[r]
(1)V n 1: NH C L I M T S KI N TH C L P 10
M c ích c a v n nh c l i m t s ki n th c ã h c l p 10, nh ng có liên quan tr c ti p n v n s h c l p 11 Vì th i gian không nhi u (kho ng ti t) nên s không nh c l i lý thuy t mà ch a m t s d ng t p c b n, thông qua nh ng t p giúp em h c sinh l y l i “ph n x ” toán sau k ngh hè thú v
Bài Ch ng minh ng th c sau a) cos 4cos tan4
3 cos 4cos
x x
x
x x
− +
=
− + b)
1 cos cos
cot ,
2 cos cos
x x x
x
x x
+ + − π
= + π < < π
+ − −
Ch ng minh
a) Ta có
( )2
2 2
3 cos 2± x+cos 4x= ±3 4cos 2x+2 cos 2x− =1 cos 2x±2 cos 2x+ =1 cos 2x±1 Suy
( )
( )
( )
( )
2
2
4
2 2
1 2sin cos
tan cos 2 cos 1
x x
VT x VP
x x
− −
−
= = = =
+ − +
b) Nhân v i l ng liên h p c a m u ta c:
( )
( )( )
2
2
1 cos cos cos cos
1 cos cos cos cos cos cos
1 sin cos cos cos sin
1 cos cos cos cos
x x
x x
VT
x x x x x x
x
x x x x
x x x x
+ + −
+ + −
= =
+ − − + − − + + −
+
+ + − + − +
= = =
+ − +
Vì π <x< π2 nên sinx = −sinx, ó
2 1 2sin cos cos
1 sin sin 4
cos cos sin s in2 2sin cos
2 4
tan cot cot
4 2 4
x x
x
x x
VT
x x x
x x
x
x x x
VP
π
π π
− − −
− − − −
+ −
= = = = =
π π π π
− − − −
π π π π
(2)Bài Rút g n bi u th c sau
a)
3
3
tan cos sin
2 2
3
cos tan
2
x x x
x x
π π π
− + − −
π π
− +
b)
2
2 tan
1 sin2 2
sin cos 1 tan x x
x
x x
− +
−
+ +
Ch ng minh
a) Ta có tan tan tan cot
2 2
x−π = − π−x = − π−x = − x
3
cos cos cos cos ( ) sin( ) sin
2 x x x x x x
π π π π
+ = π + + = − + = − − − = − − =
3
7
sin sin sin sin ( ) cos( ) cos
2 2
7
sin cos
2
x x x x x x
x x
π π π π
− = π − + = − + = − − − = − − = −
π
− = −
cos cos cos sin
2 2
x−π = − π−x = π−x = x
3
tan tan tan tan ( ) cot( ) cot
2 x x x x x x
π π π π
+ = π + + = + = − − = − = −
Khi ó,
( )
3 3
3
2
3 cos
tan cos sin sin cos
cot sin cos
2 2 sin
cos
3 sin cot sin
cos tan
sin
2
1 cos sin
x
x x x x x
x x x x
x
x x x
x x
x
x x
π π π
− + − − − +
− +
= =
π π − −
− +
= − =
b) Ta có 1 sin2+ x=sin2x+cos2x+2sin cosx x=(sinx+cosx)2
2 2
2
2 2
sin cos sin cos
2 2
1 tan
2 cos cos cos
2 2
x x x
x x
x x x
−
− = − = =
2
2 1 tan
2 cos x
x
(3)Khi ó, ( )
2 2
2
2 cos
1 tan sin cos cos
1 sin2 2 2
sin cos cos sin
sin cos 1 tan sin cos
2 cos
2 x
x x
x x
x
x x x x
x
x x x x
x
− +
+
− = − = + − =
+ + +
Bài Ch ng minh r ng a) sin18
4
o = − b) t an15o = −2 3 c) t an22 30o ′ = 2 1− Áp d ng ch ng minh ng th c sau:
1) cos36o+c ot7 30o ′= 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 2) Ch ng minh r ng sin1o cos1o s vô t
