CMR:Nếu hình hộp chữ nhật có một thiết diện là lục giác đều thì hình hộp đó là hình lập phương.. Gợi ý: Vẽ hình hộp chữ nhật tại A. áp dụng bài toán phẳng : Tam giác ABC. K là trọng tâ[r]
(1)HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11
Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng (P),(Q) : ta phải
mở rộng mặt phẳng để tìm điểm chung
+) Nếu biết điểm chung ta lấy mặt phẳng thứ ba (R) không qua điểm chung qua đường thẳng thuộc (P) (Q) , giả sử
là( P) Sau đo tìm giao tuyến (R) (Q) d Giao d sẽ
thuộc P,Q
+) Nếu chưa biết điểm chung ta làm hai lần
Muốn dựng qua M d,d’ không gian chéo
nhau ta làm sau:
Ta tìm giao điểm d (hoặc d’) với mặt phẳng P qua đường thẳng d’ (hoặc d) chứa M, cách tìm giao tuyến P mặt
phẳng qua d , cắt d N thuộc P nên MN cắt d’ Suy ra
MN đường thẳng cân dựng
Cho hai đường thẳng a,b chéo không gian, và
đường thẳng c.Cách dựng đường thẳng // c qua a, b như
sau:
+) Tìm dựng mặt phẳng (P) qua a ( b ) //c ( Tìm d cắt a b // c (P) (a,d) (b,d))
+) Lấy giao b (hoặc a ) với (P)
+) Từ giao điểm dựng đường thẳng // c cắt a (hoặc b)
Ta đường thẳng cần dựng
Cho mặt phẳng (b) cố định đường thẳng d thuộc (b) cố
định Muốn dựng mặt phẳng (a) qua d hợp với (b) góc
x ta làm
như sau
: (2)qua điểm cố định ta dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng
(b) Khi d vng góc với (d’, )
+) Mặt phẳng (a) qua d cắt K ,thì góc hai mặt phẳng
(a) ,(b) góc KIO
+) Ta chi việc dựng K cho góc KIO=x , mặt phẳng (d,K) chính (a)
Muốn dựng (P) qua d tạo với góc ỏ ta làm
như sau:
+) Chọn (Q) qua //d trùng d
+) Lấy d’ hình chiếu d (Q)
+) giao d’ O, dựng (R) vuông góc với d’ cắt A
+) Giả sử giao (P’) ( mặt phẳng qua d’ //d) , (R) tại
’, qua A dựng đường vng góc với ’ , dựa vào kiện của
bài toán ta xác định ’ qua điểm cố định hợp với d’ góc nào
đó, từ dựng ngược trở lại (P)
Hoặc ta tính khoảng cách từ điểm tới (P) để suy ra
những điều cần thiết để dựng thiết diện
Nếu (P) vuông góc với đường thẳng hay mặt phẳng quy về dựng qua đường thẳng
Bài 1:
Cho tứ diện ABCD; X,Y,Z thuộc AB,AC,AD , M (BCD) Gọi N
=AM (XYZ) Tìm N
Bài :
Cho tứ diện ABCD,M[CD], K (ABC),L (ACD) ,N =KL
(ABM).vẽ N
Bài :
Cho tứ diện ABCD, K (ABC),L (ACD) Tìm KL (BCD)
Bài :
Cho tứ diện ABCD, M nằm tứ diện A’,B’,C’,D’ giao AM,BM,CM,DM với (BCD),(ACD),(ABD),(ABC).CMR:
a)
DD 1
MD CC
MC BB
MB AA
MA
' ' '
' '
' '
'
(3)Gợi ý:a) Dùng toán : cho M ABC , A’,B’,C’ giao AM,BM,CM với BC,CA,AB Khi 1
AA MA
' '
Gọi K ,L giao AA’ BB’; CC’ DD’ sau áp dụng b)MAAA'' maxMAAB,'AK maxABMA,AC' ,AD maxAB,AC,MAAD',BC,CD,BD
Bài :
Cho tứ diện S.ABC,G trọng tâm ABC; A’,B’,C’
cạnh SA,SB,SC , AG giao (A’B’C’) G’ CM:
' ' SG
SG 3 SA
SA
Gợi ý:Gọi A1,B1,C1 trung điểm BC,CA,AB A2,B2,C2 giao SA1
và B’C’;SB1 A’C’;SC1 A’B’ A3,B3,C3 giao AA1 A’A2; BB1
và B’B2;CC1 C’C2
Dùng menelauyt cho A3GG’ A3AA’ với S,A1,A2 thẳng
hàng Sau suy 22 '' '
3
' A A G A SG SG SA
SA
Tương tự có đẳng thức cịn lại,cộng vào có dpcm
Bài :
Cho tứ diện ABCD,A’,B’,C’,D’ trọng tâm
BCD,ACD,ABD,ABC.CM:AA’,BB’,CC’,DD’ động quy
một điểm
Bài 7:
Cho hình chóp SABCD M,N,P thuộc SA,SB,SC Tìm thiết diện (MNP) hình chóp
Bài 8:
Cho tứ diện ABCD,M (ABC),N (ACD),P (ADB) Vẽ thiết
diện (MNP) ABCD
Bài 9:
Cho hình chóp tứ giác SABCD,M [SA],N: B[SN],P [ CD]
Tìm thiết diện (MNP) hình chóp
Bài 10:
Cho hình chóp SABCD, N [SD], P (ABCD), lấy M:B[SM]
Tìm thiết diện (MNP) hình chóp
Bài 11:
Cho tứ diện ABCD,có cạnh đối CM: mặt tứ diện tam giác nhọn
(4)Bài 12 :
Cho S.ABC, M N,P thuộc SA,SB,SC I=(BCM) (CAN) (ABP)
J=(NAP) (PMB) (MNC)
