Đề thi thử TN THPT 2021 môn toán bộ đề theo mức độ GV ĐHSP đề 13 file word có lời giải

ĐỀ SỐ 13 ĐỀ CHUẨN CẤU TRÚC (Đề thi có 06 trang) Mơn: Tốn (Đề có lời giải) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu Cho hàm số y = x − Khẳng định sau đúng? A Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận B Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang khơng có tiệm cận đứng C Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang có tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang tiệm cận đứng Câu Cho số phức z = A z = 3 + 11i Tính z B z = C z = D z = Câu Cho hàm số y = f ( x ) hàm bậc bốn trùng phương có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( 2;3) B Hàm số đồng biến khoảng ( −2; ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) ∪ ( 0; ) D Hàm số đồng biến khoảng ( 4; +∞ ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ đây: Khẳng định sau sai? A Hàm số đồng biến khoảng ( −2; −1) B Hàm số đồng biến khoảng ( 1;3) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) D Hàm số đồng biến khoảng ( 0;1) Câu Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = A − ( x + 1) +C B − ln x + + C x +1 C − ln ( x + 1) + C D ln x + + C Trang Câu Đường cong hình vẽ bên dạng đồ thị hàm số đây? A y = x − x + B y = − ( x + 1) ( x − ) C y = x − x + D y = ( x − 3) Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : phương đường thẳng d? r r A u = ( −1; −3; ) B u = ( 1;3; ) x +1 y − z = = , véctơ véctơ −2 r C u = ( 1; −3; −2 ) r D u = ( −1;3; −2 ) Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A cạnh AB = AC = a thể tích a3 Tính chiều cao h hình chóp cho B h = a A h = a C h = a D h = 2a Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ −1;3] có đồ thị hình vẽ bên Gọi M, m giá trị lớn nhỏ hàm số cho đoạn [ −1;3] Giá trị 4M − m A B C 10 D Câu 10 Cho hàm số f ( x ) = − x + x − 2021 Giá trị f ′ ( 1) A −2018 B −3 Câu 11 Biết C xdx ∫ x + = a + b ln (với a, b ∈ ¢ ) Giá trị a − 2b D A B C D Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A với AB = a, AC = 2a quay xung quanh cạnh AB ta khối nón trịn xoay có đường kính l bao nhiêu? A l = a B l = 3a C l = 2a Câu 13 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : với Δ có véctơ pháp tuyến r r A b = ( 8;9;10 ) B v = ( 1; 2; −3) D l = a x − y − z − 10 = = Mặt phẳng ( α ) vng góc −2 r C a = ( −1; 2;3) r D u = ( −1; 2; −3) Trang Câu 14 Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = − x + x − đoạn [ 1;3] Khi M + m A B C D Câu 15 Xác định số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng ( un ) biết u9 = 5u2 u13 = 2u6 + A u1 = 3; d = B u1 = 3; d = C u1 = 4; d = D u1 = 4; d = Câu 16 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có bảng biến thiên hình sau: Số nghiệm thực phương trình f ( x ) − 16 = A B C D Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình vng cạnh a Biết SA vng góc với mặt đáy Khoảng cách hai đường thẳng SD, BC A a B 2a C a 2 D a Câu 18 Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần thực âm phần ảo dương phương trình z + z + = 2020 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w = ( i − ) z0 ? A M ( 2; −1) B M ( −1; ) C M ( −5;0 ) x Câu 19 Cho hàm số f ( x ) = log ( e + πm ) thỏa mãn f ′ ( ln ) = A m ∈ ( −1;1) B m ∈ ( 1;3) D M ( 0; −5 ) Mệnh đề sau đúng? ln C m ∈ ( 0; ) D m ∈ ( −2; −1) Câu 20 Trong không gian Oxyz, cho ∆ABC biết