B = Shift a/bc (nếu máy không chuyển phân số) Ta tìm số dư phép chia gán vào C Bấm:

Alpha B : Alpha C = Shift a/bc Nếu máy không chuyển kết phân số ta tiếp tục tròn chuyển phân số ta lấy số bị chia chia cho tử phân số trịn hình kết ƯCLN (a,b)

*) Cách 4: Để tìm ƯCLN

Cơ sở: Chia a cho số khơng vượt q a

Quy trình:

1 → A a  A → B A + → A

Gán vào ô nhớ A

Dòng lệnh B biến chứa Dòng lệnh A biến chạy

# SHIFT #  Lặp DL trên, ấn dấu  quan sát chọn

kết nguyên – Ước VD: Tìm tất ước 60?

1 → A

60 A → B

A + → A Được 60 ước

# SHIFT # 

        

(25)



Bấm  đến A = 60 dừng lại

Ho c có th ặ ể đọc k t qu nh sau:ế ả ư

1 → A

60 A → B

A + → A Được 60 ước

# SHIFT # 

   

Được 30 ước Được 20 ước Được 15 ước Được 12 ước Được 10 ước

(các dấu  kết nguyên)

Vậy Ư(60) =       1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60     

5.4-Tìm ƯCLN số? (Ta sử dụng thuật toán Ơclide) Nhận xét:

Nếu a không chia hết cho b, giả sử a = b.q + r

gọi d ƯCLN a b, ta có a = d.a’; b = d.b’ thay vào (1) ta d.a’= d.b’.q + r

hay d.a’ = d.(b’.q) + r

theo tính chất chia hết tổng r chia hết cho d nên ƯCLN (a;b) = ƯCLN(b;r)

Dựa vào nhận xét ta lập quy trình tìm ƯCLN(a;b) sau:

a SHIFT STO A :

b SHIFT STO B :

ALPHA A abc ALPHA B  SHIFT abc

-Nếu kết phân số m

n B:n = (được kết ƯCLN(a,b))

-Nếu kết số thập phân ta tìm số dư cách

Lấy phần nguyên c kết lập biểu thức A – c.B → D Bài tốn trở tìm ƯCLN(B,D)

Ta nhập vào máy biểu thức:

ALPHA B abc ALPHA D  SHIFT abc

-Nếu kết phân số p

q D:q = (được kết ƯCLN(a,b))

-Nếu kết số thập phân ta tìm số dư cách Lấy phần nguyên c kết lập biểu thức B – c.D → F

Cứ tiếp tục làm đến kết dòng lệnh dạng

là phân số chia mẫu cho mẫu ƯCLN

VD1: Tìm ƯCLN(44 505; 25 413)

Cách làm:

44505 SHIFT STO A :

25413 SHIFT STO B :

ALPHA A b

c

(26)

Kết máy báo phân số m

n =

345 197 Khi ta lấy mẫu số phân số A

B chia cho mẫu phân số m

n

tức B:n ( ALPHA B 197  129)

Vậy ƯCLN(44 505; 25 413) = 129.

VD2: Tìm ƯCLN(4 107 530669; 104 184 169)

Cách làm:

4107530669 SHIFT STO A :

4104184169 SHIFT STO B :

Kết máy báo số thập phân 1,000815387 Ta tìm số dư: A – 1.B → A

Lặp lại dòng lệnh: ALPHA B abc ALPHA A  SHIFT abc

Kết máy báo số thập phân 1226,410928 (lấy phần nguyên 1226)

Ta lại tìm số dư: B – 1226.A → B

Lặp lại dòng lệnh: ALPHA A abc ALPHA B  SHIFT abc

Kết máy báo số thập phân 2,43351908 (lấy phần nguyên 2)

Ta tiếp tục tìm số dư: A – 2.B → A

Lặp lại dòng lệnh: ALPHA B b

c

a ALPHA A  SHIFT abc

Kết máy báo phân số m

n =

14177 6146 Khi ta lấy mẫu số phân số B

Achia cho mẫu phân số m

n

tức A:n ( ALPHA A 6146  97)

Vậy ƯCLN(4 107 530 669; 104 184 169) = 97

*) Ví dụ: Tìm a) ƯCLN(90756918 ; 14676975) b) ƯCLN(14696011; 7362139)

- Dựng máy casio fx – 570 MS sau:

Bấm: 90756918 Shift Sto A, 14676975 Shift Sto B Alpha A : Alpha B = Shift a/bc (6,183625577)

A – B.6, =, (được 2695068) Shift Sto C, Alph B : Alpha C = Shift a/bc (được 37925 /6964) Lấy Alpha B : 37925 = 387 Vậy: ƯCLN(90756918 ; 14676975) = 387

- Dựng máy casio fx – 570 ES tương tự vậy, làm thêm lần cho kết (bấm phím nhiều hơn)

b) Tương tự ƯCLN(14696011; 7362139) = 23

*) Lưu ý : ƯCLN (a ; b ; c) = ƯCLN [ƯCLN(a ; b) ; c] II - Bài tập

Bài 1: Tìm a) ƯCLN(97110 ; 13965) b) ƯCLN(10500 ; 8683)

Bài 2: Tìm a) ƯCLN(77554 ; 3581170) b) ƯCLN(532588; 110708836)

Bài 3: Tìm a) ƯCLN(459494736 ; 5766866256) b) ƯCLN(8992 ; 31473) Bài 4: Tìm a) ƯCLN(708 ; 26930) b) ƯCLN(183378 ; 3500639) Bài 5: Tìm a) ƯCLN(611672 ; 11231152) b) ƯCLN(159185055; 1061069040) Bài 6: Tìm

a) ƯCLN (13899; 563094; 9650088) b) ƯCLN(18963; 617394; 14676975) Bài 7: Tìm:

(27)

Bài 1: a) 15 b) Bài 2: a) 4562 b) 23156

Bài 3: a) 376944 b) Bài 4: a) b) 2351

Bài 5: a) 1256 b) 123495 Bài 6: a) 123 b) 129

Bài 7: a) 387 b ) Gọi a = ƯCLN (222222 ; 506506)

và b = ƯCLN (714714 ; 999999) Tìm ƯCLN (a ; b) = 1001 Vậy ƯCLN(222222; 506506 ; 714714; 999999) = 1001 IV Hớng dẫn nhà

- Giải tập sau: Tìm a) ƯCLN (40096920; 9474372 ; 51135438) Kết quả: 678

*******************************

Chủ đề - Buổi DẠNG TỐN TÌM ƯỚC VÀ BỘI

B – Dạng toán BCNN I – Lý thuyết

BCNN(a ; b) = a.b

CLN(a; b) ; BCNN (a ; b ; c) = BCNN [BCNN (a ; b) ; c]

*) Ví dụ: Tính BCNN (99110 ; 13965) - Trước hết Tính ƯCLN (99110 ; 13965) =

=> BCNN (99110 ; 13965) = 99110.13965 276814230

5 

II - Bài tập

Bài 1: Tính a) BCNN(97110 ; 13965) b) BCNN (10500 ; 8683) Bài 2: Tính a) BCNN(77554 ; 3581170) b) BCNN(532588; 110708836) Bài 3: Tính a) BCNN(459494736 ; 5766866256) b) BCNN(8992 ; 31473) Bài 4: Tính a) BCNN(708 ; 26930) b) BCNN(183378 ; 3500639) Bài 5: Tính a) BCNN(611672 ; 11231152) b) BCNN(159185055; 1061069040) Bài 6: Tính

a) BCNN (13899; 563094; 9650088) ; b) BCNN(18963; 617394; 14676975 *) Kết qu :ả

Bài 1: a) 90409410 b) 91171500 Bài 2: a) 60879890 b) 2546303228

Bài 3: a) 70298099607 b) 283005216 Bài 4: a) 9533220 b) 273049842

Bài 5: a) 5469571024 b)1367717992560 Bài 6: a) 118860133896

b) 3441956115150 C – Dạng toán số dư phép chia

I - Lý thuyết

Cách 1: Số dư phộp chia A cho B A B A

B   

   

Trong đú A

B    

  phần nguyờn A chia cho B

Cách 2: (A + B)  (r + B) mod (m) Trong đú r số dư A chia cho m

- Lưu ý: cách áp dụng cho trường hợp số bị chia có nhiều chữ số, ta cần phải tách số dư thành nhóm tính

Cách 2: a SHIFT STO A :

b SHIFT STO B :

Lập biểu thức:A : B =

Lấy phần nguyên c (số nguyên lớn không vượt số đó) kết thương phép chia A cho B

Sau lập bt: A – c.B =

(28)

VD: Tìm thương dư phép chia (320+1) cho (215+1)?

Cách làm:

3 ^ 20  SHIFT STO A : ^ 15  SHIFT STO B :

ALPHA A  ALPHA B  (106 404,9682) → thương 106 404.

ALPHA A - 106404 ALPHA B  (31 726) → sốdư 31 726.

II – Bài tập

Bài 1: Viết quy trình bấm phím tính số dư phộp chia 19052002 cho 20969 Hướng dẫn:

- Thực phép chia 19052002 cho 20969 908, 5794268 - Vậy số dư phép chia đú là: 19052002 – 20969.908 = 12150 Bài 2: Tìm số dư phép chia: 26031931 cho 280202

Bài 3: Tìm số dư phép chia: 21021961 cho 1781989 Bài 4: Tìm số dư phép chia:18901969 cho 2382001 Bài 5: Tìm số dư phép chia: 3523127 cho 2047 Bài 6: Tìm số dư phép chia: 143946 cho 23147

Bài 7: Viết quy trình bấm phím tìm số dư chia 2002200220 cho 2001 Hướng dẫn:

- Các tập từ đến thực tương tự tập Bài 8: Tìm số dư phép chia :

a) 1234567890987654321 : 123456 b) 715 : 2001

Hướng dẫn:

Tách số bị chia thành hai nhóm

Nhóm : 123456789098 Nhóm : 7654321

Gọi r số dư 123456789098 chia cho 123456 => r = 48362 Ta viết nhóm bờn phải số dư r 483627654321

Ta tiếp tục tìm số dư phép chia 483627654321 cho 123456 Được kết qủa : 8817

Thực tương tự tách 715 thành hai nhóm

Nhóm : 710 Nhóm : 75

=> r = 832

Số dư phép chia 83277777 cho 2001, kết toán 159

Bài 9: Chia 6032002 cho 1950 số dư r1 Chia r1 cho 209 cú số dư r2 Tìm r2

Bài 10: Chia 19082002 cho 2707 số dư r1, chia r1 cho 209 cú số dư r2.Tìm r2

*) K t qu :ế ả

Bài 1: 12150 Bài 2: 253347

Bài 3: 520088 Bài 4: 2227962

Bài 5: 204 Bài 6: 5064

Bài 7: 1621 Bài 8: a) 8817 b) 159

Bài 9: r1 = 652 r2 = 25 Bài 10: r2 = 150

- Xem lại làm lớp

*******************************

(29)

