Tính nghiệm kép đó... Tìm m để pt có nghiệm kép.[r]
(1)ườ ế ấ
CÁC BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Cho hệ phương trình
) ( m y x m my x m
Xác định tấ giá trị phương trình để hệ phương trình có nghiệm (x;y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho hệ phương trình 2 ) (( m y mx m my x m
Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x,y) có tích P = xy đạt giá trị lớn
Bài 3: Cho hệ phương trình m my x m y mx
a, Giải hệ phương trình m = -
b, Tìm m để hệ phương trình có vơ số nghiệm có nghiệm x = - 1; y =
Bài 4: Cho hệ phương trình 2 y mx my mx
a, Giải hệ phương trình m =
b, Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x, y) mà x, y số nguyên
Bài 5: Cho hệ phương trình: y x m y x
m tham số nguyên Xác định m để hệ có nghiệm (x, y) mà x > 0; y <
Bài 6: Cho hệ phương trình: ) ( y m x m my mx
a, Chứng minh hệ có nghiệm (x, y) điểm M(x, y) thuộc đường thẳng cố định m thay đổi
b, Xác định m để điểm M thuộc góc vng phần tư thứ
c, Xác định m để điểm M thuộc đường tròn tâm góc tọa độ bán kính
Bài 7: Với giá trị số nguyên m, hệ phương trình m my x m y
mx
có nghiệm (x, y) với x, y số nguyên
Bài 8: Cho hệ phương trình 2 y mx my x
a, Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x, y) với x, y số nguyên
b, Chứng mimh hệ có nghiệm (x, y), điểm M(x, y) chạy đường thẳng cố định
c, Xác định m để điểm M thuộc đường trịn có tâm góc tọa độ bán kính =
2 .
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên nhỏ hệ phương trình
37 20 z y x z y x
Bài 10: Cho phương trình : x2 – 2(m - 1)x – – m = 0 a, Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m
b, Tìm m cho nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện: 10 2
1 x x
(2)ườ ế ấ
a, Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1 ; x2 m b, Đặt A = 1 2
2
1 ) (
2 x x x x Chứng minh A = 8m2 – 18m + 9; tìm m cho A = 27 c, Tìm m cho phương trình có nghiệm hai lần nghiệm
Bài 12: cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m+ 1)x – m = (m tham số) a, Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b, Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm
Bài 13: Cho phương trình: x2- (2m – 3)x – m = 0
a, Cmr phương trình ln có nghiệm m thay đổi
b, Định m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn: < x1< x2 <
Bài 14: Cho pt: x2 + x + a = (1) x2 + ax + = (2)
Tìm giá trị a để phương trình a, Tương đương với
b, Có nghiệm chung
Bài 15:
a, Chứng minh đẳng thức: (m2 + m – 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2 b, Cho pt: mx2 – (m2 + m + 1)x + m + = (1)
Tìm điều kiệm m để phương trình có nghiệm phân biệt khác
Bài 16: Gọi a, b hai nghiệm phương trình: x2+ px + = 0 Gọi c, d hai nghiệm phương trình: y2+ py + = 0 Chứng minh hệ thức (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (p – q)2
