Đề thi thử và đáp án chi tiết môn Toán học

Nhằm giúp các bạn đang học tập và ôn thi Đại học và cao đẳng có thêm tài liệu tham khảo, mời các bạn cùng tham khảo nội dung "Đề thi thử và đáp án chi tiết môn Toán học" dưới đây. Nội dung đề thi gồm có 9 câu hỏi bài tập có hướng dẫn lời giải. Hy vọng đề thi sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.

ĐỀ MEGABOOK SỐ MƠN TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  2x (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  C  b) Tìm giá trị để đường thẳng m y  m cắt đồ thị  C  điểm phân biệt hệ số góc tiếp tuyến đồ thị  C  điểm     cos x cos   x    cot x s in x   Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x s in x   x   c o s x  Câu (1,0 điểm) Tìm tích phân I  E,F ,M ,N  x s in x  c o s x Câu (1,0 điểm) a) Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức dx Tính tổng Hãy tìm tập hợp điểm z   2i  E,F ,M ,N M biểu diễn cho số phức w , biết w  z   i b) Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm năm chữ số khác Tính số phần tử S từ tập hợp S chọn ngẫu nhiên số, tính xác suất để chữ số có chữ số lẻ Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho đường thẳng d: x 3 phẳng ( ) : x  y  z      góc  Ox Viết phương trình đường thẳng 45  nằm    ;   y   z mặt qua giao điểm A d Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S A B C có đáy A B C tam giác vuông B Tam giác S A C cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc mặt phẳng  S B C  đáy Biết S A  a ; B C  a Tính theo a thể tích khối chóp S A B C khoảng cách hai đường thẳng S A B C Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho hình thang A B C D vuông A B Đường chéo A C nằm đường thẳng d : x  y   Đỉnh B thuộc đường thẳng  : x  y   , đỉnh A có tọa độ nguyên Tìm tọa độ biết A , B ,C Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình Câu (1,0 điểm) Cho số thực biểu thức D 2;  BC  AD  x  y  5x   xy  x    x 2y3 2y  x   y 1  a,b,c thỏa mãn P  a a1  x,y  R a  b  c  0; a   0; b   0; 2c   b b1  c 2c  Tìm giá trị lớn HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a - Tập xác đinh: - Sự biến thiên: D  R + Chiều biến thiên: y '  4x  4x Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi ; x  y'   x  1 Trang y '  ,  x    1;  y '  , x   ; 1  1;    , suy hàm số đồng biến khoảng   ;   ;     ;  , suy hàm số nghịch biến khoảng    ;    ;  + Cực trị: Hàm số đạt cực đại x  , y + Giới hạn: lim y    ; lim y    x   CD  Hàm số đạt cực tiểu x   1, yCT   x   + Bảng biến thiên  x 1 y'  y 0      1 -  1 Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm + Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm  ;    ; ,0;  ,  2;0  + Đồ thị hàm số nhận trục O y làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số qua điểm   ;  ,  ;  Vẽ đồ thị: - Câu 1.b Từ đồ thị suy ra, để đường thẳng y  m cắt đồ thị điểm phân biệt 1  m  Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình x  x  m  x  x  m  (*) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt phương trình t  t  m  có nghiệm dương phân biệt  t  t 4 2 Khi nghiệm pt (*) Như ta có x1   x1   x4 ; x2   x3 t2 ; x2   Ta có t1 ; x  y'  4x  4x t1 ; x  t2 Suy tổng hệ số góc tiếp tuyến giao điểm với đồ thị  C  là:    3     k1  k  k  k  x1  x1  x1  x  x1  x  x1  x  3  x1  x   4x 3  x3   4x  x4    x2  x3  0 Nhận xét: Đây dạng toán biện luận số giao điểm đường thẳng  d  với hàm số  C  cho trước Khảo sát vẽ đồ thị hàm số dựa vào dáng điệu đồ thị xét trường hợp: +  d  cắt  C  n  n   điểm phân biệt +  d   C  khơng có điểm chung Nhắc lại kiến thức phương pháp: Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang  +Kiến thức cần nhớ: Điểm Q  y  f ' xQ + Tìm y  m m Q xQ , yQ  tọa độ tiếp điểm hàm số   x  x   y , hệ số góc tiếp tuyến Q Q để đường thẳng song song với trục y  m Ox cắt  C  điểm  k  f ' xQ y  f x Phương trình tiếp tuyến  E,F ,M ,N : Dựa vào dáng điệu đồ thị , đường thẳng nên cắt  C  điểm phân biệt 1  m  ta có  d  cắt  C  điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Tham số nghiệm theo t tính hệ số góc tiếp tuyến hồnh độ giao điểm ( đối xứng qua trục O y ) , từ tính tổng hệ số góc Lưu ý: Ngoài cách sử dụng dáng điệu đồ thị ta làm sau: Viết phương trình giao điểm 4 x  x  m  x  x  m  Bài tốn tương đương tìm m để phương trình x  x  m  có nghiệm phân biệt + Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến: Đổi biến Đổi biến t  x  , ta tìm m t  x để phương trình t 2 có nghiệm  2t  m  t2  '    t1    S  P   Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Cho hàm số y  x   m   x  x  m  Tìm tất giá trị m để tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ tạo trục tọa độ tam giác có diện tích Đáp số: m   1, m  b Cho hàm số y  x  x  Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số để tiếp tuyến hàm số M cắt đồ thị điểm thứ hai N thỏa mãn Đáp số: (Thi thử lần 3-THPT Thái Hòa-Nghệ An) M  2;  , M  2;  Câu Điều kiện x  k; k  Z Phương trình tương đương  s in x  c o s x    s in x  c o s x  c o s   s in x  c o s x  c o s x  + Với xM  xN  x  s in x  c o s x  2 cos x 1 s in x cos x s in x  s in x  c o s x   c o s  s in x  c o s x    cos x  s in x  c o s x   ta n x    x     x1 0  k + Với cos x   x    k  x  Phương trình có nghiệm:   k x    k  ;k Z  Nhận xét: Bài toán lượng giác , ta cần sử dụng bến đổi công thức hạ bậc , cosin hiệu phân tích nhân tử Tuy nhiên cần lưu ý việc xem xet điều kiện xác định phương trình để tránh kết luận thừa nghiệm dẫn tới lời giải sai Nhắc lại kiến thức phương pháp:  c o s  a  b   c o s a c o s b  sin a sin b  -Công thức cosin tổng , hiệu :   c o s  a  b   c o s a c o s b  s i n a s i n b -Công thức hạ bậc:  c o s c  c o s c ,  c o s c  s in c -Công thức nghiệm phương trình lượng giác: x    k2 s in x  s in    ;k Z x      k2 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang cos x  cos   x     k ; k  Z tan x  tan   x    k  ; k  Z cot x  cot   x    k; k  Z Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Giải phương trình b Giải phương trình  Câu    2x  I   3 2   5    cos  x   x   sin      s in x  c o s x x s in x  c o s x  x s in x  c o s x  ' x s in x  c o s x     ln x sin x  c o s x x    k2 Đáp số:  ta n x  c o s x  s in x  c o s x x s in x   x   c o s x Đáp số: x  k   dx     x cos x 2   dx x s in x  c o s x   dx         ln  ln     ln 2   Nhận xét: Bản chất toán tách tử biểu thức dấu tích phân theo mẫu đạo hàm mẫu Từ biểu thức dấu tích phân ta khó sử dụng hai phương pháp đổi biến số tích phân phần Nhắc lại kiến thức phương pháp: f  x  g  x   g '  x  g ' x  -Ta có  dx  f  x  dx    g  x  dx gx Tổng quát :  f  x  g  x   h  x  g ' x  gx -Với nguyên hàm dx  f x  f  x  dx   h  x  g '  x  g x dx , công thức nguyên hàm tổng quát  u' d u  ln u  C Thay cận ta tính u I Bài toán kết thúc Bài tập tương tự:  a Tính tích phân I   s in x  s in x  c o s x  e b Tính tích phân I  x Câu 4.a Ta có xe e x x 1  ln x a  bi   2i    dx a  3 dx Đáp số: I  Đáp số: e I  ln e 1 e  b    (1) a  x  w  z   3i  x  yi  a  bi   3i   b  y  Thay vào (1) ta  x   thuộc  C  :  x    y  5   M 2  y  5  đường  C  :  x     y    Nhận xét: Đây dạng toán toán tìm biếu diễn số phức w theo số phức z thỏa mãn điều kiện Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Mọi số phức có dạng z  a  b i ;  a , b  R  -Hai số phức phần thực phần ảo số - Từ số phức z : Thay z  a  b i vào phương trình z   i  Tìm mối quan hệ phần thực phần ảo Vậy tập hợp điểm 2 M Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang - Đặt w  x  y i , thay lại biểu thức mối quan hệ phần thực ảo -Các trường hợp biểu diễn : +Đưởng tròn:  x  a  +Hình trịn:  x  a  +Parapol: +Elipse: x a y  ax 2  y b 2 2  y  b  R ;x 2  y  b  R;x  bx  c 2  y  y 2  ax  by  c   ax  by  c  z ta tìm tập hợp điểm biểu diễn 2  Bài toan kết thúc Bài tập tương tự: a Cho số phức z thỏa mãn z  1 3i 1 i Tìm modul số phức b Tìm số phức z thỏa mãn   i  z số thực z   5i  w  z  iz Đáp số: Đáp số: w  z   i; z   21 i Câu 4.b Gọi A biến cố số chọn số có chữ số khác chữ số có số lẻ Ta tìm số phần tử A sau: Gọi y  m n p q r  A , ta có: + Trường hợp 1: Trong chữ số số chọn có mặt số 0: Lấy thêm số lẻ số chẵn có C C cách; Xếp số chọn vào vị trí m , n , p , q , r có 4.4! cách 2 Suy trường hợp có C C 4 !  + Trường hợp 2: Trong chữ số số chọn khơng có mặt số 0: Lấy thêm số lẻ số chẵn có C C cách; Xếp số chọn vào vị trí m , n , p , q , r có 5! cách Suy trường hợp có Vậy 2 2 C C !  0 A  5760  4800  10560 Do PA  10560 27216  220 567 Nhận xét: Bài toán xác suất , ta cần áp dụng cơng thức tính xác suất với biến cố theo kiện giả thiết Nhắc lại kiến thức phương pháp:  A -Công thức tính xác suất biến cố A : P  A   (   A  số trường hợp thuận lợi cho  A ,  tổng số kết xảy ) - Ta tính tổng số kết xảy - Gọi A biến cố số chọn số có chữa số khác chữa số có số lẻ - Tính số phần tử A cách gọi y  m n p q r  A Ta chia trường hợp sau: +Trong chữ số số chọn có mặt số +Trong chữ số số chọn khơng có mặt chữ số - Áp dụng cơng thức tính xác suất ta P  A  Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số lẻ có chữ số đơi khác ln có mặt chữ số Đáp số: 204 b Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến Hỏi phải rút thẻ để xác suất có thẻ ghi số chia hết cho phải lớn (Thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc khối D 2012- 2013) Đáp số: Rút thẻ Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang Câu Gọi A giao điểm d    , suy A  – ; ;  Gọi  Ta có vectơ pháp tuyến    n   ; – ;  Ta có u n   a  b  c   c   a  b cos   ,O x    2a a  2 + Với ab + Với a  , chọn 5b 2   a  ab  5b a  b  2a  2b  2 a  a  b    5b a   x  3  t  a  b   c    : y   t z   , chọn b  3; a   c  4   : x   vectơ phương 2 a  b  c  a  ab  5b  u   a; b; c  y   z1 4 Nhận xét: Hướng giải cho tốn: Để viết phương trình đường thẳng  ta tìm điểm thuộc vector phương  Nhắc lại kiến thức phương pháp: - Tìm tọa độ giao điểm A  d    : Tham số hóa A  d , thay vào mặt phẳng    ta tính A - Viết phương trình đường thẳng      u n    (Với n có Lại cơng : Tham số hóa u   a; b; c  vector phương vector pháp tuyến    ) Ta tìn mối quan hệ   vector phương viết -    a,b,c  Do Chọn tính thức góc hau đường  d  ;  d ' : cos  d , d '  thẳng u d u d '  ud ud'  ;O x   45  cos   ;O x   - Một đường thẳng có vố số vector phương nên chọn giá trị Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Trong hệ trục tọa độ O xyz , cho điểm A  1; ;   , cho trường hợp tương ứng a,b đường thẳng d: x     : x  y  z   Viết phương trình đường thẳng qua A cắt d  y  z mặt phẳng song song với mặt phẳng   Đáp số: x 1  y  9  b Trong hệ trục tọa độ B ,C z1 5 O xyz thuộc đường thẳng Đáp số:     B  ; 5        ;  B  5   d , cho điểm A  ; 1;  cho tam giác 3    ;   5   ;  ,C   6   ;   5  Hãy tìm điểm ABC  ;  ,C   Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi đường thẳng x   s  d :  y   2t z   3  ;3    ;3   Trang Câu Gọi Kẻ trung điểm H H I  BC  SI  BC SC 2  