Bài 1: Tìm nghiệm gần với chữ số thập phân phương trình: 2x2 + 3 3 x – 15 = 0

Hướng dẫn:

- Nhấn : MODE, chọn số 5, sau chọn số - Nhập hệ số a, b, c

- Nhấn “=” ta kết quả: x1 1,732051; x2 4,330127

Bài 2: Số số 3;

7

; 1,8 nghiệm phương trình:

2x4 – 5x3 + 3x2 - 1,5552 = 0

Hướng dẫn:

- Nhập đa thức VT vào máy - Nhấn CALC

- Nhập giá trị x 3;

7

; 1,8; ứng với giá trị làm cho giá trị đa thức

thì nghiệm phương trình

- Kết quả: Số x = 1,8 nghiệm phương trình

Bài 3: Cho phương trình x3 – 3x + = Tìm nghiệm gần với chữ số thập phân

phương trình Hướng dẫn:

- Nhấn : MODE, chọn số 5, sau chọn số - Nhập hệ số a, b, c , d

- Nhấn “=” ta kết quả: x1 1,87939; x2 1,53209; x3 0,34730

Bài 4: Tìm nghiệm gần phương trình sau:

x3 + 5x – = b) x9 + x – = c) x + 7 x - = 0

d) x3 – 7x + = e) x3 + 2x2 – 9x + = f) x6 – 15x – 25 = 0

Hướng dẫn:

Nhập vào máy x3 + 5x – = , x

Nhấn SHIFT, CALC, =, Kết quả: x = 0,388291441

- Các phần khác hoàn toàn tương tự, kết sau: b) x = 1,215339304 ; c) x = ;

d) x1 = 2,292401585; x2 = - 2,895106516 ; x3 = 0,60270493 ;

e) x1 = 1,902222899 ; x2 = - 4, 27144292; x3 = 0,3692200205 ;

f) x1 = -1, 317692529 ; x2 = 1,945230675

Bài 5: Tìm nghiệm gần phương trình sau:

a) x4 – x2 + 7x + = b) x - 6 x - = c) x9 + x – 10 =

Hướng dẫn:

Tương tự tập

Kết quả: a)x1 = - 0,275682203; x2 = -2 b) x = 2,134724139 c) x = 1,272169977

Bài 6: Tìm cặp nghiệm nguyên phương trình: 3x5 – 19(72x – y)2 = 240677

Hướng dẫn:

3x5 – 19(72x – y)2 = 240677

 2

5

19 72x y 3x 240677 3x 240677 72x y

19 3x 240677 y 72x

19

   

   

   

- Nhập x = x +1 : y 72x 3x5 240677

19 

  cho x9 ta cặp giá trị nguyên

(30)

- Nhập x = x +1 : y 72x 3x5 240677 19 

  cho x9 ta cặp giá trị nguyên

(32;4603)

- Lưu ý với x < máy bị lỗi nên ta cho x 9

Bài 7: Tìm cặp nghiệm nguyên phương trình:

1975 y

x 

Hướng dẫn:

- Ta có : y  1975  x 2

- Nhập x = x + : y  1975  x 2

- Kết quả: (x; y) = (79; 1264) ; (316 ; 711) ; (1264 ; 79) ; (711; 316) - Lưu ý : x y đối xứng

Bài 8: Tìm cặp nghiệm nguyên dương phương trình: 2006x + = y2

Hướng dẫn:

- Ta có: x

y  2006 1

- Nhập x = x + : x

y  2006 1

- Kết quả: (x; y) = (4 ; 4024036); (6; 8072216216) IV Hớng dẫn nhà

- Xem lại bài

(31)

Chủ đề - Buổi Dạng tốn tìm chữ số thập phân thứ n sau dấu phẩy của một số thập phân vơ hạn tuần hồn

I – Các ví dụ

Ví dụ 1: Đề thi thức chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2008 – 2009 Tìm chữ số thập phân thứ 2008 phép chia cho 19

Hướng dẫn:

2 : 19 = 0,105263157 … Ta chữ số thập phân Đưa trỏ sửa thành – 19x0,105263157 = 17.10-

Lấy 17 : 19 = 0,894736842 … Ta chữ số thập phân Đưa trỏ sửa thành 17 – 19x0,894736842 = 2.10-9

Lấy : 19 = 0,105263157 … ta chữ số thập phân lặp lại Vậy : 19 = 0,(105263157894736842) chu kì 18 chữ số

Lấy 2008 chia cho 18 thương 111, dư 10

Vậy chữ số đứng vị trí 2008 sau dấu phẩy chữ số đứng vị trí thứ 10 chu kì chữ số Ví dụ 2: Tìm chữ số thập phân thứ 2003 sau dấu phẩy số chia cho 23

(Thực máy fx500MS) Hướng dẫn:

Cách 1: Thực tương tự ví dụ 1, kết chữ số thứ 2003 sau dấu phẩy số

Cách 2:

Bước 1: 1: 23 = 0,04347826 nhớ 04347826 vào A (ghi 04347826 vào giấy)

Bước 2: 108 – 23A = nhớ vào B

Bước 3: B : 23 = 0,086956521 nhớ 08695652 vào A (ghi tiếp vào dãy số

0434782608695652 , quan sát chưa thấy chu kì dãy số ta tiếp tục thực lặp lại bước tìm chu kì kết 0434782608695652173913 )

Ta thấy chu kì gồm 22 chữ số tìm số dư phép chia 2003 cho 22 dư chữ số thứ 2003 sau dấu phẩy số

Giải thích:

23

= 0,04347826 abcd …= 8 8 n

10 abcd 10

4347826



23 23

4347826 23

10 abcd , 10

abcd 10

4347826 23

1

n

8 

   

 

 

II – Luyện tập Bài 1:

Tìm chữ số thập phân sau dấu phẩy thứ 2006 phép chia cho 29 Bài 2:

Tìm chữ số thập phân sau dấu phẩy thứ 2007 phép chia cho 53 Bài 3:

Tìm chữ số thập phân sau dấu phẩy thứ 2008 phép chia cho 61

Bài 4: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh TT Huế 2005)

Biết ngày 01/01/1992 ngày thứ tư (Wednesday) tuần Cho biết ngày 01/01/2005 ngày thứ tuần ? (Biết năm 2000 năm nhuận) Nêu sơ lượt cách giải ?

Bài 5:

Tìm chữ số thập phân sau dấu phẩy thứ 2001 phép chia cho 49 ;10 cho 23

K t qu : ế ả

1) Chữ số 2) Chữ số 3) Chữ số 4) Thứ

5) Chữ số IV Hướng dẫn nhà

- Xem lại chữa

(32)

Chủ đề - Buổi DẠNG TOÁN DÃY TRUY HỒI

Đối với dạng toán giáo viên cung cấp cho học sinh sở để lập công thức truy hồi cho dãy số phân tích tìm quy trình bấm phím để tính Un

Ví dụ Cho dãy số Un xác định bởi

 

2

1

2

1; 2; n ,

n n

u

u u u n n

u

 



   N 

a) Lập cơng thức truy hồi tình Un+2 theo Un+1 Un

b) Viết quy trình bấm phím tính Un+2

Cơng thức truy hồi Un+2 có dạng Un+2=aUn+1+bUn Ta có hệ phương

trình

4

3

4; 1

3 11

u au bu a b

a b u au bu a b

   

 

   

 

    



Vậy Un+2=4Un+1-Un

Chứng minh

Ta có cơng thức với n= n= 4

Giả sử công thức với n= k (k= 5; 6; 7…), ta có Uk=4Uk-1-Uk-2

Ta phải chứng minh công thức với n= k+1, tức chứng minh Uk+1=4Uk-Uk-1 Thật vậy

2

1 1 1

1 2

4 k 4 2 4

k k k k k k k k k

k

u

u u u u u u u u u

u

    





        

 2  

1 2 1

4uk uk 2 4uk uk uk uk

     

 

2 2

1 2 4 2 2 4

k k k k k k k k

u  u u  u  u  u  u  u 

       

2

1

2 2

4

k

k k

k

u

u u u



 





   (vế trái Uk theo công thức ban đầu, vế phải Uk theo giả thiết

quy nạp)

Vậy công thức với n4, nN.

Sau học sinh nắm phương pháp tìm cơng thức truy hồi giáo viên phân tích để viết quy trình bấm phím tính Un+2.

Để tính Un+2 ta phải biết Un+1 Un Ví dụ để tính U3 ta phải biết U2 U1; Để tính

được U4 ta phải biết U3 U2.

Vậy để tính U3 ta phải lưu U2 U1 vào hai biến đó.

Sau tính U3 ta phải thau U1 U3 để tình U4

Sau tính U4 ta phải thay U2 U4 để tính U5

Như ta phải dùng hai biến chạy để lặp

Từ ta có quy trình bấm phím 2

4

Giáo viên phân tích quy trình làm việc máy tính cho học sinh hiểu chất Ta gán U1 cho A ; U2 cho B Lúc giá trị U2=B

Quy trình 4…có nghĩa máy lấy giá trị nhân với

Như máy hiểu lấy B nhân với rơi trừ A Kết U3 ta lại gán cho A Lúc U1

mất thay vào U3 Có nghĩa A=U3, lúc giá trị thay đổi U3=A

Tiếp theo máy lấy A nhân với trừ B Kết U5 ta lại gán cho B giá trị B lại

thay đổi từ U3 thành U5

Cuối ta việc nhấn dấu “=” liên tục máy tự lặp lại quy trình cho kết U6 ; U7…

tiếp theo

A STO SHIFT

B STO SHIFT

 - ALPHA A SHIFT STO A

 - ALPHA B SHIFT STO B 

SHIFT COPY

Ans

(33)

I – Lí thuyết

1 Cơng thức truy hồi công thức tổng quát dãy số

- Dãy số un = aun-1 + bun-2 (1) gọi cơng thức truy hồi để tính un

- Dãy số : un = c1u1n + c2u2n (2) gọi cơng thức tổng qt để tính un

- Công thức (1) (2) biểu diễn để tính giá trị un có quan hệ với

- Ở công thức (2), u1 u2 nghiệm phương trình: u2 = au + b hay u2 – au – b =

- Do biết công thức truy hồi ta tìm cơng thức tổng qt ngược lại

Ví dụ 1:

Cho dãy số u0 = ; u1= 10 ; un+1 = 10un – un-1 (n = 1, 2, …)

