Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do 1. Xác định chu kỳ dao động của tải trọng Q gắn vμo các lò xo vμ tìm hệ số cứng tương đương của hệ mô tả trên hình vẽ. Các tải trọng dịch chuyển theo phương thẳng đứng.
Bi tập chơng I Dao động tuyến tính hệ bậc tự Xác định chu kỳ dao động tải trọng Q gắn vào lò xo tìm hệ số cứng tơng đơng hệ mô tả hình vẽ Các tải trọng dịch chuyển theo phơng thẳng đứng Trả lời: 1a) T = M Q = 2π ; C = C1 + C C g( C + C ) 1b) T = 2π Q ; C = C1 + C g( C + C ) 1c) T = 2π Q( C + C ) C C ; C= g(C C ) C1 + C C C Q(CL3 + 48EJ ) ; C= 1d) T = 2π C1 + C 48gCEJ 1e) T = 2π C1 QL3 48EJ ; C = C1 + 3 g(CL + 48EJ ) L C1 C2 L EJ C1 Q C1 EJ Q C1 C2 Q C2 L L Q L Q a) b) c) d) c) H×nh vÏ bt Mét tải trọng khối lợng m đợc gắn vào không trọng lợng cứng tuyệt đối, dài 3L Thanh đợc gắn vào mặt phẳng cố định hai lò xo có độ cứng C Tính tần số dao động riêng lắc khi: a) Thanh thẳng đứng (hình 2a) b) Thanh nằm ngang (hình 2b) Trả lời: a) k = 143 5C 1g + 9m 3L b) k = 5C 9m L C L L L L C m C C L m a) b) H×nh vÏ bt Tìm tần số dao động riêng lắc thẳng đứng, giả thiết tuyệt đối cứng Trả lời: k = C g m 2m 2L m C m L L C C C C C L L L m H×nh vÏ bt H×nh vÏ bt 4 HÃy xác định chu kỳ dao động nhỏ lắc dùng số máy ghi động đất Con lắc gồm cứng chiều dài L, đầu mang khối lợng m bị ép hai lò xo nằm ngang có độ cứng C, đầu lò xo gắn chặt Bỏ qua khối lợng coi lò xo vị trí cân cha bị dÃn Trả lời: T = 2π 2C g − m L Ng−êi ta gắn tải trọng khối lợng m lên cột chống mềm thép độ cứng C1, tiết diện ngang hình chữ nhật Cột đợc giữ thẳng đứng nhờ hai lò xo với độ cứng C2 Tìm tần số dao động riêng tải trọng, biết khối lợng cột chống lò xo nhỏ so với khối lợng tải trọng; ảnh hởng trọng lợng tải trọng lên độ uốn cột chống bỏ qua 144 Trả lêi: k = 2C a − mgL a (L − a ) ⎤ ⎡ mL ⎢L + 2C 3EJ ⎥⎦ ⎣ Trong bé ghi rung dùng để ghi dao động móng, phận máy, , lò xo xoắn có độ cứng C giữ lắc trọng lợng Q lệch khỏi đờng thẳng đứng góc Mô men quán tính lắc trục quay J HÃy xác định chu kú dao ®éng tù cđa bé ghi rung J Tr¶ lêi: T = 2π Qs cos α + C m EJ C2 L C2 s α a Q h×nh vÏ bt h×nh vÏ bt H·y xác định chu kỳ dao động tự móng máy đặt đất đàn hồi bị lệch khỏi vị trí cân Trọng lợng móng máy Q =1470KN, diện tích đế móng S = 50m2; ®é cøng riªng cđa ®Êt λ = 30 N / cm (HƯ sè cøng cđa ®Êt b»ng C = λS ) Tr¶ lêi: T = 2π Q = 6,28.10 − rad / s gC x Q Q x h×nh vÏ bt h×nh vÏ bt 8 Lång thang máy có trọng lợng Q = 30KN hạ xuống giếng mỏ với vận tốc u = 3m/s, hÃm chặt đầu dây cáp lại, lồng không hạ xuống HÃy xác định chuyển 145 động tiếp sau lồng, hệ số cứng dây C = 27,5 KN/cm Bỏ qua khối lợng dây cáp Trả lời: x =0,1sin(30t) cm Một đĩa khối lợng m, mômen quán tính khối lợng Jo, đợc gắn vào may bán kính r May đĩa đợc đặt lên thiết bị dẫn hớng cong tròn bán kính R Lập phơng trình vi phân dao ®éng nhá tù cđa ®Üa víi gi¶ thiÕt đĩa chuyển động may không trợt cấu dÉn h−íng ( ) r2 Tr¶ lêi: mr + J o ϕ+ mg sin ϕ = R−r ( •• ) r2 Dao ®éng nhá: mr + J o ϕ+ mg ϕ=0 R−r •• C R r R α h×nh vÏ bt h×nh vÏ bt 10 10 Một xe goòng khối lợng m đợc đặt mặt nhám nằm nghiêng, xe goòng đợc giữ mặt nghiêng lò xo có độ cứng C Lập phơng trình vi phân dao động nhỏ xe goòng, biết cặp bánh xe goòng có mô men quán tính khối lợng J; bán kính bánh xe R bánh xe lăn không trợt mặt nghiêng •• Tr¶ lêi: (mR + 2J ) ϕ+ CR ϕ = 0; ϕ - gãc quay cđa b¸nh xe 11 Lập phơng trình vi phân dao động nhỏ tự khối lợng m hệ mô tả ã hình vẽ, biết lực cản dao động tỷ lƯ thn víi vËn tèc chun ®éng: F = α y •• • ⎧ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ y m y y + δ − α = δ − ⎜ ⎟ ⎜ 11 12 k ⎟ ⎪ ⎪ ⎠ Trả lời: ãã ã y = δ ⎛⎜ − m y ⎞⎟ + δ ⎛⎜ − α y ⎞⎟ k 21 22 k ⎪⎩ ⎠ ⎝ 12 Ngời ta gắn tải trọng có trọng lợng P vào cứng tuyệt đối không quán tính dài L Thanh đợc giữ vị trí cân nhờ lò xo giảm chấn Bộ giảm chấn ã có đặc trng ma sát tuyến tính F = α x 146 TÝnh tÇn sè dao động riêng hệ độ suy giảm tắt dần LogarÝt Λ cđa dao ®éng BiÕt P = 100N; L = 50cm; a = 20cm; đờng kính lò xo D = 5cm; đờng kính dây lò xo d = 0,5cm; số vòng lò xo i = 5; môđun đàn hồi G = 8.106N/cm2; hệ số cản chuyển động gi¶m chÊn α = 3NS/cm Tr¶ lêi: K = 11,5 rad / s ; Λ = 1,29 P y EJ L C K L/2 α m a L/2 h×nh vẽ bt 11 hình vẽ bt 12 13 Gắn khối lợng m vào đầu Gắn vào phần tử cản đàn hồi Bỏ qua khối lợng a) Phải chọn độ lớn hệ số cản b để hệ dao động nhỏ; b) Xác định độ cản Lehr D cần thiết để sau 10 dao động biên độ giảm biên độ 10 chu kỳ đầu; sau xác định chu kỳ dao động (Độ cản Lehr: D = n b D = ; Độ suy giảm tắt dần Logarit: = δT = 2π ) k mC 1− D2 Tr¶ lêi: a) b < Cm + gm 2a b) D = 0,037; T = 2π 2am 2aC + gm 14 Hệ cho hình vẽ nằm mặt phẳng thẳng đứng Vị trí cân tĩnh hệ ứng với vị trí cân tĩnh OM thời điểm đầu lệch khỏi vị trí cân tĩnh ngợc chiều kim đồng hồ góc vận tốc ban đầu Xác định dao động nhỏ hệ Khối lợng lò xo, thanh, giảm chấn ma sát lề bỏ qua Lấy trọng lợng tải trọng M P = 200N, L = 90cm, L1 = 40cm, L2 = 20cm, ϕ0 = 60, C = 20N/cm, μ = 15NS/cm Tr¶ lêi: ϕ = 0,12e −7, 25 t sin (8,7t + 0,28π) 147 O L1 μ a A ϕ b L2 L C C B a m C M h×nh vÏ bt 13 h×nh vÏ bt 14 15 Cho biết cấu gồm tải trọng khối lợng m đợc gắn vào hai lò xo độ cứng C Tải trọng đợc ngâm ống đầy chất lỏng Lực cản chuyển động tải trọng ống đợc điều chỉnh nhờ thay đổi khe hở tải trọng ống độ nhớt chất lỏng a) Lập phơng trình vi phân dao động nhỏ tự tải trọng b) Tính thời gian để biên độ dao động tự tải trọng giảm 100 lần, biết t ã = 0: x(0) = x0, x(0) = Khi gi¶i gi¶ thiÕt lực cản chuyển động tải trọng tỷ lệ thuận víi vËn tèc chun ®éng; m = 0,5NS / cm; C = 10 N / cm; α = 5NS / cm [ ] α 2C ⎧ − nt 2 = − = = x x e cos k n t , n , k ⎪⎪ 2m m Tr¶ lêi : ⎨ ⎪t = Ln100 = 0,92s ⎪⎩ n C C m H m d C D h×nh vÏ bt 15 h×nh vÏ bt 16 148 16 Bộ phận cản thuỷ lực (hoàn xung hay giảm chấn thuỷ lực) píttông khối lợng m chuyển động chất lỏng HÃy khảo sát chuyển động píttông biết t = píttông lệch với vị trí cân khoảng y0 = 0,5cm Tìm thời gian để độ lệch píttông vị trí cân giảm hai lần Cho biết: độ cứng lò xo C=30N/cm; đờng kính hình trụ D = 10cm; đờng kính lỗ hở píttông d = 1cm; số lỗ hở z = 25; trọng lợng pittông Q = 27,3N; chiỊu cao pÝtt«ng H = 5cm HƯ sè nhít ®éng lùc chÊt láng μ = 6.108NS/cm; tính lực cản nhớt lấy theo công thức: = πD 128μHσ ; σ = πd z diƯn tÝch ngang pÝtt«ng [ ] β ⎧ − nt 2 ⎪⎪ y = y e cos k − n t , n = 2m = 5,42 Tr¶ lêi: ⎨ ⎪k = C = 1080 rad / s; t = 0,03s m ⎩⎪ 17 T×m biểu thức phụ thuộc tần số dao động xoắn riêng trục máy trộn độ nhớt chất lỏng ®em trén cịng nh− thêi gian ®Ĩ biªn ®é trơc máy trộn giảm 10 lần sau môtơ dừng lại đột ngột, biết vận tốc quay trớc lúc môtơ dừng lại Khi tính giả thiết khối lợng trục nhỏ so với khối lợng cánh, mômen quán tính khối lợng cánh J = 50 Ncms2, đờng kính trục d = 5mm; độ dài trục L = 0,5m; hệ số cản nhớt =120N cms; môđun trợt vËt liƯu trơc G = 8.106 N/cm2 Tr¶ lêi: ϕ = − d αΩ −1, t e cos 4,25t; t = 1,9s C L Q O1 Q O2 C h×nh vÏ bt 17 h×nh vÏ bt 18 18 Máy rung dùng để tạo dao động gồm hai đĩa mắc lệch tâm hai trục song song, trọng lợng đĩa Q, trọng lợng toàn máy P, tâm sai hai đĩa r Khi lắp ráp ban đầu đĩa tạo với phơng nằm ngang góc 1, 149 Hai ®Üa quay ng−ỵc chiỊu víi vËn tèc gãc ω Máy gắn bu lông bệ đàn hồi độ cứng C HÃy xác định biên độ dao động cỡng máy, bỏ qua trọng lợng Trả lời: A = 2Qr Cg − ( P + Q) ω2 sin α1 + α 2 19 HƯ t¹o tõ tải trọng M trọng lợng P1 = 80 N, không trọng lợng lò xo có độ cứng C = 5N/cm nằm mặt phẳng đứng Thanh OA chuyển động theo rÃnh thẳng đứng với quy luật y0 = Lsinpt (L = 1,6 cm; p = rad/s) Vị trí nằm ngang BM tơng ứng với vị trí cân tĩnh y = Xác định dao động nhỏ tải trọng hớng thẳng đứng BiÕt L1 = 90 cm; L2 = 60 cm T¹i thời điểm đầu (t = 0) hệ vị trí c©n b»ng tÜnh, vËn tèc gãc cđa BM cịng nh− vËn tèc cđa t¶i träng M b»ng 0; y = 0; bỏ qua ma sát Trả lời: = 0,0785sin5,2t 0,0505sin8t 20 Cơ cấu dẫn động cho van có sơ đồ hoá dới dạng khối lợng m mắc hai lò xo: Lò xo có độ cứng C gắn vào điểm cố định, Lò xo dới có độ cứng C1 gắn vào cam chuyển động tịnh tiến Trên mặt cắt cam phải định trớc chuyển động thẳng đứng xác định công thức: x1 = a(1 − cosωt) ≤ t ≤ x1 = t> 2π ω 2π ω H·y x¸c định chuyển động khối lợng m Trả lời: x = x= C1 a ⎡ 1 ⎤ (1 − cos kt ) + (cos kt − cos ωt )⎥ 2 ⎢ m ⎣k k −ω ⎦ C 1a ⎡ 1 ⎤⎡ π ⎤ − ⎥.⎢cos kt − cos k(t − ) 2 ⎢ 2ω ⎥⎦ m ⎣k − ω k ⎦⎣ M y0 B ≤ t ≤ t > 2π ω 2π ω C x m O C1 C A L2 L1 h×nh vÏ bt 19 h×nh vÏ bt 20 150 21 Một động có trọng lợng Q đặt thẳng đứng bệ máy có diện tích đáy S; ®é cøng cđa ®Êt b»ng λ; ®é dµi tay quay động L; vận tốc góc trục Píttông phần không cân thực chuyển động tịnh tiến qua lại có trọng lợng P Trọng lợng móng máy G tay quay coi nh cân nhờ đối trọng HÃy xác định dao động cỡng móng máy, bỏ qua khối l−ỵng cđa trun Pr ω r Pr ω Tr¶ lêi: ξ = cos ωt + cos 2ωt L (Q + G )( k − 4ω ) (Q + G )( k − ω ) P Q η L m x1(t) C ξ ω α r G ζ O h×nh vÏ bt 21 h×nh vẽ bt 22 22 Bánh xe lăn đờng gồ ghề có vận tốc trục bánh xe không đổi V Tải trọng khối lợng m gắn với trục bánh xe lò xo độ cứng C Trong lò xo có ma sát nhớt, hệ số cản lực cản tỉ lệ với vận tốc tơng đối Bỏ qua biến dạng bánh xe mặt đờng Viết phơng trình dao động tơng đối thẳng đứng tải trọng Biết phơng trình mặt đờng: η = η max sin ⎜⎜ ⎟⎟ víi L - chiều dài sóng L Trả lời: y = Be − nt [cos ε cos k t + p= ( n cos ε + p sin ε) sin k t ] − B cos(pt − ε) k1 2πV 2np ; ε = arctg ; B= L k − p2 P0 ( k − p ) − 4n p ; P0 = η max p2 23 Cho biÕt ë thêi ®iĨm ban đầu khối lợng m lệch khỏi vị trí cân khoảng x0 Nó đợc thả tự vận tốc ban đầu Khi khối lợng trợt mặt, chúng ã xuất lực ma sát khô (ma sát Culông) Sự phụ thuộc lực ma sát Ft với vận tốc x khối lợng m đợc mô tả hình vẽ Tìm quy luật chuyển động khèi l−ỵng m (2n − 1)Ft ⎤ Ft C ⎡ n −1 Tr¶ lêi: x m = ⎢ x − + − cos kt ( ) , k= 2 ⎥ mk mk m ⎣ ⎦ 151 24 Giả sử lực kích động biến đổi theo quy luật: F(t) = F0sint tác dụng lên khối lợng m Lập phơng trình dao động cỡng tải trọng cho biết với tần số lực kích ®éng hƯ sÏ x¶y céng h−ëng (bá qua ma sát) Trả lời: x = 2F0 4F0 cos 2nωt k − ; ω= ; n = 1, 2, ∑ 2 πC πm n =1 (2n − 1)(2n + 1)(k − 4n ω ) 2n x m C C/2 Ft m C F(t) F(t) • x F0 h×nh vÏ bt 23 t π/ω 2π/ω h×nh vẽ bt 24 25 HÃy khảo sát chuyển động khối lợng m có lực không đổi Q đột ngột tác dụng lên (tức giả thiết F(t) = Q) Tr¶ lêi: y(t) = Q (1 – cos pt); ymax = 2δt mp ω F(t) r m L α F(t) m t C C δt h×nh vÏ bt 25 hình vẽ bt 26 26 Ngời ta đặt khối lợng m lên hai lò xo, lò xo có độ cứng C nối với cấu tay quay then trun qua bé gi¶n chÊn cã hƯ sè cản nhớt Viết phơng trình vi phân chuyển động khối lợng m Tìm ứng suất xuất lò xo, biết đờng kính lò xo D, đờng kính dây thép lò xo d, vận tốc góc tay quay tần số dao động riêng tắt dần khối lợng m lò xo 152 40 HÃy xác định tần số dao động xoắn tự hệ gồm hai trục liên kết với bánh truyền động Mômen quán tính khối lợng lắp trục mômen quán tính bánh đờng tâm trục bằng: J1 = 87500 kgcms2; J2 = 56000 kgcms2; J1z = 302 kgcms2; J2z = 10,5 kgcms2; Tû sè truyÒn λ = Z1/Z2 = 5; Độ cứng trục xoắn: C1 = 316.106 Kgcm; C2 = 115.106 Kgcm Bá qua khối lợng trục Trả lời: k1 = 54,8 rad/s; k2 = 2,38.103 rad/s 41 Mét c¬ hƯ gåm khối lợng m1 pittông giảm chấn gắn cứng với điểm B Nhờ lò xo có độ cứng C1, hệ treo vào phẳng A chun ®éng theo quy lt: ξ = ξ(t) Hép cđa giảm chấn có khối lợng m2 tựa lò xo có độ cứng C2, đầu lò xo tựa pittông Ma sát nhớt giảm chấn tỷ lệ với vận tốc tơng đối pittông so với hộp, hệ số cản HÃy thiết lập phơng trình chuyển động hệ ã ã ãã m x x x + β − β 1 − ( C + C ) x − C x = C ξ( t ) Trả lời: ãã ã ã ⎪⎩m x − β x + β x − C x + C x = O A II II O1 C ξ(t) m1 C2 I I m2 B h×nh vÏ bt 40 hình vẽ bt 41 42 HÃy tìm tần số dạng dao động hai tải trọng nh Q, gắn vào hai đầu dầm công xôn nằm ngang Dầm có độ dài 3L nằm tự hai gối đỡ cánh khoảng L, điểm gắn tải trọng cách gối khoảng L nh Mômen quán tính tiết diện ngang dầm J; Môđun đàn hồi vật liệu dầm E Bỏ qua khối lợng dầm Trả lêi: k = 6EJg ; k2 = 5QL3 2EJg QL3 158 43 Động điện trọng lợng Q1 gắn móng bê tông đàn hồi (dạng