skkn Toan 6

Trang: 1.. Tuy nhiên trong suốt qúa trình giảng dạy cho thấy việc vận dụng kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, sách nâng cao đối với những bài toán như “Tìm chữ số tận cùng của một [r]

(1)

PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN

A/ Đặt Vấn Đề:

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Là Giáo Viên dạy học mơn tốn, thật thấy tầm quan trọng tốn học, đa dạng phong phú, thuộc nhiều lĩnh vực nghiên cứu khoa học cho ngành nghề Bất ngành nghề địi hỏi phải có tính tốn Muốn tính tốn giỏi ta phải học tốt mơn tốn, từ số, thực phép tính đơn giản phép tính khó.v.v Vì ta phải xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển toàn diện Bên cạnh phải giáo dục cho học sinh có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế Muốn giải nhiệm vụ quan trọng này, trước hết Thầy, Cô giáo phải xây dựng cho phương pháp dạy thật tốt thường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp với nội dung, điều kiện giảng dạy vào đối tượng tham gia học tập, nhằm tạo tiền đề vững chắc, lâu bền việc tiếp nhận tri thức, nề nếp thái độ học tập em nhà trường

Để giúp học sinh học tốt mơn tốn, ngồi việc truyền thụ kiến thức theo phân phối chương trình Bộ Giáo dục & đào tạo ban hành cho trường học phổ thông ( Kể ba cấp ), giáo viên học sinh cần phải nghiên cứu thật nhiều tài liệu, sách báo, băng hình, có liên quan đến mơn tốn để bổ sung dạng kiến thức mới, phương pháp giải mới, Giúp học sinh học dễ hiểu, dễ tiếp thu nhằm tạo sân chơi thân thiện, từ em tích cực tham gia hoạt động học tập, có ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học giải toán thuận lợi Theo nhà khoa học Lep-Nitx nói: “Một phương pháp coi tốt, từ đầu ta thấy trước sau khẳng định theo phương pháp ta đạt tới đích” Với tốn ta giải được, cần bắt chước theo chuẩn mực đắn thường xuyên thực hành

(2)

VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN

Là người giáo viên, cần phải nghiên cứu, tham khảo thật nhiều loại sách, báo, đề tài nghiệp vụ sư phạm, phương pháp giải số dạng tốn.v.v có liên quan đến lĩnh vực tốn học để kịp thời nắm bắt vận dụng vào thực tế giảng dạy Tuy nhiên suốt qúa trình giảng dạy cho thấy việc vận dụng kiến thức sách giáo khoa, sách nâng cao tốn “Tìm chữ số tận số tự nhiên viết dạng lũy thừa” có bậc thấp học sinh dễ tìm ra, cịn lũy thừa dạng bậc cao học sinh vơ lúng túng, khó giải Chính mà Tơi cố nghiên cứu tìm phương pháp giải đơn giản số tự nhiên dạng an Ngồi Tơi mạnh dạng đưa “ Một số dạng tốn lũy thừa chương trình tốn ” phương pháp giải, chúng đúc kết qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy môn số học Tơi Các tốn lũy thừa thật đa dạng, phong phú hấp dẫn, không Học sinh làm loại toán thường chưa phân dạng nên chưa có phương pháp giải phù hợp, dẫn đến bế tắc có cách giải cịn phức tạp, chưa tối ưu Chính mà vấn đề Tôi đưa đề giúp cho em giải phần khó khăn mà em vấp phải

B NỘI DUNG

KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ VÍ DỤ

Phần 1: Phương pháp tìm chữ số tận số tự nhiên dạng: an với: a  a1, nN.

( Gọi tắt phương pháp H )

1 Theo định nghĩa lũy thừa số học lớp ta được: an

= a a a n thừa số

Trang:

(3)

PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN

Ta có nhận xét trường hợp khi a =

Trong dãy lũy thừa 21, 22, 23, 2n tồn bốn dãy lũy thừa Mà

mỗi lũy thừa dãy có chữ số tận Ta ký hiệu:

D2-1 tập hợp lũy thừa có dạng 21; 25; 29; … giá trị lũy thừa dãy

này có chữ số tận

D2-2 tập hợp lũy thừa có dạng 22; 26; 210;… giá trị lũy thừa dãy

D2-3 tập hợp lũy thừa có dạng 23; 27; 211; … giá trị lũy thừa

dãy có chữ số tận

D2-4 tập hợp lũy thừa có dạng 24; 28; 212; …và giá trị lũy thừa dãy

Vấn đề trình bày nêu cho thấy giá trị lũy thừa dãy D2 = 21, 22, 23, 2n có chữ số tận lập lại theo thứ tự mà số mũ

mỗi dãy cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ )

Ta có bảng tóm tắt dãy phương pháp tìm chữ số tận dãy D2 = 21, 22, 23, 2n sau:

Trang:

D2-1 = 21; 25; 29; … Giá trị lũy Có chữ số tận 2 D2-2 = 22; 26; 210;… Giá trị lũy Có chữ số tận D2-3 = 23; 27; 211; … Giá trị lũy Có chữ số tận D2-4 = 24; 28; 212; … Giá trị lũy Có chữ số tận Những số có nhiều chữ số 12n; 22n; 32n; áp dụng

Cách tìm: Ta chia số mũ lũy thừa cho

(4)

Ví dụ1: Tìm chữ số tận A = 265 ; B = 22003

Giải:

1 Vì 265 2n nên ta chia số mũ 65 cho ta số dư 1 D 2-1

Vậy số 265 có chữ số tận 2

Hay A có chữ số tận

Vì 22003  2n Nên ta chia số mũ 2003 cho ta số dư  D 2-3

Vậy B có chữ số tận

Ví dụ 2: Tìm chữ số tận số: 3244 ; 109214; 3521001; 1228051.

Giải:

1 Vì 32 = 30 + nên muốn tìm chữ số tận 3244 ta việc tìm chữ số

tận 244 thỏa mãn ( số chẳn chục lũy thừa n

lên ln có chữ số tận ) Do ta chia 44 cho dư 0, mà số dư vừa tìm lại thuộc D2-4

Vậy Số 3244 có chữ số tận 6.

2 Vì 1092 = 1090 + cách tìm tương tự tốn

Muốn tìm chữ số tận số 109214 ta tìm chữ số tận 214

Do 14 chia cho dư 2, mà số dư thuộc vào D2-2 nên có chữ số tận

4

Vậy số 109214 có chữ số tận 4.

3 Vì số 352 có chữ số tận Nên 3521001 21001 có chữ số tận

giống

Cách tìm: ta tìm số dư phép chia 1001 cho 4, ta số dư Ứng với số dư ta có chữ số tận

Vậy: 3521001 có chữ số tận 2.

4 Ta thấy số 122 có chữ số tận nên 1228051 28051 có chữ số tận

bằng

Trang:

D2-1 = 2 ; ; ; … Giá trị lũy Có chữ số tận D2-2 = 22; 26; 210;… Giá trị lũy Có chữ số tận D2-3 = 23; 27; 211; … Giá trị lũy Có chữ số tận D2-4 = 24; 28; 212; … Giá trị lũy Có chữ số tận Những số có nhiều chữ số 12n; 22n; 32n; áp dụng

(5)

PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN

Dựa vào cách tìm ta có số dư phép chia 8051 cho Mà ứng với số dư ta có chữ số tận

Trang:

D3-1 = 31; 35; 39; … Giá trị lũy Có chữ số tận 3

D3-2 = 32; 36; 310;… Giá trị lũy Có chữ số tận

D3-3 = 33; 37; 311; … Giá trị lũy Có chữ số tận

Những số có nhiều chữ số 13n; 23n; 33n; áp dụng trên.

(6)

Ví dụ: Tìm chữ số tận của: 3999 ; 43126; 21535717.

Giải:

* Ta chia số mũ 999 cho ta số dư 3, số dư thuộc D3-3

Nên chữ số tận số 3999 là: 7.

* Vì 43 = 40 + 3, nên chữ số tận số 43126 lại chữ số tận

số 3126 Dựa vào cách tìm chữ số tận lũy thừa với số 3 ( 126 : = 31 dư ), mà số dư thuộc D3-2

Vậy: Số 43126 có chữ số tận 9.

* Ta thấy: số 2153 có chữ số tận 3, nên số 21535717 số 35717 có chữ số

tận Do ta có cách tìm chữ số tận sau:

Ta chia số mũ 5717 cho ta số dư 1, ứng với số dư ta có chữ số tận

Vậy: 21535717 có chữ số tận 3

Trong dãy lũy thừa 41, 42, 43, 4n tồn hai dãy lũy thừa Mà

Trang:

D3-1 = 3; ; ; … Giá trị lũy Có chữ số tận D3-2 = 32; 36; 310;… Giá trị lũy Có chữ số tận

(7)

Điều cho thấy D4 tồn hai dãy lũy thừa, dãy lũy thừa với số

mũ lẽ dãy lũy thừa với số mũ chẳn

Ví dụ: Tìm chữ số tận 418 , 487 , 18942n

Giải: Do Lũy thừa với số cho ta chữ số tận hoặc Nếu số mũ lẻ có chữ số tận 4; cịn số mũ chẳn cóa chữ số tận Vậy:

* Số 418 có chữ số tận ( số mũ chẳn )

* Số 487 có chữ số tận ( số mũ lẻ )

Trang:

D4-1 = 41; 43; 43; … Giá trị lũy Có chữ số tận 4 D4-2 = 42; 44; 46;… Giá trị lũy Có chữ số tận Những số có nhiều chữ số 14n; 24n; 34n; áp dụng

Nếu số dư thuộc D4-1 nên có chữ số tận Nếu số dư thuộc D4-2 Nên có chữ số tận

(8)

* Số 18942n = ( 1890 + )2n 42n có chữ số tận ( 2n số

mũ chẳn )

Vậy: số 18942n có chữ số tận 6.