Ch ng minh
a) Ta có 54o+36o =90o suy sin54o =cos36o ⇔sin3.18o =cos 2.18o
( )( )
3 2
3s in18o−4sin 18o = −1 2sin 18o ⇔ sin18o−1 4sin 18o+2sin18o−1 =0
5
sin18 sin18 sin18
4
o o − o +
⇔ = ∨ = ∨ =
Vì sin18< o<1 nên sin18
o = −
b) Ta có ( )
( )
2
2
1 2sin
sin sin cos
tan (tan 0)
cos cos 2cos 1 cos
x
x x x
x x
x x x
− − −
= = = = >
+
+ − suy
( )2
0
3
1 cos30 2
t an15 3
1 cos 30 1 o
o
− −
= = = − = − = −
+
+
c) T ng t câu (b), nên l i cho em luy n t p Áp d ng
1) Ta có ( )
2
2
4cos36 4cos 2.18 2sin 18
(4)Nh n xét r ng: cotx=cot 2x+ cot 2+ x Th t v y, ta có
2
2
cos 1 cos 2 cos
cot cot cot
s in2 sin s in2 2sin cos
x x x
x x x
x x x x x
+ + −
+ + = + == = =
Áp d ng i u này, ta c:
( )
2
2
1 1
c ot7 30 c ot15 cot 15 1
t an15 tan 15 2 3
2
o o o
o o
′ = + + = + + = + +
− −
= + + +
Khi ó, 4cos36o+c ot7 30o ′= 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6
2) Gi s! sin1o s h u t , th sin3o =3sin1o−4sin 13 o s h u t , suy
sin 9o =3sin3o−4sin 3o s h u t
sin27o =3sin 9o−4sin 9o s h u t
sin81o =3sin 27o−4sin 27o s h u t
Khi ó, sin18 2sin cos9 2sin sin 81
o o o o o
−
= = = s h u t suy s h u t (MT) Ch ng minh cos1o s vơ t hồn tồn t ng t xem nh t p
Bài Ch ng minh cos cos2 cos3 cos4 cos5 cos6 cos7 2
15 15 15 15 15 15 15
−
π π π π π π π
=
Ch ng minh Ta có
2 10 5
sin 2sin cos sin 2sin cos
15 15 15 15 15 15
4 2 12 6
sin 2sin cos sin 2sin cos
15 15 15 15 15 15
6 3 14 7
sin 2sin cos sin 2sin cos
15 15 15 15 15 15
8 4
sin 2sin cos
15 15 15
π π π π π π
= =
π π π π π π
= =
π π π π π π
= =
π π π
=
(5)7
2 10 12 14 2 3
sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin cos
15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15
4 5 6 7
sin cos sin cos sin cos sin cos
15 15 15 15 15 15 15 15
π π π π π π π π π π π π π
= ×
π π π π π π π π
×
7
2
cos cos cos cos cos cos cos
15 15 15 15 15 15 15
−
π π π π π π π
⇔ =
(vì sin(π −x)=sinx) Bài Tính t"ng sau
a) cos2 cos4 cos6
7 7
P= π+ π+ π
b) S1=sinx+sin2x+ +sinnx S=cosx+cos 2x+ +cosnx
c) S =sinx+sin(x+d) sin(+ x+2 )d + +sin(x+nd)
Gi i a) Nhân c hai v v i 2sin
7
π
r#i áp d ng cơng th c bi n "i tích thành t"ng
P= −
b) Nhân c hai v v i 2sin
x
r#i áp d ng cơng th c bi n "i tích thành t"ng
1
( 1)
sin sin
2 2 , 2
sin
0,
n x nx x k x
S
x k +
≠ π =
= π
1
( 1) sin cos
2 , 2
sin
,
nx n x
x k x
S
n x k +
≠ π =
= π
c) Nhân c hai v v i 2sin
d
r#i áp d ng cơng th c bi n "i tích thành t"ng
Bài Ch ng minh r ng
