Tham khảo bộ 30 đề thi học sinh giỏi môn Toán học lớp 12 năm 2013 phần 1 dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ kiểm tra, qua đó các em sẽ được làm quen với cấu trúc đề thi và củng cố lại kiến thức căn bản nhất.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút CâuI : (4 điểm): Cho hàm số y= x3 + 3x2 - (C) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị 2/ Giải bất phương trình : 2006 + 6018x2- 4012 4012 3/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) Biết tiếp tuyến qua A(0; -2) CâuII : (2 điểm) Tính I= dx e 1 x CâuIII : (2 điểm) Giải biện luận phương trình theo tham số m x 1 x 1 m Câu IV: (4 điểm) Giải phương trình sau: 1/ Sin(/2 - cosx)= cos(3cosx) 2/ 6x + 4x = 2.9x Câu V : (2 điểm) Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông: Cos2A + Cos2B + Cos2C = Câu VI: (2 điểm): Tính giới hạn sau: lim x 0 x 27 27 x x2 Câu VII: (2 điểm): Trong hệ Oxy cho hai đường thẳng d1//d2 có phương trình : d1: x-y+2 = ; d2: x-y-2 = 1/ Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(-2; 0) vuông góc với d2 2/ Viết phương trình đường thẳng d4 cho d1, d2, d3, d4 cắt tạo thành hình vng Câu XIII: (2 điểm): Chứng minh với a,b> ta có: a5+b5 a4b + ab4 KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Mơn: Tốn- Đề (Bản hướng dẫn chấm gồm trang) Câu 1: (4 điểm) 1, (2 điểm) TXĐ : D = R Chiều biến thiên: (0,25đ) (0,5đ) + y' = 3x2 + 6x = 3x(x+2), + dấu y': x - y' + x y' = x 2 -2 - 0 + + + y -2 - Với x(-; -2) (0; +) hàm số đồng biến x(-2; 0) hàm số nghịch biến Tại x= -2 hàm số đạt cực đại yCĐ = Tại x= hàm số đạt cực tiểu yCT = -2 Tính lồi lõm, điểm uốn + y'' = 6x + = 6(x+1); y'' = x= -1 + dấu y'': x -1 - y'' + đ.u y Lồi (-1,0) lõm (0,25đ) (0,25đ) + Bảng biến thiên: x y' (0,25đ) - + y - -2 (CĐ) -1 0 + + + (CT) -2 * Đồ thị: Đồ thị cát trục tung tại: (0; -2) * Cắt trục hoành hoành độ x = -1, x = Qua điểm (-3; -2); (1; 2) y -1+ 3 -1- x -2 0,5 đ (1 điểm) 2006 x3 + 6018 x2 - 4012 4012 x3 + 3x2 - theo đồ thị (C) ta có: (*) x [ -1- ; -1 ] [ -1+ ; ] (1 điểm): đường thẳng qua A(0; -2) có hệ số góc k: y+2= k(x- 0) (d) y = kx-2 x x kx (d) tiếp tuyến (c) k 3x x x x kx k x x (0,5đ) (*) (0,5đ) (1) (0,5đ) có nghiệm Thay k từ (2) vào (1) ta được: x2(2x+3) = x = 0, x= - (0,25đ) * Với x= k= tiếp tuyến y = - * Với x= - 9 tiếp tuyến y= - x k= 4 (0,25đ) Câu (2 điểm) (1 điểm) Ta có I = e x dx e x (e x 1) Đặt ex+1 = t (*) ex = t-1 exdx = dt dt t (t 1) dt t (t 1) I= t (t 1) = t dt t dt 1 =ln t - ln t +c =ln (0,5đ) t 1 +c t ex + c = x - ln(ex +1) +c x e 1 Câu (2đ) Xét hàm số y= x x (c) Từ (*) ta có: I = ln (0,5đ) Ta có bảng xét dấu x (1đ) - -x-1 -x+1 -2x x 1 x 1 y= x x x Nếu Nếu Khi y= 2 2 x Nếu -1 x+1 -x+1 x+1 x-1 2x y x 1 1 x x 1 y=2 đồ thị (C) (0,5đ) -1 x y=m * Biện luận số nghiệm phương trình theo m: x x = m (*) (C) (0,5đ) số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y=m + Nếu m2 phương trình có nghiệm phân biệt Câu (4đ) Phương trình tương đương với : Cos ( cosx) = cos cosx (0,25đ) Cosx 3Cosx k 2 Cosx 3Cosx 2k (k Z ) Cosx 3Cosx k 2 Cosx 3Cosx 2k (1) Cosx k Cosx k (2) Vì k Z, Cosx nên: Cosx (*) Cosx 1 (0,5đ) (0,25đ) (1) (0,25đ) Cosx (2) Cosx 1 (**) Cosx (0,25đ) Cosx Từ (*) (**) ta có: Cosx 1 Cosx (3) (4) (0,25đ) (5) (3) x 2 k(a) (4) x k(b) x k2 (5) x 2 k2 (c) (d) Với (k Z ) (0,5đ) k x Từ (a),(b),(c),(d) ta có nghiệm phương trình : x k (k Z ) (0,25đ) Phương trình tương đương với x 2 2 3 3 2x (0,5đ) (1) x Đặt t = Điều kiện t > 3 t (1) t2 + t -2 = t 2 (Loại) x x 2 Với t = = = 3 3 3 x=0 Vậy phương trình có nghiệm x = (0,25đ) (0,5đ) (0,25đ) Câu (2đ) Cos A Cos B Cos 2C 1 Cos A Cos B Cos 2C 2 (Cos A Cos B) Cos C Cos ( A B)Cos ( A B) Cos 2C CosC Cos ( A B) Cos ( A B) CosA.CosB.CosC CosA CosB CosC (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) * Nếu CosA = ABC vuông A * Nếu CosB = ABC vuông B * Nếu CosC = ABC vuông C Vậy tam giác ABC tam giác vuông Câu (2đ) lim x 0 x 27 27 x (3 x 27 3) ( 27 x 3) lim x0 x2 x2 (1đ) (0,25đ) lim x0 lim x 0 x 27 27 x lim x0 x2 x2 9x x (9 x 27) 33 x 27 9 lim x 0 (0,25đ) 2 (9 x 27) x 27 lim x 0 lim x 0 27 x x ( 27 x 3) 27 (0,25đ) (0,25đ) 27 x 27 25 999 33 Câu (2đ) d3 vng góc với d2 nên có dạng x+y+c = Vì d3 qua A(-2 ; 0) nên : -2 + + c = c =2 (0,25đ) (0,75đ) Vì A(-2;0) d1 nên Để d4 d1, d2, d3 cắt tạo thành hình vuông d4//d3 d(A,d4) = d(A,d2) (*) (0,5đ) Do d4 có dạng : x + y + D = (*) 20 D D D2 4 D 2 202 Vậy đường thẳng d4 có dạng x+y+6 =0 x+y-2 = (0,5đ) (0,25đ) Câu 8.(2đ) a5+b5 a4b+ab4 5 4 a +b - a b - ab 4 a (a-b) - b (a-b) 4 (a - b)(a -b ) 2 2 (a-b)(a -b ) (a +b ) 2 (a-b) (a+b) (a +b ) Dấu "=" xảy a=b (0,5đ) (0,5đ) (0,25đ) (0,5đ) (0,25đ) - - Trường THPT Văn Quan ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Mơn : Tốn – Thời gian :120 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu (5 điểm) : Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = 1 1 1 1 1 cos8 x 2 2 2 2 2 ( với : 0< x < b) y = x x x x x x x ( với :x > 0) a a c) y x a a x a a x ) 16 ( với x > 0; a > 0) d) y = log x+1 (27 + x 10 + x 2006 ) (với : x >-1; x ) Câu (2 điểm) :Chọn ý đúng: Đạo hàm x = hàm số y = x(x – 1)(x – 2) (x – 2006) là: A) B) 2006! C) – 2006 D) Khơng xác định Câu (4 điểm) : Tính tổng S = +2 x + 2 x + x + .+ n x n1 Câu (2 điểm) : CMR : Nếu ABC thỏa mãn : V b3 c a a (b c a) a CosC 2b V ABC Câu (7điểm) : Trong hệ tọa độ (Oxy) cho ABC lượt có phương trình: 2x – y + = x + 3y – = 1/ Chọn ý :Tọa độ trọng tâm G A) (0;1) B) (1;0) 2/ Lập phương trình cạnh V V với A(1;2) hai đường trung tuyến lần V ABC : C) (1;3) D) (6;-1) ABC Hết - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 MƠN: TỐN THỜI GIAN: 180' (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI: x mx Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y = x 1 1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C1) 2đ b) Tìm nhánh (C1) diểm A B 2đ cho AB bé 2) Xác định m để hàm số có yCĐ, yCT yCĐ.yCT > 1đ Bài 2: (4 điểm) a) phương Giải trình: x 1 x 1 x2 1 2đ b) Tìm x, y Z thoả mãn 2đ y 8 log x 2x 3 y 3y x Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số In e sinxdx (n = 1, 2, ) a) CMR: 2e In n 1,2, n 3đ b) Tính 1đ x2 y2 Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp có a > b a b lim In n Xét Mo(Xo, Yo) E ; O gốc toạ độ 1) CMR: a OM b 2đ 2) CMR: tiếp tuyến với E MO (x0 > 0;y0 > 0)cắt chiều dương OX OY A, B tồn vị trí MO để độ dài AB 2đ Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp SABC có góc tam diện đỉnh S vng SA = 1; SB = 2; SC = M điểm thuộc ABC Gọi P tổng khoảng cách từ A, B, C lên đường thẳng SM tìm vị trí M để Pmin Hướng dẫn đáp án: Bài 1: 1) m = 1: a) Khảo sát hàm số: có dạng y = x + x 1 TXĐ: R - {-1) b) y' = 0,5đ y' = x 12 x = -2 x = dấu y' + - - -2 -1 + x 0,25đ Hàm số đồng biến (-, -2) (0 + ) hàm số nghịch biến (-2, -1) (-1, 0) Có xLĐ = -2, yCĐ = -3 xCT = yCT = Tiệm cận: đứng x = -1 lim x x 1 x 1 0,5đ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAO CAI TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Mơn: Tốn Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) TỔ TỐN –TIN Câu 1(3 điểm): Cho trước số a dãy số thực (xn) xác định sau: x1 a xn 1 ln(1 xn ) 2004 n N* Chứng minh dãy (xn) hội tụ x 21 y y Câu (3 điểm): Giải hệ phương trình: y 21 x x Câu (3 điểm): Cho a, b, c số dương Chứng minh bất đẳng thức: a b b c c a 3(a b c ) ab bc ca abc Câu (3 điểm): Cho hình thang ABCD có đáy AB CD Gọi E giao điểm AC BD, gọi F, G trực tâm tam giác AED tam giác EBC Gọi H trung điểm FG Chứng minh EH AB Câu (2 điểm): Cho lục giác Tại đỉnh lục giác có chim đậu Vào lúc, tất sáu chim bay lên khỏi vị trí Rồi sau đó, sáu lại đậu xuống lúc, chúng lại đậu xuống đỉnh khơng thiết đậu xuống vị trí cũ Chứng minh tồn chim cho tam giác tạo đỉnh mà chúng đậu trước bay tam giác mà chúng đậu sau bay Câu (3 điểm): Tìm hàm số f(x) thoả mãn: f ( x y ) f ( x) f ( y ) 2007 x y , x,y R Câu (3 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến với (O) A cắt đường thẳng BC D Gọi E tâm đường tròn qua A tiếp xúc BC B, gọi F tâm đường tròn qua A tiếp xúc BC C Chứng minh D, E, F thẳng hàng Họ tên thí sinh:………………………………………………… Số báo danh:………………………………………………………… Chú ý: -Giám thị khơng giải thích thêm -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAO CAI Câu ĐÁP ÁN KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN 12 Nội dung Xét hàm số f ( x) Có : f '( x) Điểm ln(1 x2 ) 2004, x R x 1 x 0.5 , x R 0.5 Xét hàm số g(x)=x-f(x) Ta có g '( x) x2 x 0 x2 1 x R Do g(x) đồng biến R Mặt khác g(0).g(-2004)0;f(B)>0,f(C)>0 bất đẳng thứ chứng minh Bài (4 điểm ) cos x cos x m Đặt t = cosx điều kiện t Xét hàm số f(x)= t4 +(1-t)4 Tìm giá trị lớn nhỏ trªn t f’(x)=4t3 - 4(1-t)3 f’(x)=0 t= 2 f(1) =1; f(-1) = 17 ; f( ) = Bài (5 điểm) 1 phương trình có nghiệm m 17 8 Mặt phẳng qua A vuông góc với SCsẽ cắt (SAC) theo đường cao AC tam giác SAC muốn cho điểm C năm SC thi góc SAC nhọn suy S C ’ K B C H A HSC HC h a D 2 gọi k giao điểm đường cao SH hình chóp với ACta có: P SC P //BDVËy (P) c¾t (SBD) theo BD qua K //BD Nên (P) cát BD SC hình chóp SABCD theo thiết diện tứ giác ABCD có đường chéo vuông góc AC BD (Do BD vuông góc (SAC BD//BD) Vậy diện tích thiết diện ABCD S= AC’ B’D’ mµ AC’.SC = SH.AC = dt (tg SAC) suy AC’ = h2 = a2 2ah a 2h Từ tính chất trực tâm tam giác SAC có : HK.HS = HA.HC HK = a2 2h a SK 2h 2h theo tÝnh chÊt tam giác đồng dạng SBD SBD B' D ' SK h a a 2h a B' D' BD SB 2h 2h a 2h a VËy S = h 22h a 2/ H×nh chãp SAB’ C’D’ có chiều cao SC với SC.SC = SH.SK( tứ giác HCCK nội tiếp được) nên: SC = 2h a 2(2h a ) Vầy thể tích hình chóp SABCD 2V = = SC’.dt(AB”C’D’) 2h a a 2h a 2(2h a ) h 22h = a 2h a a h2h a 2 2 2 (ĐVTT) Bài 5( §iĨm) a2 b2 c2 a b c b2 c2 a2 b c a a2 b b2 c2 c a2 a2 b2 c2 a b c (1) b c c a a b c a b c a b a2 b a b a b a b b b 2 b b c b c c c c c c 2 c c a c a b a a a a a2 b b b Mặt khác b2 c2 c c c2 a2 a a a b c a b c 2( ) 2 (*) b c a b c a a2 b2 c2 a2 b2 c2 (**) b2 c2 a b2 c2 a2 Cộng vế cho vế ta (1) ®iỊu ph¶i chøng minh SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mơn Tốn Lớp 12 Thời gian: 180 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Câu 1: (3,0 điểm ) Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số sau cắt trục hồnh điểm y=(m - 3) x + ( 2- m)x + - m Câu 2: (3,0 điểm ) Giải biện luận phương trình sau theo tham số m x mx 52 x 4 mx m x 2mx m Câu 3: (3,0 điểm ) Cho tứ giác lồi ABCD có góc A, B, C, D không vuông A B 900 ; A B 2700 Chứng minh rằng: 2 tan A tan B tan C tan D cot A cot B cot C cot D tan A.tan B.tan C.tan D Câu 4: (3,0 điểm) Từ điểm O bên tam giác ABC, ta vẽ đường vuông góc OP, ON, OM xuống cạnh AB, AC, BC Chứng minh tổng độ dài AP + BM + CN không phụ thuộc vào vị trí điểm O Câu 5:( 4,0 điểm ) Chứng minh với số thực a b thỏa mãn bất đẳng thức sau: a b a b2 a3 b3 a6 b6 2 2 Câu 6: (4,0 điểm) Cho dãy số U n xác định sau: 2 U n n n 1 n n 3 , n 1, 2,3, Tìm tất số hạng dãy chia hết cho 10 ... có bảng xét dấu x (1? ?) -? ?? -x -1 -x +1 -2 x x ? ?1 x ? ?1 y= x x x Nếu Nếu Khi y= 2 2 x Nếu -1 x +1 -x +1 x +1 x -1 2x y x ? ?1 ? ?1 x x ? ?1 y=2 đồ thị (C) (0,5đ) -1 x y=m * Biện luận... x1 x2 2 x1 x2 2 1 1 nghĩa D1 D2 D1 D2 (0,5) 1 2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 y1 z1 x2 y2 z22 dấu xảy z2/x2= z1/x1; x1=x2 ;D1=D2 x1=x2 ; y1=y2; z1=z2 (0,25) (1 điểm) 1- . .. ? ?1 ? ?1 => I1 = *)Tính I2 : u x du xdx Đặt x dv e x dx v e x Khi I e x -1 =e- =e- e -2 xde x ? ?1 1 x - e x dx -1 ? ?1 1 = e - - ( 2e + ) e e =-e =e- e e ? ?1 1 e - (2xe -