Khi a = 5n ( Với nN* ) ln ln có chữ số tận 5.

Ví dụ:

1. 53 có chữ số tận 5 2. 5100 có chữ số rận 5

Ta có nhận xét trường hợp a = 6

Khi a = Thì 6n ( Với nN* ) ln ln có chữ số tận 6.

Ví dụ:

1 61 = 6;

2 62 = 36;

3 63 = 216;

4 64 = 1296

5 6n = .6

Ta có nhận xét trường hợp khi a = 7

Trong dãy lũy thừa 71, 72, 73, 7n tồn bốn dãy lũy thừa Mà lũy

thừa dãy có chữ số tận Ta ký hiệu:

Trang:

(9)

Ví dụ: Tìm chữ số tận 71234 ; 72009 ; 8755 ? Giải:

1 Ta chia số mũ 1234 cho ta số dư số dư thuộc dãy D 7-2 Nên số 71234 có chữ số tận

2 Tương tự: ta chia số mũ 2009 cho ta số dư 1, số dư thuộc dãy D7-1 Nên số 72009 có chữ số tận

Trang:

(10)

VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN

3 Vì 87 = 80 + Do việc tìm chữ số tận 8755 ta việc tìm

chữ số tận số 755 Cách tìm ta chia số mũ 55 cho 4, phép chia có

số dư 3, số dư thuộc D7-3 Nên 755 có chữ số tận Vậy số 8755 có số tận

Trang: 10

(11)

Ví dụ: Tìm chữ số tận số sau 87 ; 850 ; 81101 ; 518400

Giải:

* Tìm chữ số tận số 87

Ta có: chia dư 3; Số dư thuộc dãy D8-3 Nên số 87 có chữ số tận

Ta có: 50 chia dư 2; mà số dư thuộc D8-2 Nên số 850 có chữ số tận

Ta có: 1101 chia dư 1; số dư lại thuộc dãy D8-1 Nên số 81101 có chữ số tận

cùng

Để tìm chữ số tận số 518400 ta cần tìm chữ số tận số 8400,

Vì: 518 = 510 +

Mà ta chia số mũ 400 cho ta phép chia hết, nên số dư thuộc D8-4 Do số 8400 có chữ số tận 6, hay số 518400 có chữ số tận

là

Trang: 11

(12)

Trong dãy lũy thừa 91, 92, 93, 9n tồn hai dãy lũy thừa Mà

Điều cho thấy D9 tồn hai dãy lũy thừa, dãy lũy thừa với số

mũ lẽ dãy lũy thừa với số mũ chẳn

*Nếu số dư thuộc D9-1 nên có chữ số tận

*Nếu số dư thuộc D9-2 Nên có chữ số tận

Hoặc xác định chữ số tận nhận xét số mũ; Nếu số mũ lũy thừa mà chẳn chữ số tận số 1, cịn số mũ lũy thừa số lẻ chữ số tận số

Chú ý:

1 Những số chẳn chục 10; 20; 30; … Khi nâng lên lũy thừa với số mũ lớn ln ln có chữ số tận

Trang: 12

(13)

2 Những số dạng: 1; 11; 21; 31; ……khi nâng lên lũy thừa với số mũ ln ln có chữ số tận

3 Các số có chữ số tận 0;1;5;6 nâng lên lũy thừa với số mũ khác có chữ số tận 0;1;5;6

Phần 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHÁC Bài 1: Tìm chữ số tận số A = 999.

Giải: Cách 1: Theo phương pháp (H) số 99 có số mũ lẻ Nên số có chữ số tận

cùng là số lẻ Do số 999cóchữ số tận 9.

Cách 2: Đặt M = 9k, kN.

+ Nếu k chẳn  k = 2m, đó:

M = 92m = (81)m = (80+1)m = (10q+1)m = 10t+1 (với m,q,t  N ).

Vậy M có chữ số tận k chẳn + Nếu k lẻ  k = 2m+1, đó:

M = 92m+1 = 92m.9 = (10q+1).9 = 10t+9 ( với m,q,t  N ).

Vậy M có chữ số tận k lẻ Ta có: 99 số lẻ Do đó: A = 999

có chữ số tận Bài 2: Tìm chữ số tận số B = 234

Giải:

Cách 1:

Do 234 = 281 Theo phương pháp (H), Ta chia số mũ 81 cho ta có số dư

phép chia Thuộc D2-1 Nên số B = 234 có chữ số tận

Cách 2: B = 234

= 281 = (25)16.2 = (30+2)16.2 = ( m6 ).2 = 10t+2.

(14)

VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Vậy: B = 234

có chữ số tận

Bài 3: Tìm chữ số tận số 62002; 71999; 18177. Giải:

* Theo phương pháp (H) Ta có: 6n ln có chữ số tận 6.

