CMR trªn ®å thÞ cña hµm sè kh«ng thÓ cã hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi nhau.... V iết pt tt tại điểm cố định mà dths luôn đi qua với mọi m.[r]
(1)Cac chuyen de ve ham so
Chuyên đề 1: Sự tơng giao hai đồ thị I Bài toán :
VD1: Cho hµm sè y = 1 x x
có đồ thị ( C )
a) Tìm m để đờng thẳng (d): y = mx + cắt ( C ) điểm phân biệt b) Tìm m để (d) cắt ( C ) điểm thuộc hai nhánh ( C)
VD2: Cho hàm số y = mx3 – x2 – 2x + 8m có đồ thị ( C).
Tìm m để ( C) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ thoả mãn: x < -1 VD3: Cho hàm số: y = x4 –(3m + )x2 + m2 có đồ thị ( C )
a) Tìm m để ( C ) cắt trục hoành điểm phân biệt
b) Tìm m để ( C ) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng VD4: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 –m(x – 1) – tiếp xúc với trục hoành.
VD5: Tìm m để (d) : y = m – x cắt ( C) : y =
1
2
x
x x
điểm đối xứng với qua đờng phân giác thứ
Chuyên đề 2: Tip tuyn vi th
I Bài toán bản:
Cho hm s y = f(x) có đồ thị ( C ) Hãy viết phơng trình tiếp tuyến ( C )
D¹ng 1 : BiÕt tiÕp ®iĨm M(xo,yo) ( C ) ( TiÕp tun t¹i M cđa ( C) ) Phơng trình tiếp tuyến là: y yo = f(xo)(x – xo) ( y0 = f(xo) )
D¹ng 2 : TiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc k cho tríc
Cách giải 1: - Giải phơng trình f(x)k để tìm hồnh độ tiếp điểm xo - Thế xo vào công thức dạng
Cách giải 2: - PT đờng thẳng (d) có hệ số góc k : y = kx + b
- (d) tiÕp xóc víi ( C ) hÖ
k x f
b kx x f
) (
) (
cã nghiÖm
- Giải hệ tìm đợc b từ suy phơng trình tiếp tuyến
Dạng 3: Tiếp tuyến qua điểm M(,) cho trớc ( phải tìm) Cách giải 1: - PT đờng thẳng (d) có hệ số góc k qua M là: y = k(x- ) +
- (d) tiÕp xóc víi ( C ) hƯ
k x f
x k x f
) (
) ( )
(
(1) cã nghiÖm
- Giải hệ ta tìm đợc k từ ta có phơng trình tiếp tuyến Chú ý: Số nghiệm (1) số tiếp tuyến ( C ) qua M
Cách giải 2: - Gọi tiếp điểm (xo,yo) PT tiếp tuyến là: y –yo= f(xo)(x - xo) - Vì tiếp tuyến qua M nên ta có f(x0)( x0)y0 (2) - Giải (2) để tìm xo từ ta đợc phơng trình tiếp tuyến
Chó ý: Sè nghiƯm cđa (2) chÝnh lµ sè tiÕp tun cđa ( C ) qua M
II C¸c vÝ dơ :
VD1: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) hàm số y = x3 – 3x2 + giao điểm với trục ox. VD2: Cho hàm số y =
1
2
x x x
có đồ thị ( C )
Viết phơng trình tiếp tuyến ( C ) biết tiÕp tun cã hƯ sè gãc lµ -
(2)Cac chuyen de ve ham so
VD4: Tìm đồ thị hàm số y = x3 + 3x + điểm mà từ kẻ đợc tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
VD5: Cho hµm sè y =
2
2
2
x
x x
có đồ thị ( C ) CMR giao điểm ( C ) với trục hoành , tiếp với ( C ) vng góc với
VD6: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) hàm số y =
1
2
x
x x
biÕt tiÕp tun ®i qua ®iĨm M( 2, 2) VD7: Cho hµm sè y =
1 2
x
mx x
có đồ thị ( C )
a) Tìm m để ( C ) cắt trục hoành điểm phân biệt A B b) CMR A B đạo hàm hàm số thoả mãn công thức
1
2
x m x y c) CMR tiÕp tun cđa ( C ) t¹i A B vuông góc với
VD8: a) CMR tiếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + 2x + có hệ số góc nhỏ nhất. b) CMR tiếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số y = - x3 + 3x + có hệ số góc lớn nhất. VD9: Cho hàm số y =
2 x x
a) Khảo sát vẽ đồ thị ( C ) hàm số
b) CMR ( C ) có vơ số cặp điểm mà tiếp tuyến song song với cặp điểm đối xứng qua tâm ( C )
VD10: Cho hµm sè y = x3 – 3x +
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số
b) Tìm đờng thẳng y = điểm cho từ kẻ đợc tiếp tuyến với ( C )
c) Tìm đờng thẳng y = điểm cho từ kẻ đợc tiếp tuyến với ( C ) vng góc với VD11: Cho hàm số y =
1 2
x
x x
a) Khảo sát vẽ đồ thị ( C ) hàm số
b) CMR đờng thẳng y = có điểm cho từ điểm kẻ đợc tiếp tuyến với ( C ) tạo với góc 45o.