Tìm cơng thức tổng qt un

Giải: Cơng thức tổng qt có dạng: un = c1x1n + c2x2n

Trong x1 x2 nghiệm phương trình: x2 – 10x + = (*)

Giải pt (*) có x1 = 52 6; x2 = -

 un = c1(52 6)n + c2(5 - 6)n u0 = ; u1 = 10 nên ta có:

  

 

 

 

10 c) 6 2 5( c) 6 2 5(

2 c c

2

 c1 = c2 =

Vậy công thức tổng quát: un = (52 6)n + (5 - 6)n Ví dụ 2:

Cho dãy số : Un =

3

) ( )

( n n

  

Với n = 0; 1; 2; 3; … Lập công thức truy hồi để tính Un + theo Un Un +

Giải:

Cách 1: Ta biểu diễn Un dạng tổng quát un = c1u1n + c2u2n sau:

Un = n (2 3)n

3

1 ) (

1

 

  c1 =

3

1

; c2 =

-3

1

; u1 = 2+ 3;u2 = 2-

Trong u1; u2 nghiệm pt: (u – 2- 3)(u – 2+ 3) =

Hay: u2 – 4u + =  u2

= 4u –

Vậy công thức truy hồi: un+2 = 4un + - un với u1 = ; u2 =

Cách 2: Đặt a = + ; b = -

Ta có: un = an / 3- bn / ;

un + = an(2 + 3)2 /2 – bn(2 - 3)2 /

= an(4 + 4 3 + 3) / 2 3 - bn(4 - 4 3 + 3) /2 3

= an (8 + 4 3 - 1)/2 3 - bn (8 - 4 3 - 1) / 2 3

= 4an(2 + 3) / 2 3 - 4bn(2 - 3) / 2 3 - (an /2 3- bn/2 3 )

= un+1 - un

Vậy ta có cơng thức truy hồi: un+2 = 4un + - un 2 Lập quy trình tính máy casio

Để lập quy trình tính máy casio fx 570 MS có nhiều quy trình ta nên sử dụng theo quy trình sau

là ngắn gọn nhất:

Ví dụ 1:

Cho dãy số: u1 = ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; …)

Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với

u1 = ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; …) Giải: /shift / sto A (gán u1 vào A)

20 /shift / sto B (gán u2 vào B)

Alpha /A / Alpha / = /2 /Alpha /B / + / Alpha / A / Alpha / :

Alpha /B / Alpha / = /2 /Alpha /A / + / Alpha / B / Alpha / = (được u3)

Lặp lại dấu “ =” ta số hạng …

Ví dụ 2: Cho dãy số un = un – + 2un – + 3un – Biết u1 = 1; u2 = ; u3 =

Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với n 4

(34)

/shift / sto B (gán u2 vào B)

3 /shift / sto C (gán u3 vào C)

Alpha /A / Alpha / = /Alpha /C / + / / Alpha / B / + / /Alpha /A / Alpha /: Alpha /B / Alpha / = /Alpha /A / + / / Alpha / C / + / /Alpha /B / Alpha /: Alpha /C / Alpha / = /Alpha /B / + / / Alpha / A / + / /Alpha /C / Alpha / = (u4)

Lặp lại dấu “ =” ta số hạng …

Ví dụ 3:

Cho u1 = ; u2 = dãy số xác định

Nếu n chẳn: u2n+2 = 3u2n+1 + 5u2n -

Nếu n lẻ : u2n+1 = 5u2n + 3u2n-1

a)Lập quy trình tính máy casio để tính u12 ; u13 ; S12 ; S13 (S12 tổng số hạng dãy ứng

n = 12)

b) Tính u12 ; u13 tính tổng S12 ; S13

Giải : Thiết lập quy trình tính máy sau Gán u1 = vào A (lẻ) ( /shift / sto/ A )

u2 = vào B (chẳn) (2 /shift / sto/ B)

S2 = vào C (3 /shift / sto /C)

Nhập:

A = 5B + 3A : (u3) (Alpha/A/Alpha/=/5/Alpha/B/+/3/Alpha/A/Alpha /:/)

C = C + A : (S3) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/A /:/)

B = 3A + 5B - 1: (u4) (Alpha/B/Alpha/=/3/Alpha/A/+/5/Alpha/B/-/1/Alpha /:/)

C = C + B (S4) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/B/=/=/=/=/…

Ấn liên tiếp dấu bằng: Lần “=” (được u3)

Lần “=” (được S3)

Lần “=” (được u4)

Lần “=” (được S4)

Lặp lại dấu “=” ta tìm dãy số theo chu kì: (u3, S3, u4, S4) ; (u5, S5, u6, S6) (u7, S7, u8, S8)

…

Như ta dễ dàng giải toán:

u12 =11980248 ; S12 =15786430 ; u13 =69198729 ; S13 =84985159

II – Bài tập

Bài 1: Cho dãy số: u1 = ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; …)

a) Tính u3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7

b) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với

u1 = ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; …)

c) Sử dụng quy trình trên, tính giá trị u22 ; u23 ; u24 ; u25

Hướng dẫn:

a) u3 = 42 ; u4 = 104 ; u5 = 250 ; u6 = 604 ; u7 = 1458

b) gán:  A ; 20  B ; ghi A = 2B + A : B = 2A + B ấn liên tục dấu “=” c) u22 = 804268156; u23 = 1941675090 ; u24 = 4687618336; u25 = 11316911762

Bài 2: Cho dãy số u0 = ; u1= 10 ; un+1 = 10un – un-1 (n = 1, 2, …)

Lập quy trình tính un+1

Tính u2, u3, u4 , u5, u6

Tìm cơng thức tổng qt un

Hướng dẫn:

a) gán:  A ; 10  B ; nhập A = 10B - A : B = 10A - B ấn liên tục dấu “=” b) u2 = 98 ; u3 = 970 ; u4 = 9602 ; u5 = 95050 ; u6 = 940898

c) CTTQ: có dạng Un = C1x1n + C2x2n x1 ; x2 nghiệm pt: x2 = 10x – (*)

(*) có nghiệm: x1 = + ; x2 = - thay vào un ta tìm c1 = c2 =

Vậy công thức tổng quát: un = (5 + 6)n + (5 - 6)n

Bài 3: Cho dãy số u0 = ; u1 = ; un+1 = un2 + un-12

Lập quy trình tính un

Tính u2 , u3, u4 , u5

Hướng dẫn:

a) gán:  A ;  B ; ghi A = B2 + A2 : B = A2 + B2 ấn liên tục dấu “=”

(35)

Bài 4: Cho dãy số thứ tự u1 , u2 , u3 , …, un, un + 1… Biết u1 = 1; u2 = ; u3 =

và un = un – + 2un – + 3un –

a) Tính u4 , u5 ; u6 ; u7

b)Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với n 4

c) Sử dụng quy trình để tính giá trị u22 , u25 ; u28 ; u30

Hướng dẫn:

a) u4 = 10 ; u5 = 22 ; u6 = 51 ; u7 = 125

b) gán:  A ;  B ; 3 C ghi A = C + 2B + 3A : B = A + 2C + 3B : C = B + 2A + 3C , ấn liên tục dấu “=” số hạng dãy

c) u22 = 53147701 ; u25 = 711474236 ; u28 = 9524317645 ; u30 = 53697038226

Bài 5: Cho dãy số: Un =

5 n ) ( n ) (   

Tính số hạng dãy số Chứng minh: Un + = 6Un + – 4Un

Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un + máy Casio

Hướng dẫn: a) u0 = ; u1 =

3

; u2 = ; u3 = 21

3

b) Đặt a = + ; b = - ta có: un =

b an n



; un + =     5 b

an n

  

un+2 =    

5 b

an n

   =     5 18 b 18

an n

     =       b a 5 b a n n n n     

= 6un + 1- 4un vậy: un+2 = 6un + 1- 4un

c) gán:  A ; 2/3  B ; ghi A = 6B - 4A : B = 6A - 4B bấm “=” (được u2) = …

Bài 6: Cho dãy số : Un =

n 2 n 2                

Với n = 1; 2; 3; … Tính số hạng dãy

Lập cơng thức truy hồi để tính Un + theo Un Un +

c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un + máy casio

Hướng dẫn:

a) u1 = ; u2 = 10,5 ; u3 = 35,75 ; u4 = 113,125 ; u5 = 354, 8125; u6 = 1118,34375

b) Chứng minh tương tự 5b ta có: un + = 5un + – 23/4un – 21/4

c) gán:  A ; 10,5  B ; ghi A = 5B – 23/4A – 21/4 : B = 5A – 23/4B – 21/4 bấm “=” (được u3) = = … (được số hạng dãy)

Bài 7: Cho dãy số u1 = 8; u2 = 13 , un+1 = un + un-1 (n = 2; 3; …)

Lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un+1 với n 2

Sử dụng quy trình tính giá trị u13 ; u17

Hướng dẫn:

a) gán:  A ; 13  B ; ghi A = B + A : B = A + B bấm “=” (được u2) = …

b) u13 = 2584 ; u17 = 17711

Bài 8: Cho dãy số un =

3 ) ( )

( n n

  

n = 1; 2; … Tính số hạng dãy số

Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 un

Lập quy trình tính un máy casio

Tìm tất số tự nhiên n để un chia hết cho

Hướng dẫn:

a) u1 = ; u2 = ; u3 = 15; u4 = 56; u5 = 209; u6 = 780; u7 = 2911; u8 = 10864

b) C/m tương tự 5b ta có: un+2 = 4un + - un với u1 = ; u2 =

c) gán:  A ;  B ; ghi A = 4B - A : B = 4A - B bấm “=” (được u3) = …

(36)

*******************************

Chủ đề - Buổi DẠNG TỐN NGÂN HÀNG VÀ DÂN SỐ Bài tốn dân số.

VD: Hiện nay, dân số quốc gia a người, tỷ lệ tăng dân số năm m% Hỏi sau n năm số dân quốc gia người?

Giải:

Sau năm, dân số quốc gia A1 = a + a.m = a(1+m)

Sau năm, dân số quốc gia A2 = a(1+m) + a(1+m) m = a(1+m)2

Sau n năm, dân số quốc gia Áp dụng:

a) Dân số nước ta năm 2001 76,3 triệu người Hỏi đến năm 2010, dân số nước ta người Biết tỷ lệ tăng dân số trung bình 1,2% /năm

b) Nếu năm 2020 dân số nước ta có khoảng 100 triệu người, tính tỷ lệ tăng ds bình quân năm?

Áp dụng CT ta có A2010 = 76,3.(1+1,2%)9 = 84,94721606 (triệu người)

Cũng từ Ct suy

a

n n A

m  → 19 100

76,3

m  = 1,4%

Bài toán lãi suất ngân hàng.

