PP giai HPT

Ph¹m Kim Chung.[r]

(1)

Hệ phơng trình

I Hệ phơng trình dạng hoán vị vòng quanh " Bài ( Đề thi HSG quốc gia năm 1994 )

Giải hệ phơng trình :

( )

3

3 ln

x x x x y

y y y y z

z z z z x

⎧ + − + − + =

⎪⎪ + − + − + =

⎨ ⎪

+ − + − + =

⎪⎩ Gi¶i :

XÐt hµm sè : f( )t = + − +t3 3t ln(t2− +t 1) Ta cã : ( )

2

f' 0, R

1 t

t t x

t t −

= + + > ∀ ∈

− +

Vậy hàm số f( )t đồng biến R Ta viết lại hệ ph−ơng trình nh− sau : ( )

( ) ( ) f

f f

x y y z z x

⎧ =

⎪ =

⎨

⎪ =

⎩

Khơng tính tổng qt, giả sử : x=min{x y z, , } Lúc :

x≤ ⇒y f( )x ≤ f( )y ⇒ ≤ ⇒y z f( )y ≤ f( )z ⇒ ≤z x Hay : x≤ ≤ ≤y z x ⇒ = =x y z

Với : x= =y z , xét phơng trình : x3+2x− +3 ln(x2 − + =x 1)

Do hàm số : ϕ( )x =x3+2x− +3 ln(x2− +x 1) đồng biến R nên pt có nghiệm : x=1 Vậy hệ ph−ơng trình có nghiệm : x= = =y z

" Bài toán tổng quát Xét hệ phơng trình có dạng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2

1

f g

n n

n

x x

−

⎧ =

⎪ =

⎪⎪ ⎨

⎪ =

⎪

= ⎪⎩

Nếu hai hàm số f g tăng tập A (x x1, 2 ,xn) nghiệm hệ ph−ơng trình , đó xi∈A, ∀ =i 1, 2, ,n x1=x2 = = xn

Chứng minh :

Không tính tổng quát gi¶ sư : x1=min{x x1, 2 ,xn}

Lúc ta có : fx1≤x2⇒ ( )x1 ≤ f( )x2 ⇒g( ) ( )x2 ≤g x3 ⇒x2 ≤x3 ⇒xn ≤x1 Vậy : x1≤x2 ≤ ≤xn ≤x1

Từ suy : x =x = = x

(2)

" Bµi

Giải hệ phơng trình :

3

2

1 4

x x

y y

z z

y

z

x

+

⎧⎛ ⎞

⎪⎜ ⎟ = ⎝ ⎠

⎪ ⎪

⎪⎛ ⎞ = ⎨⎜ ⎟⎝ ⎠

⎪ ⎪

⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ = ⎪⎝ ⎠ ⎩ Gi¶i:

Vì vế trái ph−ơng trình hệ d−ơng nên hệ có nghiệm : x y z, , >0 Xét hàm số : ( )

3

2

1 f

4

t t

t

+

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠ , ta cã : ( ) ( )( )

3

2

f' ln 0,

4

t t

t t t t

+

⎛ ⎞

= − + ⎜ ⎟ < ∀ >

⎝ ⎠

VËy hµm sè f( )t nghịch biến khoảng (0; + )

Khụng mt tính tổng quát, giả sử : x=min{x y z, , } Lúc :

x≤ ⇒y f( )x ≥ f( )y ⇒ ≥ ⇒y z f( )y ≤ f z( )⇒ ≤z x ⇒ = ⇒x z f( )x = f z( )⇒ =y x VËy hÖ phơng trình có nghiệm :

2 x= = =y z

" Bài toán tổng quát Xét hệ phơng trình có dạng (với n lỴ ): ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2

1

f g

n n

n

x x

−

⎧ =

⎪ =

⎪⎪ ⎨

⎪ =

⎪

= ⎪⎩

Nếu hàm số f giảm tập A , g tăng A (x x1, 2 ,xn) nghiệm hệ ph−ơng trình , đó xi∈A, ∀ =i 1, 2, ,n x1=x2 = = xn với n lẻ

Chøng minh :

Khơng tính tổng qt giả sử : x1=min{x x1, 2 ,xn} Lúc ta có :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 f f g g 3 n f n f 1

x ≤x ⇒ x ≥ x ⇒ x ≥ x ⇒x ≥x ⇒x ≤x ⇒ x ≥ x ⇒x ≥x ⇒ x1 =x2

Từ suy : x1=x2 = = xn " Bài

Gi¶i hƯ phơng trình :

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1

x y

y z

z t

t x

⎧ − =

⎪

⎪ − =

⎪ ⎨

− =

⎪ ⎪

− =

(3)

Gi¶i :

Vì vế trái ph−ơng trình hệ khơng âm nên ph−ơng có nghiệm : , , ,x y z t≥0 Xét hàm số : f( ) (s = −s 1)2, ta có : f'( ) (s =2 s−1) Do hàm số tăng khoảng (1;+ ∞) giảm [ ]0; ( Do f(s) liên tục R )

Kh«ng mÊt tÝnh tỉng quát, giả sử : x=min{x y z t, , , }

+ Nếu x∈(1;+ ∞ ⇒) x y z t, , , ∈(1;+ ∞), theo tốn tổng quát 1, hệ có nghiệm : x= = = = +y z t

