TH1: Tam giác nhọn.. Gọi H là trực tâm của tam giác BIK.. Một số bài toán đa giác và đường tròn.. Giải: Vẽ RS qua M song song với cạnh AB,CD.. Vậy ABCD là hình thang.. b) Tính tỉ số p[r]
(1)****************************************************************** MỤC LỤC
I HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH fx 570MS
IV HÌNH HỌC 32
A Một số công thức hay sử dụng: 32
B Một số dạng tính tốn: 34
1 Hệ thức lượng giác tam giác 34
2 Hệ thức lượng đường tròn 34
3 Véc tơ 34
4 Đường thẳng: 34
5 Mặt phẳng 35
6 Đường tròn: 35
7 Mặt cầu 35
8 Elíp 36
9 Hypebol 36
10 Parabol 36
11 Tìm giao đường 36
12 Tứ diện – hình chóp 36
13 Một số tốn tham khảo 37
14 Một số toán đa giác đường tròn 40
(2)******************************************************************
I HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH fx 570MS
IV HÌNH HỌC
A Một số cơng thức hay sử dụng:
a) Véc tơ:
- Cộng trừ véc tơ
- (| | | |) | || |cos( ; )
1
.b a b a b a b a b
a
- Công thức trọng tâm: GAGBGC 0; ( )
3
MC MB MA
MO
b) Định lý Ceva: AM, BN, CP đồng quy
1 PB PA NA NC NC MB
c) Định lý Mencleit: M, N, P thẳng hàng
1 PB PA NA NC NC MB
d) Công thức lượng giác: *) Tam giác vuông:
BA2=BH.BC
BC2=AC2+AB2
AH2=HB.HC
2 2 1 AC AB
AH
*) Tam giác thường: - Trung tuyến:
4 ) ( 2 2
2 AB AC BC
AM
- Định lý hs Sin: R
C c B b A a sin sin
sin
- Định lý hs Cosin: a2 =b2+c2-2bccosA
- Diện tích: S = ( )( )( )
4 sin 2 c p b p a p p R abc pr C ab
aha
2
] [ )
(p a ra AB AC ABAC
- Đường phân giác:
c b A bc la cos
*) Tam giác đều: Diện tích, chiều cao: S=
(3)****************************************************************** *) Diện tích hình quạt: 20
360
R S
e) Diện tích, thể tích:
- Hình chóp: V Bh
3
- Hình nón: V R h;Sxq Rl
3
1
- Hình chóp cụt: V (B BB' B')h
3
- Hình nón cụt: V (R RR' R' )h;Sxq (R R')l
3
1
- Hình lăng trụ: V=Bh; Sxq=Chu vi thiết diện phẳng x l
- Hình cầu: 3; 4
3
R S
R
V xq
- Hình trụ: V R h;Sxq 2Rh
2
- Hình chỏm cầu: V h R h);S 2Rh
3 (
- Hình quạt cầu: V R2h
3
B Một số dạng tính tốn:
1 Hệ thức lượng giác tam giác.
VD1: Cho tam giác ABC biết AB =5dm; BC = 4dm; CA=8dm tính góc ĐS: A 2408'49";B 12505'59";C 30045'12"
VD2: Cho tam giác ABC biết AB =5dm; AC = 4dm; góc A=46034’25”
1 Tính chu vi ĐS: 2p 12,67466dm
2 Tính gần diện tích đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: S 20,10675dm2.
VD3: Cho tam giác ABC biết AB =6dm; góc A=84013’38”;B=34051’33”
Tính diện tích tam giác ĐS: S 20,49315dm2.
VD4: Tính diện tích tam giác ABC biết A(8; -3); B(-5; 2); C(5; 7) Tính diện tích tam giác ĐS: S = 75,7 ĐVDT
VD5: Tính diện tích tứ giác ABCD biết A(-3; 4); B(2; 3); C( 2;5);
D(-4;-3)
S 37,46858 ĐVDT
VD6: Tính gần diện tích chu vi đa giác 50 cạnh nội tiếp đường trịn bán kính 1dm ĐS: S 3,13333 dm2 C6,27905dm
VD7: Cho tam giác ABC có AB = cm; BC = cm; CA = cm Vẽ đường cao AA’; BB’; CC’ Tính diện tích tam giác A’B’C’
HD:
S S '
1-(cos2A+cos2B+cos2C)=2cosAcosBcosC = 1,9441cm2. 2 Hệ thức lượng đường tròn.