3 3tan tan tan
1 3tan
x x
x
x − =
− T$ ó, tính
2 2
tan 10o tan 50 tan 70
S = + +
Ch ng minh V i nh ng x ng th c có ngh%a Ta có
3
3 3 3
2
2 3
2 sin sin
3 tan tan cos cos 3sin cos sin 3sin 4sin sin
1 3tan 1 3 cos 3sin cos cos 3cos
cos sin3
t an3 cos
x x
x x x x x x x x x
VP
x
x x x x x x
x x
x VT x
−
− − −
= = = =
− − −
−
(6)Áp d ng công th c ta c
2
2
2
9 tan tan tan tan
1 tan tan
x x x
x
x x
− +
=
− + (*)
V i 10o
x= , t$ (*) ta c
2
2
2
1 tan 30 tan 10 tan 10 tan 10
3 tan 10 tan 10
o o o
o
o o
− +
= =
− +
6
3tan 10o 27 tan 10o 33tan 10o
⇔ − + − =
Ngh%a là, tan 102 o nghi m c a ph ng trình 33x3−27x2+33x− =1 (1) M&t khác, tan 3.102 tan 3.502 tan 3.702
3
o= o = o = nên l p lu n nh ta c
'ng c
2
tan 50 , tan 70o o nghi m c a (1) Do ó, theo nh lý Viet
2 2 (27)
tan 10 tan 50 tan 70 o
S = + + = − =
Bài Cho hàm s ( )f x =asinx b+ cosx Gi s! r ng f x( )1 = f x( ) 0,2 = ∀ −x1 x2 ≠ πk (k∈ ) Ch ng minh r ng ( ) 0,f x = ∀ ∈x ((H 1970)
Ch ng minh Theo gi thi t ta có h
1
1
2
sin cos
,
sin cos
a x b x
x x k
a x b x
+ =
∀ − ≠ π
+ =
Xem h h b c nh t theo hai )n a b Ta có
1
1 2
2
sin cos
sin cos cos sin sin( ) sin cos
x x
D x x x x x x
x x
= = − = − ≠ (vì x1−x2 ≠ πk )
Suy h có nghi m nh t a=b=0 V y f x( ) 0,= ∀ ∈x
Bài Bi t r ng tan , tan , tanx1 x2 x3 ba nghi m c a ph ng trình x3+ax2+bx+ =c
1
tan , tan , tany y y ba nghi m c a ph ng trình x3+cx2+bx+a=0 Ch ng minh r ng
1 3 ,
x +x +x +y +y + y = πk k∈
Ch ng minh Tính tan(x1+x2+x3) tan(y1+y2+y3) T$ ó kh ng nh
1 3 3
(7)HÌNH GI I TÍCH TRONG M T PH NG Bài Cho tam giác ABC có nh ( 1; 3)A − −
a) Cho bi t hai ng cao BH: 5x+3y−25 0= CK: 3x+8y−12 0= Hãy xác nh t a nh B C
b) Xác nh t a nh B C n u bi t ng trung tr c c a AB 3x+2y− =4 t a tr ng tâm (4, 2)G − c a tam giác ABC ( H C n th )
Bài Trong m&t ph ng t a Oxy, cho tam giác ABC có tâm ( 2, 1)G − − c nh
: 15
AB x+y+ = AC: 2x+5y+ =3
a) Tìm t a nh A t a trung i m M c a BC
b) Tìm t a nh B vi t ph ng trình c nh BC ( H Qu c gia)
Bài Trong m&t ph ng t a Oxy, vi t ph ng trình ng th ng osng song v i ng th ng
:
d x− y+ = có kho ng cách n (d) b ng ( H Hu ) Bài Cho tam giác ABC v i (1; 2), ( 2; 1), (3; 2)A B − − C −
a) L p ph ng trình ng phân giác góc A b) L p ph ng trình phân giác ngồi góc B
Bài a) L p ph ng trình ng trịn qua ba i m A(3;3), (1;1), (5;1)B C ( H C n th )
b) Cho (3, 2)A − ng tròn ( ) :C x2+y2−4x−2y=0 Vi t ph ng trình ti p n v i (C) v t$A tìm t a ti p i m