1.Điểm của bài làm cho theo thang điểm 20, là tổng điểm thành phần và không làm tròn số2. Học sinh làm cách khác với đáp án nếu thấy đúng vẫn cho điểm tối đa...[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010
TỈNH ĐẮKLẮK MƠN: TỐN 12 - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút ( khơng kể thời gian phát đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 22/12/2009
Bài 1: (5 điểm)
1) Cho hàm số
2 1 1
x m x m
y
x m
có đồ thị (Cm) Với giá trị m giao
điểm đường tiệm cận (Cm) thuộc parabol có phương trình y = x2
2) Chứng minh phương trình x3 + x - = có nghiệm Gọi nghiệm x ,
chứng minh
2 x
Bài 2: (5 điểm)
1) Giải hệ phương trình :
11
6
x y z x y z
x y z
2) Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, CA = DB = b, AB = DC = c
a) Gọi O trung điểm AB Chứng minh thiết diện OCD chia tứ diện cho thành hai tứ diện AOCD BOCD tích
b) Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài 3: (5 điểm)
1) Trong mặt phẳng toạ độ xOy, tìm quỹ tích (tập hợp điểm) tâm đường tròn sau : C:x2 y2 osxc 4y sin 3sin2 sin 1
2) Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác vuông (c cạnh huyền); x, y, z số liên hệ với hệ thức ax + by = cz Chứng minh x2 y2 z2
Bài 4:(5 điểm)
1) Cho x0, y0 x y 1 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức
2
x y
P = +
y +1 x +1
2) Cho số dương a, b khác Chứng minh
ln ln
a b a b
ab
a b
-Hết
(2)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010 TỈNH ĐẮKLẮK MÔN :TOÁN 12 - THPT
ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 12 THPT
A ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM Bài 1: (5 điểm)
1 Cho hàm số
1
x m x m
y
x m
có đồ thị (Cm) Với giá trị m giao điểm
2 đường tiệm cận (Cm) nằm parabol y=x2 + Hàm số (Cm) viết lại sau :
2
2
2 m
y x m
x m
+ Hàm số có tiệm cận đứng x =m tiệm cận xiên y=x+2m+1 2,0 đ + Giao điểm đường tiệm cận x =m , y=3m+1 0,5đ +Để giao điểm đường tiệm cận nằm parabol y=x2 ta có
3m+1=m2 hay 13
2
m 0,5đ
2.Chứng minh phương trình x3 +x -1 =0 có nghiệm Gọi nghiệm là x0, chứng minh
1
2 x
Xét hàm số f(x) = x3 +x -1, f(x) hàm số liên tục
+Và có f(0) =-1<0, f(1)=1>0 tồn giá trị x0 (0< x0<1) cho f(x0) =0 nên PT x3 +x -1 = có nghiệm x
0 (0< x0<1) 0,5đ +Vì f ’(x) =3x2 + 1>0 với x nên hàm số đồng biến, nên hàm số cắt trục hoành điểm Vậy x0 0,5đ +Ta có:
0
1x x áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương khác nhaux03,x0:
0 0
1x x 2 x 2x suy 02
1
x 0,5đ
+Do x0>0 nên ta có
1
2 x
0,5đ
Baøi (5 điểm)
1) Giải hệ phương trình :
1 11
6
x y z x y z
x y z
(3)+Đặt u x y z 1 ta có u2 + u -12 =0 0,5đ
+Giải phương trình u1=3; u2= -4(loại) 0,5đ
+Do : x + y + z+1 =3 neân x + y + z = 0,5đ
+Từ 6x = 4y = 3z ta suy ra: 2x 3y 4z 2 4x y z 89
0,5đ
+Ta coù 16, 8, 32
9
x y z 0,5đ
2) Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, CA = DB = b, AB = DC = c
a) Gọi O trung điểm AB Chứng minh thiết diện OCD chia tứ diện cho thành hai tứ diện AOCD BOCD tích
b) Tính thể tích tứ diện ABCD
a) Gọi h1 đường cao tứ diện A.OCD kẻ từ A, Gọi h2 đường cao tứ diện B.OCD kẻ từ B