VD: Hai dây cung AB Cd cắt I nằm đường trịn (O) Tính IA, IB biết IC = 15, 3cm; ID = 17,5 cm; AB = 34,7cm
(4)****************************************************************** HD: cm IB cm IA AB IBIA IDIC IBIA 1,23 6,11 . .
3 Véc tơ.
VD1: Cho véc tơ a=(2; 7); b= (-3;4); c=(0; 7) Tính g 5a7b 3c
VD2: Cho véc tơ a=(2; 7; 5); b= (-3;4; 7); c=(0; -7;-3) Tính c
b a
g 5 7 VD3: Cho M(-2; 2); N(4; 1) Tính góc MON
ĐS: 120057’50” 4 Đường thẳng:
4.1 Góc đường thẳng
2 2 2 2 | | ) ; cos( b b a a b b a a d d
VD: D1: 2x -3y-1=0
D2: 5x-2y+4 =0 Tìm giao góc đường thẳng ĐS: (-14/11; -13/11) cos(D1; D2) = 34030’30”
4.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Khoảng cách từ M1 đến đường thẳng D qua M0 có véc tơ phương u
(d): c z z b y y a x
x 0 0 0
(d’); ' ' ' ' '
'0 0 0
c z z b y y a x x ; ) ' , ' , ' ( ' ); , ,
(a b c u a b c
u ; M(x0; y0; z0); M’(x’0; y’0; z’0)
) ( ) ' ( u Abs u x M M Abs d
4.3 Khoảng cách đường thẳng chéo ) ' ( | ' ) ' ( | u x u Abs MM u x u d
*) Phương trình đường vng góc chung
0 ' )] ' ( [ 0 )] ' ( [ 0 M M u x u x u M M u x u x u
Trong M điểm thuộc đường vng góc chung
5 Mặt phẳng.
VD: Trong không gian Oxyz cho M(1;3;2); N(4;0;2); P(0;4;-3); Q(1;0;3) Viết phương trìnhmặt phẳng (MNP)
(5)****************************************************************** 2) S = 10,6066 (đvdt)
1) V = ( ) | 152
1
| MNxMP MQ (đvtt)
6 Đường tròn:
- Biết tâm bán kính - Đi qua điểm
VD: Viết phương trình đường trịn qua điểm M(1; 20); N(5; 2); P(1; 3) ĐS: x2+y2-6x+y-1=0
7 Mặt cầu.
- Biết tâm bán kính - Đi qua điểm
VD: Viết phương trình mặt cầu 1) Biết tâm: I ) ; ;
( qua điểm M(-4; 5; 7)
2) Đi qua điểm: A9 -1; 2; 9); B(2; -4; 0); C(1; -7; 9); D(-2; 0; -4) HD: 1) R=IM
225 27949 ) ( ) ( )
( 2 2
x y z
2) 1352 158793 ) 52 199 ( ) 13 56 ( ) 52 423 ( ) 52 199 ; 13 56 ; 52 423
(
z y x I ID IC IC IB IB IA 8 Elíp. 2 2 b y a x
VD: Viết phương trình Elíp qua điểm )
4 11 ; ( ); 13 ; ( N M
ĐS:
9 16 2 y x 9 Hypebol. 2 2 b y a x (tương tự) 10 Parabol.
y2=2px (tương tự) 11 Tìm giao đường.
VD1: Gọi M giao điểm có hai tọa độ dương Parabol y2=7x và
Hypebol
9 16 2 y x
1 Tính tọa độ điểm M ĐS: M(13,61925; 9,76395)
2 Tiếp tuyến hypebol M cắt Parabol điểm N khác với M Tính tọa
độ điểm N ĐS: N(0,10134; -0,84225)
VD2: Tính giá trị gần b để y=2x+b tiếp tuyến elíp
1 16 2 y
x ĐS: 7,21110; 7,21110
2
1 b
b
(6)****************************************************************** VD3: Tính giá trị gần a, b để y=ax+b qua A(1; 2) tiếp tuyến hypebol
16 25
2
y
x
ĐS:
6 ;
3 ;
1
b a
b a
VD4: Tìm giao điểm độ dài dây cung AB đường tròn: x2 + y2 + 5x
-4y + = x2 + y2 + 4x - 2y-1 = 0.
