Coù theå giaûi baèng caùc pp bieán ñoåi töông ñöông, ñaët aån phuï, baát ñaúng thöùc.. CAÙC VÍ DUÏ[r]
(1)96
Bài 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
Có thể giải pp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, bất đẳng thức
I CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1:
Cho hệ phương trình:
2 x y m
(x 1)y xy m(y 2) + =
⎧⎪ ⎨
+ + = +
⎪⎩ Giải hệ m =
2 Tìm tất giá trị tham số m để hệ có nhiều nghiệm (ĐH Quốc Gia TPHCM Khối A năm 1997)
Giải m =
Hệ x y 42
(x 1)y xy 4(y 2) + =
⎧⎪ ⇔ ⎨
+ + = +
⎪⎩
3 2
x y x y
y 4y (y 2)(y 2y 4)
= − = −
⎧ ⎧
⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨
− + = − − − =
⎪ ⎪
⎩ ⎩
2
x y x y
y y
y y 2y
= − = −
⎧ ⎧
⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨
= ∨ = ±
= ∨ − − = ⎪
⎪ ⎩
⎩
⇒nghieäm (2, 2); (3− 5,1+ 5),(3+ 5,1− 5) b Heä x m y3 2 (*)
y my 2m (1) = −
⎧⎪ ⇔ ⎨
− + =
⎪⎩
(*) coù nghiệm, (1) phải có nghiệm Đặt f(y) y= 3−my2+2m
2 f '(y) 3y 2my
⇒ = −
2m f '(y) y(3y 2m) y y
3
= ⇔ − = ⇔ = ∨ =
97 Neáu m : (1)≠ có nghiệm phân biệt f(0).f 2m
3
⎛ ⎞
⇔ ⎜ ⎟<
⎝ ⎠
3
2
2m 2m
2m m 2m
3
27 6
m m m
2 2
⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤
⎢ ⎥
⇔ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + <
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⇔ > ⇔ < − ∨ > Vaäy m m
3
< − ∨ > hệ có nghiệm Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình:
2
xy 3x 2y 16 x y 2x 4y 33
− − =
⎧⎪ ⎨
+ − − =
⎪⎩
(ĐH Giao Thông Vận Tải TPHCM năm 1999) Giải
Đặt u x 1,= − ∨ = −y 2, hệ trở thành: 2
u (u v) 23
u v 38
∨ − + = ⎧⎪
⎨
+ =
⎪⎩
Đặt s u v,p u.v= + = p s 23 (1)2 s 2p 38 (2)
− = ⎧⎪ ⇒ ⎨
− =
⎪⎩
(1) vaø (2) s2 2s 84 0 s 85 s 85 ⎡ = +
⇒ − − = ⇔ ⎢
= − ⎢⎣ s 1= + 85 : (1)⇒ =p 24+ 85
u,v
⇒ nghiệm phương trình: α − α + =2 s p
Với s2−4p (1= + 85)2−4(24+ 85)= − −10 85 0< ⇒VN
s 1= − 85 : (1)⇒ =p 24− 85 u,v
(2)98
1 85 10 85 85 10 85
u x
2
1 85 10 85 85 10 85
v y
2
⎧ − + − + ⎧ − + − +
⎪ = ⎪ =
⎪ ⎪
⇒⎨ ⇔⎨
⎪ = − − − + ⎪ = − − − +
⎪ ⎪
⎩ ⎩
hoặc:
1 85 10 85 85 10 85
u x
2
1 85 10 85 85 10 85
v y
2
⎧ − − − + ⎧ − − − +
⎪ = ⎪ =
⎪ ⎪
⇒⎨ ⇔⎨
⎪ = − + − + ⎪ = − + − +
⎪ ⎪
⎩ ⎩
Ví dụ 3:
Giải biện luận theo a hệ phương trình:
1 x 2y 5
x 2y x 2y a x 2y
⎧ + + =
⎪ − ⎪ ⎨ +
⎪ =
⎪ − ⎩
(ĐH Kinh Tế TPHCM năm 1995) Giải
Đặt u 0, x 2y x 2y
= ≠ ∨ +
− u v u.v a
+ = ⎧ ⇒ ⎨ =
⎩ neân u, v nghiệm phương trình: 5 a (*)
25 4a α − α + = ∆ = −
Để phương trình có nghiệm a 25 ⇔ ∆ ≥ ⇔ ≤ * a 25
4
≤ a 0≠ : nghiệm
2
u u
v v
= α = α
⎧ ⎧
∨ ⎨ = α ⎨ = α
⎩ ⎩ với α α1, 2là nghiệm phương
trình (*)
* a = 0: u v u.v
+ = ⎧
⎨ =
⎩ maø u 0≠ ⇒ ∨ =0,u 5=
99 ⇒heä
1
1 5 x 2y x
10
x 2y 1
x 2y y
x 2y
20 ⎧