+ Nếu x∈[ ]0; ⇒ ≤0 f( )x ≤ ⇒ ≤1 2y≤1, hay y∈[ ]0;1 , t−ơng tự ⇒z t, ∈[ ]0; Vậy x y z t, , , ∈[ ]0; Do ta có :

( ) ( ) ( ) ( )

f f f f z

x≤ ⇒y x ≥ y ⇒ ≥ ⇒y z y ≤ ⇒ ≤z x ⇒ =x z Víi x=z ⇒f( )x = f z( )⇒ =y t

Lúc hệ ph−ơng trình trở thành : ( ) ( )

( )2

2

1

x y

y x

x y

⎧ − =

⎧ − = ⎪

⎪ ⇔

⎨ ⎨ ⎡ =

− =

⎪ ⎪ ⎢

⎩ ⎩ ⎣ = −

2

x y ⇔ = = −

Vậy hệ ph−ơng trình cho có nghiệm : x= = = = +y z t x= = −y " Bài toán tổng quát Xét hệ ph−ơng trình có dạng (với n chẵn ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2

1

f g

n n

n

x x

−

⎧ =

⎪ =

⎪⎪ ⎨

⎪ =

⎪

= ⎪⎩

Nếu hàm số f giảm tập A , g tăng A (x x1, 2 ,xn) nghiệm hệ ph−ơng trình , đó xi∈A, ∀ =i 1, 2, ,n

2

n n

x x x

−

= = = ⎡

⎢ = = =

⎣ víi n ch½n

Chøng minh :

Khơng tính tổng qt giả sử : x1=min{x x1, 2 ,xn} Lúc ta có :

( ) ( ) ( ) ( )

1 3

2

f f g g

x x x x x x

x x

≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥

⇒ ≥

( )2 ( )4 ( ) ( )3

3

f f g g

x x x x

x x

⇒ ≤ ⇒ ≤

⇒ ≤

( 2) ( ) ( 1) ( )1

1

f f g g

n n n

n

x x x x

x x

− −

−

⇒ ≤ ⇒ ≤

⇒ ≤

( 1) ( )1 ( ) ( )2

f xn− f x g xn g x xn x

⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥

(4)

PhÇn bi tập ứng dụng phơng pháp

) Giải hệ phơng trình :

3

2

x x x y

y y y z

z z z x

⎧ − + − =

⎪ − + − =

⎨

⎪ − + − =

⎩

) Chứng minh với aR, hệ phơng trình :

2

x y y a

y z z a

z x x a

⎧ = + + ⎪ = + + ⎨

⎪ = + + ⎩

cã mét nghiÖm nhÊt

) Cho hệ phơng trình :

2 2

x y a y z a z x a ⎧ = + ⎪ = + ⎨

⎪ = + ⎩

Tìm a để hệ ph−ơng trình có nghiệm với dạng x= =y z ) Giải hệ ph−ơng trình :

3

1

3

2

3

99 99 100

3

100 100

3 2

x x x

⎧ − + =

⎪ − + =

⎪⎪ ⎨

⎪ − + =

⎪

⎪ − + =

⎩

) Cho n số nguyên lớn Tìm a để hệ ph−ơng trình :

2

1 2

2

2 3

2

1

2

1 1

4

n n n n

n

x x x ax

−

⎧ = − +

⎪ = − +

⎪⎪ ⎨

⎪ = − +

⎪

⎪ = − +

⎩

cã mét nghiƯm nhÊt

) Cho n lµ số nguyên lớn a0 Chứng minh hệ phơng trình :

2

1 2

2

2 3

2

1

2

1 1

4

n n n n

n

x x x ax

−

⎧ = − +

⎪ = − +

⎪⎪ ⎨

⎪ = − +

⎪

⎪ = − +

⎩

cã nghiÖm

) Chứng minh với aR, hệ phơng trình :

2

x y y y a

y z z z a

z x x x a

⎧ = + + +

⎪ = + + +

⎨

⎪ = + + + ⎩

(5)

Ii Hệ phơng trình giải đợc phơng pháp lợng giác hoá " 1 Giải hệ phơng trình :

( )( )

2

1 1 (1)

1 (2)

x y y x

x y

⎧ − + − =

⎪ ⎨

− + =

Giải. ĐK :

2

1

x x

y y

⎧ ≤ ⎧ − ≥ ⇔⎪

⎨ ⎨ ≤

− ≥ ⎪

⎩ ⎩

Đặt x=cos ; y=cosα β với α β, ∈[0;π], hệ ph−ơng trình :

( )( )

cos sin cos sin =1

2

1 cos cos

sin cos sin cos

π

α β β α α β

α β α α α α

⎧ +

⎧ ⎪ + =

⇔⎨ ⇔⎨

− + =

⎩ ⎪⎩ =

Đặt

2

1 sin cos , t sin cos

2 t

t= α− α ≤ ⇒ α α = −

Khi ta có :

2

1

2 t

t− − − = ⇔ + − ⇒ =t t t

Víi t=1, ta cã : 2sin 0

4

x y

π π

α α β ⎧ =

⎛ − ⎞

= ⇒ = ⇒ = ⇒ ⎨

⎜ ⎟ =

⎝ ⎠ ⎩

Nếu : x ≤a a( >0), ta đặt x=acosα, vi [0;]