CM:a) S,I,J thẳng hàng b) 1 AMSM BNSN CPSP
IJ SJ Gợi ý:
a) Gọi A’,B’,C’ giao BP CN;AP CM;BM AN I = AA’ giao BB’ giao CC’
J= MA’ giao NB’ giao PC’
Suy ra: I= (SBB’) giao (SCC’) giao (SAA’) J= (SMA’) giao (SNB’) giao (SPC’) a) Gọi Q = SA’ giao BC
H=SI giao AQ K = MA’ giao AQ Ta có (AQHK)=-1
1 HS HI JI JS . (1)
C1:Menelauyt cho SIC với C’,J,P thẳng hàng
. ' ' AA I A JI JS PC SP
Tương tự có đẳng thức khác; cộng vào có
HS HI 1 JI JS MA SM CC I C BB I B AA I A JI JS PC SC NB SB MA SA ) ' ' ' ' ' ' .(
Kết hợp với (1) ta có dpcm
C2:Dùng bổ đề cho ABC, M thuộc ; A’,B’,C’ giao Am,BM,CM BC,AC,AB Khi BBAB'' CCAC'' MAAM' (cm:qua A kẻ đường
thẳng //BC)
Ta có: MASM MASM ASAQIHSI
' '
(5)HI HS JI JS
IH SI 1 IJ SJ
Bài 13:
Cho tứ diện ABCD ; M,N,P,Q,R,S trung điểm AB,CD,AC,BD,AD,BC.CM:
a)MN,PQ,RS đồng quy trung điểm đường b) Điểm đồng quy trọng tâm tứ diện
Bài 14:
Cho tứ diện ABCD, M thuộc ABC ; A’,B’,C’thuộc (SBC),
(SAC),(SAB) cho MA’,MB’,MC’ //SA,SB,SC CMR: MASA' =1
Bài 15:
Cho tứ diện ABCD, A’,B’,C’,D’ trọng tâm (BCD),(ACD), (ABD),(ABC) ; M bất kì; Lấy A’:
MA
"
3
.
MA
'
Tường tự có B”,C”,D”.CMR:a)AA”,BB”,CC”,DD” đồng quy trung điểm đường gọi N
b)MN qua trọng tâm tứ diện
Bài 16:
Cho tứ diện S.ABC , G trọng tâm ABC,M thuộc ABC; M // SG cắt (SBC),(SCA),(SAB) A’,B’,C’.CMR:
MA’+MB’+MC’+MD’=3SG
Gọi ý: Dùng talet
Bài 17:
Cho tứ diện S.ABC, M thuộc ABC;A,B,C qua A,B,C //SM
cắt (SBC),(SAC),(SAB) A’,B’,C’,
a) CM:
'
AA 1 SM
1
b) Gọi M’=SM (A’B’C’).Tính SM : SM’
Gợi ý :b) Để ý giao điểm I BC’ , CB’ S,A thẳng hàng.Gọi L =A’I SM’,P=A’M’B’C’, N=IPBC .Ta có IP=IN SL=LM’,SL=SM.Suy SM’=2SM
(6)Cho hai đường thẳng chéo a,b M,N di chuyển a,b.Tìm quỹ tích trung điểm I MN
Gọi ý:Lấy hai điểm cố định A.B a,b.Gọi O trung điểm AB, qua O kẻ ,’lần lượt //a,b; ,’ lấy M’,N’ cho MM’,NN’ //AB
Bài 19:
Tứ diện ABCD M thay đổi thuộc AC ,(ỏ)M // AB,CD cắt
AD,BD,BC N,P,Q
a) CMR:MNPQ hình bình hành
b) Tìm điều kiện M để MNPQ hình thoi c) Tìm quỹ tích tâm I MNPQ
d) Tìm điều kiện ABCD để MNPQ có chu vi khơng đổi
Gợi ý:b) MN= CD AC AM
MQ= AB AC CM
MNPQ hình thoi <=> MN=MQ
c)Gọi E,F trung điểm AB,CD I thuộc EF áp dụng 18
d) MN+MQ=
AC
AB CD CD AB AM AC
AB AM AC CD AM AC
AB CM CD
AM ( )
Chu vi =const KHI AB=CD AM thay đổi *) Trong chương quan hệ song song có hai loại thiết diện là:
+) Thiết diện qua điểm song song với hai đường thẳng chéo
+) Thiết diện qua đường thẳng song song với đường thảng khác
Thường thiết diện dựng qua hình chóp Sau xin trình bày cách dựng hai loại
a) Giả sử thiết diện qua M song song với d,d’ chéo nhau:
+) Ta dựng giao tuyến (M,d) với (P) qua d’ +) Dựng đường thẳng song song d qua M cắt O +) Trong (P) dựng đường thẳng //d’
Cách hai áp dụng cho tốn có hình lăng trụ hình hộp:
(7)+) Qua M dựng mặt phẳng song song với (Q)
b) Giả sử thiết diên qua d song song d’:
+) Chọn hai điểm A,B d ( thường có hình ra) +) Dựng giao tuyến (A,d’) với (P) chứa B
+) Trong (A,d’) dựng đường thẳng qua A //d’ ,Giả sử cắt giao tuýên C ,khi (ABC) mặt phẳng cần tìm
+) Cuối dựng thiết diện (ABC) với hình Ta lấy điểm thử tìm thiết diện
Sau số tập
Bài 20:
Cho hình chóp S.ABCD.M,N trung điểm AB,SB Mặt phẳng (P) M (P)// CN,SD Dựng thiết diện (P) với S.ABCD
Bài 21:
Cho S.ABC, MABC Dựng thiết diện hình chóp với mặt
phẳng (P) M (P)// SB,AC
Bài 22:
Cho S.ABCD , N,P trung điểm SB,AD Lấy M cho B trung điểm MN Dựng thiết diện mặt phẳng (P)MP (P)
//CN với S.ABCD
Bài 23:
Cho hình chóp S.ABCD ,N trung điểm BC ,P[SC]
:SP=2CP ,MSA:S trung điểm AM Dựng thiết diện mặt