hình hộp đặc) có trọng lợng Q2 hệ số cứng C2 Móng đặt đất cứng Rôto có trọng lợng P lắp trục đàn hồi nằm ngang có hệ số cứng uốn C1, tâm sai Rôto trơc b»ng r, vËn tèc gãc cđa trơc b»ng ω HÃy xác định dao động cỡng thẳng đứng Stato động có tính đến ảnh hởng khối lợng móng cách cộng thêm 1/3 khối lợng vào khối lợng Stato Trả lời: Độ lệch khỏi vị trí cân Stato: C Pgr sin(ωt ) y= 1 ⎤ ⎡ C 1C g − ⎢(C + C )P + C (Q + Q )⎥ gω + (Q + Q )ω 3 ⎦ ⎣ ωt rP C1 Q Q1 Q L L L C2 Q2 h×nh vÏ bt 42 h×nh vÏ bt 43 44 Ba toa tầu chở hàng móc với nhau, độ cứng móc nối toa C1, C2 Trọng lợng toa Q1, Q2, Q3 Tại thời điểm ban đầu hai toa vị trí cân bằng, toa cuối bên phải lệch khỏi vị trí cân khoảng x0 a) Tìm tần số dao động hệ b) Xác định chuyển động toa xe vẽ dao động trờng hợp: Các toa xe có trọng lợng (Q1 = Q2 = Q3 = Q) móc nèi cã ®é cøng nh− (C1 = C2 = C3 = C) Tr¶ lêi: a) k1 = 0, k2 k3 nghiện phơng trình: C C C C C CC ⎞ C + C2 C3 ⎞ ⎟⎟ k + g ⎜⎜ + + ⎟⎟ = k − g⎜⎜ + + Q2 Q3 ⎠ ⎝ Q1 ⎝ Q 1Q Q Q Q 1Q ⎠ b) x = x2 = 159 x0 x0 x cos k t + cos k t ; − x0 x0 cos k t − x3 = 3Cg gC ; k3 = Q Q x0 x0 x cos k t + cos k t ; k = + Các dao động biĨu diƠn nh− sau: 1 1 45 a) Xác định tần số dao động riêng dầm tiết diện không đổi có hai khối lợng tập trung m1 = m, m2 = 2m (H×nh vÏ 45a) b) Đặt lực tức thời P(t) =P0 lên khối lợng m1 Tìm quy luật dao động tải trọng mômen uốn dầm (Hình vẽ 45b) Trả lời: a) k = 5,6117 EJ FJ ; k = 17,10 mL mL3 P0 L3 b) x = ( 25 − 20 cos k t − cos k t − cos k t ) 3888EJ P0 L3 (39 − 40 cos k t + cos k t ) x2 = 3888EJ x3 = P0 L3 (17 − 20 cos k t + cos k t − cos k t ) 3888EJ k1 = 5,643 EJ EJ EJ ; k = 22,4045 ; k = 36 3 mL mL mL3 P0 m1 C1 m2 C2 m3 EJ m1 m2 L/4 h×nh vÏ bt 44 EJ L/4 L/6 m2 m1 L/3 L/3 L L a) b m3 L/6 hình vẽ bt 45 46 Ngời ta gắn trục chung động bốn nhịp với ba xi lanh Rôto máy phát điện chiều có mômen quán tính J1 = 1,78.103 kgcms2 Rôto máy phát điện xoay chiều có mômen quán tính J2 = 5J1 bánh đà có mômen quán tính J3 = 50J1 Độ dài thu gọn phần trục L1 = 373 cm; L2 = 239 cm; Môđun trợt vật liệu trục G; 160 mômen quán tính độc cùc cđa tiÕt diƯn trơc b»ng JP; tÝch GJP = 1010 kgcm2 HÃy xác định: Tần số dao động cđa hƯ, vËn tèc tíi h¹n cđa trơc Bá qua ảnh hởng khối lợng pittông, truyền, tay quay trục Trả lời: k1 = 0; k2 = 6,43 s-1; k3 = 138 s-1; ω(1)th = 42,6 s-1; ω(2)th = 92 s-1 L1 J1 h×nh vÏ bt 46 161 L2 J2 J3 Bi tập chơng III Dao động hệ có vô số bậc tự 47 Trên bị ngàm hai đầu tác dụng lực dọc trục không đổi P Dao động xảy nh lực P bị cắt bỏ Trả lời: U = n −1 nπx P 4εL − ( ) sin cos p n t; ε = ∑ 2 L 2EF n π n =1,3, 48 H·y xác định tần số riêng hàm riêng đầu bị ngàm chặt, đầu mang khèi l−ỵng m λ x E ; x n (x) = C n sin n ; n = 1, 2, L ρL Tr¶ lêi: p n = n n nghiệm phơng trình: cot gλ = m μρ λ; λ4 = L ; μ = ρF μL EJ 49 Mét bÞ ngàm chặt đầu phải, bên trái gắn vào lò xo Xác định tần số 2EF riêng C * = L E Tr¶ lêi: p1 = 2,29 ρL2 r P O L/2 m x L/2 O L x C* x O L εL/2 h×nh vÏ bt 47 h×nh vÏ bt 48 h×nh vÏ bt 49 50 Trơc