Thông tin tài liệu
ĐỀ SỐ 15 ĐỀ CHUẨN CẤU TRÚC (Đề thi có 06 trang) Mơn: Tốn (Đề có lời giải) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( P ) : x − z + = Véctơ véctơ phương đường thẳng d? r r r A u = ( 4;1; −1) B u = ( 4; −1;3) C u = ( 4;0; −1) r D u = ( 4;1;3) Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục x0 có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số cho có A hai điểm cực trị, điểm cực tiểu B điểm cực đại, khơng có điểm cực tiểu C điểm cực đại, hai điểm cực tiểu D điểm cực đại, điểm cực tiểu Câu Tập nghiệm bất phương trình log ( x + ) ≤ A S = ( −∞; −5] ∪ [ 5; +∞ ) B S = ∅ C S = ¡ D S = [ −5;5] Câu Điểm A hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực −3 phần ảo B Phần thực phần ảo −2 C Phần thực phần ảo −2i D Phần thực −3 phần ảo 2i Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ sau Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến ¡ \ { −1} B Hàm số đồng biến ( −∞; −1) C Hàm số đồng biến ( −∞; ) D Hàm số đồng biến ¡ Trang Câu Cho ba điểm A ( 1; −3; ) , B ( 2; −3;1) , C ( −3;1; ) đường thẳng d : x −1 y +1 z − = = Tìm điểm 2 D có hồnh độ dương d cho tứ diện ABCD tích 12 A D ( 6;5;7 ) B D ( 1; −1;3) Câu Đặt t = e x + I = ∫ A I = ∫ dt t ( t − 4) ex + B I = ∫ C D ( 7; 2;9 ) D D ( 3;1;5 ) dx trở thành t dt t ( t − 4) C I = ∫ 2 dt t −4 D I = ∫ 2t dt t −4 Câu Cho hàm số y = f ( x ) = x + ax + bx + c ( a, b, c ∈ ¡ ) Biết hàm số có hai điểm cực trị x = , x = f ( ) = Giá trị biểu thức P = 2a + b + c B P = A P = −2 D P = C P = −1 Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60° Thể tích V khối chóp C V = a3 Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x + ) (x A V = a3 24 A B V = a3 B 2019 D V = − 1) C 2020 a3 Số điểm cực trị hàm số D Câu 11 Cho log = m; ln = n Hãy biểu diễn ln 30 theo m n A ln 30 = n +1 m B ln 30 = m +n n C ln 30 = n+m n D ln 30 = n +n m x Câu 12 Với x > a > a tham số, đặt f ( x ) = ∫ t ln tdt Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng khoảng sau đây? A ( 1;e ) 1 B ; +∞ ÷ e C ( 1; +∞ ) D ( e; +∞ ) Câu 13 Một hình nón có bán kính đáy thiết diện qua trục tam giác vng cân Diện tích xung quanh hình nón A 2π B π C 2π D π Câu 14 Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt cầu ( S ) qua bốn điểm O, A ( 1;0; ) , B ( 0; −2;0 ) C ( 0;0; ) 2 A ( S ) : x + y + z + x − y + z = 2 B ( S ) : x + y + z − x + y − 8z = 2 C ( S ) : x + y + z − x + y − z = 2 D ( S ) : x + y + z + x − y + z = Trang Câu 15 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau Khẳng định sau đúng? A Giá trị cực đại hàm số B Giá trị cực đại hàm số C Giá trị cực tiểu hàm số D Giá trị cực đại hàm số Câu 16 Buổi sáng ông Tần vừa nhập lượng dưa hấu từ nơng dân bán cho khách Ơng thống kê lại số dưa bán theo Giờ thứ bán nửa số dưa nửa quả, thứ hai bán nửa số dưa lại nửa quả, thứ bán nửa số dưa lại nửa quả… Đến thứ sau bán nửa số dưa lại nửa ơng cịn dư Hỏi buổi sáng ông Tần nhập vào dưa hấu? A 127 B 63 C 45 D 105 Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng Trên AB lấy điểm M Gọi ( α ) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng ( SAD ) cắt SB, SC CD N, P, Q Thiết diện ( α ) với hình chóp A hình thoi MNPQ B hình thang MNPQ C hình thang cân MNPQ D hình bình hành MNPQ Câu 18 Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Giá trị z1 + z2 A B C D 10 Câu 19 Trong hàm số sau hàm số đạo hàm hàm số y = x.5 x ? A 10 x ln10 B 10 x C x + x D x.10 x −1 Câu 20 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Biết f ( a ) > Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) + 2020m có tối đa điểm cực trị? A B C D Câu 21 Một cốc nước hình trụ có chiều cao h = 3π (cm) bên đựng lượng nước Biết nghiêng cốc cho lượng nước chạm mép cốc đồng thời nước vừa chạm vào bán kính đáy cốc Hỏi nghiêng cốc cho Trang lượng nước vừa đủ phủ kín đáy cốc điểm cịn lại mà lượng nước chạm vào thành cốc cách đáy cốc khoảng bao nhiêu? A 2π cm B π cm C 4cm D 3cm Câu 22 Cho hình trụ có hai đáy hai đường tròn ( O ) ( O′ ) , chiều cao 2R bán kính đáy R Một mặt phẳng ( α ) qua trung điểm OO′ tạo với OO′ góc 30° , ( α ) cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài A 3R B 2R C 3R D 2R Câu 23 Tập nghiệm S phương trình 22 x +1 − 5.2 x + = A S = { −1;1} B S = { −1;0} C S = { 1} Câu 24 Cho x, y ( x ≠ ) hai số thực dương thỏa mãn log x y= D S = { 0;1} 2y 15 , log x = Giá trị biểu thức y P = y + x A P = 17 B P = 50 C P = 51 D P = 40 Câu 25 Cho số phức z thỏa mãn z = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = ( − i ) z + 2i A đường tròn B đường thẳng C Elip D parabol hyperbol Câu 26 Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng khoảng sau đây? A ( −∞; −1) ( 1; +∞ ) B ( −∞; −2 ) ( −1; ) C ( −∞; −2 ) ( 2; +∞ ) D ( −2; −1) ( 2; +∞ ) Câu 27 Cho f ′ ( x ) = ( x − 1) − ( x − 1) thỏa mãn f ( ) = − Biết phương trình f ( x ) = −1 có nghiệm x = x0 Giá trị biểu thức T = 2020 x0 A T = 2020 B T = C T = 2020 D T = 20203 Câu 28 Trong lớp học có 35 học sinh Muốn chọn lớp trưởng, lớp phó số cách chọn A C35 B A35 C 2!35 D 2C35 Trang Câu 29 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ hàm số y = g ( x ) = xf ( x ) có đồ thị đoạn [ 0; 2] hình vẽ Biết diện tích miền màu xám S = A I = C I = 5 , giá trị tích phân I = ∫ f ( x ) dx B I = D I = 10 Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi ( d) : ( α) mặt phẳng chứa đường thẳng x − y −3 z = = vng góc với mặt phẳng ( β ) : x + y − z + = Giao tuyến ( α ) ( β ) 1 qua điểm đây? A ( 0;1;3) B ( 2;3;3) C ( 5;6;8 ) D ( 1; −2;0 ) Câu 31 Một cốc có dạng hình trụ, chiều cao 16cm, đường kính đáy 8cm, bề dày thành cốc đáy cốc 1cm Nếu đổ lượng nước vào cốc cách miệng cốc 5cm ta khối nước tích V1 , đổ đầy cốc ta khối trụ (tính thành cốc đáy cốc) tích V2 Tỉ số V1 V2 A B 11 C 245 512 D 45 128 Câu 32 Cho hàm số y = f ( x ) đồng biến ( 0; +∞ ) ; y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ( 3) = 2 f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) Mệnh đề đúng? 2 2 A 2613 < f ( ) < 2614 B 2614 < f ( ) < 2615 C 2618 < f ( ) < 2619 D 2616 < f ( ) < 2617 Câu 33 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi ( P ) mặt phẳng chứa BC vng góc với ( ABC ) Trong ( P) xét đường tròn ( C ) đường kính BC Diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón có đáy ( C ) đỉnh A A πa 2 B πa C πa D 2πa Câu 34 Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị x hình vẽ Hàm số y = f ( − e ) đồng biến khoảng A ( 0;ln 3) B ( 1; +∞ ) Trang C ( −1;1) D ( −∞;0 ) Câu 35 Tại sân ga, có đồn tàu gồm toa Có hành khách lên tàu, độc lập với nhau, người lên toa ngẫu nhiên Xác suất để sau hành khách lên tàu, đồn tàu cịn toa trống A 85 B 84 C 2.84 D 84 Câu 36 Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x, y = − x2 cung (− trịn có phương trình ) ≤ x ≤ tục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ bên) Thể tích V vật thể trịn xoay sinh quay hình phẳng D quanh trục Ox A V = 8π − 2π B V = 8π + 22π C V = 8π − 22π D V = 4π + 22π Câu 37 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ bên Đặt g ( x ) = f ( x ) − x Biết g ( ) + g ( −1) = g ( 1) + g ( ) Khẳng định đúng? A g ( ) > g ( 1) > g ( ) > g ( −1) B g ( ) > g ( −1) > g ( 1) > g ( ) C g ( ) > g ( 1) > g ( −1) > g ( ) D g ( ) > g ( 1) = g ( −1) > g ( ) Câu 38 Xét số phức z, w thỏa mãn w − i = 2, z + = iw Gọi z1 , z2 số phức mà z đạt giá trị nhỏ đạt giá trị lớn Môđun z1 + z2 A B C D Câu 39 Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có cạnh AB = 2a , M trung điểm A′B′ , d ( C ′, ( MBC ) ) = A a Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ 2 a B a C 3 a D ( Câu 40 Có giá trị nguyên m ∈ [ 0; 2021] để phương trình + 3 a ) + ( − 3) x x = m có hai nghiệm phân biệt? A 2016 B 2017 C 2018 D 2019 Trang Câu 41 Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 10; 2;1) đường thẳng d : x −1 y z −1 = = Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng d cho khoảng cách d ( P ) lớn Khoảng cách từ điểm M ( −1; 2;3) đến mặt phẳng ( P ) A 97 15 76 790 790 B C 13 13 D 29 29 Câu 42 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Giá trị cơsin góc hai đường thẳng AC BD A Câu ( b2 − a2 ) B c2 43 ( S ) : ( x − 4) Trong 2 ( b2 − a ) không a2 − c2 C b2 c2 gian Oxyz, cho đường thẳng D d: ( a2 − c2 ) b2 x −1 y z −1 = = 1 mặt cầu + ( y − ) + ( z − ) = Hai điểm A B thay đổi ( S ) cho tiếp diện ( S ) A 2 B vng góc với Đường thẳng qua A song song với d cắt mặt phẳng ( Oxy ) M, đường thẳng B song song với d cắt mặt phẳng ( Oxy ) N Giá trị lớn tổng AM + BN A 16 C + B D 20 Câu 44 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số h ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + m có điểm cực trị A m ≥ C m < B m ≤ D m > Câu 45 Cho đồ thị ( C1 ) : y = −3 x + −3 x + ; ( C2 ) : điểm I ( 2; −3) Lấy A, B ∈ ( C1 ) , tia đối x−2 x−2 tia IA, IB cắt ( C2 ) C D cho S ABCD = 2020 Diện tích tam giác IAB A 505 B 250 Câu 46 Cho phương trình log (x C 2020 D 505 − x ) = 2sin ( mx ) với m tham số thực Có tất giá trị m ∈ ( −2020; 2020 ) để phương trình cho có nghiệm đoạn [ 2; 4] ? A 1280 B 1285 C 1287 D 1286 Trang Câu 47 Cho f ( x ) hàm số chẵn liên tục đoạn [ −1;1] ∫ f ( x ) dx = Giá trị tích phân −1 I =∫ − f ( x ) + 2020 dx + ex A I = 2019 B I = 2020 C I = 2021 D I = 2018 Câu 48 Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d có bảng biến thiên sau Tìm m để phương trình f ( x ) = m có bốn nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 < A < m ⇔ x > Câu 13: Ta có l = R = ⇒ S xq = πRl = π Câu 14: Giả sử phương trình mặt cầu có dạng ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cx + d = (a + b2 + c − d > ) Vì mặt cầu ( S ) qua O, A ( 1;0;0 ) , B ( 0; −2;0 ) C ( 0;0; ) nên ta có hệ phương trình Trang 10 d = d = 2 1 + + − 2.1 a + d = a = 2 ⇔ ⇒ ( S ) : x + y + z − x + y − 4z = 0 + ( −2 ) + − ( −2 ) b + d = b = −1 0 + + 42 − 2.4.c + d = c = Câu 15: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực đại hàm số Câu 16: Gọi x số dưa ông Tần nhập Ta có: Giờ thứ bán Giờ thứ bán x x +1 + = (quả) 2 1 x +1 x +1 x− ÷+ = (quả) 2 2 … Giờ thứ bán x +1 (quả) 25 1 Vậy ( x + 1) + + ÷ = x − 2 Tổng cấp số nhân 1 1 + + = 2 2 25 = 31 ⇔ ( x + 1) 31 = x − ⇔ x = 63 32 32 1− ( α ) // SD Câu 17: Ta có: ( α ) // ( SAD ) ⇔ ( α ) // SA ( α ) // AD ( α ) // SD SD ⊂ ( SAD ) ⇒ PQ // SD + Với ( α ) // SD , ta có α ∩ SAD = PQ ( ) ( ) α // SA ( ) ( α ) // SA ⇒ MN // SA + Với ( α ) // SA , ta có SA ⊂ ( SAB ) ( α ) ∩ ( SAB ) = MN ( α ) // AD ⇒ MQ // AD (1) + Với ( α ) // AD , ta có AD ⊂ ( ABCD ) ( α ) ∩ ( ABCD ) = MQ BC // MQ ⇒ ( α ) // BC , Lại có BC ⊄ ( α ) ( α ) // BC ⇒ PN // BC (2) BC ⊂ ( SBC ) ( α ) ∩ ( SBC ) = PN Trang 11 Từ (1) (2), suy MQ // PN ⇒ MNPQ hình thang z1 = + 2i Câu 18: Ta có: z − z + = ⇔ z2 = − 2i Suy z1 = z2 = ⇒ z1 + z2 = Câu 19: Ta có y ′ = ( x ) ′ 5x + x ( x ) ′ = x.5 x ln + x.5 x ln = 10 x ( ln + ln ) = 10 x.ln10 Câu 20: Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta có bảng biến thiên: Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Để đồ thị hàm số y = f ( x ) + 2020m có số điểm cực trị lớn y = f ( x ) cắt trục hoành số điểm nhiều ⇒ f ( c ) < Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt Ox nhiều điểm nên hàm số y = f ( x ) + 2020m có tối đa điểm cực trị Câu 21: Thể tích hình nêm: V = R tan α Thể tích lượng nước khơng đổi nên V = Khi V = 2h +h Thể tích hình trụ cụt: V = πR ÷ h h +h R tan α = πR ÷ tan α = ; h1 = R 3h 4h h h R = πR ÷ ⇔ R h = πR ÷ ⇔ h2 = = (cm) R 3π 2 2 Câu 22: Dựng OH ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( OIH ) ⇒ ( OIH ) ⊥ ( IAB ) ⇒ đường thẳng IH hình chiếu đường thẳng OI lên ( IAB ) · Ta có OIH = 30° Trang 12 Xét tam giác vuông OIH vuông O ⇒ OH = OI tan 30° = R Xét tam giác OHA vuông H ⇒ AH = OA2 − OH = R 2R ⇒ AB = 3 x +1 x Câu 23: Phương trình: − 5.2 + = ⇔ ( Câu 24: Ta có log Lại có log x = x y= 2y y ⇔ log x y = 5 15 ⇔ log x = y y Từ (1) (2), ta có log x y = ) x 2x = x = − 5.2 x + = ⇔ x ⇔ 2 = x = −1 (1) (2) ⇔ log x y = log x ⇔ y = log x Thay vào (2), suy x = Vậy P = y + x = 50 Câu 25: Ta có w = ( − i ) z + 2i ⇔ w − 2i = ( − i ) z ⇒ w − 2i = ( − i ) z ⇔ w − 2i = 2 Do tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I ( 0; ) bán kính 2 Câu 26: Ta có f ′ ( x ) = chọn nghiệm x = −2, x = −1, x = lập