ĐS: (0,19090; 2,09545); (-4,19089; -0,09544); AB
12 Tứ diện – hình chóp.
VD1: Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết ABCD hình chữ nhật cạnh AB = 6dm; AD = 3dm; cạnh SA =8dm tạo với đáy góc 400
ĐS: V 71,25381dm3
VD2: Tính gần thể tích khối tưd diện ABCD biết AB = AC = AD =
5dm; BC= BD=CD=4dm ĐS: V 10,24153dm3
VD3: Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết ABCD hình chữ nhật cạnh AB = 8dm; AD = 2dm; cạnh SA = 8dm chân đường cao giao điểm
của đường chéo đáy ĐS: V 60,39868dm3
VD4: Tính thể tích tứ diện ABCD biết AB = AC=AD=CD = 5dm; góc CBD = 900; BCD = 40015’27”. ĐS: V 8,89777dm3
VD5: Tính gần diện tích tồn phần tứ diện ABCD AB = AC = AD=CD = 7dm; góc CBD = 900; góc BCD = 45038’13”. ĐS: S 65,87243dm2
13 Một số toán tham khảo.
VD1
(7)******************************************************************
(8)******************************************************************
(9)******************************************************************
VD2: Từ đỉnh B hình bình hành ABCD kẻ đường cao BK, BI vng góc với CD AD Gọi H trực tâm tam giác BIK Tính BH biết BD = 17 cm; IK = 15 cm
VD3: Cho hình vng ABCD nội tiếp (O,12) Một điểm M thuộc (O)
Tính xác đến chữ số thập phân
(10)******************************************************************
VD4: Cho tam giác PQR, gọi S điểm thuộc cạnh QR, U điểm thuộc
cạnh PR, giao điểm PS QU T Cho biết PT = TS , QS = RS diện tích tam giác PQR 150 Tính diện tích tam giác PSU
S(PSR)=S(PQR)/3=50
Vẽ SK (khơng có hình) song song với QU (K thuộc PR) =>RK=RU/3, PU=PK
=> PU=2/5*PR
=>S(PSU)=2/5*S(PSR)=20 (dvdt)
14 Một số toán đa giác đường tròn
Hệ Nếu ABCD tứ giác lồi nội tiếp 90
o
B D
nên
( )( )( )( )
S p a p b p c p d Ta nhận lại công thức định lý 3.41
Hệ Nếu d 0, tức tứ giác suy biến thành tam giác ta có hệ thức Heron:
( )( )( )
S p p a p b p c
Áp dụng: Diện tích tứ giác lồi ABCD có cạnh 18, 34, 56, 27 (cm)
210o
B D tính sau:
18 34 56 27 2 Min 18 [( MR 34 )]
[( MR 56)] [( MR 27 )] 18345627 [( 210o,,, 2)] cos SHIFT
2
x (842.8188673)
Đáp số: S842,8cm2
5 Đa giác hình trịn
Bài 3.44 (Sở GD & ĐT Đồng Nai, 1998, vịng Tỉnh, cấp PTTH & PTCS)
Một ngơi năm cánh có khoảng cách hai đỉnh khơng liên tiếp 9,651 cm Tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp (qua đỉnh)
Giải: Ta có cơng thức tính khoảng cách
A B
C
D E
(11)****************************************************************** hai đỉnh không kề năm cánh (hình vẽ):
10 cos18
2 o R
AC d R
Công thức d 2 cos18R o hiển nhiên
Công thức cos18 10
o
chứng minh sau:
Ta có: 1 sin 182 cos 182 cos36 sin 54 3sin18 4sin 183 .
2 2
o o o o
o o
hay 4sin 183 o 2sin 182 o3sin18o 1 0.
Suy sin18o nghiệm phương trình:
3 2
4x 2x 3x 1 (x1)(4x 2x1) 0 Vậy sin18
4 o
Từ ta có: cos 182 1 sin 182 1 ( 1)2 10 5.
4 16
o o
hay cos18 10 10
16
o
Suy cos18 10 o R
d R
và
2cos18o 10 5
d d
R
Cách giải 1: 9.651 218 o,,, cos (5.073830963)
Cách giải 2: 29.651 [( [( 10 25 )] (5.073830963)
Đáp số: 5,073830963.