" 2 Giải hệ phơng trình : ( )( ) ( ) ( )

2

1

x y xy

x y

⎧ − + =

⎪ ⎨

+ = ⎪⎩

Gi¶i Do 2 [ ]

1 , 1;

x +y = ⇒x y∈ − Đặt x=sin , yα =cosα với α∈[0; 2π] Khi (1) ⇔ sin( α−cosα)(1 2sin2+ α)=

1

2 2sin sin2

4

π

α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ ⎜ − ⎟ ⎜ + ⎟=

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4sin sin2 sin6

π π

α α

⎛ ⎞⎛ ⎞

⇔ ⎜ − ⎟⎜ + ⎟=

⎝ ⎠⎝ ⎠

8sin sin cos

4 12 12

π π π

α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟=

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4cos 12 cos3 cos

π π π

α ⎡ α ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ ⎜ + ⎟⎢ − ⎜ − ⎟⎥=

⎝ ⎠⎣ ⎝ ⎠⎦

2cos 4cos cos

12 12

π π π

α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ ⎜ − ⎟− ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟=

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2cos cos cos

12 12

π π π

α ⎡ α α ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ ⎜ − ⎟− ⎢ ⎜ − ⎟+ ⎜ − ⎟⎥=

⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 2cos

π α

⎛ ⎞

⇔ − ⎜ − ⎟=

⎝ ⎠

( )

0

35 120

3 cos

4 65 120

k

k R k

α π

α

⎡ = − +

⎛ − ⎞= − ⇔ ∈

⎢

⎜ ⎟ = +

⎝ ⎠ ⎣

Từ suy hệ có nghiệm (x y, )={ sin65 , cos65 ,( 0) (−sin35 , cos35 , sin85 , cos850 0) ( 0),

( 0) ( 0) ( 0)

sin5 , cos5 , -sin25 , cos25 , sin305 , cos305 }

(6)

Nếu : x2+y2 =a a( >0), ta đặt x= asin ,α y= acosα, với α∈[0; 2π]

" 3 Giải hệ phơng trình :

2 2

x x y y y y z z z z x x

⎧ + =

⎪ + =

⎨

⎪ + =

⎩

Giải : Từ ph−ơng trình hệ , suy : , ,x y z≠ ±1 Do ta có :

2

(1)

2

(2)

2

(3)

x y

x y z

y z x

z ⎧

=

⎪ −

⎪ ⎪ =

⎨ −

⎪ ⎪

= ⎪

Đặt Đặt x=tg với ; 2

π π α∈ −⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ⎠ (4) vµ cho tg , tg2 , tg4α α α (5)

Tơng tự Hệ phơng tr×nh cã nghiƯm , , , 0, 1, ,

7 7

k k k

x tg π y tg π z tg π k

⎛ = = = ⎞ = ± ±

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Víi mäi sè thùc x cã mét sè α víi ;

2

π π α∈ −⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ⎠ chox=tgα

2

3

x z x z z y x y x x z y z y y

⎧ − − + =

⎪ − − + =

⎨

⎪ − − + =

⎩

Gi¶i ViÕt lại hệ phơng trình dới dạng :

( )

2

1 3

x z z z

y x x x

z y y y

⎧ − = −

⎪⎪ − = −

⎨ ⎪

− = −

⎪⎩

(I)

Từ đó, dễ thấy (x y z, , ) nghiệm hệ cho phải có x, y, z

≠ ± Bëi thÕ :

(I) ⇔

3 3

3

(1)

3

(2)

3

(3)

z z x

z x x y

x y y z

y ⎧ = −

⎪ −

⎪

⎪ = −

⎨ −

⎪

⎪ = −

⎪ −

⎩

(II)

Đặt x=tg với ; 2

π α∈ −⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ⎠ (4) vµ cho

1 tg , tg3 , tg9

3

α α α ≠ ± (5)

(7)

Từ dễ dàng suy (x y z, , ) nghiệm (II) y=tg3 ,α z=tg9α, x=tgα , với α đ−ợc xác định (4), (5) tgα =tg27α (6)

L¹i cã : ( )6 ⇔26α =kπ(k∈Z)

Vì α thoả mãn đồng thời (4) (6)

26 k

= với k nguyên thoả m·n :

12 k 12

− ≤ ≤ Dễ dàng kiểm tra đ−ợc rằng, tất giá trị α đ−ợc xác định nh− vừa nêu thoả mãn (5)

Vậy tóm lại hệ ph−ơng trình cho có tất 25 nghiệm, :

3

, , , 0, 1, 12

26 26 26

k k k

x tg π y tg π z tg π k

⎛ = = = ⎞ = ± ±

⎜ ⎟

⎝ ⎠

" 5 Gi¶i hƯ phơng trình :

1 1

3

1

x y z

xy yz zx

⎧ ⎛ + ⎞= ⎛ + ⎞= ⎛ + ⎞ ⎪ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠

⎨ ⎝ ⎠

⎪ + + = ⎩

Gi¶i. NhËn xÐt : xyz≠0; , ,x y z cïng dÊu NÕu (x y z, , ) nghiệm hệ

( x, y, z) nghiệm hệ, nên tìm nghiệm , ,x y z dơng Đặt x=tg ; y=tg ; z=tg (0< , , <900)