Bài 17: Giả sử a, b hai nghiệm phương trình: x2 + px + = 0 Giả sử c, d hai nghiệm phương trình: x2 + qx + = 0 CM hệ thức (a – c)(b – c)(a + d)(b + d) = q2 – p2
Bài 18: Cho phương trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = 0 a, CMR phương trình có nghiệm m
b, Tìm tất giá trị m cho pt có hai nghiệm phân biệt x1, x2 tìm giá trị m để nghiệm gấp hai lần nghiệm
Bài 19: Cho phương trình bậc ba: x3 – (4a + 3)x2 + 4a(a + 2)x – 4(a2 – 1)= 0 a, Giải phương trình a =
2
Bài 20: Cho phương trình: x2 – 4x + m + = 0 a, Định m để phương trình có nghiệm
b, Tìm m cho phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12x2210
Bài 21: Cho pt: x2 – 2mx + m + = 0
a, Xác định m để pt có hai nghiệm khơng âm
b, Khi tính giá trị biểu thức E = x1 x2 theo m
Bài 22: Cho pt: 3x2 – mx + = Xác định m để pt có hai nghiệm thỏa mãn 3x
1x2 = 2x2 –
Bài 23:
Bài 24: Cho pt: 3x2 – 5x + m = Xác định m để pt có nghiệm thỏa mãn:
9 2
1 x
x
Bài 25: Cho pt: x2 – 2(m + 4)x + m2 - = Xác định m để pt có nghiệm x
1, x2 thỏa mãn: a, A = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn
b, B = 2 x
x - x1x2 đạt giá trị nhỏ
c, Tìm hệ thức x1; x2 không phụ thuộc vào m
Bài 26: Cho pt: x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
(3)ườ ế ấ
b, Xác định m để: 4( 1 2)
2
1 x x x
x
c, lập pt bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 y2 thỏa mãn: y1 + y2 = x1 + x2 ;
1 1
2
2
1
y
y y y
Bài 27: Cho pt : x2 + ax +1 = Xác định a để pt có hai nghiệm x
1, x2 thỏa mãn
1 2
2
1
x x x
x
Bài 28: Cho pt: 2x2 +2(m + 2)x + m2 + 4m + = a, Xác định m để pt có nghiệm x1; x2
b, CMR nghiệm x1; x2 thỏa mãn bất đẳng thức (x1x2 3x1x2)
2
2
Bài 29: Cho pt: ax2 + bx + c = (a0)
CMR: điều kiện cần đủ để pt có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2
Bài 30: CMR pt: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = ln có nghiệm a, b, c
Bài 31: Có hai pt: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2)
a, Định m để hai pt có nghiệm chung b, Định m để hai pt tương đương
c, Định m để pt (x2 + mx + 2)( x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt
Bài 32: Với giá trị tham số a, b, pt bậc hai: (2a +1)x2 – (3a – 1)x + = (1)
(b +2)x2 – (2b + 1)x - = (2) có hai nghiệm chung.
Bài 33: Với giá trị tham số k, hai pt sau có nghiệm chung 2x2 + (3k + 1)x - =
6x2 + (7k – 1)x - 19 = 0
Bài 35: Với giá trị số nguyên p, pt sau có nghiệm chung 3x2 – 4x + p - =
x2 – 2px + = 0
Bài 36: Cho pt bậc hai: ax2 + bx + c = với a, b số hữu tỉ (a0) cho biết pt có nghiệm 1 2 Hãy tìm nghiệm cịn lại
Bài 37: Tìm tất số nguyên k để pt: kx2 – (1 – 2k)x + k – = ln có nghiệm số hữu tỉ.
Bài 38: Cho phương trình bậc hai: 3x2 + 4(a – 1)x + a2 – 4a + = 0 Xác định a để pt có nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức:
2
1 1
2 x x
x x
Bài 39: Cho biết phương trình: x2 + px + = có nghiệm a, b Và phương trình: x2 + qx + = có nghiệm b, c Chứng minh hệ thức: (b – a)(b – c) = pq –
Bài 40: Cho phương trình: x2 – 5x + k = (1) x2 – 7x + 2k = (2)
Xác định k để cá nghiệm phương trình (2) gấp đôi nghiệm pt (1)
Bài 41: Cho pt: 2x2 – mx -1 = 0 (1)
mx2 – x + = 0 (2)
Với giá trị m pt (1) pt (2) có nghiệm chung
Bài 42: Giả sử x1, x2 nghiệm pt bậc hai: 3x2 – cx + 2c -1 = Tính theo c giá trị biểu thức: S =
2
1
x x
(4)ườ ế ấ
Bài 44: Tìm tất số nguyên k để pt : 2x2 + (3k – 1)x -3 = ; 6x2 – (2k – 3)x -1 = 0 a, Có nghiệm chung
b, Tương đương với
Bài 45: Cho pt bậc hai: 2x2 + 6x + m = 0; với giá trị tham số m, pt có nghiệm phân biệt x
1, x2 thỏa
mãn:
1 2
1 x x x x
Bài 46: Cho biết x1, x2 nghiệm phân biệt khác pt bậc hai: ax2 + bx + c = (a0, a, b, cR ) Hãy lập 1pt bậc có nghiệm là:
1
x 2 x
Bài 47: Cho biết x1, x2 nghiệm phân biệt pt bậc hai: ax2 + bx + c = Hãy viết pt bậc nhận
1 x
2
x làm nghiệm
Bài 48: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + a, CMR pt f(x) = có nghiệm với m
b, Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để pt f(x) = có nghiệm lớn
Bài 49: Cho pt: x2 – (2m + 1)x + m2 + m – = 0 a, Định m để pt có nghiệm âm
b, Định m để pt có nghiệm x1, x2 thỏa 32 50
1 x x
Bài 50: CMR pt: (x +1)(x +3) + m(x + 2)(x + 4) = ln có nghiệm số thực với giá trị tham số m
Bài 51: Cho pt bậc hai: x2 – 6x + m =
Với giá trị tham số m pt có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x13 x23 72
Bài 52: Giả sử a, b hai số khác CMR pt:
x2 + ax + 2b = (1); x2 + bx + 2a = (2) có nghiệm chung nghiệm số cịn lại (1) (2) nghiệm pt: x2 + 2x + ab = 0
Bài 53: Cho hai pt: x2 + ax + bc = (1)
x2 + bx + ac = (2) (a, b, c đôi khác 0) cho biết (1) (2) có nghiệm chung
CMR hai nghiệm lại pt (1) (2) nghiệm pt: x2 + cx + ab =
Bài 54: Cho pt: x2 – (m – 1)x – m2 + m + = 0 a, CMR pt ln có hai nghiệm phân biệt m
b, Với giá trị tham số m biểu thức E = 2 x
x đạt giá trị nhỏ
Bài 55: Cho hai pt: x2 + a
1x + b1 = (1) x2 + a
2x + b2 = (2) Cho biết a1 a2 2(b1 + b2) Cm hai pt cho có nghiệm
Bài 56: Cho pt: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2)
cx2 + 2ax + b = (3) với a, b, c 0 CMR pt phải có nghiệm
Bài 57: Cho pt: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + = 0
a, Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn 1
2
x x b, Lập hệ thức x1 x2 độc lập với m
Bài 58: Cho pt: (m + 2)x2 – 2(m – 1)x + - m = 0
a, Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn hệ thức: x12 x22 x1x2 b, Lập hệ thức x1 x2 không phụ thuộc vào m với m
c, Viết pt bậc hai có nghiệm X1 = 1 1
x x
; X2 = 1 2
(5)ườ ế ấ
Bài 59: Cho pt: x2 – (m + 1)x + m = 0
a, CMR pt có hai nghiệm x1 , x2 m
b, Với giá trị tham số m biểu thức E = 2 x
x đạt giá trị nhỏ
Bài 60: Cho pt: (a – 3)x2 – 2(a - 1)x + a - = 0 a, Giải pt a = 13
b, Xác định a để pt có hai nghiệm phân biệt
Bài 61:
Cho pt bậc hai: 2x2 – (2m - 1)x + m - = 0 a, CMR pt ln có nghiệm m
b, Xác định m để pt có nghiệm kép Tính nghiệm đó?
c, Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2 <
d, Trong trường hợp pt có hai nghiệm phân biệt x1,x2 , lập hệ thức x1,x2 khơng có m
Bài 62: Cho pt x2 – (2m - 1)x + m - = 0 a, CMR pt ln có nghiệm m
b, Xác định m để pt có nghiệm đối
Bài 63: Cho pt: x2 + ax + b = Xác định a, b để pt có nghiệm phân biệt thỏa mãn:
35 3
2
x x
x x Tìm nghiệm
Bai 64: Giả sử pt: x2 + ax + b = (a, b, c 0) Có nghiệm phân biệt có nghiệm dương x1 pt bậc 2: dx2 + bt + a = có nghiệm phân biệt có t1 > thỏa mãn x1 + t1
Bài 65: Cho pt: ax2 + bx + c = (1)
cx2 + bx + a = (2) (a, b, c 0)
CMR: Nếu (1) có nghiệm dương x1, x2 (2) có nghiệm dương x3, x4 ngồi nghiệm thoả mãn x1 + x2 + x3 + x4
Bài 66: a, Không giải pt, tính hiệu lập phương nghiệm lớn nghiệm nhỏ pt: x2 -
4 85 x +
16 =
b, Với giá trị số nguyên a, nghiệm pt: ax2 + (2a – 1)x + a – = số hữu tỉ.
Bài 67: Cho pt: 2x2 - (2m + 1)x + m2 – 9m + 39 = 0. a, Giải pt m =
b, Xác định m để pt có ngiệm phân biệt
c, Xác định m để pt có ngiệm pb mà nghiệm gấp đơi nghiệm cịn lại Tìm nghiệm
Bài 68: Cho pt bậc 2: x2 + ax + b = c Xác định a, b để pt có hai nghiệm a b.
Bài 69:
Cho f(x) = (4m – 3)x2 – 3(m + 1)x + 2(m + 1) a, Khi m = 1; Tìm nghiệm pt: f(x) =
b, Xác định m để f(x) viết dạng bình phương
c, Giả sử pt f(x) = có nghiệm pb x1 , x2 Lập hệ thức x1 x2 không phụ thuộc vào m
Bài 70: Cho x1 , x2 > thỏa mãn hệ thức: x. x y3 y x5 y (1) Hãy tính giá trị biểu thức E =
y xy x
x xy x
2
Bài 71: cho pt: x2 – (2m – 1)x – - m = 0. a, CMR pt ln có nghiệm m
c, Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn:x12x22 10 b, Với giá trị tham số m biểu thức E =
2 x
x đạt giá trị nhỏ
(6)ườ ế ấ
px2 + qx + r = 0.
Có nghiệm chung Chứng minh ta có hệ thức: (pc – ar)2 = (pb – aq)(cq – rb)
Bài 73: Cho pt bậc hai: x2 + ax + b = (1) x2 - cx - d = 0. (2)
Có hệ số a, b, c, d thỏa mãn a(a – c) + c(c – a) + 8(d – b) > CMR hai phương trình cho có hai nghiệm phân biệt
Bài 74: Giả sử phương trình bậc 2: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = có nghiệm nguyên dương CMR a2 + b2 hợp số.
Bài 75: Giả sử pt bậc 2: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = Có nghiệm phân biệt x
1, x2 Xác định m để biểu thức E = x12 x22 10x1x2 đạt giá trị nhỏ Tính minE = ?
Bài 76: Cho biết pt: x2 – (a – 1)x + = có hai nghiệm x
1, x2, xác định a để biểu thức: M = 3x12 + 5x1x2 +
2
x đạt giá trị nhỏ Hãy tìm nghiệm trường hợp M đạt giá trị nhỏ
Bài 77: Cho pt: x2 + px – = (p số lẻ) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 CMR n số tự nhiên xn
1 + x2n x1n1 + x2n1 số nguyên chúng nguyên tố
Bai 78: Cho pt bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
a, CMR với m pt ln có nghiệm Tìm m để pt có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b, Xác định m để pt có nghiệm x = Tính nghiệm số cịn lại
Bài 79: Cho pt bậc hai: x2 – mx + m – = có hai nghiệm x
1, x2 Với giá trị m, biểu thức R =
)
(
3
2
2
2
x x x
x
x x
đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn
Bài 80: Cho a số thực khác – Hãy lập pt bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: 4x1x2 + = 5(x1 + x2) (1)
(x1 – 1)(x2 – 1) = 1
a (2)
Bai 81: Cho a Giả sử x1 x2 nghiệm pt: x2 – ax - 2
1 a = CMR:
1 x +
2
x + dấu đẳng thức xảy nào?
Bài 82: Cho a 0, giả sử x1, x2 nghiệm pt: x2 – ax - 2 a = Tìm giá trị nhỏ biểu thức E =
1 x +
2 x
Bài 83: Cho pt bậc hai: x2 – 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
a, Với giá trị tham số a, pt có nghiệm kép Tính nghiệm kép b, Xác định a để pt có hai nghiệm phân biệt lớn –
Bài 84: Cho pt: x2 – ax + a – = có hai nghiệm x x2
a, Không giải pt, tính giá trị biểu thức: M = 2 2
2 2
1 3
x x x x
x x
b, Tìm giá trị a để P =
2 x
x đạt giá trị nhỏ
Bài 85: Cho pt: x2 – (2m + 1)x + m2 + m – = 0 a, CMR: pt có nghiệm với m
b, CMR: có hệ thức hai nghiệm ko phụ thuộc vào m
Bài 86: Cho pt: ax2 – (ab + 1)x + b = 0
a, CMR: với a, b pt cho có nghiệm b, Muốn cho pt chocó nghiệm
2
(7)ườ ế ấ
Bài 87: Cho pt c
a, CMR pt ln có nghiệm m
b, Tìm biểu thức liên hệ x1, x2 khơng phụ thuộc vào m c, Tìm m để pt (1) có hai nghiệm x1 , x1 thỏa mãn
2
2
1 x x x x
Bài 88: Cho pt (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a, Giải biện luận phương trình (1) theo m
b, Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 * Tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m
* Tìm m cho x1 x2 2
Bài 89: Cho pt: x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 (1) a, CMR pt ln có nghiệm m
b, Xác định m để pt có hai nghiệm không âm
c, Gọi x1, x2 hai nghiệm xác định m để biểu thức E = (x1 + 1)x2 đạt giá trị lớn
Bài 90: Cho pt: x3 – 2x2 + (m + 1)x – m = 0 a, CMR pt ln có nghiệm x = m
b, Giải biện luận phương trình dã cho theo m
Bài 91: Cho pt : x2 + 2(m + 1)x – 4m - 12 = 0 (1) a, CMR pt ln có nghiệm m
b, Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn:x1 x22
Bài 92: Gọi x1, x2 hai nghiệm x2 - 3x + a = Gọi t1, t2 hai nghiệm t2 – 12t + b = Cho biết
2
1
2
t t t x x x
Tính a b.
Bài 93: CMR pt bậc ba : x3 + bx2 + cx + d = (a0) có ba nghiệm x
1, x2, x3 ta có hệ thức:
a d x x x
a c x x x x x x
a b x x x
3
1 3 2
3
Bài 94: GPT: x3 - 2x2 - x + = 0
Bài 95: GPT: x4 - 3x3 + 6x2 + 3x + = 0
Bài 96: Cho pt bậc ba x3 – (2m – 1)x2 +(m2 – 3m – 2)x + 2m2 + 2m = 0 a, CMR pt có nghiệm x = -2 m
b, Xác định m để pt (1) có nghiệm
c, Xác định m để pt (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 cho biểu thức S = 32 2
1 x x x đạt giá trị nhỏ
Bài 97: a, Tính (6x2 + x – 1)(x – 2) b, Giải pt:
6
1 2
x
x x x
x
Bài 98: Giải pt: x 24 x 34 1 Bài 99: Cho pt bậc 3:
x3 – (2m + 1)x2 - (3m 2 – 6m + 2)x +3m2 – 4m + = (1)
(8)ườ ế ấ
b, Xác định m để biểu thức:
E = x1 + x2 x3 đạt giá trị nhỏ Tìm E nghiệm x1, x2, x3 tương ứng Bài 100:
a, Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp cho lập phương số tổng lập phương ba số b, Có thể tìm số tự nhiên liên tiếp cho lập phương số tổng lập phương số
Bài 102: cho phương trình bậc ba: x3 – (4a + 3)x2 +4a(a + 2)x -4(a2 – 1) = (1) a, Giải pt a =