Đang tải... (xem toàn văn)
Để gợi động cơ giải quyết bài toán, giáo viên có thể sử dụng phần mềm hình học động minh học cho học sinh thấy khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O; R) thì trực tâm H của tam giác ABC [r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
BÀI ĐIỀU KIỆN
Chuyên đề:
NHỮNG XU HƯỚNG DẠY HỌC KHÔNG TRUYỀN THỐNG
Họ tên : Phạm Thị Thuý Ngần Mã học viên : K19 0042
Chuyên ngành: Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn
(2)Bài tập 1. Hãy xây dựng hai ví vụ minh hoạ cho cách tạo tình gợi vấn đề (một ví dụ dành cho học sinh đại trà, ví dụ dành cho học sinh giỏi)?
1 Dựa vào nhận xét trực quan thực nghiệm.
Ví dụ Khi dạy "Phép tịnh tiến phép dời hình" - HH11NC, phần
"Ứng dụng phép tịnh tiến", toán nêu sau:
"Cho hai điểm B, C cố định đường tròn (O; R) điểm A thay đổi đường trịn Chứng minh trực tâm tam giác ABC nằm đường tròn cố định."
Để gợi động giải tốn, giáo viên sử dụng phần mềm hình học động minh học cho học sinh thấy điểm A thay đổi đường tròn (O; R) trực tâm H tam giác ABC ln nằm đường tròn cố định
H
O
B C
A
(3)B'
H
O
B C
A
Dễ thấy AH = BC , nên ta có phép tịnh tiến theo véctơ cố định BC biến A
thành H Do A thay đổi (O; R) trực tâm H ln nằm đường trịn cố định ảnh đường tròn (O; R) qua phép tịnh tiến nói
Khi dạy phép dời hình phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, giáo viên lấy ví dụ hướng dẫn học sinh sử dụng phép dời hình khác để giải tốn Từ góp phần phát huy tính sáng tạo giải tốn, giải tốn hình học phẳng cho học sinh
Ví dụ Trong luyện tập "Bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức" -ĐS10NC, giáo viên cho học sinh tập sau:
Bài tốn: "Cho a Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = a +
a"
Để hướng dẫn học sinh dự đoán giá trị a S nhỏ từ định hướng cách giải toán, giáo viên cho học sinh lập bảng giá trị a S sau:
a 10 … 30
1
a
1
1
1
1
1
1
1
1
10 …
1 30
S 31
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1 10
1
(4)Từ bảng ta thấy a tăng, S lớn, dự đốn a = S nhỏ Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ý chọn hai số dương để dấu bất đẳng thức xảy a = Cụ thể:
S = a +
a = (9
a
+1
a ) +
8
a
a a +
8.3 =
10
Vậy S nhỏ 10
3 a =
2 Dựa vào lật ngược vấn đề
Ví dụ Trong dạy "Phương trình tổng quát đường thẳng" - HH10NC, hoạt động nêu toán sau:
"Cho điểm I(x0, y0)và véctơ n = (a; b) khác
Có đường thẳng qua I nhận n véctơ pháp tuyến?"
Sau giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán thu kết quả: Các đường thẳng d qua I nhận n véctơ pháp tuyến có phương trình dạng ax + by - ax0 - by0 = hay ax + by + c = 0, gọi phương trình tổng quát
của đường thẳng d
Như biết toạ độ điểm I toạ độ véctơ pháp tuyến đường thẳng d ta viết phương tình tổng quát đường thẳng d
Ngược lại, biết phương trình tổng quất đường thẳng, ta tìm toạ độ điểm toạ độ vectơ pháp tuyến đường thẳng khơng?
Câu trả lời có Ta chứng minh rằng: Mỗi phương trình dạng ax + by + c = với a2 + b2 phương trình tổng quát đường
thẳng xác định, nhận n = (a; b) véctơ pháp tuyến
(5)đó Ngược lại, biết phương trình tham số đường thẳng d ta tìm toạ độ điểm toạ độ vectơ phương u đường thẳng
Ví dụ Trong dạy học ĐS>11NC, sau học sinh nắm khái niệm
hàm số liên tục và khái niệm đạo hàm, giáo viên đặt câu hỏi:
- Liệu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm xo có liên tục
tại điểm xo hay không?