VD1: Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền a (đồng) Biết lãi suất hàng tháng m% Hỏi sau n tháng, người có tiền?

Giải:

Cuối tháng thứ I, người có số tiền là: T1= a + a.m = a(1 + m)

Đầu tháng thứ II, người có số tiền là:

a(1 + m) + a = a[(1+m)+1] = [(1+m) -1]

[(1+m)-1]

a

= [(1+m) -1] m

a

Cuối tháng thứ II, người có số tiền là: T2= [(1+m) -1]

m

a

+ [(1+m) -1] 2

m

a

.m = [(1+m) -1] 2

m

a

(1+m) Cuối tháng thứ n, người có số tiền gốc lẫn lãi là:

Áp dụng:

Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền 100 USD Biết lãi suất hàng tháng 0,35% Hỏi sau năm, người có tiền?

Ta áp dụng công thức với a = 100, m = 0,35% = 0,0035, n = 12 ta được: T12 =

12

100

[(1+0,0035) -1]

0,0035 (1+0,0035)

= 1227,653435 1227,7 USD

VD2:

Một người muốn sau năm phải có số tiền 20 triệu đồng để mua xe Hỏi người phải gửi vào ngân hàng khoản tiền hàng tháng Biết lãi suất tiết kiệm 0,27% / tháng

Áp dụng công thức với T = 20; m = 0,27% = 0,0027; n = 12 ta suy ra:

‘ a = 637 639,629 đồng

Nhận xét:

Hai toán dân số gửi tiền tiết kiệm dạng – tốn tăng trưởng Ở đó, học sinh phải vận dụng kiến thức toán học để thiết lập cơng thức tính tốn MTĐT BT giúp tính tốn xác kết mà số liệu thường to lẻ

Tn = [(1+m) -1] n

m

a

(1+m)

(37)

Chủ đề - Buổi MỘT VÀI THUẬT TOÁN CƠ BẢN

I Thuật tốn tìm số chữ số luỹ thừa:

Ví dụ tìm xem có chữ số

Ta có làm trịn thành

Như gồm số

Lưu ý: logarit số 10

II Thuật tốn tìm ƯCLN, BCNN:

Giả sử cần tìm UCLN BCNN số A,B

Cách đơn giản biết ấn A/B tối giản

Trong số trường hợp A,B lớn dạng tối giản A/B khơng đủ hình để chứa dạng số thập phân Với trường hợp bạn nên dùng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố cách kiểm tra số nguyên tố để phân tích A,B dạng sở

Trường hợp tìm UCLN,BCNN A,B,C sao? Rất đơn giản (A,B,C)= ((A,B),C) [A,B,C]=[[A,B],C]

Tuy nhiên có số trường hợp tìm BCNN cách khó khăn số tràn hình, để xử lý nên dùng cơng thức

[A,B,C]=ABC(A,B,C)/{(A,B).(B,C).(C,A)}

VD: tìm ƯCLN( ) ta làm sau

(không phân số)

bạn bấm vào phím replay trỏ xuất hình sửa thành ta lại lập PS

lại làm lại

ta gán số vào máy sau kết phép tính thưc ba lại gán vô cho số lớn hai số cần tìm

ta dùng kiến thức với

(Tác giả:vanhoa )

Nếu dùng mà ko được:

- Đối với loại máy ms : số A [shift] [sto] A [=]

số B [shift] [sto] B [=] [mode] fix

a[=]

nhập vào biểu thức:

10^(log Ans)-0.5:Ans/b[=] : 10^(log Ans) -0.5: b/Ans[shift][sto] B thực dãy lặp: [shift][rnd][=] đến có lỗi

(38)

a[=]

nhập vào biểu thức:

10^(log Ans)-0.5:[shift][rnd]Ans/b[=] : 10^(log Ans) -0.5: [shift][rnd]b/Ans[shift][sto] B thực dãy lặp: [=][=]

Hình tính UCLN cịn BCNN thi lấy tích A B chia cho UCLN xong III Chuyển số thập phân tuần hồn khơng tuần hoàn phân số:

Chuyển số thập phân tuần hồn sang phân số Cơng thức tổng qt đây:

* Dạng 1/ Ví dụ

Ta có: (123 gồm số)

*Dạng 2/ Ví dụ

Ta có: gồm số), (36 gồm số)

IV Phân tích số thừa số nguyên tố:

Giả sử muốn kiểm tra a số nguyên tố hay không ? Sử dụng máy 570MS

Cách 1: nhiều người biết thời gian kiểm tra lâu: |a| |shift| |sto| |A| {gán a vào biến A máy}

|1| |shift| |sto| |B| B=B+2:A/B CALC = = =

nếu số nguyên B ước A

Kiểm tra hạ xuống A ngưng

{chú ý: với cách xem A có chia hết cho khơng?}

Cách 2: người biết, thời gian kiểm tra rút ngắn nửa so với cách 1: |a| |shift| |sto| |A|

xem A có chia hết cho 2, cho hay không? (chuyện đơn giản) lấy A chia cho 3: A/3 =

Ấn tiếp: A/(A/Ans+2)

Sau ấn = = = để kiểm tra, số hình hạ xuống A ngưng a Kiểm tra số nguyên tố hay hợp số?

Cơ sở nội dung Định lí sau: “a số nguyên tố khơng chia hết cho số ngun tố không vượt a”

Xuất phát từ sở đó, ta lập quy trình bấm phím liên tiếp để kiểm tra xem số a có chia hết cho số nguyên tố nhỏ a hay khơng!

(39)

Cách làm:

Tính a

Lấy phần nguyên b kết Lấy số lẻ lớn c không vượt b Lập quy trình

c → A a  A → B

A – → A

Gán số lẻ c vào nhớ A làm biến chạy Dịng lệnh B biến chứa Dòng lệnh A biến chạy

# SHIFT #  Lặp DL trên, ấn dấu  quan sát đến A =

thì dừng Trong trình ấn  :

Nếu tồn kq nguyên khẳng định a hợp số

Nếu khơng tồn kq ngun khẳng định a số nguyên tố

VD1: Xét xem 8191 số nguyên tố hay hợp số?

Tính 8191 90,50414355

Lấy phần nguyên 90.

Lấy số lẻ lớn khơng vượt q 89.

Lập quy trình: 89 → A

8191  A → B

A – → A

# SHIFT # 

Quan sát kết ta thấy không nguyên, khẳng định 8191 số nguyên tố.

VD2: Xét xem 99 873 số nguyên tố hay hợp số?

1 Tính 99873 316,0268976.

2 Lấy phần nguyên 316.

3 Lấy số lẻ lớn không vượt 315.

4 Lập quy trình: 315 → A

99 873  A → B A – → A

# SHIFT # 

5 Quan sát hình thấy có kết ngun 441, khẳng định 99 873 hợp số.

b Phân tích số thừa số nguyên tố?

Nhận xét: Các số nguyên tố số lẻ (trừ số 2)

Cách làm:

TH1: Nếu số a có ước nguyên tố 2, (Dựa vào dấu hiệu chia hết để nhận biết) Ta thực theo quy trình:

‘ a → C

→ A (hoặc → A) C : A → B

B : A → C

# SHIFT # 



Máy báo kq nguyên → ta nghi (hoặc 3)là SNT

Các kq số nguyên lần ta nhận TSNT (hoặc 3)

Tìm hết TSNT ta phân tích thương cịn lại dựa vào trường hợp

(40)

Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa kết quả 64 → C

→ A C : A → B B : A → C

# SHIFT # 

  

Gán Gán

Kq số nguyên 32 Ghi TSNT Kq số nguyên 16 Ghi TSNT Kq số nguyên Ghi TSNT Kq số nguyên Ghi TSNT Kq số nguyên Ghi TSNT Kq số nguyên Ghi TSNT

Vậy 64 = 26

VD2:Phân tích 540 thừa số ngun tố?

Mơ tả quy trình bấm phím Ý nghĩa kết quả

540 → C → A C : A → B B : A → C → A C : A → B B : A → C C : A → B

Gán Gán

Kq số nguyên 270 Ghi TSNT Kq số nguyên 135 Ghi TSNT Nhận thấy 135  135 ta gán:

Kq số nguyên 45 Ghi TSNT Kq số nguyên 15 Ghi TSNT Kq số nguyên Ghi TSNT Thương B = TSNT Vậy 540 = 22335

TH2: Nếu a số khơng chứa TSNT Quy trình minh hoạ qua VD sau đây.

VD3:Phân tích 385 thừa số ngun tố?

Mơ tả quy trình bấm phím Ý nghĩa kết quả

385 → C → A C : A → B A + → A

# SHIFT # 

Gán Gán

Lập dòng lệnh Lập dòng lệnh Lặp DL Kq số nguyên 77

Chứng tỏ CA, A số nguyên tố Khi ta ấn AC # # ghi SNT 5

 / B:A → C

A + → A

# SHIFT #

 

Kq số nguyên 11

Chứng tỏ BA, A số nguyên tố Khi ta ấn AC # # ghi SNT 7

 / C:A → B

A + → A

(41)

  

Vậy 385 = 5.7.11.

VD3: Phân tích 85 085 th a s nguyên t ?ừ ố ố

Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa kết quả

85085 → C → A C : A → B A + → A

# SHIFT #

  (2 lần dấu  )

Gán Gán

Lập dòng lệnh Lập dòng lệnh Lặp DL

Kq số nguyên 17 017

 / B:A → C

A + → A

# SHIFT # 

Kq số nguyên 2431

 / C:A → B

A + → A

# SHIFT #

   Kq số nguyên 221

 / B:A → C

A + → A

# SHIFT # 

Kq số nguyên 17

 / C:A → B

A + → A

# SHIFT # 



Kq số nguyên (Dừng lại đây)

Vậy 85 085 = 5.7.11.13.17

(42)

Thí dụ

Ta nói phép chia có chu kì Nhận xét rằng, với phép chia trên, chu kì dễ dàng tìm

bằng mtbt Tuy nhiên với số lớn ví dụ ; việc tìm chu kỳ khó khăn nhiều Phương pháp chung, có lẽ biết, bấm 1*(10^8)/57 để tìm chu kì( phần nguyên), lấy 1*10^8-phần ngun vừa tìm được*57; lấy kết vào số ta tìm chi kỳ

Tuy nhiên tìm lượt phải bấm ko 20 phím, để tiết kiệm sức, xin nêu cách bấm, sau giải thuật ban đầu, bấm dấu = ta tìm khoảng số chu kỳ

cách bấm sau: A=1

B=57

(((A*10^8)/B)+9.5)*10^-11+1-1)*10^11-10{ĐỌC CHU KÌ}:A=A*10^8-ANS*B (littlestar_monica)

C2:

nhấn MODE MODE (BASE), nhấn fím x^2( chữ DEC màu xanh đó) Chẳng hạn tìm chu kì

1 |shift| |sto| |A|

ĐS: )

Lưu ý: phép chia cho ta chữ số thập fân, hay chữ số, ta hiểu ngầm có hay chữ số trước!!!!!