phẳng (P) MN, (P)// DP với S.ABCD
Bài 24:
Cho S.ABCD , P trung điểm SD, M thuộc BC cho B trung điểm CM , N thuộc [SB] cho SN=2NB Dựng thiết diện mp (P) NP (P)//AM với S.ABCD
Bài 25: ( phần mặt phẳng song song)
Cho tứ diện S.ABC, M thuộc ABC ; A’,B’,C’thuộc (SBC),
(SAC),(SAB) cho MA’,MB’,MC’ //SA,SB,SC
Gọi M’=SM(A’B’C’) CMR:M’ trọng tâm A’B’C’, tính tỉ số
SM : SM’
(8)Bài 26:
Cho tứ diện S.ABC, G trọng tâm tứ diện M thuộc
ABC A’,B’,C’thuộc (SBC),(SAC),(SAB) cho MA’,MB’,MC’ //
GA,GB,GC CMR: GM qua trọng tâm A’B’C’
Gợi ý : Gọi A”,B”,C” giao MA’,MB’,MC’ với (GBC), (GCA),(GAB),khi A”,B”,C”, chia GA’,GB’,GC’ theo tỉ số 3:1 tính chất trọng tâm tứ diện Theo 25 MG qua trọng tâm A”B”C”, vị tự A”B”C” thành A’B’C’ ,suy GM qua trọng tâm A’B’C’
Bài 27:
Cho hai đường thẳng chéo a,b ; (P) qua a // b ; (Q) qua b // a M (P) (Q) CMR: Tồn đường thẳng qua M cắt a,b
Bài 28:
Hai đường thẳng chéo a,b cắt (P) M,N di chuyển a,b cho MN // (P) Tìm quỹ tích trung điểm I MN
Gợi ý : tương tự 18, ý M’N’ tự song song
Bài 29:
Cho ba đường thẳng đôi chéo nhau, mặt phẳng (P) di chuyển ln song song với cắt a,b,c tạ A,B,C Tìm quỹ tích tâm G ABC
Gợi ý: Theo 27 quỹ tích trung điểm M BC đường thẳng d xác định, điểm G chia đoạn AM theo tỉ số 2, mà AM ln song song (P), từ theo cách làm 18,lấy O chia AM theo tỉ số Ta quỹ tích G
Bài 30:
Cho hình hộp xiên ABCD.A1B1C1D1, M điểm thuộc AB1,
Gọi I= (MCD1) BC1, J =(MCD1)A1D CMR:M,I,J thẳng hàng
Gợi ý : Dùng Talet
Bài 31:
Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1 ,gọi N trung điểm AA1, G1
trọng tâm A1B1C1
a) Vẽ thiết diện hình lăng trụ với mặt phẳng (P) M (P)//
(9)b) Gọi E giao (P) với A1B1 Tính BE E A
1
Gợi ý: Dùng cách bí kíp (a)
Bài 32:
Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 M thuộc [BA1] cho
5
1
MA MB
Gọi (Q) M (Q) // AC1,CB1
a) Vẽ thiết diện hình lăng trụ với (Q)
b) Gọi E =(Q) CC1 Tính C E
CE
1
Gợi ý :
Bài 33:
CMR: Thiết diện tứ diện có chu vi nhỏ max chu vi mặt tứ diện
Bài 34:
Cho hình hộp xiên ABCD.A1B1C1D1, gọi XYZTUV thiết diện
của (P) với hình hộp, có XT,YU,ZV đồng quy O CMR :O giao đường chéo hình hộp
Gợi ý: Giao tuyến
Bài 35:
Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ I,K,G trọng tâm
ABC,A’B’C’ ACC’.CMR: (IKG)//(BB’CC’) ,(A’KG)//(AIB’)
Bài 36: ( Đề kiểm tra )
Cho diện ABCD, gọi I1,I2,I3,I4 tâm đường tròn nội tiếp BCD, ACB, DAB, ABC CMR:AI1, BI2, CI3, DI4 đồng quy AC.BD = AB.CD = AD.BC
Gợi ý: làm chiều
Bài 37: ( Đề kiểm tra )
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 ,O giao DC1 CD1, M
thuộc tia AA1 cho MA=3MA1
a)Dựng thiết diện hình hộp với mặt phẳng (P)MO (P)//BD
b)Gọi L giao (P) với CC1 Tính LC:LC1 Bài 38: ( Đề kiểm tra )
Cho tứ diện ABCD, G trọng tâm tứ diện M điểm thuộctứdiện,MG(BCD)=A1,MG(ACD)=B1,MG(DAB)=C1,
MG(ABC)=D1 CMR:
1 GA MA (10)Gợi ý: Gọi giao AM,BM,CM,DM với mặt phẳng đối diện, sau dùng melaúyt
Bài 39: ( Đề kiểm tra A1 )
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 ,O =DC1 CD1, M[A1B1]
cho MB’=2MA’
a) Dựng thiết diện hình hộp với mặt phẳng (P)MO (P)//
AC
b) Gọi L =(P) CC1 Tính LC:LC1 Bài 40: ( Đề kiểm tra A1 )
Cho tứ diện ABCD CMR: AB.CD, AC.BD, AD.BC ba cạnh tam giác
Gợi ý: Lấy AB,AC, AD điểm B’,C’,D’ cho AB’.AB=AC’.AC=AD’.AD Sau dùng tam giác đồng dạng
Cách dựng đường thẳng
vng góc với (P):
Trong (P) chọn a,b cắt
C1: dựng hai mặt phẳng vng góc với a,b ,khi giao tuyến hai mặt phẳng
C2: dựng mặt phẳng vng góc với a (hoặc b) đường thẳng mặt phẳng vng góc với a (hoặc b)
Trong chương quan hệ vng góc có hai loại mặt phẳng:
+) Qua điểm A vng góc với đường thẳng
cho trước
+) Qua đường thẳng
cho trước vng góc với mặt
phẳng (P) cho trước
Sau xin trình bày cách dựng hai loại mặt phẳng trên:
Loại 1:
+) Tìm hai đường thẳng vng góc với ( thường lấy đường thẳng cắt đường hình chữa A)
(11)Loại :
+) Tìm đường thẳng d vng góc (P) (có thể cắt tốt)
+) Nếu cắt song rồi, khơng qua dựng mặt phẳng song song d
Dựng đoạn vng góc chung AB hai đường thẳng a,b
chéo nhau
a) a,b vuông góc với nhau:
Qua a dựng mặt phẳng vng góc với b, cắt b B Qua B dựng đường vng góc với a
b) a,b khơng vng góc:
Tìm (P) qua a song song với b
Dựng hình chiếu b’ b (P) cắt a A Qua A kẻ đương thẳng vng góc với b
Tổng qt :
Tìm (P) a, (P)a=H
Dựng hình chiếu vng góc b’ b
Dựng HKb’, Kb’
Dựng KB//a,Bb
Dựng BA//HK,Aa
Trên lí thuyết cịn thực tế phải linh động với tốn
Chương song song vng góc có quan hệ chặt chẽ với
nhau , thay việc tìm trực tiếp yếu tố vng góc ta có thể
tìm hình khác sau dựng song song
Bài 41:
Cho tứ diện ABCD, có AC BD,AB CD.CMR: AD BC
Gợi ý: C1: Gọi trung điểm cạnh ta hình chữ nhật
C2: Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện có bốn đỉnh bối đỉnh
của tứ diện Khi ta có mặt hình thoi
Bài 42:
(12)Gợi ý : làm tương đương dùng công thức trung tuyến lấy trung điểm AC,BD,BC,AD
Bài 43:
Cho tứ diện ABCD có: AB2 + CD2 = AC2 + DB2
CMR: BC AC
Bài 44:
Cho tứ diện ABCD có: AC= BD; AD=BC Tìm M : (MA + MB + MC + MD)
Bài 45:
Cho tứ diện ABCD.M di chuyển AC, (P)M (P)//AB,CD
Tìm M cho thiết diện hình chóp với (P) có diện tích max
Gợi ý: Gọi thiết diện MNPQ, MNPQ hình bình hành Diện tích = MN.MQ sin ( AB,CD) Tính MN,MQ theo AB,CD sau dùng côsi
Bài 46:
Cho tứ diện ABCD CMR: mặt phẳng trung trực tứ diện đồng quy
Bài toán tương đương với việc chứng minh trục tam giác đồng quy
Bài 47:
Cho ABC , A,(ABC), M chạy H,K trực tâm
của ABC, MBC
a) CMR: HK (MBC)
b) CMR: HK cắt , Gọi N=HK
CMR:AM.AN = const
Bài 48:
Cho (O) ,đường kính AB A(O) , M di chuyển (O), S
điểm cố định AH SM (H thuộc SM) CMR: AH vng góc
SB, H thuộc đường tròn cố định
Gợi ý : Chứng minh H thuộc mặt phẳng cố định mp qua A vuông góc SB, thuộc đường trịn cố định mp dó
Bài 49:
Cho góc xOy Tìm quỹ tích điểm M cho góc MOx = MOy
Gợi ý : Là mặt phẳng vng góc ( xOy) qua đường phân giác góc xOy
(13)Cho hình bình hành ABCD Điểm S thoả mãn góc ASB=BSC=CSD=DSA, O=ACBD CMR: SO( ABCD)
Gợi ý : B,D thuộc mặt phẳng phân giác AC, SO phân giác góc ASC, suy SO AC; A,C thuộc mặt phẳng phân giác BD,tương tự
Bài 51:
Hình thang ABCD có BC=CD=DA=a SA(ABCD).(P)A,(P)
SC ;B’=(P)SB,C’=(P)SC,D’=(P)SD
a) CMR: Thiết diện nội tiếp đường tròn b) CMR: B’C’, D’C’, D’B’ qua điểm cố định
c) Cho SA= 3a tính diện tích thiết diện
Bài 52:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành, SA(ABCD) , M
di chuyển cạnh BC, SK DM(KDM) Tìm quỹ tích K
Bài 53:
Cho mặt phẳng (P), A cố định (P), quay quanh A S cố
định nằm (P), SH (H) Tìm quỹ tích H
Bài 54: (kiểm tra học kì)
Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm AC,BC Lấy K thuộc tia đối DC gọi P =BD NK,Q=ADMK, E =MP NQ
a)CMR: DE qua trọng tâm ABC
b)Tính tỉ số KC/KD, biết S(KMN)=4S(KPQ)
Khi gặp hai đương thẳng chéo (có thể vng góc với
nhau) phải nghĩ đến đường vng chung dựng
đường song song thích hợp
Bài 55:
Cho hai tia Ax,By chéo nhau, M,N di chuyển Ax,By cho AM=kBN, I thuộc đoạn MN cho IM=mIN Tìm quỹ tích I
Bài 56:
Cho hai tia Ax,By chéo , AB vng góc với Ax,By M khơng gian MH, MK vng góc với Ax,By AH + BK=AB; MH=MK Tìm quỹ tích M
(14)Ta thay AH+BK=kAB ( k số thực) ta tốn khác dựng hình hộp chữ nhật có cạnh AB hai cạnh kAB
Bài 57:
Cho hai đường thẳng a,b chéo vng góc với nhau, AB đường vng góc chung, M,N di chuyển a,b cho AM +BN=MN; O trung điểm AB, OH MN (HMN) Tìm quỹ tích
của H
Gợi ý : AM=MH,BN=NH
Bài 58:
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau, vng góc với nhau, AB đường vng góc chung, M,N di chuyển a,b cho 2AM.BN=AB2
O trung điểm AB, OH MN (HMN) Tìm quỹ tích H
Bài 59:
Cho hai đường thẳng a,b chéo vng góc với AB đường vng góc chung M,N di chuyển a,b cho MN= const Tìm quỹ tích trung điểm I MN
Gợi ý: qua B vẽ đường thẳng a’// a O trung điểm AB, OI= const, quỹ tích đường trịn
Bài 60:
Cho hai đường thẳng a,b chéo vng góc với AB đường vng góc chung M,N di chuyển a,b cho MN= const I trung điểm MN, O trung điểm AB Tính OI
Bài 61:
Cho hai đường thẳng chéo a,b vng góc với nhau, AB đương vng góc chung, O trung điểm AB, M khơng gian cho với H,K hình chiếu M lên a,b MO=MH=MK Tìm quỹ tích M
Gợi ý: Vẽ hình lập phương
Bài 62:
a) Cho tứ diện ABCD đều, M,N nằm BC,AD cho BM=2MC, DN=2AN Dựng tính đường vng góc chung : MNvà CD, MN AC
(15)Bài 63:
Cho (P),(Q) cắt Tìm quỹ tích điểm M cách hai
mặt phẳng
Gợi ý : Làm tương đương
Bài 64:
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau, M,N chạy a,b cho (a,MN)=(b,MN) Tìm quỹ tích trung điểm I MN
Gợi ý: Lấy đường vng góc chung AB, O trung điểm AB, qua O lấy a’,b’ song song với a,b Từ I vẽ đường vuông góc với a,a’,b,b’ Quỹ tích hai phân giác góc tạo a’,b’
Bài 65:
Cho tứ diện ABCD, K thuộc AD cho (KBC) mặt phẳng phân giác (BCA) (BCD) CMR: S(BCD)S(BCA)
KD KA
Gợi ý: Từ A,D vẽ đường vng góc với (BCK) Chiếu vng góc lên (P) vng góc với BC
Bài hệ quả: tứ diện ABCD, mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh BC,AD,AB,CD cắt cạnh đối diện M,N,P,Q cho MDAM NCBN
PD=nPC Tính QBAQ
Bài 66:
Cho hình hộp ABCD.A’B’D’C’ , O tâm hình hộp AA’=a, AB=2a, AC’=3a Dựng tính diện tích thiết diện tạo (P)O
(P) AC’ với hình hộp
Bài 67:
Cho hình hộp ABCD.A’B’D’C’ , O tâm hình hộp AA’=a, AB=2a, AD=3a Dựng tính diện tích thiết diện tạo (P)O
(P) AC’ với hình hộp
Bài 68:
CMR:Nếu hình hộp chữ nhật có thiết diện lục giác hình hộp hình lập phương
Bài 69:
(16)Gợi ý: Vẽ hình hộp chữ nhật A áp dụng toán phẳng : Tam giác ABC MH,MK,MI vng góc BC,CA,AB Tìm min( MH2+MK2+MI2)
Bài 70:
Cho đoạn thẳng AB; (,AB)=ỏ; A’,B’ hình chiếu
A,B CMR:A’B’= ABcosỏ
Gợi ý : Qua B’ vẽ ’ , lấy A” cho AA” song song BB’
Hệ quả: a) Cho đoạn thẳng AB; (,AB)=ỏ; A’,B’
hình chiếu A,B , M trung điểm AB, M’ hình chiếu M
trên CMR: M’ trung điểm A’B’
b) Cho đoạn thẳng AB; (,AB)=ỏ; A’,B’
hình chiếu A,B ; M,M’ trung điểm AB,A’B’
CMR: MM’
Bài 71:
1) Cho hình lăng trụ cạnh a ABC.A’B’C’ K trọng tâm tam giác ABC, M,N trung điểm BB’,CC’ Đường thẳng qua G cắt MN, AB’ P,Q Tính PQ
2) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ AB=a,BC=b,AA’=c(c2>a2+b2)
ABC vng B (P)A: (P) CA’
Tính diện tích thiết diện lăng trụ vơi (P)
Bài 72:
Cho tứ diện ABCD, HK đoạn vng góc chung AB,CD CMR: KC=KD S(CAB)= S(DAB)
Bài 73:
CMR: Tứ diện gần mặt có diện tích
Gợi ý: Dùng 72
Bài 74:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ M di chuyển cạnh AD Tìm M cho thiết diện tạo hình lập phương (CA’M) có diện tích nhỏ
Gơi ý: Vẽ đường cao tam giác MCA’ ,dùng đoạn vng góc chung có độ dài ngắn
Bài 75:
Cho hình chóp S.ABC có SBC,ABC tam giác cạnh
(17)b) (P) D (P)// BC, ((P),BD)= 300 Tính diện tích thiết diện
(P) với S.BCD
Gợi ý : Dùng bí kíp
Bài 76:
Cho tứ diện S.ABC có SA (ABC) , nhị diện cạnh SB 900
Góc BSC 450 , góc ASB=ỏ.
a) CM : BC SB
b) Tìm ỏ để nhị diện cạnh SC 600 Bài 77:
Cho tứ diện S.ABC có SA (ABC) ABC vng C D
trung điểm AB
a) Tính góc SD AC
b) Tính khoảng cách SD,AC c) Tính khoảng cách SD,BC
Bài 78:
Cho S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SAB đều, SCD
vuông cân S I,J trung điểm AB,CD
a) CMR: SI (SCD), SJ (SAB)
b) H la hình chiếu S IJ CM:SH AC
Bài 79:
Cho S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SC=a 2, ASB H,K trung điểm AB,AD
a) CM:SH (ABCD)
b) CM: AC SK, CK SD
Bài 80:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a,AD=2a,AA’=a, M thuộc [AD] cho MA=3MD Tính dM/(AB’C)
Gợi ý: Tính khoảng cách từ D sau dùng tales
Bài 81:
Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc a M,N,K trung điểm BC,CA,AB ĐK(O)=E, I= CE(CMN)
a) CM: CE (OMN)
b) Tính diện tích tứ giác OMIN
Bài 82:
(18)a) CM: AC’ (MNP)
b) Tính nhị diện (P,AC,M)
Gợi ý : a) (MNP) // (BDA’) // (D’B’C)( dùng tales không gian) b) (P,AC,M) = 1800 – (M,AC,B) – (P,AC,D).
Bài 83:
Cho Ox,Oy,Oz đơi vng góc, A,A’;B,B’;C,C’ thuộc Ox,Oy,Oz cho OA.OA’=OB.OB’=OC.OC’ G trọng tâm
ABC
CMR: OG ( A’B’C’)
Trong phần mặt cầu thì:
-) Muốn chứng minh hai tam giác đồng dạng nội tiếp một
mặt cầu chứng minh khoảng cách từ chúng
tới tâm nhau
-) Một mặt phẳng qua đường thẳng cố định cách điểm cố
định mặt phẳng cố định
-) Chứng minh tâm mặt cầu thuộc đường thẳng cố định có
thể chứng minh:
+) cách hình học phẳng
+) Mặt cầu qua đường tròn cố định
Bài 84:
CMR: có ngất mặt cầu qua đỉnh tứ diện
Bài 85:
CMR: Có ngất mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện
Bài 86:
Cho ba tia Ox,Oy,Oz không đồng phẳng; M,N; P,Q;R,S thuộc Ox,Oy,Oz cho OM.ON=OP.OQ=OR.OS CMR: M,N,P,Q,R,S thuộc mặt cầu
Bài 87:
Cho (P) cố định , (P) có đường trịn tâm O đường kính AB, AB quay quanh O S cố định nằm ngồi (P) Tìm quỹ tích tâm đường ngoại tiếp ABC
Gợi ý: Gọi I tâm mặt cầu qua S (O) , I cố định, H tâm (ABC), SH2-HO2=IS2-IO2=const H thuộc mặt phẳng cố định
(19)Tứ diện ABCD Tồn mặt cầu tiếp xúc với cạnh
AB+CD=AC+DB=AD+BC
Bài 89: Đề 122 đề tuyển sinh
Mặt cầu (O) tiếp xúc với mặt phẳng (P) I M di chuyển mặt cầu, hai tiếp tuyến mặt cầu M cặt (P) A,B
a) CMR: Góc AMB=góc AIB
b) I’ điểm đối xứng với I qua AB CMR: O,I,I’,M đồng phẳng MI’ qua điểm cố định mặt cầu
c) M di chuyển mặt cầu cho AM BM; A,B di chuyển
trên hai đường thẳng d,d’ thuộc (P) ( d’,d cố định (P)) d,d’ vng góc với K.CMR: Mặt cầu đường kính AB ln qua đường trịn cố định, I’ di chuyển đường thẳng cố định, M di chuyển đường tròn cố định
Gợi ý:
b) Các điểm thuộc phặt phẳng vng góc với AB, MI’ qua điểm J đối xứng với I qua O
c)Đi qua đường trịn đường kính IK (OIK) I’ di chuyển qua K cho d,d’ hai phân giác góc tạo IK, M thuộc ( ,J ) mặt cầu ( cố định) nên thuộc đường tròn cố định
Bài 90:
Cho tứ diện ABCD , mặt cầu tâm O nội tiếp tứ diện tiếp xúc với (BCD), (ABC) K,H CMR: Góc AHB= góc CKD
Gợi ý: Gọi tiếp điểm lại, cộng góc có đỉnh tiếp điểm mặt (ABC), (ABD) (ACD),(BCD) góc AHB=2 góc CKD
Bài 91:
Cho tứ diện ABCD, mặt cầu bàng tiếp đỉnh A tiếp xúc với (BCD) K, (ABC) H CMR: Góc CKD= góc AHB
Gợi ý: Chú ý góc
Bài 92:
Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O, mp(P) vng góc với AO cắt AB,AC,AD M,N,P
a) CMR: B,C,D,M,N,P thuộc mặt cầu
b) CMR: AB.CDNP AC.DBPM AD.BCMN
(20)b) Chú ý tam giác đồng dạng
Bài 93:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’; M,N di chuyển tia A’B’, A’D’ cho (AMN) tiếp xúc với mặt cầu nội tiếp hình lập phương ( tiếp xúc với cạnh), A’B cắt AM K, A’D cắt AN L CMR: KL tiếp xúc với mặt cầu nội tiếp hình lập phương
Gợi ý: Gọi O1,O2,O3 tâm A’B’C’D’, AA’B’B,ADD’A’, dùng
91 chứng minh MO1N=900, suy A’M+A’N cạnh hình lập
phương Gọi H tiếp điểm (AMN) với mặt cầu Đặt A’M=x,A’N=y, tính LK định lý hàm cos, tính KH +LH= KO2+LO3, Suy H thuộc LK Hoặc góc AHK = AO2K=900,
AHL=A03L=900 suy KL qua H
Bài 94:
CMR: giao hai mặt cầu đường tròn
Bài 95:
Cho tứ diện SABC có diện tích xung quanh =3s, chu vi đáy 3a Một mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh đáy trung điểm chúng qua ba trung điểm ba cạnh bên
a) CM : Hình chóp SABC hình chóp tam giác b) Tính bán kính mặt cầu nói
Bài 96:
Cho hình chóp SABC có SC tạo (ABC) góc 600, M,N,P lần
lượt trung điểm SA,SB,SC.Biết điểm A,B,C,M,N,P thuộc mặt cầu bán kính R Tính đường cao SH hình chóp
Bài 97:
Cho mặt phẳng (P) , góc xOy 900 quay quanh O cắt
đường thẳng d cố định , S cố định :SA (P), d(O,d)= a a) Giả sử SO= 38a,SA=65 OA Tính góc OAB
b) OE SA,OF SB Tìm quỹ tích E,F
Bài 98:
Cho (P), góc xOy cố định thuộc (P), SO (P), SO=a; M,N chạy
trên Ox,Oy cho OM+ON=a
a) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp SOMN
b) Chứng minh tổng góc phẳng đỉnh S hình chóp SOMN 900
(21)Bài 99:
Cho (P) cố định ,đường thẳng (d) cố định O(d), O cố định
Góc xOy quay quanh O cắt (d) A,B (P), A, S cố định,
S SHSA,SKSB(HSA,KSB)
a) CMR: A,B,C,H,K thuộc mặt cầu
b) Tính bán kính mặt cầu góc AOB 900, OA=2,OB=3
c) Giả sử góc AOB vuông, chứng minh mặt cầu qua đường tròn cố định
Gợi ý: a)Gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp ABC I tâm mặt cầu c)Mặt phẳng (Q):(Q) (d) , (Q) mặt cầu đường tròn cố định
Bài 100:
Cho (O,R) cố định (P) cố định, AH đường kính cố định , I
nằm đoạn AH cho HI=R I AH M di chuyển
(O), AM =B,HM =C S điểm cho S.ABC tứ diện
vng S( góc phẳng S 900)
a) Tính SH,IB.IC
b) Tìm quy tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
Bài 101:
Cho (O,R) (P) A(O,R), A cố định, BC đường kính thay đổi,
góc ABC a AH BC ( HBC) SA (P) SA=2R
a)Tìm quỹ tích H b)Tìm a để S(SBC) max
c) Lấy A’SA,B’SB,C’SC : SA.SA’=SB.SB’=SC.SC’ =3R2
CMR:(SB’C’) cố định đường tròn qua S, B’,C’ qua điểm cố định thứ khác S
Bài 102:
Cho đường tròn (O) (P), M nằm (O) , AB (O), (O)
M S điểm cố định cho SA (P)
CMR: tg 2
2
ASM BSM
tg = const
Gọi ý: Kẻ OI AB
Hoặc vẽ mặt cầu tâm S bán kính SA, Lấy giao (SAB) với mặt cầu
Bài 103:
(22)(23)Phần thể tích cần nhớ cơng thức , tỉ số thể tích
bằng tỉ số đường cao tỉ số diện tích đáy
Bài 104:
Cho bốn đường thẳng d1, d2, d3, d4 đôi song song
khơng có ba đường thẳng đơng phẳng (P), (Q) cắt bốn đường thẳng A,B,C,D A’,B’,C’,D’ Chứng minh D.A’B’C’ D’.ABC tích
Bài 105:
Cho tứ diện ABCD; M AB,NAC : BM=2AM, AM=2CM
(P) MN : (P)//AD (P) chia tứ diện thành hai phần có tỉ lệ thể tích
bằng ?
Bài 106:
Trong (P) cho nửa đường tròn đường kính AB, C điểm di chuyển nửa đường tròn , H AB: CHAB, I CH:IC=IH, I : (P) S : góc ASB =900
a) CMR: C di động (SAB) cố định b) Đặt AH=x Tính thể tích SABI
c) O tâm mặt cầu tiếp SABC CMR: O đường
thẳng cố định
Gợi ý: CM góc (P) (SAB) khơng đổi
Bài 107:
Cho tứ diện ABCD
CMR:VABCD AB.CD.dAB,CD.sinAB,CD
6
Gợi ý:Vẽ hình bình hành ABCA’
Bài 108:
Cho tứ diện ABCD
CMR:
AB
CD AB S
S
V ABC ABD
ABCD
, sin
3
Bài 109:
(24)Bài 110:
Cho hình lăng trụ CMR: Thể tích lăng trụ cạnh bên nhân với thiết diện phẳng
Bài 111:
Trong tứ diện có cạnh nhỏ tìm tứ diện tích mhỏ
Gợi ý: Gọi M,N trung điểm AB,CD Đường vng góc chung AB,CD nhỏ MN,dùng đẳng thức 4MN2+AB2+CD2=AC2+AD2+BC2+BC2, MN nhỏ hoặc
bằng Dùng 107
Bài 112:
Cho trứơc mặt cầu (O,R) ABCD tứ diện nội tiếp mặt cầu Tìm tứ diện tích lớn
Gợi ý: x=d(O,(DBC)),
R dABCD R x
S x R
RBCD BCD BCD , ,
4 3 , ) ( 2 ) ( Bài 113:
Cho tứ diện ABCD có góc phẳng A vng ,r bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện
CMR:
AD AC AB S S S S
r ABC ACD ABD BCD
( )
Gợi ý : Dùng Stp V r 3
VECTO TRONG KHÔNG GIAN
(chứng minh toán vecto )
Bài 114:
Cho tứ diện ABCD
CMR: AB CD AC2+BD2=AD2+BC2
Bài 115:
Cho tứ diện ABCD có AB CD,AC BD
CMR: AD BC
Bài 116:
Cho tứ diện ABCD.G trọng tâm ABCD CMR:
4
(25)Bài 117:
Cho tứ diện ABCD.G trọng tâm BCD Hãy biểu diễn AG theo
các cạnh tứ diện
Bài 118:
Cho hai tứ diện ABCD,A’B’C’D’ có : AB C’D’;AC
B’D’;AD B’C’; BD A’C’; CD A’B’ CMR: BC A’D’
Gợi ý:Biến đổi vecto
Bài 179
Trong tứ diện nội tiếp mặt cầu cho trước tìm mặt cầu có diện tích toàn phần max
Gợi ý : Dùng a2+b2+c2 ≥ 4 3S(ABC)
Bài 120:
Cho tứ diện ABCD có M nằm tứ diện Đặt:V1=V(MBCD),V2=V(MACD),V3=V(MABD),V4=V(MABC) ,V=V(ABCD)
CMR:V1.MA+V2.MB+V3.MC+V4.MD=0 ( MA,MB,MC,MD là vcto)
Gợi ý: Gọi N,P giao (ABM) với CD (CDM) với AB,
MP MN
MP MD
V V MC V V
MN NP MN MB
V V MA V V
3
1
(áp dụng toán phẳng)
(MA.MB,MC,MD,MN,MP vécto) Bài 121:
Cho tứ diện OABC , M thuộc ABC CMR:
S(ABC).OM=S(MBC).OA+S(MAC).OB+S(MAB).OC ( OM,OA,OB,OC vecto)
Bài 122:
Cho tứ diện ABCD, I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện; A’,B’,C’,D’ hình chiếu I lên (BCD),(ACD),(ABD), (ABC)
CMR:SBCD.IA'0 (IA’,IB’,IC’,ID’ vécto)
(26)Bài 123:
Cho tứ diện ABCD
CMR: (AB,CD)=(AC,BD)=(AD,BC) (1)
(AB,CD)=(AC,BD)=(AD,BC)=900
Gợi ý: Vẽ hình lăng AMBN.QCPD ngoại tiếp tứ diện Giả sử
MC MB
MA góc hai cạnh hình tứ diện góc
hai vecto Viết (1) tương đương với cos góc hai vecto ,sau biểu diễn cos góc hai vecto tích vơ hướng chúng độ dài đại số Chú ý tích vơ hướng tử cộng trừ với dùng tỉ lệ thức
Bài 124:
Giải lại 18 phương pháp vecto, dùng quan hệ song song
Bài 125:
Cho tứ diện ABCD
CMR: cos(AB)+ cos(AC) +cos(AD)+ cos(BC)+ cos(BD)+ cos(CD) ≤
Gợi ý: I tâm mặt cấu ngoại tiếp tứ diện, A’,B’,C’,D’ hình chiếu I lên (BCD),(ACD),(ABD),(ABC).Khi cos(CD)=-cosA’IB’… Sau biến đổi IA'2 0.Dùng 122
để xét dấu , tứ diện gần
Bài 126:
Cho tứ diện OABC CMR: M thuộc (ABC)
OA
OM
1
:,
,
(OM,OA,OB,OC vecto) Bài 127:
Cho góc tam diện Oxyz , số dương a,b,c A,B,C chạy Ox,Oy,Oz cho
OC c OB
b OA
a
CMR: (ABC) qua điểm cố định
(27)Lấy M cho OM=OX+OY+OZ,sau chuyển OX,OY,OZ vecto OA,OB,OC (OX,OY,OZ,OM các vecto)
Bài 128:
Cho tứ diện OABC, M Tìn điều kiên để M thuộc mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Bài 129:
Cho hai hình chữ nhật ABCD,ABEF có AB=a,AD=BE=a không đồng phẳng cho AC BF
a) Tính góc DAF b) Tính d(AC,EF)
Gợi ý : a)Có AC BF biến đổi vecto AC AB,AD BF BA,AF
b)M trung điểm BE,(ACE) EF.Hoặc gọi HK đường
vng góc chung
HK=mCA+AB+nBF
Mà HK.AC=0;HK.BF=0 Suy m,n ( HK,AB,BF vecto) Bài 130:
Cho tứ diện ABCD, M thuộc tứ diện
MA(BCD)=A’,MB(ACD)=B’,MC(ABD)=C’,MD(A
BC)=D’ (P)M, (P) // (BCD); X,Y,Z giao A’B’,A’C’,A’D’
với (P)
CMR: M trọng tâm XYZ
Gợi ý: Tính vecto MX theo MA’,MB’… sau cộng số hạng chung MA’, áp dụng 120 thay thể tích dạng tỉ số
Bài 131:
Cho góc tam diện Oxyz, số dương a,b,c A,B,C chạy Ox,Oy,Oz cho aOA+bOB+cOC=1