IC a  , suy SH  15 S IH   S H  S I s in 0 3a  HI  a SI  15 a  AB  2HI  15 V   ABC  Góc  S B C  đáy SI  AC 1 5a A B B C S H  16 (đvtt) Kẻ A x song song với B C , H I cắt A x K Kẻ Ta có A K   S IK   A K  IM  IM   S A K  Tam giác S IK đều, suy IM  S H  3a IM vng góc với SK Nhận xét: Đây tốn có sử dụng hình học khơng gian tổng hợp lớp 11, yếu tố vng góc hai mặt phẳng , góc hai mặt phẳng Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Công thức tính thể tích khối chóp V  B h -Dựng góc hai mặt phẳng  S B C  ,  A B C  : Goi nên SH   A B C    S B C , A B C   S IH  60 - Áp dụng cơng thức tính thể tích khối chóp H trung điểm AC Do mặt phẳng  S A C    A B C  V  B h  V S A B C  1 A B B C S H - Tính khoảng cách d  S A , B C  : Lí thuyết tính cách khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng tới mặt phẳng chứa đường thẳng lại Kẻ A x / / B C , kẻ IM  S K  A K   S IK   IM   S A K  Suy d  S A , B C   IM  S H Lưu ý: Có thể sử dụng tỉ lệ khoảng cách Bài tốn kết thúc Bài tập tương tự: a Cho hình chóp tam giác S A B C có cạnh đáy a , góc mặt bân đáy 0 Gọi M trung điểm S C Tính thể tích khối chóp S A B C khoảng cách hai đường thẳng A M Đáp số: SB B a (đvtt) d  A M , S B   24 b Cho hình chóp vng V  , có S.A B C A C B  30 SA  3a G , SA a tạo với đáy  A B C  góc trọng tâm tam giác góc với mặt phẳng  A B C  Tính thể tích khối chóp Đáp số: Câu Do Ta có  B d B; AC  dD; AC  V  112 , suy  BE   DE 4b  7(b  5)  28 243a  ABC 60 Tam giác ABC , hai mặt phẳng  S G B  ,  S G C  vuông S.A B C (đvtt) B  b; b   BC  AD     93 1 1b   b    1b      11  1 1b    b   Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang B D khác phía đường thẳng Do ta Ta có Do Ta có Vậy B  3; –2  , suy b nên  x B AC  C 7;   4a  42  BA   a  3;    a   A 0;     65a  385a   77  a  l  13 49   xC      BC  AD    C 7;0  y        C A  ;  , B  3; –2  4 a    4 a  42  a  2a  3    28  4a  4a   A  (D )  A  a;   D A   a  2;  7     D A B A    y B    x D  y D      1b    điểm cần tìm Nhận xét: Để giải tốn ta sử dụng kiến thức tham số hóa điểm thuộc đường thẳng cho trước, sử dụng khoảng cách-tỉ lệ khoảng cách tìm tọa độ đỉnh A , B ,C Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Phương pháp tham số hóa  mx  p  P  d : m x  ny  p   P   ;  n   M  xM ; yM -Khoảng cách từ điểm công thức d  M ;     n theo đường thẳng cho trước: Điểm  tới phương trình đường thẳng    : m x  n y  p  xác định theo m xM  nyM  p m điểm -Tính chất vector: u  x ; y  , v  z ; t  với   x  kz u  kv     y  kt Áp dụng cho toán: - Tham số hóa tọa độ điểm B Do d B; AC  dD; AC  -Để loại nghiệm sử dụng tính chất:  x B -Tương tự A  d   D A ,BA - Tính tọa độ điểm C :   DE BC  AD ( E  AC  BD  yB  28   xD  y D  28    B Mặt khác , D A B A BC  AD  C BE   A ), ta có điểm B Bài tập tương tự: a Trong mặt phẳng đường cao kẻ từ thẳng DE Đáp số: O xy B ,C HD  A  3;  , cho tam giác Biết điểm A ABC cân A , trực tâm H  3;  Gọi thuộc đường thẳng  d  : x  y   , điểm Tìm tọa độ đỉnh A D ,E chân F  2;  thuộc đường Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang b Trong mặt phẳng O xy cho M C  BB Đáp số: C  4;1 , cho tam giác Tìm tọa độ đỉnh u  x  y     v   y Xét f t    t t y  x Thay  2x Đặt 2 + Với Điểm M đường thẳng thuộc đường thẳng BC BC có hệ số góc nguyên  2 y f t  , suy đồng biến nghiệm cua phương trình  2y t x  1;a  x  x  2y   f '  t   ln   ;  t  R x 1  x   x  x   ( x  1)   x   5x    x  1 x  x 1  x x  1  x 1   x  1;b  Phương trình trở thành + Với v x 2y3 vào phương trình thứ nhất, ta   5x   a     b  u  2y    y  y  x MA  AC  biết 3 u   v f u   f v   u  v Nhận thấy u  v  x , ta ; ta có C A   1;   , B  ;  Câu