đồng chất hình trụ tròn đặt hai ổ đỡ nh hình vẽ Biết JP1/ JP2 = Xác định tần số riêng dao động xoắn cđa trơc Tr¶ lêi: p1 = λ ρG, JP1 a G = 1,15 ; λ lµ nghiƯm cđa phơng trình: sin + sin = a* ρa *2 ρG, JP2 ρE, EJ m L a* 2a* h×nh vÏ bt 50 h×nh vÏ bt 51 162 51 Cho dầm đồng chất tiết diện không đổi, đầu trái bị ngàm chặt, bên phải tự m mang khối lợng m Biết = = Xác định tần số riêng tần số riêng bậc L Trả lời: p n = λ2n EJ ; p = 1,742 ML4 EJ μL4 Với n nghiệm phơng trình: + chλcosλ + ελ(shλcosλ − chλsinλ) = 163 Bμi tËp chơng V Cơ sở lý thuyết dao động phi tuyến 52 Một xà cứng có tiết diện ngang không đổi dài 2L, khối lợng m đợc gắn lề điểm A đợc giữ thăng hai lò xo có độ cứng C Lập phơng trình vi phân dao động nhỏ xà, biết phụ thuộc lực cản lò xo độ dÃn dài tuyến tính Tìm tần số riêng dao động nhỏ xà ãã 1 CL2 cos ϕ cos α ⎛⎜ ⎟=0 mL α + − ⎟ ⎜ − sin α sin ϕ sin ϕ sin sin + α ϕ ⎠ ⎝ Tr¶ lêi: a) 3C cos ϕ m b) p = L O ϕ L O C ϕ C L C C L α A L L h×nh vÏ bt 52 hình vẽ bt 53 53 Một xà cứng độ dài 2L, tiết diện ngang không đổi, trọng lợng Q, đợc treo đầu mút đợc giữ thẳng đứng nhờ hai lò xo có độ cứng C Lập phơng trình vi phân dao động tự xà Tính tần số riêng dao động nhỏ xà •• Tr¶ lêi: a) α + 3g 3Cg sin α + 4L 4Q ( + sin α − ) − sin α = ; b) p = 3g ⎛ C ⎞ ⎜ + ⎟ ⎝Q L⎠ 54 Cho biÕt khèi l−ỵng m cã thĨ di chuyển tự không ma sát dọc theo trục nằm ngang hai phía khối lợng ngời ta gắn hai lò xo nh nhau, độ cứng C Giữa lò xo gối có khe hở Tìm tần số dao động hệ phụ thuộc vào biên độ x0 Trả lêi: p = πp ; p0 = 2Δ π+ x0 − Δ C m 164 Δ Δ C C C1 m m C2 x0 h×nh vÏ bt 54 h×nh vẽ bt 56 55 Giải tập 54 với độ cứng hai lò xo khác (C1 C2) 2p p Trả lời: p = (p + p )(π + 2Δ ) x0 56 Giả thiết khối lợng m dịch chuyển tự (không ma sát) mặt phẳng nằm ngang Khi chuyển động khối lợng tiếp xúc với hai lò xo gắn hai phía Lò xo không gắn cứng vào khối lợng vị trí cân (khi lò xo khối lợng khe hở) lò xo không bị nén kéo Độ cứng lò xo khác C1 C2 Tìm tần số dao động hƯ Tr¶ lêi: p = C 1C m ( C1 + C ) 57 Cho biÕt khèi lợng m đợc gắn vào hai lò xo kéo với độ căng ban đầu To Giả sử dao động khối lợng mặt phẳng ngang ma sát HÃy tìm giá trị độ lệch ban đầu x0 cho tần số dao động khối lợng rad/s HÃy giải toán phơng pháp tham số bé giới hạn xấp xỉ bậc Cho m = 0,01 Ns2 /cm; L0 = 50 cm; T0 = 50 N; C = 20 N/cm Tr¶ lêi: x0 ≈ 9,12 cm y L0 r F C m C x R L0 C h×nh vÏ bt 57 165 hình vẽ bt 59 58 Cho biết phơng trình dao động tự lắc toán học có dạng: •• ϕ+ g sin ϕ = Trong ®ã: L độ dài lắc L Tìm tần số dao ®éng tù cđa nã biÕt r»ng khai triển hàm sin chuỗi Taylor ta lấy hai số hạng đầu Cho biết thời điểm ban đầu (t = 0) lắc lệch khỏi vị trí cân thẳng đứng góc HÃy giải toán phơng pháp tham số bé phơng pháp tuyến tính hoá trực tiếp so sánh kết thu đợc: g 02 Trả lời: a) Phơng pháp tham sè bÐ: p = ⎜⎜1 − L⎝ Phơng pháp tuyến tính hoá trực tiÕp: p 12 = p 02 ⎜⎜1 − 42 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ g ⎟; p = ⎟ L ⎠ b) Δ = 0,006p 02 02 59 Tìm tần số dao