Ta có
1 h OA
h OB nên h1=h2 1,0đ
Hai tứ diện có đáy chung đường cao nên thể tích (đpcm)
b) OCD cân (vì OC=OD, trung tuyến tương ứng hai tam giác nhau)
Gọi H trung điểm CD, tương tự HBA cân
Qua O vẽ EF// CD OE=OF=1
2CD 0,5đ
Ta có: tứ giác AEBF hình chữ nhật (vì EF = CD = AB)
HOAB (vì HBA cân), HOEF (vì HOCD//EF)
Do HO(AEBF)
Kẻ AK EF, HO(AEBF) suy HOAK AK (OCD) AK đường cao
của tứ diện A.OCD 0,5đ
Theo câu a) ta có 2
3
ABCD AOCD
CD OH
V V KA AK CD FC
Vì FB//AK AK FC suy FBFC FC2 a2 FB2 b2 FA2
Hay FB2 FA2 a2 b2
(1)
Mặt khác tam giác AFB vuông suy FB2 FA2 c2
(2)
Từ (1) (2) ta có 1 2 2, 1 2 2
2
FB a b c FA c a b Vậy 2 1( 2 2) 1( 2 2)
2
FC a a b c a b c
Ta có : ( 2 2)( 2 2)
2
a b c c a b
AE FA FB FA AK
EF EF c
Vậy : ( 2 2)( 2 2)( 2 2)
3
ABCD
(4)= ( 2 2)( 2 2)( 2 2)
6 c a b c b c a c a b 0,5đ
B D
A
C F
E O
H K
Bài 3:(5 điểm)
1) Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) tâm đường trịn: C:x2 y2 osxc 4ysin 3sin2 sin 1 Phương trình đường tròn viết lại sau:
C : x cos 2 cos2 y+2sin 2 4sin2 3sin2 sin 1 0
+C : x c os2y+2sin2 sin 0,5đ
+Điều kiện để C : x c os2y+2sin2 sin đường trịn phải 0,5đ
có sin 0
+Khi toạ độ tâm N của : os 2sin
N
N x c
C N
y
0,5đ
+Hay 2 1
4
N N
y
x 0,5đ
Mặt khác sin 0 yN 0
+Vậy quỹ tích tâm N nửa elip 2 1( 0)
4
N N
y
x y 0,5đ
2 Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác vuông (c cạnh huyền); x, y, z số liên hệ với hệ thức ax + by = cz Chứng minh 2
x y z (1)
Ta có sinA a;cosA b
c c
(A góc nhọn đối diện với cạnh a)
Hệ thức cho viết lại xsinA+ ycosA = z (2)
+Nếu x = y = z = nên (1) 0,5đ +Xét x2 y2 0
chia vế (2) cho x2 y2 ta được:
2 sin 2 os 2
x y z
A c A
(5)Chọn góc cho cos 2x 2
x y
2
sin y
x y
0,5đ
(góc tồn
2
2
2 2
os sin x y
c
x y x y
) +Khi (3) trở thành os sin sin cos 2
z
c A A
x y
0,5đ
+Hay sin 2
z A
x y
suy 2
z
x y hay
2 2
x y z 0,5đ
Bài (5 điểm)
1) Cho x0, y0 x y 1 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức:
2
x y
P = +
y +1 x +1
Ta có: P = x2 + y2 y +1 x +1=
3 2
x + y + x + y x + y + xy +1
=
2 2
x + y x - xy + y + x + y x + y + xy +1 =
2
2 x + y - xy
2 + xy (vì x+y =1) 0,5đ
=
2 x + y - 5xy + xy =
2 - 5xy
2 + xy 0,5đ
Đặt t = xy Khi 0 2
4
x y xy
hay 0 t 14
Giá trị lớn nhỏ biểu thức P giá trị lớn nhỏ hàm số: ( )
2 t f t
t
0,5đ
Ta có :
'
2
12
( )
2 f t
t
Vậy hàm số nghịch biến 0,5đ
B ng bi n thiên:ả ế
T 1
f ’(t) - f(t)
(6)
Vậy MaxP = minP =
3 0,5đ
2) Cho số dương a, b khác Chứng minh
ln ln
a b a b ab
a b
Ta giả sử a>b>0, bất đẳng thức cần chứng minh là:
1
2 ln
a a
a b b
a b
b
0,5đ
Đặt x a b
ta có
2 1 1
2 n
x x
x
l x
0,5đ
Do x > nên lnx > Khi
2
2
1
(1) ln
2 n x
x f x x x x
l x
Ta có f x' 2(x lnx1) 0 f '' x 2(1 1)
x
0,5đ
Với x1 nên f ’(x) đồng biến với x1 ta có f ’(1)=0 0,5đ
Suy f x' 0 nên f(x) đồng biến với x1 f(1)=0, bất đẳng thức (1)đúng
Mặt khác ta có :
2
2
1
(2) ln
2 n
x x
g x x
l x x
Lại
2
2
1
'( )
1 x g x
x x
g(1)=1 nên suy bất đẳng thức (2) 0,5đ
B.HƯỚNG DẪN CHẤM
1.Điểm làm cho theo thang điểm 20, tổng điểm thành phần không làm tròn số