Dễ dàng thấy hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm xo tồn
giới hạn
0
( ) ( ) lim
o
x x
f x f x
x x
= f '(xo) (*)
Giả sử hàm số y = f(x) không liên tục điểm xo Khi đó:
lim( ( ) ( ))
o o
x x f x f x = L
Suy
0
( ) ( ) lim
o
x x
f x f x
x x
=x xlimo 0
L x x
Vì L 0, x - xo x xo nên
0
lim
o
x x L x x
=
Hay
0
( ) ( ) lim
o
x x
f x f x
x x
= (Mâu thuẫn (*))
Vậy hàm số y = f(x) liên tục điểm xo
- Ngược lại, cho hàm số y = f(x) liên tục điểm xo có đạo hàm
điểm xo khơng?
Điều khơng Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x có:
0 lim ( )
x f x = xlim0x =
0 lim ( )
x f x = xlim(0 x) =
lim ( )x 0f x
= = f(0)
Vậy hàm số cho liên tục x = Nhưng
0
( ) (0) lim
0
x
f x f
x
= xlim0 x x
(6)0
( ) (0) lim
0
x
f x f
x
= xlim0 x x
= -1 Do -1 nên không tồn giới hạn
0
( ) (0) lim
0
x
f x f
x
hay hàm số cho
khơng có đạo hàm x =
Vậy hàm số có đạo hàm liên tục ngược lại, liên tục chưa có đạo hàm
3 Dựa vào tương tự hố
Ví dụ Dạy học "Tính chất tích vơ hướng" "Tích vơ hướng hai vectơ" - HH10NC, ta sử dụng tính tương tự từ tính chất phép nhân số thực suy tính chất nhân vơ hướng vectơ
Phép nhân số thực Tích vơ hướng
a.b = b.a a b. = b a
(k.a).b = a.(k.b) = k.(a.b) (k.a).b = a.(k.b) = k.(a.b)
a.(b + c) = a.b + a.c a.(b + c) = a.b + a.c
a.(b - c) = a.b - a.c a.(b - c) = a.b - a.c
a.b = a = b = a.b = ????? (a b)
a2 0 a2 0
(a.b)2 = a2.b2
2 2
(a.b) = a b ???? ((a.b) = a b os (a,b)2 22c )
(7)a
b N
A
B M
Bái toán đơn giản sông hẹp, hẹp đến mức hai bờ sông a b xem trùng vào Trong trường hợp tốn phát biểu đơn giản sau:
" Cho hai điểm A B nằm phía với đường thẳng d Tìm d điểm M cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất"
d A
Mo
A1
B
M
Với A1 ảnh A qua phép đối xứng trục d, ta có :
AM + MB = A1M + MB A1B
Và A1B nhỏ MMo
Bằng cách làm tương tự, ta giải tốn nêu ban đầu sau:
N M A
B B1
(8)Tv: B B1
N M
Như AM + NB nhỏ AM + MB1 nhỏ
Việc tìm M lại quay toán ban đầu
Xuất phát từ cách giải tốn ví dụ trên, ta đưa tốn có cách làm tương tự nâng dần độ khó sau:
Bài toán "Cho đường thảng d hai điểm A, B nằm phía đường thẳng d Tìm d hai điểm M, N cho MN = a cho trước AM + MN+ NB có giá trị nhỏ "
Giải: Việc tìm hai điểm M, N thoả mãn điều kiện đầu quy tìm điểm N; tìm N M ảnh N qua phép tịnh tiến vectơ -vcó phương trùng với phương đường thẳng d, độ dài a
Từ AM + MN + NB nhỏ AM + NB nhỏ MN = a Thực phép tịnh tiến Tv: A A1;
M N
Suy AM + NB nhỏ A1N + NB nhỏ
Việc tìm N lại quay trở tốn ban đầu
M N
A2 A
B A1
Bài tốn "Cho góc xOy điểm A nằm góc Hãy xác định điểm B, C thuộc tia Ox, Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất"
Giải: Xét hai phép đối xứng trục có trục Ox, Oy: ĐOx: A A1
(9)Khi AB = A1B, AC = A2C
Nên AB + BC + CA nhỏ A1B + BC + A2C nhỏ BBo, C Co
B0
C0 A1
A2 O
B
C
A
Bài tốn phát biểu dạng khác sau:
Bài toán 3: "Cho tam giác nhọn ABC A1 điểm cho trước thuộc cạnh BC
xác định điểm B1, C1 thuộc cạnh AC, AB cho tam giác A1B1C1
có chu vi nhỏ nhất"
Từ tốn ta phát triển thành tốn khác với mức độ khó cao hơn:
Bài tốn 4: "Cho tam giác nhọn ABC Hãy tìm ba điểm A1,B1,C1 thuộc
các cạnh BC, CA, AB cho tam giác A1B1C1 có chu vi nhỏ nhất."