HÖ ( )

( )

1 1

3 tg tg tg

tg tg tg

tg tg tg tg tg tg

α β γ

α β β γ γ α

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + = +

⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎨ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎪ + + =

⎩ (1)

2 2

1 tg tg tg

3

tg tg tg

α β γ

⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞

⇔ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

sin2α sin2β sin2γ

⇔ = =

Tõ (2) suy : tgγ(tgα+tgβ)= −1 tg tgβ α tg (tg tg ) tg( ) tg tg

co γ α β α β

β α +

⇒ = = +

−

( )

tg tg

2

π γ α β α β γ π

⎛ ⎞

⇒ ⎜ − ⎟= + ⇔ + + =

⎝ ⎠

Do

⎧ = =

⎪⎪ ⎨

⎪ < < + + = ⎪⎩

3

sin2 sin2 sin2

0 , , ;

2

α β γ

π π

α β γ α β

nên ,2 ,2 góc tam giác có số đo cạnh 3,4,5

Do tam giác có cạnh 3,4,5 tam giác vuông nên 0

2 =90 ⇒ γ =45 ⇒ = γ =z tg

2

2tg 2x

tg2 x

1 tg x

α

α = = ⇔ = ⇒ =

− α −

2

2tg 2y

tg2 y

1 tg y

β

β = = ⇔ = ⇒ =

(8)

Tun tËp c¸c bi toán hay

II Hệ phơng trình ẩn " 1 Giải hệ phơng trình :

4

2

698

(1) 81

3 4 (2) x y

x y xy x y

⎧ + =

⎪ ⎨

⎪ + + − − + = ⎩

Gi¶i : Giả sử hệ phơng trình có nghiệm Ta thấy (2) tơng đơng với :

( ) ( )2

3

x + y− x+ y− =

Để ph−ơng trình có nghiệm x ta phải có :

( )2 ( )2

3

y y y

Δ = − − − ≥ ⇔ ≤ ≤ (3)

MỈt khác phơng trình (2) tơng đơng với : y2+(x4)y+x2 −3x+ =4

Để ph−ơng trình có nghiệm y ta phải có :

( )2 ( 2 )

4 4 0

3

x x x x

Δ = − − − + ≥ ⇔ ≤ ≤ (4) Tõ (3) vµ (4) ta cã : 256 49 697 698

81 81 81

x +y ≤ + = < , không thoả mãn (1) Vậy hệ ph−ơng trình cho vơ nghiệm

) 2 ( §Ị thi HSG Qc Gia năm 1995-1996.Bảng A )

1

3

1

7

x

x y y

x y

⎧ ⎛ ⎞

+ =

⎪ ⎜ + ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎨

⎛ ⎞

⎪ − =

⎜ ⎟

⎪ ⎝ + ⎠

⎩

" 3 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996.Bảng A )

H·y biƯn ln sè nghiƯm thùc cđa hƯ phơng trình với ẩn x, y :

3

2

x y y a

x y xy y b

⎧ − = ⎨

+ + =

Giải Điều kiện có nghĩa hệ : x, y ∈R

ViÕt l¹i hƯ d−íi d¹ng :

( ) ( )

3

2 2

y x y a

y x y b

⎧ − =

⎪ ⎨

+ =

Xét trờng hợp sau :

è Tr−ờng hợp : b=0 Khi :

( )

2 y

y x

= ⎧ ⇔ ⎨ = −

⎩ : Hệ cho ⎡ ⇔ ⎢ ⎣

( ) ( )

3

0

y

I

y x y a

y x

II

y x y a

= ⎧⎪

⎨ − =

⎪⎩ = − ⎧⎪

⎨ − =

(9)

Cã (II) 4 2

y x

x a = − ⎧

⇔ ⎨− = ⎩

Từ : + Nếu a≠0 (I) (II) vô nghiệm, dẫn đến hệ vô nghiệm

+ Nếu a=0 (I) có vơ số nghiệm dạng (x∈R y, =0), cịn (II) có nghiệm (x=0, y=0) Vì hệ cho có vơ số nghiệm

è Tr−ờng hợp : b≠0 Khi đó, từ (1) (2) dễ thấy , (x y, ) nghiệm hệ cho phải có x, y >0 Vì ( )2 x b y ( )3

y

⇔ =

Thế (3) vào (1) ta đợc :

3

b

y y y a

y

⎡⎛ ⎞ ⎤

⎢⎜ − ⎟ − ⎥=

⎜ ⎟

⎢⎝ ⎠

Đặt y = >t Từ (4) ta có phơng trình sau :

( ) ( )

3

2

0 b

t t t a t b t a t

t

⎡⎛ ⎞ ⎤

⎢⎜ − ⎟ − ⎥= ⇔ − − + =

⎢⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

Xét hàm số : f( )t = −t9 (b −t3)3+a t2 xác định [0;+ ∞) có : ( ) 8 ( 3)2 2 2 [ )

f' t =9t +9 b −t t +a ≥0, ∀ ∈t 0;+ ∞

Suy hàm số f( )t đồng biến [0;+ ∞), ph−ơng trình (5) có tối đa nghiệm [0;+ ∞) Mà f 0( )= −b3 <0 f( )3 b = b3+ b a2 >0, nên ph−ơng trình (5) có

nghiƯm, kÝ hiƯu lµ t0 (0; + ∞) Suy hƯ cã nhÊt nghiÖm 02 02

0

, b

x t y t

t

⎛ ⎞

= − =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Vậy tóm lại : + Nếu a= =b hệ cho có vơ số nghiệm