A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 1;1;3 ) H ( x0 ; y0 ; z0 ) chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC Khi x0 + y0 + z0 A 38 B 34 11 C 30 11 D 11 34 Câu 21 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) xác định, liên tục ¡ có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ, biết S > S1 Khẳng định sau đúng? A f ( c ) > f ( b ) > f ( a ) B f ( b ) > f ( c ) > f ( a ) Trang C f ( c ) > f ( a ) > f ( b ) D f ( b ) > f ( a ) > f ( c ) Câu 22 Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ , biết đáy ABC tam giác cạnh a Khoảng cách từ tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng ( A′BC ) A 3a B a Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ 3a 28 C 3a D 3a 16  xy  Câu 23 Cho số thực dương x, y thỏa mãn log x = log y = log  + 1÷ Giá trị biểu thức   P = x log + y log9 A B C D Câu 24 Một hình trụ có diện tích xung quanh 24π, diện tích tồn phần 42π Thể tích khối trụ A V = 36π B V = 9π C V = 18π D V = 32π Câu 25 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − 2i = z + mặt phẳng Oy A đường thẳng ∆ : x + y + = B đường thẳng ∆ : x + y − = C đường thẳng ∆ : x − y + = D đường thẳng ∆ : x + y + = Câu 26 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình f ( x − 1) = A B C D Câu 27 Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 2; 2;1) d2 : đường thẳng d1 : x y −1 z − = = , 2 x −3 y −2 z = = Phương trình đường thẳng d qua A, vng góc với d1 cắt d A d : x − y − z −1 = = −3 −5 x = + t  C d :  y = ( t ∈ ¡ z = 1− t  ) B d : x −1 y z − = = −4 D d : x − y − z −1 = = −3 Trang n 1  Câu 28 Trong khai triển  x + ÷ , hệ số x Cn Tính n x  A n = 12 B n = 13 C n = 14 D n = 15 Câu 29 Cho hàm số y = e x có đồ thị hình vẽ bên Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e x , x = −1, x = k S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e x , x = k , x = Xác định k để S1 = S  1 A k = ln  e + ÷− ln e   1 B k = ln  e − ÷− e  C k = ln − D k = ln  x = + 3t  Câu 30 Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 0; 2;0 ) đường thẳng d :  y = + t Đường thẳng  z = −1 + t  qua M, cắt vng góc với d có phương trình A x y−2 z = = −1 B x −1 y z = = −1 −2 C x −1 y −1 z = = 1 D x y z −1 = = −1 2x x x Câu 31 Phương trình + x ( + 1) − 4.3 − = có tất nghiệm không âm? A B C D Câu 32 Cho f ( x ) hàm số chẵn liên tục ¡ Nếu A 4040 B 505 f ( x) ∫−1 + e x dx = 1010 C 2020 ∫ f ( x ) dx D 1010 Câu 33 Cho hàm số f ( x ) = a sin x + b cos x (với a, b ∈ ¡ ; b > ), có f ′ ( ) = Gọi hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số f ( x ) với trục hoành, trục tung đường thẳng x = π Khi quay ( H ) quanh trục Ox ta vật thể trịn xoay tích 17 π2 Khi giá trị biểu thức T = 2021a + b10 thuộc khoảng sau đây? 10 10 A ( ;3 ) 10 10 B ( ; ) 10 10 C ( ;5 ) 2020 2020 D ( ;9 ) Câu 34 Cho hai số phức z, w thỏa mãn z + 2w = 3, z + 3w = z + 4w = Tính giá trị biểu thức P = z.w + z.w A P = −14i B P = −28i C P = −14 D P = −28 Trang Câu 35 Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số g ( x ) = 2020x có tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng f ( x )  f ( x ) − m  A B C D Câu 36 Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) Hai hàm số y = f ′ ( x ) y = g ′ ( x ) có đồ thị hình sau Trong đường cong đậm đồ thị hàm số y = g ′ ( x ) Hàm số h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) nghịch biến khoảng khoảng sau đây? 