Nên: số 62002 có chữ số tận 6.

* Cách 1: Theo phương pháp (H), ta chia số mũ 1999 cho số dư 3; Số dư thuộc D7-3

Vậy số 71999 có chữ số tận 3. Cách 2: Ta có 74 = 2401 tận 1

Nên: 71999 = (74)496+3 = (2401)496.343 = (… 1) 343 = ( 3) Suy ra: 71999 có chữ số tận 3.

* Cách

Ta có: 18177 = (10+8)177 theo phương pháp (H) ta tìm chữ số tận 8177, ( vì: 177: dư 1) Nên số 8177 có chữ số tận 8.

Do đó: 18177 có chữ số tận 8.

Cách 2: Ta có 184 = n6 có chữ số tận 6.

Suy ra: 8177 = (184)44.18 = (… 6).18 = (…….8)

DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG DƯ: I Cơ sở lý thuyết:

1 Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0, hai số nguyên a b chia cho m có số dư, ta nói a đồng dư với b theo mô đun m viết ab (mod m)

2 Định lý:

Ba mệnh đề sau tương với nhau: 2.1/ a đồng dư với b theo mô đun m; 2.2/ a – b chia hết cho m;

2.3/ Có số nguyên t cho a = b + m.t

Trang: 14

(15)

3 Tính chất:

3.1/ a  a (mod m); 3.2/ a  b (mod m)

 a  c (mod m)

b  c (mod m)

3.3/ a  b (mod m) a  c  b  d (mod m) 

c  d (mod m) a.c  b.d (mod m) Hệ quả: a + c b (mod m)  a  b – c (mod m)

a  b (mod m)  an  bn (mod m)

3.4/ Nếu a  b (mod m); kƯC (a,b), (k,m) = Thì ka kb (mod m) 3.5/ a  b (mod m) với kz, k > suy ra: ka  kb (mod m)

3.6/ d  ƯC (a,b,m) a  b (mod m) suy ra: ka kb (mod

d m

)

3.7/ a  b (mod m1) a  b (mod m2) suy a  b (mod m)

M = BCNN ( m1, m2 )

Hệ quả: ( m1, m2, …… , mn ) = nguyên tố đôi

Suy ra: a  b (mod m1), a  b (mod m2), …… a  b (mod mn)

a  b (mod m1.m2……mn)

II Bài tập áp dụng:

Tìm chữ số tận số 19911997, 6195, 19971996 Giải:

*) Ta có: 1991  (mod 10) suy 19911997  (mod 10)

*) Ta có: 62 = 36  (mod 10) suy 6n  (mod 10)

Với N số tự nhiên khác Suy ra: 6195  (mod 10).

Vậy chữ số tận số 6195 6.

(16)

VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN *) Ta có: 1997  (mod 10)  19972  49  (mod 10)

Suy ra: 19974  (mod 10) Suy (19974)409  (mod 10)

Suy 19971996  (mod 10).

PHƯƠNG PHÁP TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN

Phương pháp 1:

Nếu x  N x = 100 + y; k,y  N hai chữ số tận x hai chữ số tận y Hiển nhiên y  x Như để đơn

giản việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận hai số tự nhiên y ( nhỏ )

Rõ ràng số y nhỏ việ tìm hai chữ số tận y đơn giản

Từ nhận xét ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận hai số tự nhiên x = am như sau:

Trường hợp 1:

Nếu a chẳn x = am

2m

Gọi n số tự nhiên cho an-125

Viết m = pn (p,q  N ), q số nhỏ để aq4 ta có:

x = am = aq (apn-1) + aq Vì an-125

Mặt khác: Do ƯCLN ( 4;25 ) = nên aq ( apn-1 ) 100

Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận

Tiếp theo ta tìm chữ số tận aq.

Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n số tự nhiên cho an-1 100

Viết m = un + v ( u,v  N,  v < n ) Ta có:

X = am = av ( aun-1 ) + av.

Vì: an-1 100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số

tận av Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận av.

Trang: 16

(17)

Với khoảng hai trường hợp nêu chìa khóa để giải tốn phải tìm số tự nhiên n; Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ số tận aq và av

Phương pháp 2:

Để tìm hai chữ số tận lũy thừa, ta cần ý đến số đặc biệt sau:

- Các số có chữ số tận bằng: 01; 25; 76 Khi nâng lên lũy thừa với số mũ khác có hai chữ số tận bằng: 01; 25; 76

- Các số 320; (hoặc 815); 74; 512; 992 Có hai chữ số tận 01.

- Các số 220; 65; 184; 242; 684; 742 Có hai chữ số tận 76.

Các tốn tìm hai chữ số tận số tự nhiên. Bài 1: Tìm hai chữ số tận 2999.

Giải:

Ta có: 210 + = 1024 + = 1025  25

Suy ra: 210 +

 25

Ta lại có: 21000 – = [(220)50 – 1] (220 – 1).