` + Nếu a tuỳ ý , b≠0 hệ cho có nghiệm + Nếu a≠0,b=0 hệ cho vơ nghiệm

" 4 Tìm tất giá trị m để hệ ph−ơng trình :

2

2x xy y

x xy y m

⎧ + − =

⎨

+ + =

⎩ (1) cã nghiƯm

Gi¶i + Víi y=0 hƯ trë thµnh

2

2x

x m

⎧ = ⎨

=

⎩ Hệ có nghiệm m= + Với y≠0, đặt x t

y = , hƯ trë thµnh

2

1

2

1 t t

y m t t

y ⎧ + − = ⎪⎪

⎨

⎪ + + = ⎪⎩

⇔

( )

2

1

2

(2)

1

t t

y

t t m t t

⎧ + − = ⎪

⎨

⎪ + + = + −

⎩

(10)

XÐt hÖ (2), tõ 2t2 t 12 y

+ − = suy

1

2 1

2 t t t

t < − ⎡ ⎢ + − > ⇔

⎢ > ⎢⎣

Do hệ (2) có nghiệm ( )t y,

2

1

2

t t m

t t + + ⇔ =

+ − cã nghiÖm ( )

, ,

2 t∈ −∞ − ∪⎛⎜ + ∞⎞⎟

⎝ ⎠ XÐt hµm sè ( )

2

1 f

2

t t t

t t + + =

+ − trªn kho¶ng

( )

, ,

2

⎛ ⎞

−∞ − ∪⎜ + ∞⎟

⎝ ⎠ Ta cã : ( ) ( )

2

6

f'

2

t t t

t t + + = −

+ − , ( )

3

f'

3

t t

t

⎡ = − − = ⇔ ⎢

= − + ⎢⎣

Lập bảng biến thiên :

t − −3 − −3

−∞ f’(t) - + + -

f(t)

2 +∞

14 28 11

+ +

−∞ −∞

+∞

1

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để hệ có nghiệm : 14 28 11 m≥ +

+

" 5 Giải hệ phơng tr×nh : ( ) ( )

( ) ( )

3

2 1

2

x y

x y

⎧ + =

⎪

⎨ − =

Giải Rõ ràng

2

y= hƯ v« nghiƯm Víi

2

y≠ , tõ (2) suy 33 x

y =

− , thay vµo (1) ta cã :

( )

( 3 )3

27

y y

+ =

− (3) XÐt hµm sè : ( )

( )

( 3 )3

27

f

2 y y

y +

= −

− , ta cã : ( )

( )

3

81

f'

2

y y

y

+ +

= −

− Suy : f'( )y = ⇔ = −0 y

Ta có bảng biến thiên :

y −∞ -1 +∞

f’(y) + - -

f (y)

−∞ −∞

+∞

−∞

-1

2

3

(11)

Nhìn vào bảng biến thiên suy pt(3) nghiệm khoảng ( ; 1) vµ ( )

1;

−

Phơng trình có nghiệm y= nghiệm khoảng (3 )

2,+ Dễ thấy y=2 nghiệm thuộc khoảng (3 )

2,+ ∞

Vậy hệ ph−ơng trình cho có nghiệm : (− −1; 1) 1; 2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

) 6 ( §Ị thi HSG Qc Gia năm 2004 Bảng B )

Giải hệ phơng tr×nh sau :

3

2

3 49

8 17

x xy

x xy y y x

⎧ + = − ⎨

− + = −

⎩

" 7 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1998-1999 Bảng A ) Giải hệ phơng trình : ( )

( )

2 2

3

1

4 ln

x y x y x y

y x y x

− − + − +

⎧ + = +

⎪ ⎨

+ + + + =

⎪⎩

Gi¶i ĐK: y2+2x>0

Đặt t=2xy phơng trình thø nhÊt cđa hƯ trë thµnh :

( )

1 1

1

5

t t t t t

t

+

− + + +

+ = + ⇔ = (1)

Vế trái hàm nghịch biến, vế phải hàm đồng biến nên t=1 nghiệm (1)

VËy 1

2 y

x = =y x + vào phơng trình thứ hai hệ ta đợc :

( ) ( )

3

2 ln

y + y+ + y + + =y

Vế trái hàm đồng biến y =-1 nghiệm (2) Đáp số : x=0, y= −1

" 8 ( §Ị thi HSG Quốc Gia năm 2000-2001 Bảng B )

2

x y x y

⎧ + + + =

⎪ ⎨

+ + =

Giải : ĐK có nghĩa hệ phơng trình : , 2{ x x}≥ −y

Đặt : 7x+ =y a 2x+ =y b Từ hệ ph−ơng trình cho ta có hệ : ( )

( )

5

2

a b b x y ⎧ + = ⎪

⎨ + − = ⎪⎩

NhËn thÊy : a2−b2 =5x KÕt hỵp víi (1) suy : (5 )

x

b= − , thÕ vµo (2) ta ®−ỵc : ( )

5

2

2 x

x y x y

− + − = ⇔ = −

ThÕ (3) vµo (2) ta cã : 2 11 77 y− + − = ⇒ =y y −

(12)

) 9 Cho hệ phơng trình Èn x, y :

( )

( ) ( )

2

8 2 4

3 3

1

k x x x yx

k x x x k x y x

⎧ + + + =

⎪ ⎨

⎪ + + + + − =

⎩

1 Xác định k để hệ ph−ơng trình có nghiệm Giải hệ ph−ơng trình với k = 16

" 10 ( §Ị thi HSG Qc Gia năm 1995-1996 Bảng A )

1

3

1

7

x

x y y

x y

⎧ ⎛ ⎞

+ =

⎪ ⎜ + ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎨

⎛ ⎞

⎪ − =

⎜ ⎟

⎪ ⎝ + ⎠

Giải ĐK có nghĩa hệ : x≥0, y≥0 vµ x2+y2 ≠0

Dễ thấy , ( )x y, nghiệm hệ cho phải có x >0, y>0 Do :

Hệ cho

1

3

1

7

x y x

x y y

⎧⎛ + ⎞= ⎪⎜ + ⎟

⎝ ⎠

⎪ ⇔ ⎨

⎛ ⎞

⎪ −⎜ ⎟= ⎪⎝ + ⎠ ⎩

⇔

( ) ( )

1 2

1

3

1 2

1

3

x y x y

x y

⎧

= −

⎪ + ⎪ ⎨

⎪ = +

⎪ ⎩ Nh©n (1) víi (2) theo vÕ ta ®−ỵc :

( )( ) ( )( )

1

21 7

3 xy x y y x y x y x y x

x+y = x− y ⇔ = + − ⇔ − + = ⇔ = ( x >0, y>0) Thay vào (2) giải ta đợc : 11 7, 22

21

x= + y= + Thö lại ta thấy thoả mÃn yêu cầu bt

Iii Hệ phơng trình ẩn

) 1 ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng NgÃi 1995-1996) Giải hệ phơng tr×nh :

3

6 12

y x x

z y y

x z z

⎧ − + − =

⎪ − + − = ⎨

⎪ − + − =

) 4 Giải hệ phơng trình :

2

12 48 64

x x y

y y z

z z x

⎧ − + =

⎪ − + =

⎨

⎪ − + =

19 2001

1890 1890 1890

x y z z

y z x x

z x y y

⎧ + = +

⎪ + = +

⎨

⎪ + = +

⎩

(13)

Giả sử (x y z, , ) nghiệm hệ ph−ơng trình (− − −x, y, z) nghiệm hệ ph−ơng trình , nên khơng tính tổng qt ta giả thiết : có hai ba số , ,x y z khơng âm Ví dụ x≥0, y≥0 Từ ph−ơng trình thứ nht ta suy z0

Mặt khác 0< ≤u th× 1890+u2000> ≥2 u18+u4

NÕu u>1 th× 1890+u2000 > +1 u2000>2 u2000 =2.u1000 >u18+u4

Do 1890u u+ 2001>u19 +u5 với u>0

Bëi vËy nÕu céng tõng vÕ cña HPT ta suy x= = =y z 0.®pcm

) 6 Tìm điều kiện cần đủ m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm :

( )

2

x m y y my

y m z z mz

z m x x mx

⎧ = + − +

⎪ = + − +

⎨

⎪ = + − +

⎩

" 7. ( §Ị thi HSG Quốc Gia năm 2004 Bảng A )

Giải hệ phơng trình sau :

( ) ( ) ( )

2

2 30 16 x x y z y y z x z z x y

⎧ + − =

⎪⎪ + − =

⎨ ⎪

+ − =

⎪⎩ " 8 Giải hệ phơng trình :

( ) ( )

2

1

x x y x

y y z y

z z x z

⎧ + = − +

⎪⎪ + = − +

⎨ ⎪

+ = − +

⎪⎩

Giải Viết lại hệ cho d−ới dạng :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

2 f

x x x y x g y

y y y z hay y g z

z z z x z g x

⎧ + + = + ⎧ =

⎪ + + = + ⎪ =

⎨ ⎨

⎪ + + = + ⎪ =

⎩ ⎩

Trong f( )t = + +t3 t2 2t g( )t =2t3+1 Nhận xét g(t), f(t) hàm đồng biến R : f'( )t =3t2+ + >2t 0,g( )t =6t2 ≥0, ∀ ∈t R

Suy hệ cho t−ơng đ−ơng với hệ :

( ) ( )4

h

x y z x

= = ⎧

⎨ =

⎩

Trong h( )t = − − +t3 t2 2t Nhận xét h( )t liên tục R : h( )− <2 0, h 0( )>0,

( ) ( )

h <0, h >0 nên ph−ơng trình h( )t =0 có nghiệm phân biệt nằm (−2; 2)

Đặt x=2cos ,u u∈(0;π) Khi sinu≠0 (4) có dạng : ( )

3

2cos , 0;

8cos 4cos 4cos

x y z u u

u u u

π

⎧ = = = ∈

⎨ − − + =

⎩ hay

( )