VI Tìm n chữ số tận luỹ thừa:

Để tìm n chữ số tận luỹ thừa , ta tìm dư luỹ thừa với 10^n Heheh , có phải hay không

Tuy nhiên Nếu người ta kiu tìm từ đến chữ số tận luỹ thừa mà ta làm theo học thật , oải Chính , tui xin post sau :

_ Tìm chữ số tận :

* Nếu a có chữ số tận , , có chữ số tận , , * Nếu a có chữ số tận , , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác : 2^4k đồng dư ( mod 10 )

3^4k đồng dư ( mod 10 ) 7^4k đồng dư ( mod 10 )

Do để tìm chữ số tận a^n với a có số tận , , ta lấy n chia cho Giả sử n = 4k + r với r thuộc { , , , }

Nếu a đồng dư ( mod 10 ) a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 ) Nếu a đồng dư ( mod 10 ) a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 )

_ Tìm chữ số tận a^n Ta có nhận xét sau :

2^20 đồng dư 76 ( mod 100 ) 3^20 đồng dư ( mod 100 ) 6^5 đồng dư 76 ( mod 100 ) 7^4 đồng dư 01 ( mod 100 )

Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >=

Suy kết sau với k số tự nhiên khác :

a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) a đồng dư ( mod 10 )

a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) a đồng dư ( mod 10 )

(43)

a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) a đồng dư ( mod 10 )

a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) a đồng dư ( mod 10 )

a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 )

Túm lại , để tìm chữ số tận luỹ thừa , ta tìm chữ số tận số mũ Nhưng dù nguyên tắc

Để tìm n chữ số tận a^b ta tìm số dư a^b với 10^n VIII Tìm số dư phép chia:

Các dạng thường gặp:

1) Chia số có nhiều 10 chữ số cho số có 10 chữ số Phương pháp: Chia để trị (divide and conquer)

chặt số có 10 chữ số thành nhiều số nhỏ có nhiều 10 chữ số Ví dụ:

Lấy số nhỏ chia cho số chia, sau có kết dư nhớ nhân với lũy thừa số 10 với 2) Chia số lũy thừa bậc cao cho số khác:

Phương pháp: quan sát xem có nằm dạng Fermat không? Nếu không, quan sát chu kỳ số dư

Nếu khơng có chu kỳ số dư làm bước: lấy số lũy thừa lên vài bậc (khơng tràn máy), tìm số dư tiếp tục lũy thừa lên số mũ nhỏ dần Chú ý sử dụng tính chất: phép chia cho b phép

cho b có số dư với để làm nhỏ a lại, tạo điều kiện tính nhanh IX Các tốn tính lãi suất

Có loại thường gặp

1) Lãi suất từ giá trị không đổi qua thời gian

Công thức áp dụng trực tiếp với toán tiền gửi ngân hàng Số tiền sau n tháng

2) Lãi suất từ giá trị thêm vào vào theo quãng thời gian

Công thức áp dụng trực tiếp với toán tiền gửi ngân hàng Cuối tháng thứ n-1

Đầu thàng thứ n

Với a số tiền gửi vào hàng tháng ; x lãi suất X Sau số dạng khác

Tính giá trị biểu thức số có quy luật. VD1:Tính giá trị biểu thức sau:

A = 1+2+3+ +49+50.

Nhận xét: Ta thấy tổng tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 50, có quy luật số sau lớn số liền trước đơn vị Ta phải lập quy trình cho máy để sau số lần ấn dấu  ta thu kết

của biểu thức → A → B A + B → A B + → B

Gán vào ô nhớ A (A biến chứa).

Gán vào nhớ B (B biến chạy) Dịng lệnh

Dòng lệnh

# SHIFT #  Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu  đến

B + → B có giá trị 50 ấn  và đọc kq :(1 275)

B = 1 1 1

(44)

Nhận xét: Ta thấy tổng tổng phân số với tử số không đổi, mẫu số tự nhiên tăng dần từ đến 50 Ta phải lập quy trình cho máy để sau số lần ấn dấu  ta thu kết

biểu thức → A → B A +

B

1

→ A B + → B

Gán vào ô nhớ A Gán vào nhớ B Dịng lệnh Dịng lệnh

# SHIFT # 

Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu  đến B + → B có giá trị 50 ấn  đọc kết (KQ: 4,499205338)

C = 1 1 1

1  3 4  48  49  50 ?

Nhận xét: Ta thấy biểu thức dãy phép toán + - xen kẽ phân số với tử số không đổi, mẫu bậc hai số tự nhiên tăng dần từ đến 50 Nếu mẫu CBH STN lẻ dấu +, cịn mẫu CBH STN chẵn dấu - Ta phải lập quy trình cho máy để sau số lần ấn dấu  ta thu kết biểu thức

Cách lập tương tự VD2, song ta phải ý đến dấu số hạng → A

2 → B A + (-1)B+1

B

1

→ A B + → B

Gán vào ô nhớ A Gán vào nhớ B Dịng lệnh Dòng lệnh

# SHIFT # 

Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu  đến

B + → B có giá trị 50 ấn  đọc kết (KQ:0,534541474)

Ví dụ: Cho

Tính ?

Thuật tốn:

Cách 1: Dùng chức có sẵn ,bấm quy trình sau (fx 570ES):

|shift| |log_□| |ALPHA| |X^| |Replay| |→| |1| |Replay| |→| |30| |=| Đọc kết

Cách 2: Nhập biểu thức sau vào hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:A=A+X^3

Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 0=

A? Bấm 0= ===……

(45)

2 Một số dạng tốn tính tích

Ví dụ: Cho (n số lẻ)

Tính ?

Thuật tốn:

Nhập biểu thức sau vào hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:A=AX^2

Bấm CALC máy hỏi X? Bấm 0=

A? Bấm 1= === ……

Trong X tích thứ X; A giá trị tích thứ X

3 Tìm điều kiện x để tổng tích thỏa mãn điều kiện đề cho Ví dụ: Tìm giá trị gần x để:

Thuật toán:

Cách 1: Nhập biểu thức sau vào hình máy tính ( fx570ES):

Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 0=

Bấm = = = … nhiều lần đến kết gần dừng

Cách 2: Nhập biểu thức sau vào hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:B=B+

Bấm CALC máy hỏi X? Bấm 0=

B? Bấm 0=

Bấm = = = … nhiều lần kết gần dừng

4 Một số toán liên quan đến tổng tích Bài 1: Cho

Tính ?

Bài 2: Cho

Tính ?

Bài 3: Cho

Tính ?

Bài 4: Cho

Tính ?

Bài 5: Tìm giá trị gần x thỏa: a)

(46)

5 Tìm số dư phép chia dạng lũy thừa bậc cao

Ví dụ: Tìm số dư phép chia cho

Ta có:

(mod )

Suy (mod )

Vậy số dư phép chia cho

Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia cho

Vì số nguyên tố Theo định lý Fermat ta có:

(mod )

Suy ra:

(mod )

(mod 2003)

Vậy số dư phép chia cho

(47)

PHỤ LỤC

Chương 1:

GI I NHANH CÁC D NG BÀI TOÁN L P B NG MÁY TÍNH CASIO FX Ả Ạ Ớ Ằ

A-DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC SỐ TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN N VÀ TẬP HỢP SỐ NGUYÊN.

Bài 1: tính

A = 12 + 25 125 : 52 24 65.2 3 

    

 ; C 15 48.7 545 : 45 16.4  3104 : 23;

5

12 21.3 45 12.4 12.36 : 24 68 :

B      ; D34 17.4 624 : 5 3 12 12 56 : 7 3 : 37 5

Bài 2: Tính tổng

A = +2 +3 +………+2008; B = 101 +102 +10 +…….+2008 C = +3 +5+7+………… +2009 ; D = +8 +13 +………+2003 E = 12 22 32 10002

    ; F = 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ 2008.2009

B - DẠNG 2: TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ

Bài1: tìm tập hợp A số tự nhiên bội 31 nhỏ 160. Bài 2: tìm tập hợp B số tự nhiên ước 24.

Bài 3: tìm tập hợp C số tự nhiên nhỏ 250 đồng thời bội 26. Bài 4: tìm tập hợp D số tự nhiên nhỏ 500 đồng thời bội 67. Bài 5: tìm tập ước số : 48; 45; 56; 72; 95; 112.

C-DẠNG 3-PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ.

Phân tích số sau thừa số nguyên tố : 2816016; 6924610; 6348552; 244940641; 29438640; 3294432; 85172703; 1805076; 739225460; 5957421

D- DẠNG : RÚT GỌN PHÂN SỐ Rút gọn phân số sau:

5525 5670 52595 29770 168794 917172 13369385 29817660 7995996

; ; ; ; ; ; ; ;

30175 9954 98910 107630 16277216 15642180 278196990 119834964 164674296 E- DẠNG 5: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT, BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Bài1: Xác định a, b, c, d, biết rằng:

a = UCLN( 97110;13695); b = UCLN( 10511;8683);

c = UCLN( 77554;3581170); d= UCLN(183378;3500639);

Bài 2: tìm BCNN số sau;

a) 12; 18 216; b) 45; 56 21; c) 30; 225 125;

e) 124;365và 586 ; f) 48; 126 96; g)450; 126; 80 96;

F- DẠNG 6: MỐI LIÊN HỆ GIỮA PHÂN SỐ - HỖN SỐ- SỐ THẬP PHÂN G-DẠNG7 - TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC TRONG Q

B1: tính A=

2

1

1 1,4.0,125

2

 

   

  ; B =

1 92 37 11

8 11 :

5 1591 1517 47

 



 

  ;

C =

1

1,6 : 1,25 1,08 :

2

3 25 0,6.0,5 :

1 5

0,64 2

25 17

   



   

     

 

   

 

;

D =

4

0,8 : 1,25 100 :

2

5 (1,2.0,5) :

1 5

0,64

25 17

   



   

     

 

   

 

;

E = 10101 13

111111 333333 3.7.11.13.37

 

 

 

 ; E =

1.2 2.4 3.6 4.8 5.10 3.4 6.8 9.12 12.16 15.20

   

(48)

F = 1

1.2 2.3 3.4   2008.2009;

F = 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5   2007.2008.2009

H- DẠNG 8: LIÊN PHÂN SỐ

Chú ý : muốn tính giá trịcủa liên phân số ta tính từ lên.