động đòn bẩy cho lực không đổi F tác dụng vào Mô men quán tính khối lợng đòn bẩy J, độ cứng trục C Giả sử dao động đòn bẩy lớn, khai triển hàm sin chuỗi Biết thời điểm ban đầu (t = 0) góc quay Taylor ta lấy hai số hạng sin = ã ã đòn bẩy (0) = 0, cßn vËn tèc gãc ϕ(0) = ϕ HÃy giải toán phơng pháp tham số bé phơng pháp Butnốp-Galepkin so sánh kết thu đợc Trả lời: Kết hai phơng pháp trùng nhau: ⎛ • ⎞ ⎜ ϕ ⎟ FR C − FR p12 = p + ⎜ ⎟ , p = ⎜ p1 ⎟ GJ J 60 Ngời ta gắn khối lợng m vào đầu mút yếu tố đàn hồi phi tuyến (lò xo) Giả sử lực động điều hoà có dạng F = F0 sin t, đặc trng lò xo có dạng T = Cx + C1x3 ma sát không ®¸ng kĨ Cho F0 = 20N ; ω = 10rad/s, m = 10 –1Ns2/cm C = 15N/cm; C1 = 1,0N/cm Với giá trị tần số lực kích ®éng hƯ sÏ tån t¹i hai chÕ ®é dao ®éng bình ổn Tính biên độ dao động hai chế độ m F hình vẽ bt 60 Trả lời: ω* = 16,6 rad/s; a0 = 4,76 cm; a1 = - 2,38 cm 166 61 Tìm nghiệm gần phơng trình dao động cỡng khối lợng m (xem hình vẽ BT 60) phơng pháp Đufinh, biết thời điểm ban đầu khối lợng m có độ lệch cực đại vị trí cân x0 (các trị số số lấy nh BT 60) Tr¶ lêi: x= 2,27sin10t – 0,363.10-1(sin10t – sin30t) 167 Tμi liệu tham khảo Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Chiều, Khổng DoÃn Điền Bài giảng Lý thuyết dao động ĐHTL - Hà Nội 1988, 88 tr Giáo trình Cơ học lý thuyết Tập II ĐHTL - Hà nội 1977 Бабаков И М Теория колебаний изд 2-е М Наука - 1965- 650с Бутенин Н В Элементы теории нелинейных колебаний Л.Сидпромгиз -1962 - 194c Быховский И И Основы теории вибрационной техники М.Машиностроение 1969 - 364c Пановко Я Г Основы прикладной Л.Машиностроение -1976 319c теории колебаний и удара - Тимошенко С П колебания в инженерном деле М Наука - 1967 - 444c Филипов А Л колебания . -1970 - 732c Nguyễn Văn Khang Dao động kỹ thuật NXB KHKT Hà Nội 2001 10 Ngun Thóc An Lý thut va ch¹m däc cđa đàn hồi ứng dụng vào toán cọc - ĐH Thuỷ lợi 1991 11 Nguyễn Thúc An áp dụng lý va chạm dọc vào toán đóng cọc - ĐH Thuỷ lợi 1999 12 Kolsky - Stress waves in soil - Oxford 1953 13 Кильчевский Н А Теория соударений твердых тел- Киев 1969 14 P C Muller, W O Schiellen, Dao động tuyến tính dịch giả Nguyễn Đông Anh, NXB Xây Dựng 1997 15 Nonlinear oscillations Ali Hasan NayFeh and Dean T Mook, John Willey & Sons, New York, 1979 168 169 Môc lôc Trang Lêi nãi đầu Chơng mở đầu Đ1 Một vài khái niệm định nghĩa Đ2 Động hệ Đ3 Thế hệ Đ4 Hàm hao tán Đ5 Phơng pháp thiết lập phơng trình vi phân chuyển động 5.1 Thiết lập phơng trình vi phân chuyển động nhờ phơng trình LagrăngII 5.2 Thiết lập phơng trình vi phân chuyển động theo phơng pháp Đalămbe 5.3 áp dụng phơng pháp lực để thiết lập phơng trình vi phân dao động nhỏ Đ6 Xác định độ cứng hệ dao động 10 6.1 Thanh đàn hồi 10 6.2 Hệ lò xo 12 Chơng I: Dao động tuyến tính hệ bậc tự 14 Đ1.1 Dao động tự cđa hƯ tun tÝnh mét bËc tù 14 1.1.1 Dao động tự không cản 14 1.1.2 Dao động tự có cản 17 Đ1.2 Dao động cỡng cđa hƯ tun tÝnh mét bËc tù 22 1.2.1 Dao động cỡng không cản 23 1.2.2 Dao