2cos , 0;

sin 8cos 4cos 4cos

x y z u u

u u u u

π

⎧ = = = ∈

⎪

⎨ − − + =

⎪⎩

Hay 2cos , (0; )

sin4 sin3

x y z u u

u u

π

⎧ = = = ∈

⎨

=

(14)

Gi¶i hƯ phơng trình (5) ta thu đợc ; ;

7 7

u∈ ⎨⎧π π π⎫⎬

⎩ ⎭ vµ

( )

2cos , 0;

3

; ;

7 7

x y z u u

u

π

π π π

⎧ = = = ∈

⎪

⎨ ∈ ⎨⎧ ⎫ ⎬

⎪

" 9 Tìm tất ba số dơng (x y z, , ) thoả mÃn hệ phơng trình :

2004 6

2 2

x y z

y z x

z x y

⎧ = +

⎪ = +

⎨

⎪ = +

⎩

Gi¶i :

Giả sử (x y z, , ) ba số d−ơng thoả mãn hệ PT cho Khơng tính tổng qt , giả sử 0< ≤ ≤x y z Nh− :

2004 6 6

2

x y z x x

z x y z z

⎧ = + ≥ +

⎨

= + ≤ + ⎩

2004 2004

1

x

x x

x y z z

z z

≥

⎧ ≥ ⎧

⇒⎨ ⇒⎨ ≤ ⇒ = = =

≤ ⎩

⎩

Đảo lại, dễ thấy x= = =y z ba số d−ơng thoả mãn u cầu tốn ) 10 Tìm điều kiện m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm :

2 2

2

1

x y z xy yz zx y z yz

x z xz m

⎧ + − + − − =

⎪ + + = ⎨

⎪ + + =

5

2

x x x y

y y y z z z z x

⎧ − + =

⎪ − + =

⎨

⎪ − +⎩ = ) 12 Giải hệ phơng trình :

( )

3 2

3 3

x y y y

y z z z

z x x x

⎧ + + =

⎪⎪ + + =

⎨ ⎪

+ + =

⎪⎩

" 13 T×m tÊt số thực a cho hệ phơng trình sau cã nghiÖm thùc x, y, z :

1 1

x y z a

⎧ − + − + − = − ⎪

⎨

+ + + + + = +

Giải ĐK: x1, y1, z1

Hệ phơng trình tơng đơng với hệ phơng trình :

( ) ( ) ( )

1 1 1

x x y y z z a

x x y y z z

⎧ − + + + − + + + − + + =

⎪ ⎨

+ − − + + − + + =

Đặt u= x− +1 x+1 ; v= y− +1 y+1 ; s= z− +1 z+1

Do x≥1, y≥1, z≥1 nªn u 2,v 2,s Ngợc lại u 2,v 2,s≥ 2, ta cã :

1 2

1

x x

u

x x

+ − − = =

+ + −

2

1

2

x u x u

u u

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ + = ⎜ + ⎟⇒ = ⎜ + ⎟≥

(15)

Do tốn ta đ−a tốn t−ơng đ−ơng : Tìm tất số thực a cho hệ ph−ơng trình sau có nghiệm u≥ 2, v≥ 2, s≥ :

( )

2

1

1 1

1 u v s a

u v s + + = ⎧

⎪ ⎨

+ + = ⎪⎩

+ Điều kiện cần : Giả sử hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm Theo bất đẳng thức Bunhia ta có :

( ) 1

2

a u v s a

u v s

⎛ ⎞

= + + ⎜ + + ⎟≥ ⇒ ≥

⎝ ⎠

+ Điều kiện đủ : Giả sử

2

a≥ Chúng ta chứng minh hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm Lấy s=3 ( thoả mãn s≥ 2) Khi (1) t−ơng đ−ơng với : ( )

2

3

2 u v a

a u v

+ = − ⎧

⎪

⎨ −

= ⎪⎩

,

u v

⇔ lµ hai nghiƯm cđa tam thøc bËc hai : 2 2( 3) 2( 3) a t − a− t+ −

( )( )

2 3

,

2

a a a

u v − ± − −

⇒ =

Chó ý : Đặt ( ) ( ) ( )

2 2

h= a− ≥ ⇒ h+ − > h+ >h h+ Tøc lµ : (2a− −3) 2 > (2a−3 2)( a−9) ⇒ >u 2,v>

Nh hệ phơng trình (1) có nghiệm u 2,v 2,s Tóm lại số thực a cần tìm tất số thực

2 a " 14 Giải hệ phơng trình :

1 1

20 11 2007

1

x y z

xy yz zx

⎧ ⎛ + ⎞= ⎛ + ⎞= ⎛ + ⎞ ⎪ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠

⎨ ⎝ ⎠

⎪ + + = ⎩

" 15 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2005-2006 Bảng A )

( ) ( ) ( )

2

3

2 6.log 6 log 6 log

x x y x

y y z y

z z x z

⎧ − + − =

⎪⎪ − + − =

⎨ ⎪

− + − =

⎪⎩

Giải ĐK xác định , ,x y z<6 Hệ cho t−ơng đ−ơng với :

( ) ( )

3 2

log

2

log

2

log

2

x y

x x

y z

y y

z x

z z

⎧

− = ⎪

⎪ − +

⎪⎪ − =

⎨

− + ⎪

⎪

⎪ − =

⎪ − +

(16)