Bài 3.45 (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh, 1996, vịng 1)
Tính khoảng cách hai đỉnh khơng liên tiếp ngơi cánh nội tiếp đường trịn bán kính R5, 712cm
Cách giải 1: Ta có cơng thức tính khoảng cách hai đỉnh khơng kề của ngơi năm cánh (xem hình vẽ chứng minh 3.44):
10 cos18
2 o R
d R
Tính: MODE 25.71218 o,,, cos (10.86486964)
Cách giải 2: 10 25 5.712 2 (10,86486964)
Đáp số: 10,86486964.
Bài 3.46 Cho đường trịn tâm O, bán kính R 11, 25 cm Trên đường tròn cho,
đặt cung AB 90 , o BC 120 o cho A C nằm
cùng phía BO.
a) Tính cạnh đường cao
AH tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC
(chính xác đến 0,01)
**************************************************************** 11
A
B C
(12)****************************************************************** Giải: a) Theo hình vẽ:
sđ AC = sđ BC- sđ AB = 1200 - 900 = 300 Tính góc nội tiếp ta được:
ABC= 150; ACB= 450 Suy ra: BAC= 1200; CAH= 450; BAH= 750 Ta có: AB R 2; BCR
Vì AHC vng cân, nên AH HC (đặt AHx) Theo định lí Pitago ta có: AH2 AB2 HB2
Do đó: x2 R 3 x 2 R 22
hay 2x22R 3x R 20 Suy ra:
3
R R
x ;
3
R R
x
Vì AHACR, nên nghiệm 2
2
R R
x bị loại
Suy ra: ( 1)
R
ACAH
Gọi diện tích ABC S, ta có:
2
1 3 (3 3)
2 2
R R R
S AH BC R
Ấn phím: 11.25 Min 2 MODE (15.91) VậyAB15,91cm
Ấn tiếp phím: MR 3 Kết quả:19.49 Vậy: BC19, 49cm
Ấn phím: MR [( 2 (5.82) VậyAC5,82cm
Ấn tiếp phím: MR [( 2 (4.12) Vậy:AH 4,12cm
Ấn tiếp phím: MR SHIFT x2 [( 3 4
Kết quả: S 40,12cm2
Bài 3.47 (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi tốn tồn nước Mỹ, 1972) Cho hình vuông ABCD cạnh 12 Vẽ đoạn AE với E điểm
cạnh CD và DE5cm Trung trực AE cắt AE AD, và BC
M P, và Q Tỷ số độ dài đoạn PM MQ là:
(A) 5:12; (B) 5:13; (C) 5:19; (D) 1:4; (E) 5:21 Giải: Vẽ RS qua M song song với cạnh AB,CD
Ta có: MPMQMRMS
Vì RM đường trung bình tam giác ADE nên MR DE2 Mà: MSRS MR
Vậy:
2
DE MP MR
DE MQ MS RS
Áp dụng số với DE5cm RS, 12 cm:
5ab c/ Min [( 12 MR = (
19)
R S
A B
Q E
D
P
M
(13)****************************************************************** Đáp số (C)
Chú ý: Nếu không sử dụng phân số (5 ab c/ 2) mà dùng (5 2) máy cho đáp
số dạng số thập phân
Hãy tính: 5 2 Min [( 12 MR (0.2631579)
So sánh: ab c/ 19SHIFT ab c/ ab c/ Kết quả: 0.2631579
Như vậy, hai kết nhau, kết thực dạng phân số (khi khai báo ab c/ 2), kết thực dạng số thập phân
(khi khai báo 52)
Bài 3.48 Trên đường trịn tâm O, bán kính R15, 25 cm, người ta đặt cung liên
tiếp: AB= 600, BC= 900, CD = 1200 a) Tứ giác ABCD hình gì?
b) Chứng minh ACBD.
c) Tính cạnh đường chéo ABCD
theo R xác đến 0,01
d) Tính diện tích tứ giác ABCD.
Giải: a) sđAD= 3600 - (sđAB+sđ BC+sđCD) = 3600 - (600 + 900 + 1200) = 900.