Bài 1: Tính giá trị biểu thức trả lời kết dạng số thập phân phân số.

3

4

11

2 56

3

A  

 

;

3 2008

2

11

3 15

5

B  

 

;

2 56

4

11

2

3

C   

 

;

Bài 2: a) Tìm a,b N biết:

1 13

6

1 32

2

1

a b

 

 

;

b) Tìm c,d N biết:

3 655

9

2 928

10

1

c d

 

 

;

I-DẠNG 9: CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ ĐO GĨC( SỐ ĐO CUNG TRỊN, SỐ ĐO THỜI GIAN) J- DẠNG 10 : CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ - TỈ SỐ PHẦN TRĂM VÀ TỈ XÍCH SỐ

Bài1: Chiều rộng hình chữ nhật giảm 24% chiều dài hình chữ nhật tăng 24%.Hỏi diện tích hình chữ nhật tăng hay giảm phần trăm

Bài 2: Tỉ số phần trăm a b 73% tỉ số b c ¾ Hỏi tỉ số a c bao nhiêu.?

Bài 3: Cạnh hình lập phương tăng 50%.Hỏi thể tích tăng phần trăm.?

Bài 4: Hai địa điểm A, B đồ cách 12 cm tính khoảng cách Avà B thực tế Biết tỉ lệ xích đồ 1: 200000

Bài5: Đáy tam giác tăng 20%, chiều cao tương ứng giảm 20%.Hỏi diện tích tam giác thay đổi nào?

K- DẠNG 11; BÀI TOÁN “CHUNG - RIÊNG”

Bài 1: Hai vòi nước chảy vào bể Trong vòi thứ chảy 24% bể, vòi thứ hai chảy 2/5 bể Hỏi hai vòi chảy lúc đầy bể

Bài 2: Anh Bình làm xong sản phẩm giờ, anh An làm xong san phẩm Hỏi rằng, hai anh làm chung làm xong cơng trình?

Bài 3: Trong vòi thứ chảy 28% bể, vòi thứ hai chảy 2/5 bể vòi thứ ba chảy 0,64 bể Hỏi ba vịi chảy chung đầy bể

L- DẠNG 12 : CÁC BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG

Bài 1: Một người xe đạp từ A đến B dài 36 km 12km người với vận tốc 15km/h 9km tiếp theo người với vận tốc 12km/h , đoạn đường cịn lại người với vận tốc 10km/h Hỏi thời gian người hết quảng đường AB ?

Bài 2: xe mô tô khởi hành từ A đến B 2giờ15phút đầu xe chạy với vận tốc 38 km/h, 1giờ 40 giây xe chạy với vận tốc 36km/h, đoạn đường lại xe chạy hết phút với vận tốc 32km/h

hỏi quảng đường AB dài km ? b) hỏi vận tốc trung bình xe mơ tơ?

Bài 3: ôtô từ A đến B 32 phút xe chỵa với vận tốc 45km/h ; 24 phút xe chạy với vận tốc 42km/h vừa đến B Tính vận tốc trung bình ơtơ?

Bài 4: Một xe lửa từ A đến B hết 10giờ40 phút vận tốc giảm 10km/h muộn 2giờ48phút Tính khoảng cách A B

(49)

a)

3 4

0,5 1,25.1,8 :

5 5 3

5,4 : 2,5

3

12,5.3,15 : 1,5.0,8

4

x

    

  

   

 

 

   

   

 

   

   

 

;

b)

13 1

:

15,2.0,25 48,51:14,7 44 11 66

1

3,2 0,8 3,25

2

x

 

 

 

  



 

   

 

; c ) 2.5 5.8 8.111    x x( 3) 1540101 

d) 2 462 2,04 : ( 1,05) : 0,12 19

11.13 13.15 19.21 x

 

     

 

 

( Đề thi HSG toàn miền bắc 1963- 1964)

N- DẠNG 14:TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA HAI SỐ TỰ NHIÊN Bài1: Tìm số dư phép chia 25634 cho 458

Bài 2: Hãy tìm số dư r phép chia a cho b bảng sau:

a b r a b r

2456 37 45894 624

24586 365 25634 256

7892156 45681 48956712 458967

1234587 12458 42581367 456872

O- DẠNG 15 MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC

Bài 1: Tìm chữ số tận số : a = 200221352 + 5

Bài2: Tìm tất số tự nhiên n cho n2 số có 12 chữ số dạng n2 = 2525******89( dấu*

biểu thị chữ số )

(50)

Chương 2:

GI I NHANH CÁC D NG BÀI TỐN L P B NG MÁY TÍNH CASIO FX Ả Ạ Ớ Ằ

DẠNG 1: TỈ LỆ THỨC Bài 1: Tìm x biết

a) 243

12 456

x

 ; b)

20

x x

 ; c)45 128

4531

x  ; d)

2 23

321 45

x 

 ; e)11 45

24 22x



 ;

Bài2 : Thay tỉ số số hữu tỉ tỉ số số nguyên: a) 21,6 : (-7,56) ; b) 8,24 : ( -32

9 ) ; c)

6

4 :

7 11

 



 

  ; d)

Bài 3: Tìm hai số x y biết tổng chúng 96 tỉ số hai số

x y 

Bài 4: a) Tìm ba số a, b, c biết

3

a b c

  3a +2b – 5c = 1204

b) Tìm ba số a, b, c biết :

3 11

a b c

  2a + 3b – c = 950,6112

Bài 5: Có thùng táo có tổng cộng 240 trái Nếu bán 2/3 thùng thứ ;3/4 thùng thứ hai; 4/5 thùng thứ ba số táo cịn lại thùng Tính số táo lúc đầu thùng

Bài 6: Tìm số x, y biết ;

a) ; 250

7,5 12,5

x y

x y

   b)

516 173

x y

 x-y = 7203

Bài 7: Ba nhà sản xuất vôn theo tỉ lệ 3,5,7 hỏi người đóng góp biết tổng số vốn cần huy động 105 triệu

Bài8: Tìm khối luợng ngun tử hydrơ chứa 2,7 g nước DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài1: cho hàm số y = 3

4x điền vào ô trống giá trị tương ứng chúng:

x 10 11

y

Bài2:a) Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Hãy điền vào ô trống giá trị tương ứng của chúng

x 10 11 12 15

y

1 b) Cho x y hai đại lượng tỉ lệ thuận Hãy điền vào bảng sau

x 21 32 45 48 75 95 96

y 31 35 36 56

Bài 3: Cho hàm số 2

5

y x Hãy điền vào ô trống giá trị tương ứng chúng:

x -5 -4 -3 -2 -1

y

Bài 4: Đại lượng y tỉ lệ với đại lượng x theo công thức

3

y x 

 Khi x nhận giá trị 2; -3; 0,125; -1,235; 3/7;

8

;3 ;

15 12



 Hãy tính giá trị tương ứng y Bài 5: cho f(x) = y = 3

5x Hãy tính f(2) ; f(-3); f(0,25); f(-3,625); f(

3

); ( ); ;

5 f f 11 f

   

    

(51)

Bài6: Cho hàm số y = f(x) cho công thức:

y x Hãy tính

4

(3); ( 5); (0,75); ( 0,6); ( ); ;

7 13

f f  f f  f f  f  

   

DẠNG 3: SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN

1.Đổi số thập phân vơ hạn tuần hồn biết chu kì phân số hỗn số: 2 tìm chữ số thập phân thứ n sau dấu phẩy.

Khi ta chia số tự nhiên cho số tự nhiên, kết thu số thập phân hữu hạn hay số thập phân vơ hạn tuần hồn Do hình 10 chữ số có lúc ta khơng thể xác định được tất chữ số thập phân số thập phân vơ hạn tuần hồn Vì ta cần thực phép biến đổi tốn học kết hợp với máy tính để tìm kết tốn.

Ví dụ : Chữ số thập phân thứ 2003 sau dấu phẩy số ta chia cho 23.

Giải: Ta có : 23 = 0,04347826a1a2… an= 8 28

4347826

10 10

n n

a a a



 ( lần 1)

8

1 2

1 11 12

8 8

10 4347826.23 23.0,

0, 0,086956521

23.10 10 23.10 23.10 23

n n

n

a a a a a a

a a a a a a





       (lần2)

lần ta xác định chữ số thập phân sau dâu phẩy, lân ta tiếp tục xác định chữ số thập phân kế tiếp, sau vài lần ta xác định chu kì số thập phân vơ hạn tuần hồn.ta khơng ghi chữ số thập phân cuối để tránh trương hợp máylàm trịn

Từ ta suy 1:23 = 0,(0434782608695652173913) từ suy số thập phân thứ 22k số 3; số thập phân thứ 22k + số ; số thập phân thứ 22k +2 số 4; số thập phân thứ 22k +3 số 3; số thập phân thứ 22k + số 4…

Mà 2003 = 22.91+1 ta chia cho 23 chữ số thập phân thứ 2003 sau dấu phẩy số Bài tập áp dụng:

Bài1: Đổi số thập phân vơ hạn tuần hồn sau hỗn số : 2,(7); 1,(23); 3,1(69); 3,(456) Bài 2: a) Tìm chữ số thập phân thứ 2003 sau dấu phẩy phép chia cho 29.

Tìm chữ số thập phân thứ 2003 sau dấu phẩy phép chia cho 53 c) Tìm chữ số thập phân thứ 2003 sau dấu phẩy phép chia cho 61

Bài 3: (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi toàn nước Mỹ ,1965) số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,363636… viết dạng số thập phân tối giản tổng tử bao nhiêu?

Bài 4: ( Thi học sinh giỏi toàn vùng Mỹ, câu hỏi đồng đội )

Mệnh đề có khơng (0,33333…)(0,66666…) = (0,22222….) Bài 5: (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi toàn nước Mỹ ,1970)

Nếu F = 0,818181… Là thập phân vơ hạn tuần hồn với chữ số chữ số lặp lại Khi F viết dạng phân số tối giản mẩu số tử số

Bài 6: Đáp số : 0,4444 ?