động cỡng có cản 26 1.2.3 Đệm đàn hồi Máy 30 1.2.4 áp dụng phép biến đổi Laplace tính toán dao động cỡng 32 Chơng II: Dao động tun tÝnh cđa hƯ nhiỊu bËc tù 38 §2.1 Hệ nhiều bậc tự Phơng pháp chung thiết lập phơng trình vi phân chuyển động 38 2.1.1 Hệ nhiều bậc tự 38 2.1.2 Phơng pháp chung thiết lập phơng trình vi phân chuyển động 38 2.1.3 Những nguyên tắc giải phơng trình dao động hệ 40 169 §2.2 Dao ®éng tun tÝnh cđa hƯ cã hai bËc tự 41 2.2.1 Dao động tự cản 41 2.2.2 Dao động cững không cản 46 2.2.3 Một vài toán ứng dụng 49 Đ2.3 Dao động xoắn trục mang đĩa 55 2.3.1 Phơng trình Phơng trình tần số 55 2.3.2 Phơng trình dao động xoắn cỡng trục mang đĩa 57 Đ2.4 Dao động uốn dầm có khối lợng tập trung 59 2.4.1 Phơng trình Phơng trình tần số 59 2.4.2 Phơng trình dao động uốn cỡng dầm có khối lợng tập trung 60 Chơng III: Dao động tuyến tính hệ có vô số bậc tự 65 Đ3.1 Dao động dọc tiết diện không đổi 65 3.1.1 Phơng trình vi phân dao động dọc 65 3.1.2 Giải phơng trình sóng phơng pháp Furiê 66 3.1.3 Các điều kiện biên thanh, phơng trình tần số 67 Đ3.2 Dao động xoắn trục tròn tiết diện không đổi 70 3.2.1 Phơng trình nghiệm 70 3.2.2 Các điều kiện biên - Phơng trình tần số 71 Đ3.3 Dao động uốn dầm tiết diện không đổi 72 3.3.1 Phơng trình 72 3.3.2 Giải phơng trình vi phân dao động uốn dầm tiết diện không đổi 74 3.3.3 Phơng trình tần số 74 Đ3.4 Sự truyền sóng đàn hồi dọc tiết diện không đổi 77 Chơng IV: Va chạm dọc vật rắn vo đn hồi v áp dụng lý thuyết va chạm vo bi toán đóng cọc Đ4.1 Một vài toán va chạm dọc vật rắn vào đàn hồi 79 4.1.1 Va chạm dọc vật rắn vào đàn hồi tự 79 4.1.2 Va chạm vật rắn vào đàn hồi đầu bị gắn chặt 82 Đ4.2 Một vài toán va chạm búa vào cọc 4.2.1 Va chạm búa vào cọc tự 170 79 91 91 4.2.2 Va chạm búa vào cọc tựa cứng 97 4.2.3 Va chạm búa vào cọc đóng đồng đáy cọc gặp lực cản không đổi 103 Chơng V: Cơ sở lý thuyết dao động phi tuyến 124 Mở đầu 124 Đ5.1 Dao động tự không cản hệ bậc tự đặc trng phi tuyến lực phục hồi 126 5.1.1 Phơng trình vi phân nghiệm xác 126 5.1.2 Nghiệm gần phơng trình vi phân 128 Đ5.2 Dao động cỡng không cản hệ bậc tự với đặc trng phi tuyến lực phục hồi 135 5.2.1 Phơng pháp Butnôp-Galepkin 135 5.2.2 Phơng pháp tuyến tính hoá trực tiếp 136 5.2.3 Phơng pháp Đufing 136 phần bi tập Bài tập chơng I 143 Bài tập chơng II 155 Bài tập chơng III 162 Bài tập chơng V 164 Ti liệu tham khảo 168 171 ... bËc tù 14 §1.1 Dao ®éng tù cđa hƯ tun tÝnh mét bậc tự 14 1.1.1 Dao động tự không cản 14 1.1.2 Dao động tự có cản 17 §1.2 Dao ®éng c−ìng bøc cđa hƯ tun tÝnh mét bậc tự 22 1.2.1 Dao động cỡng không... tham kh¶o Ngun Thúc An, Nguyễn Đình Chiều, Khổng DoÃn Điền Bài giảng Lý thuyết dao động ĐHTL - Hà Nội 1988, 88 tr Giáo trình Cơ học lý thuyết Tập II §HTL - Hµ néi 1977 Бабаков И М Теория колебаний... kích động hệ tồn hai chế độ dao động bình ổn Tính biên độ dao động hai chế độ m F hình vÏ bt 60 Tr¶ lêi: ω* = 16,6 rad/s; a0 = 4,76 cm; a1 = - 2,38 cm 166 61 Tìm nghiệm gần phơng trình dao động