11   A  −∞; − ÷ 5   13 13  B  − ; − ÷  10  2  C  − ; − ÷  10   3 D  ; ÷  10  Câu 37 Cho m = log a ab với a, b > P = 1010 log a b + 2020 log b a Khi giá trị m để P đạt giá trị nhỏ A B C D Câu 38 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A ( 1;1;1) , B ( 2;0; ) , C ( −1; −1;0 ) , D ( 0;3; ) Trên cạnh AB, AC, AD lấy điểm B′, C ′, D′ thỏa mãn AB AC AD + + = Phương trình AB′ AC ′ AD′ mặt phẳng ( B′C ′D′ ) biết tứ diện AB′C ′D′ tích nhỏ phương trình sau đây? A 16 x + 40 y − 44 z + 39 = B 16 x + 40 y + 44 z − 39 = C 16 x − 40 y − 44 z + 39 = D 16 x − 40 y − 44 z − 39 = Câu 39 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn parabol y = x , cung tròn y = x − x trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích hình ( H ) Trang A π − B π − C π + D π + Câu 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác vng A, AB = a 2, AC = a Hình chiếu điểm S mặt phẳng ( ABC ) trùng với điểm đoạn thẳng BC Biết góc mặt phẳng ( SAB ) A mặt phẳng ( SAC ) 60° Thể tích khối chóp S.ABC 5a 12 B 5a 10 12 C a 210 24 D a 30 12 Câu 41 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ tích V Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BB′, A′C ′ Thể tích khối tứ diện CMNP A V 24 B V C Câu 42 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( P ) : x − y + z + = Gọi V 24 ( S ) : ( x − 1) D V + ( y − ) + ( z − 3) = mặt phẳng 2 M ( a; b; c ) điểm mặt cầu cho khoảng cách từ M đến ( P ) lớn nahát Khẳng định sau đúng? A a + b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Câu 43 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tìm tham số a để hàm số y = f ( x ) + a có ba điểm cực trị A ≤ a ≤ B a = −1 a = C a ≤ −1 a ≥ D a ≤ −3 a ≥ Câu 44 Giá trị nhỏ P = a + b để hàm số f ( x ) = x + ax + bx + ax + có đồ thị cắt trục hồnh A P = B P = C P = D P = Trang Câu 45 Có số tự nhiên có chữ số khác nhau, chia hết cho 4, nhỏ 4567 có chữ số hàng chục chữ số lẻ? A 170 B 171 C 172 D 173   x2 Câu 46 Gọi m0 số ngun để phương trình log  ÷+ x ( x + m ) = 2020 x ,  2020 − m  2020 2020 1011 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Với m0 giá trị biểu thức ) ( ( ) P = ln x1 + x22 + + ln x2 + x12 + thuộc vào khoảng đây? A ( −5;1) B ( 1;5 ) C ( 2018; 2020 ) D ( 2020; 2025 ) Câu 47 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [ −1;1] thỏa mãn f ( 1) = , ( f ′( x) A − + f ( x ) ) = x + 16 x − với x thuộc [ −1;1] Giá trị B C ∫ f ( x ) dx D − Câu 48 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Có giá trị f ( x3 − 3x ) = nguyên tham số m để phương trình m +1 có 10 nghiệm phân biệt? 10 − m A B C Vô số D Câu 49 Xét số phức z thỏa mãn z + i + z − i = 10 Gọi P; p tương ứng giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị P − p A B C 18 D Câu 50 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = điểm A ( 1;1;1) , B ( 2;3;1) Mặt cầu ( S ) thay đổi qua A, B tiếp xúc với ( P ) C Biết C ln chạy đường trịn cố định Diện tích S đường trịn A 5π B 10π C 20π D 126π ĐÁP ÁN 1-D 11-D 21-D 31-A 2-D 12-D 22-D 32-D 3-D 13-D 23-C 33-C 4-D 14-B 24-A 34-D 5-D 15-A 25-A 35-A 6-C 16-B 26-A 36-C 7-A 17-A 27-C 37-A 8-C 18-D 28-D 38-A 9-C 19-A 29-A 39-C 10-D 20-B 30-A 40-D Trang 41-A 42-D 43-C 44-D 45-C 46-A 47-A 48-B 49-B 50-B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Tập xác định D = ( 0; +∞ ) Ta có: lim+ x − = +∞, lim x − x →+∞ x →0 = Đồ thị hàm số y = x − nhận Oy tiệm cận đứng nhận Ox tiệm cận ngang Câu 4: Dựa vào bảng biến thiên, suy hàm số cho đồng biến khoảng ( −2; −1) ( 1;3) ; nghịch biến khoảng ( −1;1) Câu 6:Loại A đồ thị dạng đồ thị hàm trùng phương Loại B a < Đồ thị hàm số có cực đại x = nên y ′ = có nghiệm x = Ta có ( x − 3) = x3 − x + 27 x − 27 nên y = ( x − 3) cắt trục tung điểm có tung độ nhỏ (loại đáp án D) Câu 7: d có véctơ phương ( 1;3; −2 ) r Xét đáp án A, u = ( −1; −3; ) = −1( 1;3; −2 ) 1 a3 Câu 8: Ta có: VS ABC = h.S ∆ABC = h a = ⇒ h = a 3 9  y= ⇔M =  max 4 ⇒ 4M − m = − ( −1) = 10 Câu 9: Dựa vào đồ thị ta có  [ −1;3]  y = −1 ⇔ m = −1  [ −1;3] 2 Câu 10: Ta có f ( x ) = − x + x − 2018 ⇒ f ′ ( x ) = −3x + x ⇒ f ′ ( 1) = 1 xdx   = ∫ 1 − Câu 11: ∫ ÷dx = ( x − ln x + ) = − ln ⇒ a = 1; b = −1 ⇒ a − 2b = x +1  x +1  Câu 12: Ta có: l = BC = AB + AC = a + 4a = a Câu 13: Đường thẳng Δ vng góc với mặt phẳng ( α ) nên véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( α ) có r dạng n = k ( 1; −2;3) , ∀k ≠ Câu 14: Xét hàm số f ( x ) = − x + x − đoạn [ 1;3]  x = ∉ [ 1;3] Ta có f ′ ( x ) = −3 x + x; f ′ ( x ) = ⇔   x = ∈ [ 1;3] Bảng biến thiên hàm số f ( x ) = − x + x − đoạn [ 1;3] Trang Gọi x1 x2 hai nghiệm đoạn [ 1;3] (với x1 < x2 ) phương trình − x + x − = Khi ta có bảng biến thiên hàm số g ( x ) = − x + 3x − đoạn [ 1;3] Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn hàm số y = − x + x − đoạn [ 1;3] giá trị nhỏ hàm số y = − x + x − đoạn [ 1;3] Do M = 3, m = ⇒ M + m = u1 + 8d = ( u1 + d ) u9 = 5u2  4u − 3d = d = ⇔ ⇔ ⇔ Câu 15: Xét hệ  u1 = u1 − 2d = −5 u13 = 2u6 + u1 + 12d = ( u1 + 5d ) +  f ( x) = 2 Câu 16: Ta có: f ( x ) − 16 = ⇔   f ( x ) = −2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt đường thẳng y = −2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt nên phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu 17: Vì BC // AD ⇒ BC // ( SAD ) ⇒ d ( BC , SD ) = d ( BC , ( SAD ) ) = d ( B, ( SAD ) )  AB ⊥ SA ⇒ AB ⊥ ( SAD ) ⇒ d ( B, ( SAD ) ) = BA = a Ta có:   AB ⊥ AD 2021 Câu 18: Giải phương trình ta có: w = ( i − ) z0 = −5i Vậy điểm M ( 0; −5 ) biểu diễn số phức w x Câu 19: Ta có f ( x ) = log ( e + πm ) ⇒ f ′ ( x ) = ex ( e x + πm ) ln Trang 10 ⇔ = ⇔ m = ∈ ( −1;1) ln ( + πm ) ln ln uuur Câu 20: Đường thẳng BC có véctơ phương BC = ( 1; −1;3) Vậy f ′ ( ln ) = x = t  Nên phương trình đường thẳng BC:  y = − t ( t ∈ ¡ )  z = 3t  Gọi H ( t ; − t ;3t ) ∈ BC uuur Khi đó: AH = ( t − 2; − t ;3t ) Mà H chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC nên uuur uuur uuur uuur AH ⊥ BC ⇔ AH BC = ⇔ t − − + t + 9t = ⇔ t = 11 34  18 12  ⇒ H  ; ; ÷ ⇒ x0 + y0 + z0 = 11  11 11 11  x = a  Câu 21: Từ đồ thị hàm f ′ ( x ) ta có: f ′ ( x ) = ⇔  x = b  x = c Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có f ( a ) < f ( b ) ; f ( c ) < f ( b ) b Diện tích S1 = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) a = f ( b ) − f ( a ) b a c Diện tích S = ∫ − f ′ ( x ) dx = − f ( x ) b = f ( b ) − f ( c ) c b Ta có: S1 < S ⇔ f ( b ) − f ( a ) < f ( b ) − f ( c ) ⇔ f ( c ) < f ( a ) Vậy f ( b ) > f ( a ) > f ( c ) Câu 22: Gọi M trung điểm BC Ta có ( A′AM ) ⊥ ( A′BC ) theo giao tuyến A′M Trong ( A′AM ) kẻ OH ⊥ A′M ( H ∈ A′M ) ⇒ OH ⊥ ( A′BC ) Trang 11 a a2 Suy ra: d ( O, ( A′BC ) ) = OH = ; S ∆ABC = a OH OM Ta có: ∆A′AM # ∆OHM , suy = ⇒ = A′A A′M A′A ⇒ = A′A a 3 A′A +  ÷   ⇒ A′A = Thể tích VABC A′B′C ′ = S∆ABC A′A = a A′A2 + AM a a a 