Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác ABHI nội tiếp.. 3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và[r]
(1)Kì thi : Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Câu I (2,0 điểm)
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc2 2 2) Cho x, y thỏa mãn x3 y- y +1+ y+ y +12 Tính giá trị biểu thức
4 2
A x +x y+3x +xy- 2y +1 Câu II ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình (x - 4x+11)(x - 8x +21) 352
2) Giải hệ phương trình
2
2
x+ x +2012 y+ y +2012 2012 x + z - 4(y+z)+8 0
Câu III (2,0 điểm)
1)Chứng minh với số nguyên n (n2 + n + 1) khơng chia hết cho
2)Xét phương trình x2 – m2x + 2m + = (1) (ẩn x) Tìm giá trị nguyên dương m để phương trình (1) có nghiệm ngun
Câu IV (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vng A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF I M điểm di chuyển đoạn CE
1) Tính BIF .
2) Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh AM = AB tứ giác ABHI nội tiếp
3) Gọi N giao điểm BM với cung nhỏ EF (O), P Q hình chiếu N đường thẳng DE, DF Xác định vị trí điểm M để PQ lớn
Câu V (1,0 điểm)
Cho số a, b, c thỏa mãn 0 a b c 1 Tìm giá trị lớn
biểu thức B (a+b+c+3)a+1 b+1 c+11 + 1 + 1
(2)ĐÁP ÁN
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm theo cách riêng đáp ứng yêu cầu cho đủ điểm
- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải thống Hội đồng chấm
- Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu Nội dung
Câu I (2,0đ)
1) 1,0 điểm a (b - 2c) +b (c - a) + 2c (a - b) + abc=2c (a - b)+ab(a-b)-c(a2 2 2 b2) ac a b( )
2
(a b)[2c 2ac ab bc]
(a b)[2 (c c a) b a c( )]
(a b a c b)( )( )c
2) 1,0 điểm Có x = y- y + 13 y+ y + 12
3 3 3
x = 2y +3 y - y + y+ y + 1 y- y +1 y+ y +1
3
x + 3x -2y =
4 2
A = x + x y + 3x - 2xy + 3xy - 2y + = (x +3x -2xy) +(x y+3xy - 2y ) 1
3
x(x +3x-2y) +y(x +3x - 2y) 1
Câu II (1,0đ)
1)1,0 điểm phương trình cho tương đương với (x 2)2 7 (x2 4)2 5 35
(1)
Do
2
2 2
2
( 2) 7
( 2) ( 4) 35
( 4) 5
x x
x x x
x x
2
2
( 2) 7
(1)
( 4) 5
x x
<=>x=2
2)1,0 điểm 2
2
(x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1) x + z - 4(y+z)+8=0 (2)
(1) x x 2012 y y 2012 y 2012 y 2012 y 2012 y (D
o y2 2012 y 0 y
(3)
2 2
2
2 2
2
2012 2012 2012 2012 2012 2012
2012 2012
2012 2012 2012 2012
2012 2012
x x y y x x y y
x y y x
y x y x
x y y x 2 2
2 2
2012 2012
( )
2012 2012 2012 2012
y y x x
y x
x y x y
y x y x
Do 2 2
2012 | |
2012 2012
2012 | |
y y y y
y y x x y x
x x x x
Thay y=-x vào(2) 2 2
4 ( 2) ( 2)
x z x z x z
2
( 2)
2
( 2)
x x y x z z
Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(-2;2;2)
Câu III (2,0đ)
1)1,0 điểm Đặt A = n2 + n + n
n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + (k )
* n = 3k => A khơng chia hết cho (vì A khơng chia hết cho 3) * n = 3k + => A = 9k2 + 9k + không chia hết cho 9.
* n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 không chia hết cho
Vậy với số nguyên n A = n2 + n + không chia hết cho 9. 2)1,0 điểm Giả sử tồn m *
phơng trình có nghiệm x1, x2
Theo vi-et:
2
1 2
x x m
x x m
(x1 - 1) (x2 - 1) = - m2 + 2m +
Với m *
Ta cã x1x2 4và x1 + x2 m x1hoặc x2 nguyên vµ
2 *
1
x x m x x1, 2* (x11)(x21) 0
2
m 2m (m 1)(m 3) m
m {1;2;3} Với m = 1; m = thay vào ta thấy phơng trình cho vơ nghiệm
Với m = thay vào phơng trình ta đợc nghiệm phơng trình cho x =1; x = thoả mãn Vậy m=
Câu IV (2,0đ)
(4)M H
A C
K
I
E B
O D
F
Gọi K giao điểm BO với DF => ΔIKF vng K
Có 1
DFE= DOE=45
BIF 45
2) 1,0 điểm Khi AM = AB ΔABM vng cân A => DBH=45 0.Có DFH=45 => Tứ giác BDHF nội tiếp
=> điểm B, D, O, H, F thuộc đường tròn => BFO=BHO 90
=> OH BM, mà OA BM=> A, O, H thẳng hàng