⎧ = ⎧ − = ⎪ =
⎪ − ⇔⎪ ⇔⎪
⎨ ⎨ ⎨
⎪ + = ⎪⎩ + = ⎪ = −
⎩ ⎪⎩
* a 25
> hệ vơ nghiệm II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 5.1 Giải hệ phương trình:
3 3
x y y y
y z z z
z x x x
⎧ = + + − ⎪⎪ = + + − ⎨
⎪ = + + − ⎪⎩
(ĐH Ngoại Thương TPHCM năm 1996) 5.2 Giải hệ phương trình: x22 xy 62
x y
⎧ + =
⎪ ⎨
+ =
⎪⎩
(ĐH Giao Thông Vận Tải TPHCM năm 1996)
5.3 Giải hệ:
2 82
x y
9
1 10 10
x x y y
y 3 y
⎧ + =
⎪⎪ ⎨
⎪ + + − + = + +
(3)100
Hướng dẫn giải tóm tắt
5.1 Ta có:
3 3
x y y y (1) y z z z (2) z x x x (3) ⎧ = + + − ⎪⎪ = + + − ⎨
⎪ = + + − ⎪⎩
2
(1)⇔ =x y(y + + −y 1)
Xeùt y 0≤ ⇒ ≤ − ⇒ ≤ − ⇒ ≤ −x z y 3 (1) (2) (3)+ + ⇒y +y +x +x +z +z =6
2 2
y (y 1) x (x 1) z (z 1) (4)
⇔ + + + + + =
Vì x≤ −2,y≤ −2,z≤ − ⇒ + <2 y 0,x 0,z 0+ < + <
2 2
y (y 1) x (x 1) z (z 1) (4)
⇒ + + + + + < ⇒ khoâng thỏa Xét y : z 0> ⇒ > vaø x >
0 y 1: y< < ⇒ 3+y2+ < ⇒ < < ⇒y 3 0 x 1 x3+x2+ < ⇒ < <x 3 0 z 1 3
y y x x z z : (4)
⇒ + + + + + < không thỏa y > : ⇒ =x y3+y2+ − > ⇒ >y z
3 3
z z x x y y :
⇒ + + + + + > (4) không thỏa * y = : (1) ⇒ =x vaø (3) ⇒ =z 1, (2) ⇒ =y Vậy hệ có nghiệm x = y = z = 5.2 x22 xy (1)2
x y (2)
⎧ + =
⎪ ⎨
+ =
⎪⎩
(1) y x2(x 0) x
−
⇔ = ≠ vào (2): 2 2 (6 x )
x
x −
+ =
4 2
2x 17x 36 x 4,
⇔ − + = ⇔ = x2 x 2,
2
= ⇔ = ± x 2 = ± y 1,
⇒ = y= −1, y 2,
= y
2 = −
101 5.3
2 82
x y (1)
9
1 10 10
x x y y (2)
y 3 y
⎧ + =
⎪⎪ ⎨
⎪ + + − + = + +
⎪⎩
(2) x 10 x y x 10 x y
y y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔ + + − + =⎜ + ⎟ ⎜+ − + ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
2 10
1 10 y y
1 y 0
x y 3 0
y y
10
10 x y 0 y x 10 1
y x
3 y
3 3 y
⎧
⎧ + +
⎧ + ≥ + + ≥ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ≥
⎪ ⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨
⎪ − + ≥ ⎪ + ≥ ≥ − ⎪
+ ≥ ≥ −
⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎩ ⎪⎩
Xét trường hợp:
TH 1: y < Heä
2
2
2
10
10 y y 0
y y 3
3
10 y x 0 10 y x 82 y
3
⎧
⎧ + + ≤ ⎪ + + ≤
⎪⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨
⎛ ⎞
⎪ + ≥ > ⎪ + ≥ = −
⎜ ⎟
⎪ ⎪
⎩ ⎩⎝ ⎠
2
2
2 2
82
10 y 3 x y
y y 10
9
3 y y 0
10 1 82
y y y x y 3
3 3 9
⎡
⎧ + + ≤ ⎢ = − ⇒ = − =
⎪⎪ ⎢
⇔⎨ ⇔ + + = ⇔⎢
⎪ + + ≥ ⎢ = − ⇒ = − =
⎪⎩ ⎢⎣
Là nghiệm hệ TH 2: y > 0: x2 82 y2
9
= −
+ Neáu x x 82 y2 82 100 10 y
9 9
(4)102
2
1 82
x 0 x
y
10 x y 0 y 82 x 0
3
⎧ ⎧ + ≥ ⎪ ≤ <
⎪⎪ ⎪
⇒⎨ ⇒⎨
⎪ − + > ⎪ = − >
⎪ ⎪
⎩ ⎩
+ Neáu x <
2
82 10 82
x y x y 0, y y
9 y
⇒ = − − < ⇒ − + > ∀ ⇒ − ≤
2
82 y
9 y
⇔ − ≤ (vì y > 0)
4
2
y
y
82
y 9 y y y
3
⎡ ≥ ⎡ ≥
⎢ ⎢
⇔ − + ≥ ⇔⎢ ⇔
⎢ ≤
≤ ⎢
⎢ ⎣
⎣ Vậy hệ có nghiệm:
2
2
82 82
1 3 y (do x y )
0 y
9
3
82 82
x y x y
9
⎧
⎧ < ≤ ≤ ≤ + =
⎪
⎪⎪ ∨⎪
⎨ ⎨
⎪ = − − ⎪ = − −
⎪ ⎪