3a = 4 16  xy  t t t Câu 23: Đặt log x = log y = log  + 1÷ = t ⇒ x = , y = , xy = 4.6 −   ⇒ 62t − 4.6t + = ⇒ 6t = ⇒ t = log  xy  log log Khi log x + log y = log  + 1÷ = t = log ⇔ x = , y =   ( Do P = 4log6 ) log ( + 9log6 ) log ( = 4log4 ) log ( + 9log9 ) log = 6log6 + 6log6 = Câu 24: Ta có S xq = 2πRh = 24π Stp = S xq + 2πR = 42π ⇒ R = 3, h = Vậy thể tích khối trụ là: V = πR h = π.32.4 = 36π Câu 25: Gọi z = x + yi với x, y ∈ ¡ Khi điểm M ( x; y ) điểm biểu diễn cho số phức z Ta có z − 2i = z + ⇔ x + yi − 2i = x − yi + ⇔ x2 + ( y − 2) = ( x + 4) + y ⇔ x + y + 12 = ⇔ x + y + = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng ∆ : x + y + = Câu 26: Từ bảng biến thiên hàm số cho ta suy bảng biến thiên hàm số y = f ( x − 1) sau (trong x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình f ( x ) = ): Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( x − 1) = có nghiệm uur Câu 27: Véctơ phương d1 , d ud1 = ( 2;1; ) , uur ud2 = ( 1; 2;3) Trang 12 Giả sử d ∩ d = { B} ⇒ B ∈ d uuur Gọi B ( + t ; + 2t ;3t ) ⇒ AB ( + t ; 2t ;3t − 1) uuur uur uuur uur Vì d ⊥ d1 ⇒ AB ⊥ ud1 ⇔ AB.ud1 = ⇔ ( + t ) + 2t + ( 3t − 1) = ⇔ t = uuur Khi AB ( 1;0; −1) x = + t uuur  d qua A ( 2; 2;1) có véctơ phương AB ( 1;0; −1) , nên có phương trình:  y = ( t ∈ ¡ ) z = 1− t  n n 1  Câu 28: Ta có:  x + ÷ = ∑ Cnk 2n − k x n −3k ⇒ ak = Cnk 2n − k x n −3k x  k =0  Cnk 2n − k = 26.Cn9 ⇒ n = 15 Hệ số chứa x C ⇒  2n − 3k = k n 1  1 − = e − e k ⇔ k = ln  e + ÷− ln e e  −1 k uu r Câu 30: Ta có: d qua N ( 4; 2; −1) có véctơ phương ud = ( 3;1;1) Câu 29: Ta có: ∫ e dx = ∫ e dx ⇔ e x x x Gọi H hình chiếu vng góc M lên d  x = + 3t uuuur uu r   MH ud =  MH ⊥ d y = + t ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ H ( 1;1; −2 ) z = − + t  H ∈ d H ∈ d  3 x + y − + z = uuuur r Đường thẳng Δ qua M vng góc với d có véctơ phương u = −1 MH = ( 1; −1; −2 ) Phương trình ∆ : x y−2 z = = −1 2x x x 2x x x Câu 31: Ta có: + x ( + 1) − 4.3 − = ⇔ ( − 1) + x ( + 1) − ( 4.3 + ) = ⇔ ( 3x − 1) ( 3x + 1) + ( x − ) ( 3x + 1) = ⇔ ( 3x + x − ) ( 3x + 1) = ⇔ 3x + x − = x x Xét hàm số f ( x ) = + x − , ta có: f ( 1) = f ′ ( x ) = ln + > 0; ∀x ∈ ¡ Do hàm số f ( x ) đồng biến ¡ Vậy nghiệm phương trình x = Câu 32: Do f ( x ) hàm số chẵn nên f ( − x ) = f ( x ) 1 −1 ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx f ( x) ∫ + e x dx = 1010 Đặt x = −t ⇒ dx = −dt −1 Xét I = Trang 13 Đổi cận: x = −1 ⇒ t = x = ⇒ t = −1 −1 t t x f ( x) f ( −t ) e f ( −t ) e f ( t) e f ( x) dx = − dt = dt = dt = ( ) ∫−1 + e x ∫1 + e−t ∫−1 + et ∫−1 + et ∫−1 + e x dx ⇒I= x f ( x) e f ( x) dx = ∫−1 + e x ∫−1 + e x dx = 1010 ⇒ x 1 e x + 1) f ( x ) f ( x) e f ( x) ( ∫ + e x dx + −∫1 + e x dx = −∫1 + e x dx = −∫1 f ( x ) dx = 1010 + 1010 = 2020 −1 Khi đó: 1 0 ⇒ 2∫ f ( x ) dx = 2020 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 1010 Câu 33: Thể tích vật thể là: π π 17 π2 = π∫ ( a sin x + b cos x ) dx = π ∫ ( a sin x + b cos x + 2ab sin x cos x ) dx 0 π  − cos x + cos x  = π∫  a +b + ab sin x ÷dx 2  0 π   x sin x   x sin x  ab  2 π = π a2  − + b + − cos x = a + b ( ) ÷  ÷    2 2  2 0 Suy có a + b = 17 Mặt khác f ′ ( x ) = a cos x − b sin x ⇒ = f ′ ( ) = a ⇒ a = ⇒ b = Ta T = 2020 + 410 ( ) ( ) Câu 34: Ta có: z + w = ⇔ z + w = ⇔ ( z + w ) z + w = ⇔ ( z + w ) z + w = ( ) 2 ⇔ z.z + z.w + z.w + w.w = ⇔ z + P + w = (1) Tương tự: ( ) z + 3w = ⇔ z + 3w = 36 ⇔ ( z + 3w ) z + 3w = 36 ⇔ z + P + w = 36 (2) ( ) 2 z + w = ⇔ ( z + w ) z + w = 49 ⇔ z + P + 16 w = 49 (3) 2  z = 33  Giải hệ phương trình gồm (1), (2), (3) ta có:  P = −28 ⇒ P = −28   w = g ( x ) = , Câu 35: Ta có g ( x ) hàm phân thức hữu tỉ với bậc tử nhỏ bậc mẫu nên xlim →±∞ đồ thị hàm số g ( x ) ln có tiệm cận ngang y = Trang 14  x = x1 ∈ ( −2; −1)   x = x2 ∈ ( −1;0 ) Phương trình f ( x ) = ⇔  x = x ∈ 0;1 ( )   x = x ∈ ( 1; )  Ta thấy phương trình f ( x ) = có nghiệm phân biệt khác nên x = x1 , x = x2 , x = x3 , x = x4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) Vậy để đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng phương trình  − < m < f ( x ) = m phải có nghiệm phân biệt khác khác với nghiệm xi ( i = 1, ) ⇔  m ≠ mà m ∈ ¢ nên m ∈ { −1;1} 2  Câu 36: Ta có: h′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) Với x ∈  − ; − ÷ , ta có:  10  2  Đồ thị y = f ′ ( x ) nằm hoàn tồn phía đồ thị y = g ′ ( x ) nên h′ ( x ) < 0, ∀x ∈  − ; − ÷  10  2  Nên hàm số h ( x ) nghịch biến khoảng  − ; − ÷  10  2 Câu 37: Ta có P = 1010 log a b + 2020 log b a = 1010 log a b + Đặt t = log a b Khi P = 1010t + 2020 log a b 2020 t Vì a, b > nên t = log a b > Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: P = 1010t + 2020 1010 1010 = 1010t + + ≥ 3 10103 = 3030 t t t Đẳng thức xảy 1010t = Ta có m = log a ab = 1010 ⇒ t = t 1 1 log a ( ab ) = ( + log a b ) = ( + t ) = ( + 1) = 2 2 Câu 38: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: = ⇒ AB AC AD AB.AC.AD + + ≥ 33 AB′ AC ′ AD′ AB ' AC ' AD ' AB '.AC'.AD' 27 VAB 'C ' D ' AB '.AC'.AD' 27 27 ≥ ⇒ = ≥ ⇒ VAB′C ′D′ ≥ VABCD AB AC AD 64 VABCD AB AC AD 64 64 Trang 15  uuur uuur 7 7 AB′ AC ′ AD′  AB′ = AB ⇒ B′  ; ; ÷ = = = ⇒ 4 4 Để VAB′C ′D′ nhỏ AB AC AD  ( B′C ′D′ ) // ( BCD ) uuu r uuur Ta có CB = ( 3;1; ) , CD = ( 1; 4; ) suy mặt phẳng ( BCD ) có véctơ pháp tuyến r uuu r uuur n = CB; CD  = ( −4; −10;11) 7 7 Lúc mặt phẳng ( B′C ′D′ ) song song với mặt phẳng ( BCD ) qua B′  ; ; ÷ 4 4 ⇒ ( B′C ′D′ ) :16 x + 40 y − 44 z + 39 = Câu 39: Phương trình hồnh độ giao điểm parabol x = 2 cung tròn: x = x − x ⇔  x = 2 2 Khi đó: S = ∫ x dx + ∫ x − x dx = + ∫ − ( x − 1) dx 1  π π Đặt x − = sin t , t ∈  − ;  ⇒ dx = cos tdt  2 Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π π π π Suy S = + cos tdt = + ( + cos 2t ) dt = +  t + sin 2t ÷ = + π ∫0 ∫0 2 0 Câu 40: Gọi H trung điểm BC, M trung điểm AC, P trung điểm AB, kẻ HI ⊥ SM Ta có ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA , kẻ BE ⊥ SA GH // BE , suy · = 60° (·( SAC ), ( SAB) ) = (·GH , ( SAC ) ) = HGI Đặt SH = h , ta tính SA = h + 7a 5a SP = h + 4 5a a h + S SAB BE = = Vậy SA 7a h2 + HI = a h MH SH = MH + SH a2 h + 2 Tam giác GIH vng I có Trang 16 a 5a a h2 + h IH a 2 15a 2a 4 = sin 60° ⇒ = ⇒h + h − =0⇒ h= 2 HG 7a a 2 h + h + 4 Vậy VSABC = a 30 AB AC.SH = 12 Câu 41: Gọi I trung điểm AC ⇒ NP ∩ BI = { J } Lại có BP = NI BN // IP suy BN đường trung bình tam giác PIJ Suy B trung điểm IJ Suy CM ∩ BI = { G} trọng tâm tam giác ABC Ta có: S JCM JG = mà JG = BJ + BG = BI + BI = BI S BCM BG 3 BI S JCM 5 ⇒ = = ⇒ S JCM = S BCM ⇒ S JCM = S ABC S BCM BI 2 1 5 Ta có V1 = VP.MJC = hS JMC = V ; V2 = VN MJC = hS JMC = h S ABC = V 12 3 24 Vậy VP.CMN = V1 − V2 = V 24 Câu 42: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1; 2;3) , R = Ta có: d ( I , ( P ) ) = 2.1 − 2.2 + + 22 + ( −2 ) + 12 = < R nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn Gọi M ( a; b; c ) điểm mặt cầu cho khoảng cách từ M đến ( P ) lớn điểm M thuộc đường thẳng ∆ qua điểm I vng góc với ( P )  x = + 2t  2 Phương trình ∆ :  y = − 2t Thay vào mặt cầu ( S ) ta có: ( 2t ) + ( −2t ) + ( t ) = ⇒ 9t = ⇒ t = ±1 z = + t  Với t = ta có: M ( 3;0; ) ⇒ d ( M , ( P) ) = 2.3 − 2.0 + + 22 + ( −2 ) + 12 Với t = −1 ta có: M ( −1; 4; ) ⇒ d ( M , ( P) ) = = 13 ( −1) − 2.4 + + 22 + ( −2 ) + 12 = Vậy M ( 3;0; ) nên a + b + c = Trang 17 Câu 43: Đồ thị hàm số y = f ( x ) + a đồ thị y = f ( x ) tịnh tiến lên đoạn thẳng a a > tịnh tiến xuống đoạn a a < Hơn đồ thị y = f ( x ) + a là: +) Phần đồ thị y = f ( x ) + a nằm phía trục Ox +) Lấy đối xứng phần đồ thị y = f ( x ) + a nằm Ox qua Ox bỏ phần đồ thị y = f ( x ) + a nằm Ox Vậy để đồ thị hàm số y = f ( x ) + a có ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) + a xảy hai trường hợp: +) Đồ thị hàm số y = f ( x ) + a có điểm cực tiểu nằm phía trục hồnh thuộc trục hồnh cực đại dương Khi a ≥ +) Đồ thị hàm số y = f ( x ) + a có điểm cực đại nằm phía trục hồnh thuộc trục hồnh cực tiểu âm Khi a ≤ −1 Vậy giá trị a cần tìm a ≤ −1 a ≥ 1 1   Câu 44: Xét phương trình: x + ax + bx + ax + = ⇒  x + ÷ + a  x + ÷+ b − = ( x ≠ ) x x   Đặt t = x + x ( t ≥ 2) ⇒ t + at + b − = (*) 2 Xét đường thẳng ∆ : tx + y + t − = ( t ≥ ) đường tròn ( C ) : x + y = P có tâm O ( 0;0 ) , bán kính R= P Để (*) có nghiệm Δ ( C ) tiếp xúc cắt nhau: ⇔ d( O ,∆ ) ≤ R ⇔ Xét f ( u ) t2 − t +1 ( u − 3) = u 2 ≤ (t P⇒P≥ ,u ≥ ⇒ f ( u) ≥ − 2) t +1 2 ( t ≥ 2) ; (t − 2) t +1 2 ( u − 3) = u (u =t + ≥ 5) 4 ⇒ P ≥ u = ⇒ x + = ±2 x 5 Câu 45: Gọi abcd số tự nhiên có chữ số khác nhau, chia hết cho 4, nhỏ 4567 có chữ số hàng chục chữ số lẻ Ta có: abcd M4 ⇔ 1000a + 100b + 10c + d M4 ⇔ 2c + d M4 (1) Mặt khác c lẻ nên 2c chia cho dư 2, nên để thỏa mãn (1), d phải chia cho dư  Trường hợp 1: a ∈ { 1;3} Khi c lẻ suy c ∈ { 1;3;5;7;9} \ { a} suy c có cách chọn Ta có d chia cho dư 2, hay d ∈ { 2;6} Sau chọn a, c, d b có cách chọn Trang 18 Vì trường hợp có 2.4.2.7 = 112 số thỏa mãn  Trường hợp 2: a = Khi c lẻ suy c ∈ { 1;3;5;7;9} suy c có cách chọn Sau chọn a, c, d b có cách chọn Vì trường hợp có 1.5.1.7 = 35 số thỏa mãn  Trường hợp 3: a = 4, b ∈ { 1;3} Khi c lẻ suy c ∈ { 1;3;5;7;9} \ { b} suy c có cách chọn Ta có d chia cho dư 2, hay d ∈ { 2;6} Vì trường hợp có 1.2.4.2 = 16 số thỏa mãn  Trường hợp 4: a = 4, b = Khi c lẻ suy c ∈ { 1;3;5;7;9} suy c có cách chọn Ta có d chia cho dư 2, hay d = Vì trường hợp có 1.1.5.1 = số thỏa mãn  Trường hợp 5: a = 4, b = Khi c ∈ { 1;3} Ta có d chia cho dư 2, hay d ∈ { 2;6} Vậy trường hợp có 2.2 = số thỏa mãn Vậy số số thỏa mãn yêu cầu toán là: 172 số x ≠ Câu 46: Điều kiện:   m < 2020 Phương trình có dạng: log x + x = log ( 2020 − m ) + x ( 2020 − m ) ⇔ log x + log3 x + x = log3 x + log ( 2020 − m ) + x ( 2020 − m ) ⇔ log x + x = log ( x ( 2020 − m ) ) + x ( 2020 − m ) (1) 3 Xét hàm số: f ( t ) = t + log t D = ( 0; +∞ ) Vì f ′ ( t ) = + > 0, ∀t ∈ D nên hàm số f ( t ) đồng biến D t ln ( ) = f ( x ( 2020 − m ) ) Từ phương trình (1) ⇔ f x  x = 2020 − m ⇔ x = x ( 2020 − m ) ⇒ x = 2020 − m ⇔  ( m < 2020 ) (2)  x = − 2020 − m Mà x12020 + x22020 = 21011 ⇔ ( 2020 − m ) 1010 = 21011 ⇒ ( 2020 − m ) = ⇔ m = 2018  x1 = Khi   x2 = − ( ) ( ) ( 2 Vậy P = ln x1 + x2 + + ln x2 + x1 + = ln ) ( ) + + ln − + = ln ≈ 0, 693 Câu 47: Ta