trục xét dấu Từ bảng biến thiên suy hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −2; −1) ( 2; +∞ ) Câu 27: Ta có f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) = − 1 + +C 2x −1 x −1 Mặt khác f ( ) = − ⇒ C = −1 Xét phương trình − 1 + = 0⇒ x = 2x −1 x −1 Vậy x = x0 = ⇒ T = Câu 28: Chọn lớp trưởng, lớp phó từ 35 học sinh (tức chỉnh hợp chập 35 phần tử) hay A35 f ( t ) dt 2 Câu 29: Đặt x = t , ta có S = ∫ xf ( x ) dx = ∫ 4 1 ⇔ S = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = I ⇒ I = 2S = 21 Trang 13 uu r Câu 30: Ta có ud ( 1;1; ) véctơ phương đường thẳng d uur uu r uur uur nP ( 1;1; −2 ) véctơ phương ( β ) ⇒ nα = ud ; nP = ( −4; 4;0 ) A ( 2;3;0 ) ∈ d ⇒ A ∈ ( α ) Phương trình mặt phẳng ( α ) : −4 ( x − ) + ( y − 3) + ( z − ) = ⇔ −4 x + y − = ⇔ x − y + = x − y +1 = Giả sử M ( x; y; z ) ∈ ( α ) ∩ ( β ) Khi tọa độ M thỏa mãn hệ x + y − 2z + = Thay đáp án vào hệ ta thấy M ( 2;3;3) thỏa mãn Câu 31: Gọi r1 , r2 bán kính bán kính ngồi (tính bề dày thành cốc) ta có r1 = 3, r2 = Gọi h1 , h2 chiều cao cột nước cốc chiều cao hình trụ, ta có h1 = 10, h2 = 16 2 Thể tích lượng nước V1 = πr1 h1 = π.3 10 = 90π 2 Thể tích khối trụ V2 = πr2 h2 = π.4 16 = 256π Vậy V1 90π 45 = = V2 256π 128 Câu 32: Hàm số y = f ( x ) đồng biến ( 0; +∞ ) nên f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Mặt khác y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương ( 0; +∞ ) nên f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) ⇒ f ′ ( x ) = ⇒ ⇒∫ f ′( x) f ( x) = ( x + 1) , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) f ′( x) dx = ∫ x + 1dx ⇒ f ( x) Từ f ( 3) = ( x + 1) f ( x ) , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) f ( x) = ( x + 1) +C 2 suy C = − 3 1 Như f ( x ) = 3 1 Do f ( ) = 3 2 8 ( x + 1) + − ÷÷ 3 2 8 8 8 ( + 1) + − ÷÷ = + − ÷÷ ⇒ f ( 8) = + − ÷÷ ≈ 2613, 26 3 3 3 Câu 33: Mặt cầu nội tiếp hình nón có đường trịn lớn nội tiếp tam giác ABC (cạnh a) Trang 14 a a Do mặt cầu có bán kính r = = a 3 πa Vậy diện tích mặt cầu cần tìm V = 4πr = 4π ÷ ÷ = x x Câu 34: Ta có y ′ = −e f ′ ( − e ) − e x = −1 x = y′ = ⇔ 2 − e x = ⇔ x = ln 2 − e x = Bảng biến thiên x Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số y = f ( − e ) đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ( ln 3; +∞ ) Câu 35: Ta có n ( Ω ) = Gọi A biến cố: “Sau hành khách lên tàu xong, đồn tàu có toa trống” Vậy có toa tàu có khách Khi tính số kết thuận lợi theo trình tự sau: + Chọn toa tàu để hành khách lên đó, có C8 cách + Xếp hành khách vào toa tàu vừa chọn ta có 15 = cách chọn Vậy số kết thuận lợi cho biến cố A n ( A ) = C8 = Vậy xác suất biến cố A P ( A ) = n ( A) = = n ( Ω) 8 Câu 36: Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu tích V1 = Xét phương trình π ( 6) = 8π x > x = − x2 ⇔ ⇔ x=2 x + x − = Thể tích khối trịn xoay có quay hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = x , cung tròn có phương trình y = − x đường thẳng y = quanh Ox là: V2 = π ∫ xdx + π ∫ ( − x ) dx = 2π + 12 − 28 22π π = 4π − 3 Trang 15 22π 22π Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm V = V1 − V2 = 8π − 4π − ÷ = 6π + Câu 37: Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x , vẽ thêm đường thẳng y = x x = ±1 Ta có g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = x ⇔ x = x = Lập bảng biến thiên g ( x ) = g ( ) g ( 1) > g ( ) Từ bảng biến thiên ta dễ thấy max [ −1;2] Do g ( ) > g ( 1) ⇒ g ( ) + g ( −1) = g ( 1) + g ( ) < g ( ) + g ( ) ⇔ g ( −1) < g ( ) Vậy g ( ) > g ( 1) > g ( ) > g ( −1) Câu 38: Cách 1: z+2 i Ta có: z + = iw ⇔ w = Khi w − i = ⇔ z+2 −i = ⇔ z +3 = i Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) (*) M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z Ta có (*) ⇔ ( x + 3) + y = Suy M nằm đường trịn ( C ) có tâm I ( −3;0 ) , bán kính R = Ta lại có z = OM đạt giá trị nhỏ giá trị lớn M giao điểm đường thẳng d qua hai điểm O I với đường tròn ( C ) qua O ( 0;0 ) x = t d : uur uu r có phương trình tham số d : y = OI = ( −3;0 ) ⇒ ud = ( 1;0 ) x = t t = −1 ⇒ Tọa độ giao điểm M nghiệm hệ y = t = −5 2 ( x + 3) + y = Suy hai số phức tương ứng z = −1 z = −5 Vậy z1 + z2 = Trang 16 Cách 2: Ta có z + = iw ⇔ z + = i ( w − i ) ⇒ z + = i ( w − i ) = w − i = Gọi z = x + yi , z + = ⇔ ( x + 3) + y = (*) Tập hợp số phức z đường tròn tâm I ( −3;0 ) , bán kính r = Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi Ta có z = OM = x + y Ta tìm điểm M ( x; y ) thuộc đường trịn tâm I ( −3; ) , bán kính r = cho OM đạt giá trị nhỏ lớn (với O nằm ngồi đường trịn OI = > r ) uur Ta có OI = ( −3;0 ) đường thẳng OI có phương trình y = Tọa độ giao điểm (*) đường thẳng OI x = −1 ( x + 3) + y = y = ⇔ ⇒ A = ( −1;0 ) , B = ( −5;0 ) nghiệm hệ x = −5 y = y = Ta có OM max = OB = 5, OM = OA = Suy z1 = −1, z2 = −5, z1 + z2 = −6 Vậy z1 + z2 = Câu 39: Gọi J, K, H theo thứ tự trung điểm BC, B′C ′, KA′ MH // BC ⇒ ( MBC ) ≡ ( MHJB ) B′C ′ // ( MBC ) ⇒ d ( C ′, ( MBC ) ) = d ( K , ( MBC ) ) MH ⊥ KA′, MH ⊥ JK ⇒ MH ⊥ ( JKH ) ⇒ ( JKH ) ⊥ ( MHJB ) Gọi L hình chiếu K JH ⇒ d ( K , ( MBC ) ) = KL Tam giác JKH vng K có đường cao KL = a a ; , KH = 2 1 a độ dài dường cao lăng trụ = + ⇒ KJ = 2 KL KH KJ Vậy VABC A′B′C ′ = KJ S ABC = ( ) 3 a x Câu 40: Đặt t = + ; t > Phương trình cho trở thành t + = m t Xét hàm số f ( t ) = t + (*) xác định liên tục ( 0; +∞ ) t Trang 17 Ta có f ′ ( t ) = − Cho f ′ ( t ) = ⇔ t = ±1 t2 Bảng biến thiên Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ m > Vậy m ∈ { 3; 4;5; ; 2021} nên có 2019 giá trị thỏa mãn Câu 41: ( P ) mặt phẳng qua điểm A song song với đường thẳng d nên ( P ) chứa đướng thẳng d ′ qua điểm A song song với đường thẳng d Gọi H hình chiếu A d, K hình chiếu H ( P ) Ta có d ( d , ( P ) ) = HK ≤ AH (AH không đổi) ⇒ Giá trị lớn d ( d , ( P ) ) AH ⇒ d ( d , ( P ) ) lớn AH vng góc với ( P ) Khi gọi ( Q ) mặt phẳng chứa A d ( P ) vng góc với ( Q ) uur uu r uur ⇒ nP = ud , nQ = ( 98;14; −70 ) ⇒ ( P ) : x + y − z − 77 = ⇒ d ( M , ( P ) ) = 97 15 Câu 42: Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, CD, AD PM // BD · ⇒ ( BD, AC ) = (·PM , PN ) Ta có PN / / AC Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có 