Phương trình thứ hai tương đương Đặt có ABC b  3a  x 2 2b  3a b  3a  ab   a  2b  x    x  1  x   x    x  10     x    y  23  6  y  23  a  2b  x   x  x   x  3x     2 Hệ phương trình có nghiệm:  x ; y     ; 23   ,  ; 23   Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp hàm đặc trưng kết hợp phương pháp hệ số bất định Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Hàm số f  x  đồng biến(nghịch biến) D  f  u   f  v   u  v -Hàm số f x đồng biến(nghịch biến) D  f x  có nhiều nghiệm -Hàm số f  x  đồng biến D , g  x  nghịch biến D  f  x   g  x  có nghiệm Ý tưởng: Từ phương trình thứ tách bình phương phương trình khó bậc cao, khó tìm mối quan hệ x , y - Nhận thấy phương trình thứ hệ có tương đồng 3 m ,m 3 x 2y3 ,x  2y   với  2y ,2  y  có dạng  - Phương trình thứ hai hệ biến đổi thành: - Xét hàm số f t    t dụng hai ẩn phụ t a     b  đồng biến x 1 x  x 1 u u  v  v R  f u   f v   u  v  u  x  y    v   y Thay lại phương trình thứ , sử  a , b   thu phương trình đẳng cấp bậc Lần lượt giải phương trình vơ tỉ ứng với trường hợp kiểm tra điều kiện ta thu nghiệm hệ Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang  Lưu ý: Từ phương trình phương trình ẩn  x 1 z  x  x  1 x  x    x  1  2 x  , ta chia vế cho  x  x   x 1  giải  x  Bài toán kết thúc Bài tập tương tự:  a Giải phương trình x b Giải phương trình Câu P  a P  a1 b  b1   x7  c   2c  x 1 Đáp số: x  2x    1 1 1 a 1  5 37 Đáp số:  1 b x  x  7 , x  1 4c     1      1 a 1 b 4c                a b  4c     c 4c   f c  Xét hàm số Ta có c f 'c   c  2   khoảng 4c  4c    15c  20c     ;2    c   4c   ; f 'c    c   c 2  f 'c  f c + Vậy P    Dấu “=” xảy a  b  c  Kết luận: M ax P  Nhận xét: Bài toán thuộc lớp cực trị hàm nhiều biến sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng để tìm giá trị lớn Nhắc lại kiến thức phương pháp: - Ta thấy a,b đối xứng qua biểu thức - Tách biểu thức suy P  P , ta f c  t1 , dự đoán điểm rơi   1 P      1 a 1 b 4c         c c    - Khảo sát hàm số t 2c Sử dụng bất đẳng thức   với c    a 1  b  1  c   x m  y n  x  y m  n 4c  f c   ;2     ;2   thu Bài tập tương tự: a Cho a , b , c số dương thỏa mãn điều kiện P  Tới hàm số rõ -Lập bảng biến thiên hàm số ab b 1  c  1  a   Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi c 1  a  1  b  m in f  c  ab c  Đáp số: Tìm giá trị nhỏ biểu thức M in P  Trang 10 b Cho a , b , c : ab  b c  ca  a Chứng minh 1 a a giác góc đỉnh C Đáp số: có phương trình A  10  C  ;    c Đáp số: O xy , cho tam giác có phương trình CC ’  19   14 37  B ;  ,C  ;  3     Câu Điều kiện x  1 b c  1 c , đường cao kẻ từ  B 2 4x  3y   Tìm tạo độ b Trong hệ trục tọa độ trung tuyến x  y   b  ABC A  5;  có đỉnh Phương trình trung trực cạnh x  y   0,2x  y   Tìm tọa độ hai điểm B ,C BC , Đặt  u  x  ;u    x   v  ;v   Phương trình trở thành  v  u  x  u  v  x1 Phương trình có nghiệm: 2u  2v u  v     u  v   u2  v2     u  v      u  v   x  1   x      x   10 x  2x      x  x   x  16  x   10 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 11 ... ln có mặt chữ số Đáp số: 204 b Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến Hỏi phải rút thẻ để xác suất có thẻ ghi số chia hết cho phải lớn (Thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc khối D 2012- 2013) Đáp số: Rút thẻ...  x    y  5   M 2  y  5  đường  C  :  x     y    Nhận xét: Đây dạng toán toán tìm biếu diễn số phức w theo số phức z thỏa mãn điều kiện Nhắc lại kiến thức phương pháp:... x4    x2  x3  0 Nhận xét: Đây dạng toán biện luận số giao điểm đường thẳng  d  với hàm số  C  cho trước Khảo sát vẽ đồ thị hàm số dựa vào dáng điệu đồ thị xét trường hợp: +  d  cắt