Suy ra: AD = BC, ABD= BDC= 450 (vì 900
2 )
Từ ta có: AB CD// Vậy ABCD hình thang
Mặt khác, ADB= BCD (cùng 60 +900
2 )
Vậy ABCD hình thang cân (đpcm).
b) Vì ABD= BAC= 450 (vì 900
2 )
Suy AEB= 900, ACBD (đpcm)
c) Theo cách tính cạnh tam giác đều, tứ giác đều, lục giác nội tiếp đường trịn bán kính R, ta có:
AB R ; ADBCR 2; DCR Các tamgiácAEB CED, vuông cân, suy
2
AB AE ,
2
CD CE . Vậy: AE R2 ,
2
R
CE Suy (1 3)
2
R R R
ACAE EC .
d) 1 2(1 3)2 2(1 3)2 [ (1 3)]2
2 2
ABCD
R R R
S AC DB AC
Tính: MR [( 2 SHIFT x2 MODE (433.97) Vậy SABCD 433,97cm2
Ấn tiếp: 15.25 Min 2 Kết quả: 21.57
Vậy AD BC 21,57cm
Ấn tiếp phím: MR 3 (26.41) Vậy: CD26, 41cm
**************************************************************** 13
A B
C D
E
60°
(14)******************************************************************
Ấn tiếp phím: MR [( 1 2 (29.46) Vậy ACBD29, 46cm
Bài 3.49 Cho đường tròn tâm O, bán kính R3,15 cm Từ điểm A ngồi
đường trịn vẽ hai tiếp tuyến AB AC (B, C hai tiếp điểm thuộc (O)) Tính
diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai tiếp tuyến cung tròn nhỏ BC biết rằng 7,85
AO a cm (chính xác đến 0,01 cm)
Giải: Ta có: cos 3,15 7,85
OB R OA a
2 sin ABOC AOB
S S a R ;
Squạt OBC 2.2
360 180
R R
Sgạch xọc= SABOC - Squạt OBC sin 180
R aR
Tính máy: 3.15 7.85 SHIFT cos-1 SHIFT ,,, Min sin
7.853.15 SHIFT 3.15SHIFT x2 MR 180 (11.16)
Đáp số: Sgạch xọc = 11,16 cm2
Bài 3.50 Tính diện tích hình có cạnh cong (hình gạch sọc) theo cạnh hình vng a = 5,35 xác đến 0,0001cm
Giải: Diện tích hình gạch xọc MNPQ
(SMNPQ) diện tích hình vng ABCD (SABCD) trừ lần diện tích 1
4 hình trịn bán kính
a R .
MNPQ
S
2 4
4
R a
2
4
a a
2(4 )
4
a
2
5,35 (4 )
Ấn phím: 5.35 SHIFT x2 [( 4 4 MODE 2 (6.14)
Kết luận:SMNPQ 6,14 cm2
Bài 3.51 Tính diện tích phần hình phẳng (phần gạch xọc) giới hạn cung tròn cạnh tam giác ABC (xem hình vẽ), biết: ABBC CA a 5,75 cm
Giải: 2
3
a R OA OI IA AH .
Suy ra:
3
a
R AOI 600
Diện tích hình gạch xọc diện tích tam giác ABC trừ diện tích hình hoa
(gồm hình viên phân có bán kính R góc tâm 600)
2 3
4 ABC
a
S ;
2
2 3 3 3 3
4 12
O AI
R a a
S
O B
a
A
C
A N B
P
C Q
D M
C A
B H
(15)****************************************************************** Diện tích viên phân: 6R2 R243 R223 23R2(212 3)
.
Tính theo a, diện tích viên phân bằng: 2(2 3)
36
a ;
Sgạch xọc
2 3 2(2 3 3) 2(9 )
6
4 36 12
a a a
; Sgạch xọc
2
5,75 (9 ) 12
Bấm tiếp: 5,75SHIFT x2 [( 93 4 SHIFT )] 12
Kết quả: Sgạch xọc 8,33 cm2
Bài 3.52 Viên gạch cạnh a30cm có hoa văn hình vẽ
a) Tính diện tích phần gạch xọc hình cho, xác đến 0,01 cm b) Tính tỉ số phần trăm diện tích
phần gạch xọc diện tích viên gạch Giải: a) Gọi R bán kính hình trịn
Diện tích S hình viên phân bằng:
2 2
2
4 16
R R R a
S .
Vậy diện tích hình gồm viên phân
bằng
2
2
a
.
Diện tích phần gạch xọc bằng: 2 2 24
2
a a
a .
Tính máy: 30SHIFT x2 Min [( 4 SHIFT )] 2
MODE (386.28) Vậy Sgạch xọc 386,28 cm2
Ấn phím tiếp: MR SHIFT % (42.92)
Tỉ số diện tích phần gạch xọc diện tích viên gạch 42,92%. Đáp số: 386,28 cm2; 42,92 %.
Bài 3.53 Nhân dịp kỷ niệm 990 năm Thăng Long, người ta cho lát lại đường ven hồ Hồn Kiếm viên gạch hình lục giác
Dưới viên gạch lục giác có mầu (các hình trịn mầu, phần cịn lại mầu khác) Hãy tính diện tích phần gạch
mầu tỉ số diện tích hai phần đó, biết 15
AB a cm
Giải: Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác là:
1 a a
3
R
Diện tích hình trịn là: 2
12
a R
Diện tích hình trịn là:
2
2
a
Tính máy: 15SHIFT x2 2 Min (353.4291)
Diện tích tồn viên gạch là: 3
4
a a
Diện tích phần gạch xọc là: 3
2
a a
**************************************************************** 15 D
M A
Q C
P
N B
A B
F O
(16)******************************************************************
Bấm tiếp phím: 315SHIFT x2 3 MR (231.13797)
Ấn tiếp phím: MR SHIFT % Kết quả: 65.40
Đáp số: 353,42 cm2 (6 hình trịn); 231,14 cm2 (phần gạch xọc); 65,40 %
Bài 3.54 Viên gạch hình lục giác ABCDEF có hoa văn hình hình vẽ, đỉnh hình M N P Q R S, , , , , là trung điểm cạnh lục giác Viên gạch tơ hai mầu (mầu hình mầu phần lại) Biết cạnh lục giác a = 16,5 cm Tính diện tích phần (chính xác đến 0,01) Tính tỉ số phần trăm hai diện tích
Giải: Diện tích lục giác ABCDEF bằng:
S1=6
2
a
=
2
3a
Lục giác nhỏ có cạnh b a2, cánh tam giác có cạnh b a2 Từ suy ra:
Diện tích lục giác cạnh b S2 bằng: S2 =3b2
2 =
2
3a
Diện tích tam giác cạnh b S3: S3 =
2
3a
8 Tính máy: 316.5
SHIFT x2 3 82 MODE 2 (353.66) Min
Ấn tiếp phím: 316,5SHIFT x2 3 2 MR (353.66)
Ấn tiếp phím: MR SHIFT % Kết quả: 100 Vậy diện tích hai phần
Lời bình: Có thể chứng minh phần có 12 tam giác nhau, diện tích hai phần Từ cần tính diện tích lục giác chia đôi Bài 3.55 Cho lục giác cấp ABCDEF có cạnh AB a 36 mm Từ trung điểm
của cạnh dựng lục giác A B C D E F' ' ' ' ' ' và hình cánh có đỉnh trung điểm A B C D E F', ', ', ', ', ' (xem hình vẽ) Phần trung tâm hình lục giác cấp MNPQRS Với lục giác ta lại làm tương tự lục
giác ban đầu ABCDEF hình lục giác cấp Đối với lục giác
cấp 3, ta lại làm tương tự lục giác cấp Đến ta dừng lại Các cánh hình tơ mầu (gạch xọc), cịn hình thoi hình chia thành tam giác tô hai mầu: mầu gạch xọc mầu "trắng" Riêng lục giác cấp tơ mầu trắng
a) Tính diện tích phần tơ mầu "trắng" theo a. b) Tính tỉ số phần trăm
diện tích phần "trắng" diện tích hình lục giác ban đầu
**************************************************************** 16 F
A
D
O C
B
R
M
N
P Q
S
E' C'
F F'
A
B'
A' B
S
M N
P
Q R
(17)****************************************************************** Giải: a) Chia lục giác thành
6 tam giác có cạnh a đường chéo qua đỉnh đối xứng qua tâm, từ ta có S = 6
4 a = 3 a . Chia lục giác ABCDEF thành
24 tam giác có cạnh
bằng a2 Mỗi tam giác cạnh a2 có diện tích diện tích tam giác "trắng" ' '
A NB (xem hình vẽ) Suy diện tích tam giác trắng vịng ngồi
244 diện
tích lục giác cấp ABCDEF.
Vậy diện tích tam giác trắng vịng ngồi là: 3
4
a
(1)
b) Tương tự với cách tính ta có: MN b 2a;
b c .
Diện tích tam giác trắng lục giác cấp MNPQRS là:1 3
4
b
(2)
Diện tích tam giác trắng lục giác cấp là: 3
4
c
(3)
Diện tích lục giác trắng (với d 2c): 3
2
d (4) Tóm lại ta có:
S1 =
2
1 3 a = 3
a ; S
2 =14
2
3
b
=1
4 2 3 2 a = 3 a ; S3 = 14
2
3
c
= 2 3 a = 3
a ; S
4 =
2
3
d = 2 3 a = 3 a . Strắng =S1+S2+S3+S4 =3a2 (
1 2 2 2 )=
2
3
a
6
2 2 .
Ấn phím: 336 SHIFT x2 3 2 MODE (3367.11) Min Vậy SABCDEF = 3367,11 mm2
Ấn tiếp phím: 2SHIFT xy 4 2SHIFT x 2SHIFT y
x 6 MR (1157.44) Vậy Strắng 1157,44 mm2
Ấn tiếp phím: MR SHIFT % (34.38) Vậy trang
ABCDEF
S
S 34,38%
Đáp số: 1157,44 mm2 34,38%.
Bài 3.56 Cho hình vng cấp ABCD với độ dài cạnh AB 40 a cm Lấy
, , ,
A B C D làm tâm, thứ tự vẽ cung trịn bán kính a, bốn cung trịn cắt
tại M N P Q, , , Tứ giác MNPQ hình vng, gọi hình vuông cấp Tương tự
như trên, lấy M N P Q, , , làm tâm vẽ cung trịn bán kính MN, giao điểm
(18)****************************************************************** , , ,
E F G H là hình vng cấp
Tương tự làm tiếp hình vng cấp XYZT dừng lại (xem hình vẽ)
a) Tính diện tích phần hình khơng bị tơ mầu (phần để trắng theo a)
b) Tìm tỉ số phần trăm hai diện tích tơ mầu khơng tơ mầu
Giải: a) Tính diện tích cánh hoa trắng cấp (bằng viên phân trừ lần diện tích hình vng cấp 2)
S1 =
2 2
a a
4 -
4 b
(b cạnh hình vng cấp 2)
Tương tự, tính diện tích cánh hoa trắng cấp cấp 3:
2 2 4( - )
4
b b
S c (c cạnh hình vng cấp 3)
2 2 ( - )
4
c c
S d (d cạnh hình vng cấp 4)
Rút gọn: S1 = a2( - 2) - 2b2; S2 = b2(- 2) - 2c2; S3 = c2(- 2) - 2d2 ;
Strắng=S1+S2+S3 =(a2 + b2 + c2)-4(b2 + c2)-2 (a2 + d2)
b) Ta có: MCQ= 300; b = QM = 2MK = 2a.sin150 = a(2sin150).
Tương tự: c = 2b.sin150 = a(2sin150)2; d = 2c.sin150 = a(2sin150)3.
Ký hiệu x = 2sin150, ta có: b = a.x; c = ax2; d = ax3.
Thay vào cơng thức tính diện tích Strắng ta được:
Strắng = (a2 + a2 x2 + a2 x4) - 4(a2 x2 + a2 x4) - 2(a2 + a2 x6)
= a2
(1 + x2 + x4) - 4a2(x2 + x4) - 2a2(1 + x6)
Ấn phím: 15o,,, sin 2 Min SHIFT xy MR SHIFT x2
1 SHIFT 40SHIFT x2 440SHIFT x2 [( MR SHIFT x2 MR SHIFT xy 4)] 240SHIFT x2
[( 1 MR SHIFT xy MODE (1298.36) Min Vậy Strắng 1298,36 cm2
Bấm tiếp phím: 40 SHIFT x2 MR (301.64)
Vậy Sgạch xọc 301,64 cm2
Bấm tiếp phím: MR SHIFT % (23.23) Vậy gach xoc
trang
S
S 23,23%
Đáp số: 1298,36 cm2; 23,23%.
Bài 3.57 Cho tam giác ABC có cạnh a 33,33 cm và tâm O Vẽ cung
tròn qua hai đỉnh trọng tâm O tam giác hình Gọi A B C', ', ' là trung điểm
cạnh BC, CA AB Ta lại vẽ cung tròn qua hai trung điểm điểm O, ta hình nhỏ
a) Tính diện tích phần cắt bỏ (hình gạch xọc) của tam giác ABC để hình lại.
O A
(19)****************************************************************** b) Tính tỉ số phần trăm phần
cắt bỏ diện tích tam giác ABC. Giải: A B C' ' ' cũng tam giác
nhận O làm tâm (vì AA BB CC', ', ' cũng đường cao, đường trung tuyến ' ' '
A B C) có điểm chung O, nghĩa khơng có phần diện
tích chung
Mỗi viên phân có góc tâm 600, bán kính 2
3 đường cao tam giác
Gọi S1 diện tích viên phân Khi
S1 =
2 3
-6
OA OA
=
12
OA (2-3 3) Ta có: OA 23
2
a = 3
a .
Gọi S diện tích lớn, S' diện tích nhỏ Khi ấy:
S =6S1 =
2
2
OA (2 -3 3)=
2
6
a (2 -3
3)
Gọi cạnh tam giác A B C' ' ' b, tương tự ta có: S'=
6
b
(2 -3 3) =
2
24
a (2-3 3)
Tổng diện tích là: S + S' = (2 -3 3)( 2
6 24
a a
)
Diện tích phần gạch xọc (phần cắt bỏ) S''.
S''=
ABC
S -(S + S')=
4
a - (2-3 3)( 2) (7 )
6 24 12
a a a
Tính SABC: 33.33 SHIFT x2 3 4 (481.0290040) Min
Tính S'' : 73 8 512 33.33 SHIFT x2 (229.4513446)
Vậy S'' 229,45 cm2.
Ấn tiếp phím để tính
ABC
S''
S : MR SHIFT % Kết quả: 47.70
Đáp số: S'' 229,45 cm2;
ABC
S''
S 47,70 %
6 Hình học không gian
Bài 3.58 (Sở GD&ĐT Hà Nội, 1996, vịng trường, lớp 10) 1) Tính thể tích V hình cầu bán kính R 3,173.
2) Tính bán kính hình cầu tích V 137, 45dm3
Giải: 1) Ta có cơng thức tính thể tích hình cầu:
3
V R
Tính máy: 3.173 SHIFT xy 34 3 (133.8131596)
2) Từ công thức
3
V R suy 33
4
V R
Áp dụng: 3137.45 4 SHIFT xy ab c/ 3(3.20148673)
Đáp số: V 133.8134725 dm3
; R3, 201486733dm
Bài 3.59 (Sở GD & ĐT TP HCM, 1998, vòng chung kết, PTTH & PTCB) Tính góc HCH phân tử mêtan (H: Hydro, C: Carbon)
(20)****************************************************************** Giải: Gọi G tâm tứ diện ABCD
cạnh a, I tâm tam giác đềuBCD
Góc HCH phân tử mêtan
góc AGB tứ diện ABCD
Khi ta có:
3
a IB
Suy 2 ( )2
3
a a
AI AB IB a
34
2
a BGAG AI
Gọi E điểm AB Khi sin 23 23
2
a AE AGE
AG a
.
TínhAGB:2 ab c/ SHIFT sin-1 2 SHIFT o,,, (109 28 16.39o o )
Đáp số: 109 28'16''o
Bài 3.60 (Sở GD & ĐT TP HCM, 1998, vòng chung kết, PTTH & PTCB)
Cho hình chóp tứ giác SABCD, biết trung đoạn d 3, 415cm, góc cạnh bên
đáy 42 17 'o Tính thể tích
Giải: Gọi cạnh đáy chóp tứ giác SABCD a, chiều cao h, góc
cạnh bên đáy Khi SH tg AH hay h SH a22tg Mặt khác,
2 ( )2
2
a
h d hay ( )2 ( )2
2
a a
tg d
Suy
2
d a
tg
2
2
2 1 2
a d
h tg tg
tg
Thể tích tứ diện tính theo cơng thức:
2
2
2
2
1 4
3 1 2 (1 ) (1 2 )
d tg d d tg
V ha
tg
tg tg
Tính máy:
42 33.415 SHIFT xy 342 o,,,17 o,,, tan Min [( 1 2 MR SHIFT x2 )] SHIFT xy 3 ab c/ 2(15.795231442)
Đáp số: V 15,795cm3.
A
B C
D
I G
A B C
D
S