Suy ra: 21000 – 1

 25

Do đó: 21000 có hai chữ số tận 76, 21000

 Suy ra: 2999 có hai chữ số tận 88

Bài 2: Tìm hai chữ số tận số 78966.

Giải:

Ta có: 74 có hai chữ số tận 01.

Suy ra: 78966 = (74)2241.72 = (a01)2241 49 = c01 49 = n49 ( Với a,c,n N)

Vậy: 78966 có hai chữ số tận 49. Bài 3: Tìm hai chữ số tận 247561.

Giải:

Ta có: 242 có hai chữ số tận 76 nên:

(18)

VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Suy ra: 247561 = (242)3765 24 = (m76)3765 24 = k76 24 = n24.

(Với m,k,n N)

Giải:

Nên: 816251 = ( 815 )1250 81 = (k01)1250.81 = t01.81 = m81 (Với k,t,m N)

Vậy: 816251 có hai chữ số tận 81 Bài 5: Tìm hai chữ số tận 31000.

Giải:

Ta có: 34 19 (mod 100) suy 38  192  (mod 100).

Suy ra: 310  61.9  49 (mod 100) suy 3100  492  (mod 100).

Suy ra: 31000  01 (mod 100).

Giải:

Ta có: 210 = 1024 suy ra: (210)2 = 76.

Suy ra: 21000 = ( 76)50 = 76.

Vậy : 21000 có hai chữ số tận 76. Bài 7: Tìm hai chữ số tận 262088.

Giải:

Suy ra: 262088 = (244)522 = ( 76 )522 = 76 ( số có hai chữ số tận 76

khi ta lũy thừa với số mũ khác ln có hai chữ số tận 76 ) Vậy: 262088 có hai chữ số tận 76.

Bài 8: Tìm hai chữ số tận 71991.

Giải:

Trang: 18

(19)

Ta có: 74 = 2401; số có hai chữ số tận 01, ta nâng lên lũy thừa

khác có hai chữ số tận 01

Do: 71991 = ( 74 )497 73 = ( 01)497 343 = ( 01).343 = 43.

Giải:

Ta có: 684 = 21381376 số có hai chữ số tận 76 682 = 4624 số có hai

chữ số tận 24

Ta lại có: 68194 = ( 684)48 682 = (n76)48 4624 = k76 4624 = t24.

Vậy: 68194 có hai chữ số tận 24.

Phần 3: Một số dạng tốn lũy thừa chương trình tốn 6

B- NỘI DUNG:

I- Lý thuyết:

Dựa vào số kiến thức sau: 1) Định nghĩa lũy thừa 2) phép tính lũy thừa

3) Chữ số tận lũy thừa 4) Khi hai lũy thừa 5) Tính chất đẳng thức, bất đẳng thức? 6) Tính chất chia hết

7) Tính chất dãy tốn có quy luật 8) Hệ thống ghi số

II- Bài tập:

1 Viết biểu thức dạng ly tha: a) Phân tích số thừa số nguyên tố.

Bài 1: Vit biu thc dạng lũy thừa ( nhiều cách có)

a) 410 815 b) 82 253

Bài giải:

(20)

a) 410 815 = (22)10 (23)15 = 220 245 = 265

Ta thấy: 265 = (25)13 = 3213

265 = (213)5 = 81925

Vậy ta có cách viết là: 410 815 = 265

410 815 = 3213

410 815 = 81925

b) 82 253 = (23)2 (52)3 = 26 56 = 106

Ta thấy: 106 = (102)3 = 1003

106 = (103)2 = 10002

Vậy ta có cách viết là: 82 253 = 106

82 253 = 1003

82 253 = 10002

b) Nhóm thừa số cách thích hợp.

Bµi 2: Viết biểu thức dạng lũy thừa

( 2a3x2y) ( 8a2x3y4) ( 16a3x3y3)

Bài giải:

( 2a3.x3y ) (8a2x3y4) ( 16a3x3y3)

= (2.8.16) (a3 a2 a3) ( x2x3 x3) (y.y4.y3)

= 28 a8 x8 y8 = (2axy)8

Bµi 3: Chứng tỏ tổng ( hiệu )sau số phương

a) 32 + 42

b) 132 -52

c) 13 + 23 + 33 + 43

Bài giải:

a) 32 + 42 = + 16 = 25 = 52

b) 132 - 52 = 169 - 25 = 144 = 122

c) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + + + 4)2 = 102

2- Tỡm chữ số tận cựng số tự nhiờn * Luỹ thừa có số tận đặc biệt ( x, y, N)

n

XO = YO (n N *)

n

X1 = Y1

Trang: 20

(21)

n

X5 = Y5 (n N *)

6 Y

X  (n N *)

Bµi 1: Tìm chữ số tận lũy thừa sau:

a) 42k ; 42k + 1.

b) 92k ; 92k + 1 ( k  N)