Chun đề 3: Bài tốn quỹ tích.
I C¸c vÝ dơ ¸p dơng:
VD1: Cho đồ thị ( C ) hàm số y = x2 – 4x + đờng thẳng ( d) : y = mx m tham số. a) Tìm m để (d) cắt ( C ) điểm phân biệt A B
b) T×m quü tÝch trung ®iĨm cđa AB
VD2: Tìm quỹ tích tâm đối xứng đồ thị hàm số y =
2
m x
mx
VD3: Tìm quỹ tích điểm uốn đồ thị hàm số: y = 2x3 - 3(m -2)x2 - (m - 1)x + m VD4: Cho hàm số y =
2 2
x
m x x
với m tham số a) Tìm m để hàm số có cực trị
b) Tìm quỹ tích điểm cực trị đồ thị hàm số VD5: Cho hàm số y =
2
2
x
x x
a) Tìm k để đờng thẳng y = kx + cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt A ,B b)Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn AB k thay đổi
Chuyên đề 4: Phép đối xứng đồ thị II Các ví dụ.
(3)Cac chuyen de ve ham so
VD2 : Chứng minh ( C ) : y = x2 + 2x + ( C/ ) : y = -x2 + 6x - 10 đối xứng qua điểm I
2 ,
1
VD3: (ĐHQG Hà Nội –95): Xác định hàm số y = f(x) cho đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số y = g(x) =
2 )
(
x
x qua ®iĨm M(1,1).
VD4(ĐHBK Hà Nội –90) : Tìm m để đồ thị hàm số y =
2
3
x mx m x
có cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ
VD5(ĐHQG-97):Tìm cặp điểm M1 M2 đồ thị hàm số y =
1
2
x
x x
đối xứng với qua
®iĨm I(0,
)
VD6:Tìm điểm A , B nằm đồ thị hàm số y =
2
x
x đối xứng với qua đờng thẳng y = x – 1.
chuyên đề : khoảng cách
1) Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng
VD1(HVKTQS-95) Tìm đồ thị hàm số y =
3
2
x x
điểm M có tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ nhỏ
VD2(HVQY-95) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = 2 x x
cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ nhỏ
VD3(ĐHAN-97).Tìm M đồ thị hàm số y =
1
x
x
cho tổng khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận nhỏ
VD4(HVQHQT-99) Tìm điểm M đồ thị y = x x
cho khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng ngang
VD5(ĐHQG Hà Nội –98) Tìm M thuộc đồ thị hàm số y =
1 2
2
x x x
cho khoảng cách từ M đến trục hoành hai lần khoảng cách từ M đến trục tung
VD6(ĐHQG-HCM-2000) Tìm điểm M đồ thị y =
1
2
x
x x
cho tổng khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận nhỏ
VD7(ĐH Ngoại Ngữ-2000) CMR tích khoảng cách từ điểm K tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số y =
2
2
x
x x tới hai đờng tiệm cận số
VD8(HVKTQS-2000) Tìm điểm M đồ thị y = f(x) =
2
2
x
x
x có khoảng cách đến đờng thẳng y + 3x + 6 = nhỏ
VD9(ĐH Ngoại Thơng –2001) Tìm điểm M đồ thị y = f(x) =
1 2
2
x x x
cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đờng tiệm cận nhỏ
VD10(ĐHSP –2001) Tìm m để hàm số y =
1 2
2
x mx x
(4)Cac chuyen de ve ham so
2)Khoảng cách hai điểm
VD1(H Lut –95) Tìm hai điểm E , F thuộc hai nhánh khác đồ thị hàm số y =
1
2
x
x x
cho đoạn EF ng¾n nhÊt
VD2(ĐH Nơng Nghiệp –2000) CMR đờng thẳng (d) qua điểm I(0,k) có hệ số góc (-1) cắt đồ thị y =
2
x
x
điểm phân biệt E F Tìm k để đoạn EF có độ dài nhỏ
3)Khoảng cách ngắn đồ thị.
VD1(ĐH Mỏ ĐC –99) Cho đờng cong ( C ) : y = 2x4 – 3x2 +2x +1 đờng thẳng (d) có PT : y = 2x – 1. a) CMR (d) ( C ) khơng có điểm chung
b) Tìm điểm A ( C ) có khoảng cách đến (d) nhỏ
CHUYÊN ĐỀ 7: BIỆN LUẬN SỐ ĐỒ THỊ ĐI QUA MỘT ĐIỂM Bài 1: CMR đồ thị hàm số
( 2) 3( 2)
y m x m x x m tồn ba điểm cố định thẳng hàng
Bài 2: Cho hàm số y x3 mx2 m 1
Viết pt tt điểm cố định mà dths qua với m
Bài Cho hs
2
2 (1 ) (1 )
,
x m x m
y m
x m
Tìm điểm cố định mà dths qua với m1.
Bài 4: Cho hàm số
2 2
1
x mx m m y
mx m m
Tìm điểm Oy cho khơng có đồ thị