A) 0,2222… B) 0,2020202… C)0,666… D) 0,066666…

D - DẠNG 4: LÀM QUEN VỚI SỐ THỰC

Bài1:tính 121; 121; ( 11) ;2 ( 11) ; 361,254; 3,5 651; 242 21; 325.257 92 2,45

7

      

DẠNG 5: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Bài 1: Tính giá trị đa thức sau với x = 3,356 ( ) 4 3 0,5 31 7,253

5

A x  x  x  x  x

Bài2: tính giá trị biẻu thức sau :

A(x) =  

2

4

2

4 0,235 3,251 4,215

4 0,325

x x x

x x

   

 

x =- 5,26;

4 3

( ) 1,25 0,2 1,654

3

B x  x  x  x  x x = -1,327;

Bài 3: Nghiệm đa thức : A = 3x3 - 2x2 + 6x – 10,234375

a) 1,05 b) 1,15 c) 1,45 d) 1,25 e) 1,35

(52)

Bài 2: Tính độ dài cạnh tam giác vuông biết độ dài cạch huyền 14cm độ dài cạch góc vng cịn lại 11

Bài 3: Độ dài cạch huyền tam giác vuông a (cm) Đồ dài hai cạch góc vng b(cm ) c (cm) tính độ dài cịn lại bảng sau xác đến 0,00001

a 15 45 54 48 89 75 65 67 61 81

b 12 24 36 64 25 42 65 27 12 37 13

c 18 48 34 23 61 29 28 46 13

DẠNG 5: THỐNG KÊ

Bài1: thầy giáo trả cho 50 hs ghi bảng đây:

điểm số (x) 10

số (n) 15 12

Tính tần suất tương ứng với giá trị dấu hiệu Tính số trung bình cộng

Bài 2: Tìm tần suất tương ứng với giá trị dấu hiệu số trung bình cộng bảng đây:

số (x)

số hộ gia đình(n) 12 125 313 28 12

-

-Chương 3:

A DẠNG 1: PHÉP CHIA ĐA THỨC

1.Tìm số dư phép chia đa thức P(x) cho đa thức ax + b

Cơ sở lí luận :

Thực phép chia đa thức P(x) cho ax + b ta thương Q(x) số dư r ta có : P(x) = (ax +b)Q(x) + r ; Khi x = b

a

 Thì P b a b b Q x ( ) r ( )Q x r r P b

a a a

 

     

         

       

       

Vậy số dư phép chia đa thức P(x) Cho ax + b r P b a     

  2 Tìm điều kiện để đa thức P(x) chia hết cho đa thức ax + b 3 Tìm điều kiện để a nghiệm đa thức F(x)

4 Thuận toán Horner

Vidụ: Chia đa thức B(x) = 5x4 - 9x3 – 8x2 - 21x + 17 cho đa thức C(x) = x – ta lập bảng sau :

a4 = a3 = -9 a2 = -8 a1= -21 ao =17

m = b3= a4 =5 b2 = mb3 + a3

=4.5 – = 11

b1 = mb2 + a2

=4.11 – = 36

b0 = mb1 + a1 =4.36

– 21 = 123

r = mb0 + a0

=4.123 + 17 = 509 Kết luận : Đa thức thương : D(x) = x3 + 11x2 + 36x + 123

số dư r = 509 Ấn:

4 SHIFT STO A

5 x ALPHA A + (-) = Ghi 11

x ALPHA A + (-) = Ghi 36

x ALPHA A + (-) 21 = Ghi 123

x ALPHA A + 17 = Ghi 509

Vậy B(x) = 5x4 - 9x3 – 8x2 - 21x + 17 = (x – )(5 x3 + 11x2 + 36x + 123) + 509

(53)

A(x) B(x) r

5

7x 2x  5x  21x18 x +

5

11x 8x  x  14x32 x -

b) sử dụng sơ đồ Horner để tìm đa thức thương câu a)

Bài2: Với giá trị m đa thức A(x ) chia hết cho đa thức B(x) biết ;

A(x) B(x) m

5

2x  7x 12x 35x m x +

5

5x 9x  21x 13x32 m x –

Bài 3: Với giá trị m đa thức A(x ) có nghiệm a Biết Rằng :

A(x) a m

5

10x  5x  5x 24x m -5

5

5x 2x  3x  x32m 12

Bài 4: Dùng sơ đồ Hoóc ne để tìm thương số dư phép chia( lập qui trình bấm phím) 2x6 + x5 -3x2 + cho x – 7

Bài 5: Dùng sơ đồ Hc ne để tìm thương số dư phép chia( lập qui trình bấm phím)

4

( )

P x  x  x x  x với x =2; A x( )x5 3x2 x8 với x =5;

6

( )

B x  x  x  x  x với x =3; C x( ) 5 x3 3x26 với x =

Bài6 a) Tìm số dư phép chia:

3 9 35 7

12

x x x

x

  

 ;

3

3 2,5 4,5 15 20

;

( 1,5) (4 5)

x x x x x x

x x

     

 

Bài 7: ( Thi học sinh giỏi toán bang New york, Mỹ, 1984,câu hỏi cá nhân) Có xác số nguyên dương n để

3

( 1)

23

n n



 số nguyên Hãy tính số lớn

Bài 8: Tìm số nguyên dương n để

3

4

n n n

n

  

 số nguyên

Bài 9: Cho hai đa thức 3x2 – 4x + + m x3 + 3x2 – 5x + + n Hỏi với điều kiện m n hai

đa thức có nghiệm chung a = 0,5?

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC

Bài 1: a) Cho đa thức Q x( ) x4 ax3 bx2 cx d

     cho biết : Q(1) = -5 ; Q(2) = -3 ; Q(3) = -1 ;

Q(4) = Tính Q(35)

b) Cho đa thức

( ) ax

Q x x  bx cx d cho biết : Q(1) = -2 ; Q(2) = ; Q(-3) = ;

Q(4) = 13 Tính Q(30)?

c) Cho đa thức P(x) = x3 ax2 bx c

   cho biết P(1) = ; P(-2) = ; P( 3) =12 Tính P(30) ?

d) Cho Đa thức P x( ) x5 ax4 bx3 cx2 dx e

      cho biết P(1) = ; P(-2) = 4; P(3) = ;

P(-4) = 16 ; P(5) = 25; Tính P(20) ?

e) Cho đa thức Q x( ) x4 ax3 bx2 cx d

     cho biết : Q(1) = ; Q(-2) = ; Q(3) = 24 ;

Q(-4) = 29 Tính Q(40)?

Bài 2:a)Cho đa thức P x( ) x5 ax4 bx3 cx2 dx e

      cho biết P(1) = ; P(-2) = -5; P(3) = 10 ;

P(5) = 16 ; P(-4) = -11; Tính P(24) ?

a)Cho đa thức

( ) ax

Q x x  bx cx d cho biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = ; ; P(4) = 11; Tính

Q(10), Q(11), Q(12), Q(13) ?( 1.2+3)

Bài 3: Cho hai đa thức P x( ) x4 5x3 4x2 3x m Q x; ( ) x4 4x3 3x2 2x m

         

a)Với giá trị m, n để đa thức P(x) ,Q(x) chia hết cho x -2

b) Xét đa thức R(x) = P(x) – Q(x) Với giá trị m, n vừa tìm Hãy chứng tỏ đa thức R(x) có nghiệm

DẠNG 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

(54)

F( x) = a( x +

b a  

) ( x -

b a  

) , = b2 – 4ac

Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách hạng tử Ta chứng minh toán sau:

“ Nếu f(x) = ax2 + bx + c ; b = e +f a.c = e.f ( a,b,c 0; , ,a b c Q ) f(x) phân tích thành nhân tử

bậc ”

Chứng minh: Ta có : a.c = e.f a f k a ke

f kc e c

       

 

Nên f(x) = ax2 + bx + c = ax2 + ex + fx + c

= kex2 + ex + kcx + c = ex(kx +1) + c(kx +1 ) = (kx + 1)(ex +c)

Vậy f(x) phân tích thành nhân tử bậc Theo toán : e.f = a.c e +f = b

Nên e f nghiệm phương trình bậc hai X2 – bX + ac = ( hệ thức Viet học lớp 9)

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp tách hạng tử: A = 192x2 -1030x - 525

giải : Ấn :

MODE MODE MODE  = 1030 =

192 X (-) 525 = KQ: x1=-1120 x2=90

Lúc dễ dàng ta phân tích :

A = 192x2 – 1030x – 525

= 192x2 – 1120x + 90x – 525

= 32x(6x-35) + 15 ( 6x – 35) = (6x – 35)(32x + 15)

Chúng ta sử dụng kết để phân tích đa thức có dạng sau: A = ax2 + bxy + cy2

B = ax + b x + c C = axb xy cy

D = ax4 + bx2 + c

E = ax4 + bx2y2 + cy4

Phương pháp nhẩm nghiệm : Phương pháp đặt biến phụ:

Bài tập áp dụng :

a) x3 -7x + 6; b) x2 -7x + 12; c)x2 – x - 20; d) 12x2 + 7x -12; e) 12x2 + x -16

f) 6x2 – 7x -55 i) 45x2 -26x – 8 j) 63x2 + 50x +8; h) 21x2 - 38x + 16; g) 8x2 - 34x -21

a) x2 - 3xy – 4y2; b) x2 - 5xy + 6y2; c)20x2 + 11xy – 3y2; d)18x2 - 3xy – 10y2;

A = 2x4 + 11x3 + 21x2 + 16x + ; b) B = 2x4 – x3 - 26x2 - x + 30

c) C = 6x4 + 13x3 - 34x2 - 47x + 30 ; d) D = 6x4 - 11x3 - 32x2 + 21x + 36 ;

a) A = (x +1 )(x +2)(x + 3)(x +4 ) – 24; b) B = (x +1 )(x +3)(x + 5)(x +7 ) + 7; c) C = (x - )(x – )(x + 3)(x +5 ) + 48;

a) A = (x+3)4 + (x +5 )4 – 16 b) B = (5-x )4 + (2 - x)4 – 17;

D- DẠNG : TĂNG DÂN SỐ TIỀN LÃI

Bài 1: Một người gửi ngân hàng số tiền a đồng với lãi suất m % tháng Biết người không rút tiền lãi Hỏi sau n tháng người nhận tiền gốc lẫn lãi?

Áp dụng số a = 2000000 đồng ; m = 0,8; n=45

Bài 2: Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền a đồng với lãi suất m % tháng Biết người khơng rút tiền lãi Hỏi cuối n tháng người nhận gốc lẫn lãi Áp dụng : a = 100000; m = 0,8 ; n = 40

(55)

Bài 4: Bác An gửi vào quỹ tiết kiệm 100 triệu đồng Mỗi tháng quỹ tiết kiệm trả theo lãi xuất

O,85% Hỏi sau năm bác An nhận vốn lấn lãi tiền? Biết hàng tháng bác An không rút tiền lãi

Bài 5: a) Cho biết thời điểm gốc đó, dân số quốc gia B a người Tỉ lệ tang dân số trung bình năm quốc gia m % Hãy xây dựng cơng thức tính dân số quốc gia B đến hết năm thứ n ?

b) Dân số nước ta tính đến năm 2001 76,3 triệu người? Hỏi đến năm 2010 dân số nước ta tỉ lệ tăng dân số trung bình hàng năm 1,2% ?

c) Đến năm 2020, muôn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người tỉ lệ tăng dân số năm bao nhiêu?

E - DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP LẶP

1 Phương pháp lặp dùng để tìm số hạng thứ n dãy số Ví dụ : Cho dãy số xác định công thức : xn+1 =

2

5 11

2

n n

x x



 ; n số tự nhiên n 

Cho biết x1 = 0,28 Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị xn b) tính x100 2 Ngồi phương pháp lặp cịn dùng để giải phương trình.

Bài 1: Tìm ngiệm gần phương trình :a) x 3 - 3x + = 0; b) x2 –x – = 0;

c)x9 + x – = ; d)x 3 - 7x + = 0; e) x9 + x – = 0; f) x6 - 15x- 25 = ; g) 32x5 -32x

-17=0

Bài 2: Cho dãy số xác định công thức: xn+1 = 1

3

n

x 

; n số tự nhiên n >=1

a) cho biết x1 = ½ viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị xn ? b) Tính x100?

Bài 3: Cho dãy số xác định công thức: xn+1 =

5

17 32

n

x 

; n số tự nhiên n >=1 cho biết x1 = viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị xn ? b) Tính x50?

F- DẠNG 6: ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ - TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Bài 1: Hai tam giác có độ dài sau có đồng dạng khơng? 21mm; 24mm; 27mm 14mm; 16mm; 18mm. G- DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Bài 1:

Giải phương trình bậc ẩn sau:a) 15 11

3 x x 3

 

   

   

     

b)

4 ;

1

2

1

3

4

x x

 

 

c) 1

1

3

y y



 

;

d)

 

2

(0,15 0,35 ) : (3 4,2)

1

4 3 : (1,2 3,15)

2 12

12,5 : 0,5 0,3.0,75 :

7 17

x  

      

 

   

 

   

 

;

e)

3 4

0,5 1,25.1,8 :

7

5, : 2,5

3

15,2.3,15 : 1,5.0,8

4

x

    

  

   

 

 

   

   

 

   

   

 

(56)

-Chương 4:

DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH CĨ DẤU CĂN Bài 1: tính

A=    

3

3 15 5 5

2 3 5

   



  ;B= 5 12 ;  C 41 6   15

4

314 25 ;5 22 2 2 26

D    E    ;

2 4

K    

 

 

 3

10

3

2

7656534999191 53 5

;

1

2112

F   G   

 



; I= 4  4 

H = 62 3 2 12 18 128 ;

2009 2005

1

13

1

5

1

 

      

D

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1

2 3 4 2006 2007

M             gợi ý Chứng minh :Với a, b, c khác a +

b + c = 12 12 12 1

a b c a b c

B- DẠNG 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Các phương pháp giải: + phương pháp cộng

+ phương pháp + sử dụng máy tính Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

2 25 25 42 25 81 11 51

) ; ) ; ) ; ) ; ) ;

12 32 97 21 65 31 14 85 32 48 63 64 23

x y x y x y x y

a b c d e

x y x y x y x y x y

          

    

    

             

    

25 12 64

)

5 28 72

x y f

x y

   

 

  

 ;

2 23

) ; )

3 2 2 2

y x y

g h

x y x y



   

 

 

    

 

Bài2:Xác định hệ số a, b hàm số y = ax + b (a 0) Biết rằng:

Đồ thị hàm số đường thẳng song song với đường thẳng y =3

4x , qua điểm M (11;7) Bài3: Xác định hệ số a, b hàm số y = ax + b (a 0) Biết rằng:

a)Đồ thị hàm số đường qua điểm A (5;4) B ( 6; -4) b) Đồ thị hàm số đường qua điểm C (7;4) D ( 2; -13) C- DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Các phương pháp để giải:

+ sử dụng máy

+ sử dựng công thức nghiệm Bài 1: Giải phương trình sau đây:

a) 3x2 + 21x + = 0; b) 2x2 + 27x + 5 = 0; c) -7x2 - 52x + 31 = ;

e) x2 2+ 3x 311 0

  ; f) x245 3 x 2 21 0

(57)

Bài 1: a) Biết sin = 0,368 Tính: A =

2

3

os sin

sin os

c tg c

  

 

 

b) Biết sin(900 - x) = 0,356.(0 < x < 900) tính

3

5 os in osx

2 osx-sin sin

c x s x c

c x x

 





B c) cho cos2x = 0,26 ( < x < 900) Tính C =

2

2sin 5sin2x + 3tg

5 4cot

x x

tg x g x 



d) Biết sin = 0,482( <  <900 ) Tính: A =

3

3 3

in (1 os )

(sin os )

s c tg

c tg

  

 



Bài 2:

a)Cho biết tg = tg240 tg250 tg260 tg640.tg650 ( <  < 900 )Tính K =

3

cot sin os

sin os

tg g c

c

   

 

 



b)Cho biết tg = tg330.tg340.tg350 tg550.tg560 ( <  < 900 ).

Tính K =

2 3

3

(1 os ) cot (1 sin )

(1 sin os ) sin os

tg c g

c c

   

  

E- DẠNG 5: GIẢI TAM GIÁC VUÔNG

1- giải tam giác vuông biết độ dài hai cạnh nó.

Ví dụ : Cho tam giác ABC vng A có AB = 5,2314cm AC = 6,3054cm Tính BC ; Số đo góc B C

Tính độ dài đường cao AH diện tích tam giác ABC

Tính độ dài trung tuyên AM phân giác AD tam giác ABC?

2 giải tam giác vuông biết độ dài cạnh số đo hai góc nhọn nó.

Ví dụ :Cho tam giác ABC vng A, có AB = 6,251cm góc ABC 560

tính BC; AC; góc C

Kẻ AH vng góc với BC Tính diện tích tam giác ABC cạnh AH? Tính độ dài đương trung tuyên AM phân giác AD tam giác ABC?

3 Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác vng.

Vídụ: Cho tam giác ABC vng A có AB = c ; AC = b ; Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC theo b, c

Áp dụng số: AB = 12,3275cm ; AC = 17,234cm

Bài 1: Cho tam giác ABC vng A có AB = 7,2564cm BC = 9,6234cm tính AC, góc B? góc C? b) Tính độ dài đường cao AH? Và diện tích Tam giác ABC Tính độ dài trung tuyến AM phân giác AD tam giác ABC

Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có BC = 4,561cm góc ACB 420.

tính AC, AB, góc ABC? b) Tính độ dài đường cao AH diện tích tam giác ABC? Tính độ dài trung tuyến CM phân giác CD tam giác ABC?

Bài 3: Cho tam giác ABC vng A có AB = 12,245 ; góc ABC 650 ; Tính bán kính đường trịn nội

tiếp r tam giác ABC

F- DẠNG - GIẢI TAM GIÁC

1 giải tam giác ABC biết độ dài cạnh số đo góc kèm theo hai cạnh đó.

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 4,2315cm, AC =5,3641cm góc BAC 650

Tính độ dài đường cao BK, CF tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC

Tính góc cịn lại tam giác ABC,

Tính Độ dài đường cao AH Tam giác ABC cạnh BC

Tính độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp R bán kính đường tròn nội tiếp r tam giác ABC 2.Giải tam giác ABC biết độ dài cạnh số đo góc kề cạnh đó.

Bài 1: cho tam giác ABC có BC= 6,12cm; góc ABC 650 góc BCA 460.

Tính độ dài đường cao BK, CF tam giác ABC?

Tính độ dài hai cạnh AB, AC.Tính độ dài đường cao AH tam giác ABC Tính diện tích Tam giác ABC

(58)

Bài : cho tam giác ABC có AB= 6,3031cm AC = 5,9652cm BC = 8,35cm, Kẻ đường cao AH tam giác ABC

Tính BH, HC, AH?

Tính góc tam giác ABC

Tính độ dài bán kính đường trịn nộitiếp r tam giác ABC

4 Một số toán liên quan giải tam giác :

Bài 1: ( Định lý hàm số cosin) cho tam giác ABC có AB = c , AC = b , góc BAC  Tính cạnh BC phụ

theo b,c 

Bài 2: ( Định lý hàm số sin) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn( 0;R) có BC = a ; AB = c Chứng tỏ

rằng

sin

a

R

A góc Â nhọn

sin(180

A

R A



 , góc A tù

Bài 3: ( Định lý trung tuyến tam giác) cho tam giác ABC có ba cạnh BC = a ,AC = b, AB = c Tính độ dài trung tuyến AM tam giác ABC phụ thuộc vào a, b, c

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 12,425cm, AC = 14,12cm góc BAC băng 720

Tính độ dài đường cao BK, CF, tam giác ABC.b) Tính diện tích tam giác ABC c)Tính góc cịn lại tam giác ABC d) Tính độ dài đường cao AH tam giác ABC cạnh BC? d) Tính góc lại tam giác ABC

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = 15,652 cm góc ABC = 620 ; góc BCA 480.

a)Tính độ dài đường cao BK, CF, tam giác ABC b)Tính độ dài hai cạnh AB AC.c)Tính độ dài đường cao AH tam giác ABC, Tính diện tích tam giác ABC? d)Tính độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp R bán kính đường trịn nội tiếp r tam giác ABC

Bài 3:cho tam giác ABC có ba cạnh BC =14,15cm ,AC = 12,521cm, AB = 11,25cm Kẻ đương cao AH tam giác ABC a) Tính BH? HC, AH? b) Tính góc cịn lại tam giác ABC

c)Tính độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp R bán kính đường trịn nội tiếp r tam giác ABC

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 7,25cm ;AC = 6,2cm góc BAC = 630 tính cạnh BC?

Bài 5: cho tam giác ABC có AB = 81,25cm, AC = 72,21cm ,BC = 79,45cm Gọi M trung điểm cạnh BC Tính Độ dài trung tuyến AM bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

DẠNG 7: DIỆN TÍCH - THỂ TÍCH

Bài 1: Cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh BC, Biết BC + CD = 15,24 cm

3

BC CD 

Tính diện tích tồn phần thể tích hình trụ tạo thành

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, quay xung quanh AC, biết BC = 5,025 cm.và góc B = 680 Tính diện

tích xung quanh thể tích hình nón tạo thành

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A biết BC = 5,025cm AC = 4,28cm

Tính diện tích xung quanhvà thể tích hình nón tạo thành tam giác vuong ABC quay xung quạnh AB b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình nón tạo thành tam giác vuông ABC quay xung quanh cạnh AC, c) Tính diện tích tồn phần thể tích hình tạo thành tam giác vng ABC quay xung quanh cạnh AC

Bài 4: Hình chữ nhật ABCD Có diện tích 96cm2 chu vi 40cm.