C0
B0
A3
A2
A1
A
B C
C1
B1
Giải: Đầu tiên ta xét vị trí A1 cạnh BC Khi chu vi tam
(10)Tiếp theo ta xét tam giác AA2A3 cân A, có A2AA3 = 2BAC - khơng đổi,
nên A2A3 nhỏ AA1 nhỏ Suy A1 chân đường vng góc hạ từ
A xuống BC
Tương tự có B1, C1 chân đượng cao tam giác ABC hạ từ
đỉnh B C
Vậy tam giác A1B1C1 có ba đỉnh chân ba đường cao tam giác ABC
là tam giác có chu vi nhỏ thoả mãn điều kiện đầu 4 Dựa vào khái qt hố
Ví dụ Dạy học “Dạng lượng giác số phức” – GT12NC, giáo viên hướng dẫn học sinh tìm dạng lượng giác số phức:
- Giả sử số phức z có điểm biểu diễn M Góc lượng giác tạo Ox
và OM gọi argumen số phức z Kí hiệu arg z = Thường arg z
giá trị không âm nhỏ .
- Cho số phức z = a + ib có mơdun r = z a2 b2 0
Dạng lượng giác
của z là:
z = r (cos + isin) ; Với a = rcos, b = r sin
- Tính z2, z3 ?
z2 = r2 (cos + isin)2
= r2 (cos 2 - sin2 + 2i cos sin)
= r2 (cos2 + isin2)
z3 = r3 (cos3 + isin3)
- Khái qt hóa ta cơng thức Moa-vrơ: zn = rn (cos n + isin n)
Ví dụ Trong dạy học luyện tập “Bất đẳng thức chứng minh bất đẳng” – ĐS10NC, giáo viên đưa tập:
- Bài toán: Chứng minh với số dương a, b, c ta có:
3
a b +
3
b c +
3
c a
2
a b +
2
b c +
2
c
a (1)
(11)Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: (a2
b +
2
b c +
2
c
a )(b + c + a) (a + b + c)
2 (1a)
( 32
a b +
3
b c +
3
c
a )(a + b + c) (
2
a b +
2
b c +
2
c a )
2 (1b)
Từ hai bất đẳng thức ta suy điều phải chứng minh Tương tự, ta chứng minh bất đẳng thức:
4
a b +
4
b c +
4 c a a b +
3
b c +
3 c a (2) a b +
5
b c +
5 c a a b +
4
b c +
4
c
a (3)
Chứng minh (2): Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (a43
b +
4
b c +
4 c a )( a b +
2
b c +
2
c a ) (
3
a b +
3
b c +
3
c a )
2
Kết hợp với bất đẳng thức (1a) (1b) ta bất đẳng thức cần chứng minh
Chứng minh (3) ta sử dụng thêm bất đẳng thức: (a45
b +
5
b c +
5 c a )( a b +
3
b c +
3
c a )(
4
a b +
4
b c +
4
c a )
2
- Khái qt hóa ta tốn sau:
Chứng minh với số dương a, b, c , k *
ta có:
1 k k a b
+ bkk1
c
+ ckk1
a 1 k k a
b + k k
b
c + k k
c
a (4)
5 Dựa vào lời giải có sai lầm
Ví dụ Trong dạy học "Giới hạn bên" - ĐS>11NC, giáo viên đưa ví dụ:
VD: "Hãy tính giới hạn hàm số I =
0 os4x lim x x c "
(12)0 os4x lim x x c
=
0 2sin lim x x x
=
2 2sin2 lim
2x
x
x
= 2
Giáo viên hướng dẫn học sinh phát sai lầm lời giải toán
là: 2sin 22
x
x = 2|sin2 | x
x =
2sin2
,sin2 x
2sin2
, sin2 x x x x x
Với kiến thức học khái niệm giới hạn hàm số, học sinh chưa giải tốn Từ học sinh có nhu cầu mở rộng kiến thức, muốn biết thêm khái niệm giới hạn bên hàm số để giải toán sau:
0 os4x lim x x c = 2sin2 lim 2x x x
= 2
0 os4x lim x x c = 2sin2 lim 2x x x
= -2
Từ suy khơng tồn giới hạn hàm số cho x =
Ví dụ Trong luyện tập "Bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức" -ĐS10NC, giáo viên cho học sinh tập sau:
Bài tập: "Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = f(x) = x + 4 x2
"
Một học sinh làm sau: Điều kiện để 4 x2
có nghĩa - x2 -2 x Khi đó:
f(x) = x + 4 x2
x -2 nên minf(x) = -2
f(x) = x + 4 x2
+ = nên maxf(x) =
Trong lời giải có sai lầm: maxf(x) =
2 x x
(vô nghiệm) Vậy dấu không xảy
(13)Lời giải sau: Điều kiện để 4 x2
có nghĩa - x2 -2 x Khi đó:
f(x) = x + 4 x2
x -2 nên minf(x) = -2 x = -2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki, ta có: f(x) = x + 4 x2
2[x2( 4 x2 2) ] = 2
Suy maxf(x) = 2 x = 4 x2
hay x =
Bài tập 2. Hãy vận dụng quy trình bước dạy học Phát giải
vấn đề vào dạy học định lý cụ thể chương trình Tốn THPT hoặc THCS?
Bài làm: Vận dụng quy trình bước dạy học Phát giải vấn đề vào dạy học định lý Côsin tam giác
Bước 1 Thâm nhập vấn đề:
Ta biết tam giác hoàn toàn xác định biết ba cạnh, hai cạnh góc xen giữa, cạnh hai góc kề; nghĩa số đo cạnh, góc cịn lại tam giác hồn tồn xác định Như vậy, yếu tố tam giác có mối liên hệ Cụ thể tam giác vuông, ta biết hệ thức liên hệ cạnh tam giác? (a2 = b2 + c2 - Định lý
Pitago) Trong tam giác thường liệu có hệ thức liên hệ yếu tố tam giác không?
Bước 2 Tìm giải pháp
- Nhắc lại cách chứng minh định lý Pitago?
2 BC
= AC
+ AB
chứng minh sau:
2 BC
= (AC AB)2
= AC
- 2 AC AB + AB2 = AC2 + AB2
- Trong chứng minh trên, giả thiết góc A vng sử dụng nào? (A vuông nên ACAB
hay AC AB = 0)
B C
(14)- Làm tương tự chứng minh trên, thay BC = a, AC = b, AB= c? (a2 = b2 + c2 – 2bc cosA)
- Như ta định lý Côsin tam giác
Bước 3. Thực giải pháp
- Định lý Côsin tam giác phát biểu sau: Trong tam giác ABC, với BC = a, AC = b, AB = c, ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bc cosA (1)
b2 = a2+ c2 – 2ac cosB (2)
c2 = a2 + b2 – 2ab cosC (3)
- Chứng minh: (1) Ta có: a2 =
BC
= (AC AB)2
= AC
- 2 AC AB + AB2
= b2– 2bc cosA+ c2
Hay a2 = b2 + c2 – 2bc cosA
Tương tự ta chứng minh (2), (3)
Bước 4. Kiểm tra, khai thác, đánh giá giải pháp
- Khi tam giác ABC tam giác vuông, chẳng hạn A = 90o, định lý Côsin
trở thành định lý nào?
- Từ định lý Côsin, tính giá trị cosA, cosB, cosC theo a, b, c?
2 2
cos
2
b c a
A
bc
2 2
cos
2
a c b
B
ac
2 2
cos
2
a b c
C
ab