Bài giải:

a) Ta có: 42k = (42)k =  6 6



k

42k + 1 = (42)k = 6.4 4 

b) T¬ng tù ta cã: 92k = 1

92k + 1 = 9

Bµi 2:Tìm chữ số tận lũy thừa sau.

a) 22005; 32006

b) 72007 ; 82007

Bài giải:

a) Ta có: 22005 = (24)501 =

2

501 

32006 = (34)501 32 = ( 1) 501.9 9



b) Ta cã: 72007 = (74)501 73 = ( 1)501.3 = 3

82007 = (84)501 83 = ( 6)501 = 2

3 Tính giá trị biểu thức:

a) TÝnh theo quy t¾c thùc hiƯn phÐp tÝnh:

Bµi 1: Tính giá trị biểu thức sau:

33 - 34 + 58 50 - 512 : 252

Bài giải:

33 - 34 + 58 50 - 512 : 252

= 35 - 35 + 58- 58 =

b) Sö dơng tÝnh chÊt phÐp tÝnh.

Bµi 1: Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lí

A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56

B = ! - ! - ! 82

Bài giải:

A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56

= ( 25: )6 + ( 15 : 5)6 - (10:5) 6

= 56 + 36 - 26

= 15625 + 729 - 64 = 16290

(22)

VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN

B = ! -8 ! - 7! 82

= ! ( 9-1) - ! = ! - 8! =

c) BiÓu thøc cã tÝnh quy lt. Bµi 1: TÝnh tỉng

A = + + 22+ + 2100

B = - 32 + 33 - - 3100

Bµi gi¶i:

A = + + 22 + + 100

=> 2A = + 22 + 23 + + 2101

=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 2101 ) – (1 +2 + 22+ +2100)

VËy A = 2101 -

B = - 32 - 33 - - 3100

=> 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101

B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101)

4B = - 3101

VËy B = ( 3- 3101) : 4

Bµi 2:Tính tổng

a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200

b) B = - 74 + 74 - + 7301

Bµi gi¶i:

a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200

25 A = 52 + 54+ + 5202

25 A - A = 5202 -

VËy A = ( 5202 -1) : 24

b) Tương tự: B =

1 7 304  

Bµi 3: Tính A =

7

+ 2

7

+ 3

7

+ + 100

7

B =

5

 + 2

5

- 3

5

+ + 200

5 Bài giải: A =

+ 2

7

+ 3

7

+ + 100

7

Trang: 22

(23)

PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN

7A = +

7

+ 2

7

+ + 99

7

=> 7A - A = - 100

7

A = 

      100

1 : B =

5

 + 2

5

- 3

5

+ + 200

5

5B = -4 +

5

+ 3

5

+ + 201

5

B+5B = -4 + 200

5

B = 

       200 4 : Bµi 3: TÝnh A =

1 25 25 25 25 25 25 25 25 26 28 30 20 24 28     Bài giải:

Bin đổi mẫu số ta có:

2530 + 2528 + 2526 + +252 +

= (2528 + 2524 + 2520 + +1)+ ( 2530 + 2526 +2522+ +252)

= (2528 + 2524+ 2520+ 1) +252 (2528+ 2526+ 2522+ + 1)

= (2528+ 2524 + 2520+ +1) (1 + 252)

VËy A = 2

25

1

 = 626

1

d) Sư dơng hƯ thèng ghi sổ - số g Bài 1: Tớnh

A = 107 + 5.105+ 4.103+2.10

B = 12 108 + 17.107 + 5.104 +

Bài giải:

A = 6.107 + 5.105 + 4.103 + 2.10

= 6.107 + 0.106 + 5.105 + 0.104 + 4.103+ 0.102+ 2.10 + 0.100

= 60504020

B = 12.108 + 17 107 + 5.104 +

= (10+2) 108+ ( 10 +7).107+5.104 +

= 109 + 2.108 + 108 + 7.107 + 5.104 +

(24)

= 109 + 3.108 + 7.107+ 0.106+ 0.105 + 5.104 +0.103 + 0.102 + 0.101+3.100

= 1370050003 4 Tỡm x.

a) Đa sè ( sè mị)

bài 1: T×m xN biÕt a) 4x = 2x+1

b) 16 = (x -1)4

Bài giải:

a) 4x = 2x +

(22)x = x +

22x = 2x+

2x = x +1 2x- x =

x = b) 16 = ( x -1)4

24 = (x -1)4

= x - X = 2+1 x =

Bài 2: Tìm xN biết a) x10 = 1x

b) x10 = x

c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3

d) x2 < 5

Bài giải:

a) x10 = 1x

x10 = 110

x = b) x10 = x

x10 - x =

x.( x9 - 1) =

Ta cã: x = hc x9 -1 =

Mµ: x9 -1 =

x9 = 19

x =

Trang: 24

(25)

VËy x = hc x =1 c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3

Vì hai lũy thừa nhau, có số nhau, số mũ khác ( 0)