NhËn thÊy f( )x =

2

x x − x+

hàm tăng, g( )x =log 63( x) hàm giảm với x<6 Nếu (x y z, , ) nghiệm hệ phơng trình ta chứng minh x=y=z.Không tính tổng quát giả sử x=max{x y z, , } có hai trờng hợp :

1) x≥ ≥y z Do g( )x lµ hàm giảm, suy : log 63( y)log 63( ≥z) log 63( −x)

⇒ ≥ ≥x z y Do yz nên z=y Từ (1) (2) suy : x=y=z 2) x≥ ≥z y

T−¬ng tù log 63( −y)≥log 63( −x)≥log 63( −z)

⇒ ≥ ≥z x y Do x≥z nªn z=x Từ (1) (3) suy : x=y=z Phơng tr×nh f( ) ( )x =g x cã nghiƯm nhÊt x=3

Vậy hệ cho có nghiệm : x=y=z=3 " 16 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2005-2006 –Bảng B )

Gi¶i hệ phơng trình :

3

x x x y

y y y z

z z z x

⎧ + + − =

⎪ + + − = ⎨

⎪ + + − =

⎩

Gi¶i Gi¶ sư x=max{x y z, , } XÐt hai tr−êng hỵp :

1) x≥ ≥y z

Tõ hƯ trªn ta cã :

3

x x x x

z z z z

⎧ + + − ≤ ⎨

+ + − ≥ ⎩

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1

1

x x x

z

z z

⎧ − ⎡ + + ⎤≤ ≤ ⎧

⎪ ⎣ ⎦

⇒⎨ ⇒⎨ ≤

⎡ ⎤ ⎩

⎪ − ⎣ + + ⎦≥ ⎩

2) x≥ ≥z y

Tõ hƯ trªn ta cã :

3

x x x x

y y y y

⎧ + + − ≤ ⎨

+ + − ≥ ⎩

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1

1

x x x

y

y y

⎧ − ⎡ + + ⎤≤

≤ ⎧

⎪ ⎣ ⎦

⇒⎨ ⇒⎨ ≤

⎡ ⎤ ⎩

⎪ − ⎣ + + ≥⎦ ⎩

Cả hai tr−ờng hợp cho x= = =z y Thử lại ta thấy x= = =z y nghiệm hệ ph−ơng trình Tóm lại hệ cho có nghiệm : x= = =z y

⎧

+ + − − − = ⎪

⎪

⎪⎪ + + + + + = ⎨

⎪ ⎪

+ + − − − = ⎪

1 1 1 118

9

1 1 728

x y z

x y z x y z

(17)

" 18 Gi¶i hệ phơng trình :

( )

2

3 8

x y y x z

x x y yz

x y xy yz x z

⎧ + = − +

⎪ + + = − ⎨

⎪ + + + = + +

⎩ Giải Hệ cho t−ơng đ−ơng với :

( ) ( )

( )2 ( ) (2 ) (2 )2

0

1

4

x x y y y z

x x y z

x y y z x z

⎧ + + + =

⎪⎪ + + + =

⎨ ⎪

+ + + = + + +

⎪⎩

XÐt : aG=(x y; ), bG =(x+y y; +z),cG=(x+1; 2z+1) ⇒a bG G =0, a cG G=0, 4bG2 =Gc2 + NÕu aG=0G th× 0,

2 x= =y z= −

+ Nếu aG≠0G bG cG cộng tuyến nên : cG= ±2bG, từ ta có : 0, x= y= =z Tóm lại hệ có hai nghiệm : 0; 0; , 0; 1;

2 2

⎛ − ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

iV Hệ phơng trình n ẩn ( n >3, nN ) " 1 Giải hệ phơng trình :

1996

1

1996

2

1996 1995 1996

1996

x x x

⎧ + = ⎪ + = ⎪⎪

⎨

⎪ + =

⎪

⎪ + =

⎩

Gi¶i : Gọi X giá trị lớn nghiệm xi,i=1, 1996 Y giá trị bé chúng

Thế từ phơng trình đầu ta cã : 2X ≥x1+x2 =x31996

Từ ph−ơng trình hệ ta có : 2X ≥xk1996 ,∀ =k 1, 2, ,1996 Hay ta có : 2X ≥X1996 suy : 2≥ X1995 ( X >0 ) (1)

Lập luận cách t−ơng tự ta đến : 2≤ Y1995 (2) Từ (1) (2) suy X1995 =Y1995 =2

NghÜa lµ ta cã : 1995

1 1996

x =x = =x =

1 2

1

n n n n

x a

x a x a

b b b

x x x c

−

− −

⎧ = = =

⎪ ⎨

⎪ + + + = ⎩

víi 1, 2, , 0,

n

n i

(18)

Gi¶i Đặt : 1 2

1

n n

n

x a

x a x a

t

b b b

−

− −

= = = =

Ta cã :

1 1

n n n

i i i i i i

i i i

x tb a x a t b

= = =

= + ⇒∑ =∑ + ∑

1

1 n

i

n n

i

i i n

i i

c a

c a t b t

b

=

= =

=

⎛ ⎞

−

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ =∑ + ∑ ⇒ = ∑

∑

1

1 n

i i i i i n

i i

c a

x a b

b

=

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ = + ∑