có: Trang 19 ( 1 f ′( x ) ) + f ( x ) = x + 16 x − ⇒ ∫  f ′ ( x )  dx + ∫ f ( x ) dx = 2 −1 −1 ∫ ( 8x −1 + 16 x − ) dx (1) u = f ( x ) du = f ′ ( x ) dx ⇒ Xét I = ∫ f ( x ) dx , đặt   dv = 2dx v = x + −1 1 Do I = ∫ f ( x ) dx = ( x + ) f ( x ) −1 1 −1 1 −1 −1 − ∫ ( x + ) f ′ ( x ) dx = − ∫ ( x + ) f ′ ( x ) dx Từ (1) suy ∫  f ′ ( x )  dx + ∫ f ( x ) dx = −1 −1 1 ∫ ( 8x −1 + 16 x − ) dx ⇔ ∫  f ′ ( x )  dx − ∫ ( x + ) f ′ ( x ) dx + ∫ ( x + ) dx = −1 −1 −1 ∫ ( 12 x −1 + 24 x − ) dx ⇔ ∫  f ′ ( x ) − ( x + )  dx = ⇒ f ′ ( x ) = x + ⇒ f ( x ) = x + x + C −1 Vì f ( 1) = nên C = −3 Suy 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x 0 Câu 48: Xét phương trình: f ( x − x ) = + x − 3) dx = − m +1 (1) 10 − m Đặt t = x − x , ta có: t ′ = x − 3, t ′ = ⇔ x = ±1 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có: Ứng với giá trị t > t < −2 phương trình x − x = t có nghiệm x Ứng với giá trị t = t = −2 phương trình x − x = t có nghiệm x Ứng với giá trị −2 < t < phương trình x − x = t có nghiệm x Phương trình (1) trở thành f ( t ) = m +1 với t ∈ ¡ 10 − m Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ban đầu, ta suy bảng biến thiên hàm số y = f ( t ) sau: Trang 20 (trong f ( a ) > ), Từ bảng biến thiên hàm số y = f ( t ) để phương trình f ( x − x ) − biệt phương trình f ( t ) = Hay < m +1 = có 10 nghiệm phân 10 − m m +1 có nghiệm thỏa mãn t1 < −2 < t2 < t3 < < t4 < t5 < t6 10 − m m +1 < ⇔ −1 < m < Do m ∈ ¢ nên m ∈ { 0;1; 2;3; 4} 10 − m Câu 49: Gọi A ( 0; −1) , B ( 0;1) , có trung điểm O ( 0;0 ) Điểm M biểu diễn số phức z Theo công thức trung tuyến z = OM = MA2 + MB AB − Theo giả thiết MA + 3MB = 10 Đặt MA = a ⇒ MB = Khi MA − MB = 10 − 4a 10 − a 16 ≤ AB = ⇒ −6 ≤ 10 − 7a ≤ ⇔ ≤ a ≤ 7 10 − 4a  25a − 80a + 100 ( 5a − ) + 36 Ta có MA + MB = a +  = = ÷ 9   2 2  z ≥1  MA2 + MB ≥ 36 24 1296   ⇒ ≤ ( 5a − ) ≤ Do − ≤ 5a − ≤ nên  340 ⇒  121 11 7 49 ⇒ z ≤  MA + MB ≤ z ≤ 49  49  Vậy p = 1; P = 11 ⇒ 7P − p = Câu 50: Giả sử C ( xC ; yC ; zC ) , ta có: xC + yC − zC + = (1)  x = xC + t uur  Đường thẳng Δ qua C nhận nP = ( 1;1; −1) làm véctơ phương có phương trình:  y = yC + t z = z − t C  Gọi I tâm mặt cầu ( S ) , có: IA = IB ⇒ I thuộc mặt phẳng trung trực ( α ) AB Mặt phẳng ( α ) có phương trình: x + y − 11 = Mặt khác { I } = ∆ ∩ ( α ) ⇒ t = 2 Lại có: IC = IA nên: 3t = ( xC − 1) + t  + ( yC − 1) + t  + ( zC − 1) − t    11 − xC − yC (2) Trang 21 ⇔ ( xC − 1) + ( yC − 1) + ( zC − 1) + 2t ( xC + yC − zC − 1) = 2 2 2  11 − xC − yC Kết hợp (1) (2) ta được: ( xC − 1) + ( yC − 1) + ( zC − 1) −    ÷=  ⇔ xC2 + ( yC + 1) + ( zC − 1) = 10 (3) 2  xC + yC − zC + = Từ (1) (3), suy C thuộc đường tròn giao tuyến:  2  xC + ( yC + 1) + ( zC − 1) = 10 Khi bán kính đường trịn là: r = 10 Vậy S = πR = 10π Trang 22 ... ÁN 1-D 11-D 21-D 31-A 2-D 12-D 22-D 32-D 3-D 1 3- D 23-C 33-C 4-D 14-B 24-A 34-D 5-D 15-A 25-A 35-A 6-C 16-B 26-A 36-C 7-A 17-A 27-C 37-A 8-C 18-D 28-D 38-A 9-C 19-A 29-A 39-C 10-D 20-B 30-A 40-D... 19-A 29-A 39-C 10-D 20-B 30-A 40-D Trang 41-A 42-D 43-C 44-D 45-C 46-A 47-A 48-B 49-B 50-B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Tập xác định D = ( 0; +∞ ) Ta có: lim+ x − = +∞, lim x − x →+∞ x →0 = Đồ thị... ta có: t ′ = x − 3, t ′ = ⇔ x = ±1 Bảng biến thi? ?n: Từ bảng biến thi? ?n ta có: Ứng với giá trị t > t < −2 phương trình x − x = t có nghiệm x Ứng với giá trị t = t = −2 phương trình x − x = t có