2 CA2 + CB AB 2 ( b + c ) − a CM = − = 4 Tương tự DM = ( b2 + c2 ) − a nên: 2 MC + MD CD 2 ( b + c ) a b + c − a MN = − = − = 4 2 Trang 18 Áp dụng định lí Cơ-sin cho tam giác PMN ta có: 2 2 b b b +c −a + − ÷ PM + PN − MN ÷ a2 − c2 2 · cos MPN = = = PM PN b2 b b ÷ ÷ a2 − c2 · Vậy cos ( AC , BD ) = b2 Câu 43: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 4;5;7 ) bán kính R = Gọi K trung điểm AB uu r Đường thẳng d có véctơ phương ud = ( 2;1;1) , mặt phẳng ( Oxy ) có véctơ pháp tuyến r n = ( 0;0;1) Gọi ϕ góc đường thẳng d ( Oxy ) uu rr ud n r r = Khi sin ϕ = uu ud n Đường thẳng qua K song song với d cắt mặt phẳng ( Oxy ) P Gọi G hình chiếu K lên mặt phẳng ( Oxy ) Ta có AM + BN = KP = KG = KG sin ϕ Mặt khác ·AIB góc hai tiếp diện vng góc nên tam giác IAB vng I Do IK = AB = = , hay điểm K nằm mặt cầu ( S ′ ) tâm I ( 4;5;7 ) bán kính R′ = 2 Khi KG ≤ IG + R′ = d ( I ; ( Oxy ) ) + R′ = + = hay AM + BN ≤ 16 Vậy ( AM + BN ) max = 16 Câu 44: Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + m Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) f ( x ) + f ′ ( x ) = f ′ ( x ) ( f ( x ) + 1) Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) suy x =1 f ′( x) = g′ ( x) = ⇔ ⇔ x = f ( x) = − x = a < Trang 19 2 1 Ta có g ( a ) = f ( a ) + f ( a ) + m = − ÷ − + m = m − g ( 3) = f ( 3) + f ( 3) + m = m 2 2 Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) Đồ thị hàm số y = h ( x ) có điểm cực trị m − 1 ≥0⇔m≥ 4 ( C1 ) : y = −3 − x − Câu 45: Ta có ( C ) : y = −3 − x−2 uur 1 4 4 Lấy A a + 2; −3 − ÷∈ ( C1 ) ; C c + 2; −3 − ÷∈ C2 ⇒ IC = c; − ÷ a c c IA = IC 2020 ⇒ S ABCD = S∆IAB ⇒ S∆IAB = Mà I, A, C thẳng hàng nên IB = ID Câu 46: Với x ∈ [ 2; 4] ⇒ x − x ≥ Dấu “=” đạt x = ⇒ VT = log (x − x ) ≥ log 2 = 2, ∀x ∈ [ 2; 4] Ta có VP = 2sin ( mx ) ≤ Dấu “=” xảy sin ( mx ) = VT ≥ ⇒ phương trình cho có nghiệm [ 2; 4] Khi VP ≥ x = π x = ⇔ VP = VT = ⇔ ⇔ ⇒ m = + kπ π sin ( mx ) = mx = + k 2π ( k ∈ ¢ ) Với m ∈ ( −2020; 2020 ) ⇔ −2020 < π + k π < 2020 ⇔ −643, 23 < k < 642, Vì k ∈ ¢ nên có 1286 giá trị ⇒ có 1286 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 47: I = ∫ −1 Xét I1 = ∫ −1 f ( x ) + 2020 f ( x ) + 2020 f ( x ) + 2020 dx = dx + dx = I1 + I x x ∫ ∫ 1+ e 1+ e + ex −1 f ( x ) + 2020 dx Đặt x = −t ⇒ dx = −dt , đổi cận x = ⇒ t = 0, x = −1 ⇒ t = + ex Trang 20 I1 = ∫ 1 t e f ( t ) + 2020 f ( −t ) + 2020 dt ( −dt ) = ∫ −t 1+ e + et Ta có ∫ et f ( t ) + 2020 + et Suy I = ∫ −1 =∫ dt = ∫ e x f ( x ) + 2020 + ex dx x e f ( x ) + 2020 f ( x ) + 2020 f ( x ) + 2020 dx = ∫ dx + ∫ dx x x 1+ e 1+ e + ex 0 ( + e ) f ( x ) + 2020 dx = x + ex 1 ∫0 f ( x ) + 2020 dx = −∫1 f ( x ) + 2020 dx = 2021 Câu 48: f ( 0) = a = b = −3 f ( 1) = ⇔ Ta có , suy y = f ( x ) = x − x + f ′ ( 0) = c = f′ =0 d = ( ) x =1 Nhận xét f ( x ) = ⇔ Bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau: x = − Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình f ( x ) = m có nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 < < x4 < m
Ngày đăng: 30/04/2021, 09:21
Xem thêm:
