Sáng kiến kinh nghiệm: Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm cung cấp cho học sinh lớp 11 thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi giải toán.

1 Mở đầu Lí chọn đề tài Trong q trình giảng dạy mơn tốn trường phổ thơng, nhận thấy học sinh lớp 11 e ngại học phần hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế Do mà có nhiều học sinh học yếu phần học Trên thực tế, hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng không cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian mà cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh….Thêm vào hình học khơng gian cịn phần quan trọng nội dung thi THPTQG Bộ giáo dục, học sinh khơng nắm kỹ em gặp nhiều lúng túng, khó khăn làm phần đề thi Qua trình cơng tác, giảng dạy nhiều năm tơi đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng Từ lý tơi khai thác, hệ thống hóa kiến thức, tổng hợp phương pháp thành chuyên đề: “Phân loại phương pháp giải số toán quan hệ vng góc khơng gian ” Mục đích nghiên cứu Qua chun đề tơi mong muốn cung cấp cho học sinh lớp 11 thêm số kỹ bản, phương pháp chứng minh số dạng toán liên quan đến quan hệ vng góc khơng gian Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm giải toán Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối 11 qua năm giảng dạy từ trước đến Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu sở lý luận có liên quan đến đề tài, nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình SGK Hình học 11, sách tập, sách tham khảo,… Nghiên cứu khả tiếp thu học sinh để có cách trình bày thật dễ hiểu, phù hợp với đối tượng học sinh NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: Khi giải toán chứng minh quan hệ vng góc khơng gian ngồi u cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thiết, vẽ hình ta phải ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm yếu tố khác hình vẽ hay khơng? Hình vẽ thể hết yêu cầu đề hay chưa? Để giải vấn đề ta phải đâu ? Nội dung kiến thức liên quan đến vấn đề đặt ra, trình bày cho xác lơgic… có giúp giải nhiều toán mà khơng gặp phải khó khăn Ngồi nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho dạng toán như: chứng minh hai đường thẳng vng góc, đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Tôi yêu cầu học sinh thực số tập: Bài tốn: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3a, SA vng góc với (ABCD)  góc hợp cạnh bên SC với (ABCD) với tan   2 Chứng minh: BD  SC ; ( SAD)  ( SCD) Chứng minh tam giác SBC vuông */Số liệu cụ thể trước thực đề tài Kết lớp 11C12 ( sĩ số 48) Làm Làm sai Câu 20 18 Câu 18 22 Số h/s lời lời giải 10 Như với tốn quen thuộc kết đạt thấp; sau nêu lên lời giải phân tích hầu hết em học sinh hiểu tỏ hứng thú 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Bài tốn 1:Chứng minh hai đường thẳng vng góc Cách : Dùng quan hệ vng góc biết mặt phẳng Cách : Dùng định nghĩa: a  b � góc (a;b)  90o Cách 3: Dùng định lý 1: a a  (P )� � �� a  b b �(P ) � b P Cách 4: Dùng định lý 2: b a c b // c , a  b �a c Cách 5: Dùng định lý 3: a b a song song (P )� �� a  b b  (P ) � P Cách : Sử dụng định lí ba đường vng góc Cách 7: Dùng hệ quả: Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh cịn lại tam giác  A   AB � ��   BC   AC � B C *) Các ví dụ mẫu: Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý cách chứng minh vng góc có hình học phẳng Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vng A B, SA  ( ABCD) , AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vng Giải: Ta có: SA  ( ABCD) � �� SA  CD(1) CD �( ABCD) � + Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do đó, � ACI  450 (*) Mặt khác, CID tam giác vuông �  450 (*) cân I nên: BCI Từ (*) (**) suy ra: � ACD  900 hay AC  CD (2) Từ (1) (2) suy ra: CD  ( SAC ) � CD  SC hay ∆SCD vng C Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC CMR: MN  BD Giải: Gọi I, P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD Ta có: IN / / AC � �� BD  IN (1) AC  BD � Mặt khác, IM / / BE � �� IM / / PO (*) BE / / PO � Mà PO  BD (**) (vì: BPD tam giác cân P O trung điểm BD) Từ (*) (**) ta có: BD  IM (2) Từ (1) (2) ta có: BD  ( IMN ) � BD  MN Các điểm cần ý giải ví dụ 2: + Chọn mp(IMN) với I trung điểm AB ( BD  AC nên chọn mp chứa MN vng góc với BD mp(IMN)) + Sử dụng giả thiết trung điểm để chứng minh song song + Sử dụng định lý: a / /b � �� b  c a  c� Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, tam giác SAD đều, ( SAD)  ( ABCD) Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD Chứng minh rằng: AM  BP Giải: Gọi I giao diểm AN BP, H trung điểm AD, K giao điểm AN BH Xét hai tam giác vng ABN BCP có: AB=BC, BN=CP Suy ra, ABN  BCP �  CBP � ,� � � � � � mà BAN � BAN ANB  BPC ANB  900 � CBP ANB  900 hay AN  BP (1) SH  AD � � Vì ∆SAD nên: ( SAD)  ( ABCD ) �� SH  BP (*) BP �( ABCD) � � Mặt khác, tứ giác ABNH hình chữ nhật nên K trung điểm HB hay MK / / SH (**) Từ (*) (**) suy ra: BP  MH (2) Từ (1), (2) suy ra: BP  ( AMN ) � BP  AM 2.3.2 Bài toán 2: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Cách : Dùng định lý: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng a b c P b , c cắt , b,c �(P ) , a  b, a  c � a  (P ) Cách : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // đường thẳng vng góc với mặt phẳng đường thẳng vng góc với mặt phẳng b a a // b , b  (P ) � a  (P ) P Cách : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vng góc theo giao tuyến b, đường thẳng a nằm mẵt phẳng vng góc với giao tuyến b đường thẳng a vng góc với mặt phẳng Q a b (P ) �(Q)  b � �� a  (P ) a �(Q),a  b� P Cách : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba  ( ) P ( ) ( ) �( )   � ��   (P ) ( )  (P ),( )  (P )� *) Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giácvvuông C, SA  ( ABC ) a) Chứng minh rằng: BC  ( SAC ) b) Gọi E hình chiếu vng góc A SC Chứng minh rằng: AE  ( SBC ) c) Gọi mp(P) qua AE vng góc với (SAB), cắt SB D Chứng minh rằng: SB  ( P ) d) Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh rằng: AF  ( SAB) Giải: a) Ta có: BC  AC ( gt ) (1) Mặt khác, SA  ( ABC ) � �� SA  BC (2) BC �( ABC ) � Từ (1) (2) suy ra: BC  ( SAB) b) Ta có: AE  SC (3) (gt) Theo a) BC  ( SAB) � AE  BC (4) Từ (3) (4) suy ra: AE  ( SBC ) c) Ta thấy: ( P ) �( ADE ) Theo b) AE  ( SBC ) � BC  AE (5) Trong mp(ADE) kẻ EH  AD, H �AD ( ADE )  ( SAB) � � Vì ( ADE ) �( SAB)  AD �� EH  ( SAB) � SB  EH (6) � EH  AD � Từ (5) (6) suy ra: SB  ( ADE ) hay SB  ( P) d) Từ SA  ( ABC ) � �� AF  SA (7) AF �( ABC ) � Theo c) SB  ( ADE ) � AF  SB (8) Từ (7) (8) suy ra: AF  ( SAB ) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, tam giác SAB tam giác đều, ( SAB )  ( ABCD ) Gọi I, F trung điểm AB AD Chứng minh rằng: FC  ( SID) Giải: Ta có: SI  AB � � ( SAB )  ( ABCD ) �� SI  ( ABCD ) � SI �( SAB ) � � SI  CF (1) Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI DFC có: AI=DF, AD=DC Do đó, AID  DFC � � I�1  F � � � � � � D2  C2 �� F1  D2  90 ta có: �  900 � I�1  D � � �  900 � FHD từ Hay CF  ID (2) Từ (1) (2) suy ra: FC  ( SID) 2.3.3 Bài toán 3: Chứng minh mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Cách : Chứng minh góc chúng vuông �( ) �( )   , Ox �( ),Ox   , Oy �( ),Oy    x O  Khi đó: �   : � �90o góc (( );( ))  góc (Ox;Oy)  xOy y �( )  ( ) �   90o Cách : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vng góc với có đường   thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng a   a �( )� �� ( )  ( ) a  ( ) � *)Các ví dụ mẫu: Phương pháp: Sử dụng cách Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng: ( SBD)  ( ABCD ) Giải:+ Ta có: AC  BD (1) (giả thiết) + Mặt khác, SO  AC (2) (SAC tam giác cân A O trung điểm AC nên SO đường cao tam giác) + Từ (1) (2) suy ra: AC  ( SBD ) mà AC �( ABCD) nên ( SBD )  ( ABCD) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, AD  a , SA  ( ABCD) Gọi M trung điểm AD, I giao điểm AC BM Chứng minh rằng: ( SAC )  ( SMB ) Giải: + Ta có: SA  ( ABCD ) � SA  BM (1) + Xét tam giác vng ABM có: AB tan � AMB   Xét tam giác AM �  CD  Ta vng ACD có: tan CAD AD có: � ))  cot � AIM  cot(1800  ( � AMB  CAD � )0  cot( � AMB  CAD �� AIM  900 Hay BM  AC (2) + Từ (1) (2) suy ra: BM  ( SAC ) mà BM �( SAC ) nên ( SAC )  (SMB ) *) Bài tập: 10 Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm BC, D điểm đối xứng với A qua I, SD  ( ABC ), SD  a Chứng minh rằng: a) ( SBC )  ( SAD) b) ( SAB)  ( SAC ) Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vng tâm O SA  (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc A SB, SC, SD a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC) b) CMR: AH, AK vng góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng c) CMR: HK  (SAC) Từ suy HK  AI Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vng B; SA  (ABC) a) Chứng minh: BC  (SAB) b) Gọi AH đường cao SAB Chứng minh: AH  SC Bài tập 4: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD a) Chứng minh: SO  (ABCD) b) Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC CMR: IJ  (SBD) Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: BC  (AID) b) Vẽ đường cao AH AID Chứng minh: AH  (BCD) 11 Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mp(ABC) Chứng minh rằng: a) BC  (OAH) b) H trực tâm tam giác ABC c) OH  OA2  OB2  OC d) Các góc tam giác ABC nhọn Bài tập 7: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh SIJ chứng minh SI  (SCD), SJ  (SAB) b) Gọi H hình chiếu vng góc S IJ CMR: SH  AC c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM  SA Tính AM theo a Bài tập 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC = a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD a) CMR: SH  (ABCD) b) Chứng minh: AC  SK CK  SD Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D có SD = a a) Chứng minh: SA  (ABCD) tính SA b) Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác định giao điểm K, L SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK  (SBC), AL  (SCD) c) Tính diện tích tứ giác AKHL 12 Bài tập 10: Gọi I điểm đường trịn (O;R) CD dây cung (O) qua I Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường trịn (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E điểm đối tâm D đường trịn (O) Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vng S b) SD  CE c) Tam giác SCD vuông Bài tập 11: Cho MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vng góc với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC a) Chứng minh: CC  (MBD) b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm BCD Bài tập 12: Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vng góc vơi mp(ABC) D lấy điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với Bài tập 13: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) (ABD) vng góc với đáy (DBC) Vẽ đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD a) Chứng minh: AB  (BCD) b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) (DFK) vng góc với mp(ADC) c) Gọi O H trực tâm tam giác BCD ADC CMR: OH  (ADC) Bài tập 14: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông, SA  (ABCD) a) Chứng minh (SAC)  (SBD) b) Gọi BE, DF hai đường cao SBD CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC) 13 Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) Gọi M, N điểm cạnh BC, DC cho BM = a , DN = 3a Chứng minh mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB CC vuông góc với mp(ABC) a) Chứng minh (ABB)  (ACC) b) Gọi AH, AK đường cao ABC ABC Chứng minh mặt phẳng (BCCB) (ABC) vng góc với mặt phẳng (AHK) Bài tập 17: Cho tam giác ABC vng A có AB = c, AC = b Gọi (P) mặt phẳng qua BC vng góc với mp(ABC); S điểm di động (P) cho SABC hình chóp có mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo     Gọi H, I, J hình chiếu vng góc S BC, AB, AC a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ b) Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị  Bài tập 18: Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ a, b, x, y để: a) Mặt phẳng (ABC)  (BCD) b) Mặt phẳng (ABC)  (ACD) Bài tập 19: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  (ABCD) ; M N hai điểm nằm cạnh BC, CD Đặt BM = x, DN = y a) Chứng minh điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với MN  (SAM) Từ suy hệ thức liên hệ x y b) Chứng minh điều kiện cần đủ để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) có số đo 300 a(x + y) + xy = a2 14 Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 600, cạnh SC = a SC  (ABCD) a) Chứng minh (SBD)  (SAC) b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA K Tính độ dài IK �  900 từ suy (SAB)  (SAD) c) Chứng minh BKD 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Là dạng toán hay- em tỏ say mê, hứng thú học tập coi thành công người giáo viên Kết thúc đề tài tổ chức cho em học sinh lớp 11C12 làm đề kiểm tra 45 phút với nội dung toán quan hệ vng góc thuộc dạng có đề tài Đồng thời lấy lớp 11C để làm lớp đối chứng với đề kiểm tra Kết khả quan, cụ thể sau: Lớp 11C12 ( Thực nghiệm) Lớp 11C4 ( Đối chứng) Giỏi 15% 13% Khá 50% 40% Trung bình 30% 37% Yếu 5% 10% Rõ ràng đà có khác biệt hai đối tợng học sinh Nh chắn phơng pháp mà nêu đề tài đà giúp em phân loại tập nắm vững phương pháp làm trình bày giúp em tự tin học tập thi KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Qua đề tài này, lần khẳng định tầm quan trọng hình học khơng gian Tốn học nói chung Tốn học phổ thơng nói riêng Trải 15 qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến đề tài có tham gia góp ý đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy thu số kết định sau : 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững số phương pháp biết vận dụng vào giải tập bản, tập vận dụng sách giáo khoa 2) Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh lớp chọn sử dụng phương pháp trình bày đề tài để giải toán 3) Là phương pháp tham khảo cho học sinh thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm tốn quan hệ vng góc khơng gian Xây dựng phương pháp giảng dạy theo quan điểm đổi việc mà toàn xã hội ngành quan tâm Tuy nhiên khơng có phương pháp vạn theo nghĩa giải tốn Vấn đề đặt q trình giảng dạy ln ln cố gắng tìm tịi suy nghĩ, cải tiến phương pháp giảng dạy cho thích hợp để khơng ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy Vì thời gian có hạn, với phạm vi sáng kiến kinh nghiệm nên đề tài mà tơi nghiên cứu cịn hạn chế mong độc giả góp ý kiến để đề tài hồn thiện Thanh Hố, ngày 09 tháng 05 năm 2016 XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO NHÀ TRƯỜNG Người viết sáng kiến kinh nghiệm: Tôi xin cam đoan sang kiến kinh nghiệm tự làm Vũ Thị Hoa TÀI LIỆU THAM KHẢO Chun đề Hình học khơng gian ứng dụng- Lê Bá Trần Phương 16 Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức , Phân loại phương pháp giải tốn hình học khơng gian Nhà xuất đại học quốc gian Thành phố Hồ Chí Minh diendantoanhoc.net 4.vnmath.com.vn Nguyễn Anh Trường, Tài liệu tổng ôn tập hình học không gian Nhà xuất đại học quốc gia hà nội 17 ... gian nói riêng Từ lý tơi khai thác, hệ thống hóa kiến thức, tổng hợp phương pháp thành chuyên đề: ? ?Phân loại phương pháp giải số toán quan hệ vng góc khơng gian ” Mục đích nghiên cứu Qua chuyên... tượng học sinh NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: Khi giải toán chứng minh quan hệ vng góc khơng gian ngồi u cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thiết, vẽ hình... dựng thêm tốn quan hệ vng góc khơng gian Xây dựng phương pháp giảng dạy theo quan điểm đổi việc mà toàn xã hội ngành quan tâm Tuy nhiên khơng có phương pháp vạn theo nghĩa giải toán Vấn đề đặt