Suy ra: 2x - 15 = hc 2x - 15 = + Nếu: 2x - 15 =

x = 15 :  N ( lo¹i) + Nếu: 2x - 15 =

2x = 15 + x = d) Ta cã x2 <

vµ x2 => x2  0; ; ; ; 

Mặt khác: x2 số phương nên:

x2   ; 1;  hay x2  02 ; 12 ; 22 

x   0; ; 

Dựa vào tập SGK lp

Bài 4: Tìm x N biết

a) 13 + 23 + 33 + + 103 = ( x +1)2

b) + + + + 99 = (x -2)2

Bµi gi¶i:

a) 13 + 23 + 33 + + 103 = (x +1)2

( 1+ + 3+ + 10)2 = ( x +1)2

552 = ( x +1) 2

55 = x +1 x = 55- x = 54

b) + + + + 99 = ( x -2)2

1

1 99

   

 



 = ( x - 2)2

502 = ( x -2 )2

50 = x -2 x = 50 + x = 52

( Ta cã: + + 5+ + ( 2n+1) = n2)

Bài 5: Tìm cặp x ; y N thoả mÃn

(26)

73 = x2 - y2

Ta thÊy: 73 = x2 - y2

( 13 + 23 + 33 + +73) - (13+ 23+ 33+ + 63) = x2 - y2

(1+ + + + 7)2 - (1 + + + + 6)2 = x2 - y2

282 - 212 = x2 - y2

VËy cặp x; y thoả mÃn là: x = 28; y = 21

b) Sư dơng ch÷ sè tËn luỹ thừa. Bài 1: Tìm x ; y  N* biÕt

x2 = ! + ! + ! + + y!

Bài giải:

Ta thấy x2 số phơng

Có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; Mµ:

+ NÕu y =

Ta cã x = ! = 12 ( TM)

+ NÕu y =

Ta cã: x2 = ! + 2! = ( Lo¹i)

+ Với: y =

Ta cã: x2 = ! + ! + ! = = 32 ( TM)

x = + NÕu y =

Ta cã: x2 = ! + ! + ! + ! = 33 ( lo¹i )

+ NÕu y  Ta cã:

x2 = ( ! + ! + ! + ! ) + ( 5! + 6! + y! )

= + = .3 ( lo¹i)

VËy x = vµ y = x = vµ y = Bài 2: Tìm x N* biết

A = 111 - 777 số phơng x chữ số x chữ số

Bài giải:

+ NÕu x =

Ta cã: A = 11 - = = 22 (TM)

+ NÕu x >

Trang: 26

(27)

Ta cã A = 111 - 777 = 34

2x ch÷ sè x chữ số mà 34 4

Suy A số phơng ( loại) VËy x =

c) Dïng tÝnh chÊt chia hết Bài 1: Tìm x; y N biết:

35x + = 5y

*)NÕu x = ta cã: 350 + = 2.5y

10 = 2.5y

5y =

y =1 *) NÕu x >0

+ NÕu y = ta cã: 35x + = 2.50

35x + = ( v« lý)

+ NÕu y > ta thÊy:

35x +  v× ( 35x ;  )

Mµ 5y  ( vô lý 35x + = 2.5y)

VËy x = vµ y =

Bài 2: Tìm a; b Z biết

( 2a + 5b + ) (2a + a2 + a + b ) = 105

Bài giải:

*) Nếu a = ta có:

( 2.0 + 5b + 1) (2101 + 02 + + b) = 105

(5b + 1) ( b + 1) = 105

Suy 5b + ; b +  Ư (105) mà ( 5b + 1) d Ta đợc 5b + = 21

b = ( TM) * NÕu a 

Ta thÊy ( 2a + 5b + 1) ( 2a + a2 + a + b) = 105

Là lẻ

Suy 2a + 5b + 2a + a2 + a + b lẽ (*)

+ NÕu a ch½n ( a ) 2a + a2 +a + b lẻ

Suy b lỴ.Ta cã: 2a + 5b + chẵn ( vô lý) + Nếu a lẻ

Tơng tự ta thấy vô lý

(28)

VËy a = vµ b = 5 So s¸nh c¸c sè. 1) TÝnh:

Bài 1: So sánh luỹ thừa sau: 27 72

Bài giải:

Ta có: 27 = 128 ; 72 = 49

V× 128 > 49 nên 27 > 72

2) Đa số ( số mũ)

Bài 1: So s¸nh c¸c luü thõa sau

a) 95 vµ 273

b) 3200 vµ 2300

Bài giải:

a) Ta có: 95 = (32)5 = 310

273 = (33 )3 = 39

Vì 310 > 39

nên 95 > 273

b) Ta cã: 3200 = (32)100 = 9100

2300 = (23) 100 = 8100

V× 9100 > 8100

nªn 3200 > 2300

3) Dïng sè trung gian

Bài 1: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 1714

Bài giải:

Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1)

1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2)

Tõ (1) vµ (2) 311 < 255 < 256 < 1714

nªn 3111 < 1714

Bài 2: Tìm xem 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân

Bài giải:

Muốn biết 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân ta so sánh

2100 víi 1030 vµ 1031

* So s¸nh 2100 víi 1030

Ta cã: 2100 = (210)10 = 1024 10

1030 = (103)10 = 100010

V× 102410 > 100010

Trang: 28

(29)

nªn 2100 > 1030 (*)

* So s¸nh 2100 víi 1031

Ta cã: 2100 = 231 269 = 231 263 26

= 231 (29)7 (22)3 = 231 .5127 43 (1)

1031 = 231 531 = 231 528 53 = 231 (54 )7 53

= 231 6257 53 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã:

231 5127 43 < 231 5127 53

Hay 2100 < 1031 ( **)

Tõ (*),( **) ta cã:

1031 < 2100 < 1032

Sè cã 31 ch÷ sè nhá nhÊt Sè cã 32 ch÷ sè nhá Nên 2100 có 31 chữ số cách viết hệ thập phân

Bài 3: So sánh A vµ B biÕt

a) A =

5 19 19 31 30  

; B =

5 19 19 32 31   b) 3 20 18  

; B =

3 22 20  

c) A = 22 89

5 5 5        

; B = 22 89

3 3 3  Bài giải: A = 19 19 31 30  

Nªn: 19A =

5 19 ) 19 ( 19 31 30   = 19 95 19 31 31  

= +

5 19 90 31  B = 19 19 32 31  

nªn: 19B =

5 19 ) 19 ( 19 32 31   = 19 95 19 32 32  

= +

5 19 90 32  V×: 19 90 31

 > 19

90

32



Suy ra: +

5 19

90

31 > + 19 5

90

32 

Hay: 19A > 19B Nªn: A > B

(30)

b) A =

3 20 18  

nªn: 22 A =

3 ) ( 22 18   = 12 20 20  

= -

3 20  B = 3 22 20  

nªn: 22.B =

3 ) ( 22 20   = 12 22 22   = 1- 22  V× : 20

 >

9

22



Suy ra: -

3

9

20

 < 1-

9

22



Hay: 22 A < 22 B

Nªn: A < B c) Ta cã:

A = 2 8

9 5 5         = ) ( 5 5 1 5 ) 5 ( 5 5 ) 5 ( 8 8                         

T¬ng tù: B = (2)

3 3 1

2  

   

Tõ (1) vµ (2) Ta cã:

A = 2 8

5 5 1   

 + > > >1 32 38

1

  

 + =B

nªn: A > B 6 Chøng minh:

1) Nhãm số cách thích hợp Bài 1: Cho A = + +32 + +311

Chøng minh: a) A ∶ 13 b) A ∶ 40 Bµi gi¶i:

a) A = + + 32 + 33 + + 311

= (1+3 + 32) + (33+ 34+ 35) + + (39+ 310+ 311)

Trang: 30

(31)

= ( 1+ +32) + 33 (1 +3 + 32) + +39 (1 + + 32)

= 13 + 33 13 + + 39 13

= 13 ( 1+ 33 + + 39 ) ∶ 13

Hay A ∶13

b) A = + + 32 + 33 + + 311

= ( + + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311)

= ( + + 32+ 33) + 34 (1 + + 32+ 33) + 38(1 + + 32+ 33)

= 40 + 34 40 + 38 40

= 40 ( + 34 + 38) ∶ 40

Hay A 40

2) Thêm bớt lợng thích hợp Bµi 1: Cho 10k - ∶ 19 ( k  N)

Chøng minh: a) 102k - ∶ 19

b) 103k - ∶19

Bài giải:

a) Ta có:

102k - = ( 102k - 10k) + (10k - 1)

= 10k ( 10k - 1) + ( 10k - 1)

= (10k - 1) ( 10k + 1) ∶ 19 v× 10k -1 ∶ 19

b) 103k - = (103k - 102k ) + (102k - 1)

V×: 10k - ∶ 19

3) Dùng chữ số tận luỹ thừa đặc biệt: Bài 1: Cho n N ; n >

Chøng minh: 2n

2 + cã tËn cïng lµ

Bài giải:

Vì n > nên 2n ∶

Suy ra: 2n = 4k ( k N *)

Ta cã: 2n

2 + = 24k + = (24)k +

= 16 k + = 6 + = 7

V× : 16k = 6 ( k N (*))

Sau điểm khảo sát chất lượng học sinh lớp 6

năm học:

(32)

VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Khảo sát chất lượng học sinh:

§iĨm díi §iĨm Điểm 10

Đợt Đợt C KÕt luËn:

Bài viết rút từ q trình giảng dạy nghiên cứu tốn với cách phân dạng để giúp học sinh tiếp cận hình thành kĩ giải cách dễ hiểu, phù hợp với nội dung chương trình Qua dạng rèn luyện cho học sinh khả tư duy, sáng tạo, khái quát hóa, tương tự hóa biết chuyển dạng khác dạng học

Trang: 32

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	475 KB