DE DA KD200

[r]

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn : TOÁN - Khối : D

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x4 x2 6

  

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 y x Câu II (2,0 điểm)

1 Giải phương trình sin 2x cos 2x3sinx cosx1 0

2 Giải phương trình 42x x2 2x3 42 x2 2x34x4 (x )

    

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân

3

2 ln

e

I x xdx

x

 

   

 



Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,

4 AC

AH  Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2 4x 21 x2 3x 10

       

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một hai phần (phần A hoặc B) A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương

2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z  = và (Q): x  y + z  = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) bằng

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thoả mãn z  và z2 là số thuần ảo. B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và  là đường thẳng qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A  Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH

2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

x t

y t z t

   

    

và 2:

2

x y z

  Xác định toạ

độ điểm M thuộc 1 cho khoảng cách từ M đến 2 bằng Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2

2

4

( , ) 2log ( 2) log

x x y

x y

x y

    



 

  

 

BÀI GIẢI GỢI Y PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I: y x4 x2 6 ( )C

  

1/ Khảo sát, vẽ (C) TXĐ : D = R;

3

' ; ' (2 1) 0;

y  x  x y    x x    x y

2

" 12

y  x    hàm số lồi R

limx y limx y

    

  

x - + y' + 

y

- -

Hàm số đồng biến khoảng (-;0), nghịch biến khoảng (0;+) y đạt cực đại tại x = 0, yCĐ =

(C)  Ox : A ( 2;0)

2/ Tiếp tuyến  vuông góc d : 1

y x  Pt () : y =  6x + b

 tiếp xúc (C)  hệ sau có nghiệm :

4

6

10

4

x x x b x

b x x

      





 



  

 

 Vậy  : y =  6x + 10

Câu II:

1/ Giải phương trình : sin 2x cos 2x3sinx cosx1 0

2

2sin cos 2sin 3sin cos cos(2sin 1) 2sin 3sin cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) (2sin 1)(cos sin 2)

x x x x x

x x x

x x x x

x x x

      

     

     

    

1

sin 6

2

5

cos sin 2( ) ( )

6

x k

x

x x VN x k k Z

 

  

 

 

  

  

     



 2/ 42x x2 2x3 42 x2 2x34x4

   (*); đk : x 

2 4 4

4  x (2 x 1) (2x x 1)

     (24x4 1)(42 x2 ) 0x3

  

 24x4 4x x

     

 24 2 x2 2x3

  x32 x 2

3 8 2( 2 2)

x   x   ( 2)( 2 4) 2( 2) 2 x

x x x

x 

   

 

2

2

2

2

x x

x x

x     

   

 

VT = x2 2x 4 (x 1)2 3 3

     

VP =

2

1

1 1

3

2 ln ln ln

e e e

I I

I x xdx x xdx x dx

x x

 

     

 







         

1

ln e

I 



x xdx; Đặt u lnx du dx x

   ;

2 x dv xdx  v

2 2

1

1

1

1 1

ln

2 2 2

e e e

x e x e

I  x  xdx     

 



 

Tính I2 : Đặt t = lnx  dt dx x  x = 1; t = 0; x = e ; t =

1

1

2

0

1

2

t I  tdt   

 



Vậy

2 2 e I   Câu IV:

Ta có

2

2 14

4

a a

SH  a    

 

 

2

2

14 32

2

16 16

a a a

SC    a

 

 

= AC Vậy SCA cân tại C nên đường cao hạ từ C xuống SAC chính là trung điểm của SA

Từ M ta hạ K vuông góc với AC, nên MK = 2SH Ta có

3

1 14 14

( )

3 24

a a

V S ABC   a  

 

Nên V(MABC) = V(MSBC) = 1

2V(SABC) = 14

48 a

Câu V:

2

2 49

( 2) 25

2

y  x    x  

  ; đk : 2

4 21

2

2

3 10

x x x

x x

x x

      



    

 

  

   

 



2 2

3

2

2( 2) 2

'

2 ( 2) 25 3 49 3 49 ( 2) 25

2

2 4

x x

x x

y

x x

x x

   

      

      

   

         

        

   

2

3 49

' ( 2) 25 ( 2)

2

y   x   x   x  x  

   

2

2

3

( 2)

3 49

( 2) 25 ( 2)

2

x x

x x x x

 

  

 



 



   

   

           

     

     

2

2

2

3

10 7( 2)

2 49

25 ( 2)

2

10 7( 2)

2

x x

x x

x x

x x



   



  



  

    

 

 

       

     

  

   

 

 

3

2

1

( )

10 15 14 3

10 15 14 17 29 29

( ) 17

x x

x nhan

x x x

x x x

x loai 

   



 

       

 

   

 

       

 



x 2 1/3 y'  + y y(1/3)

min

2;

3

y   y   

Cách khác: có thể không cần bảng biến thiên, chỉ cần so sánh y(-2), y(1/3) và y(5) PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một hai phần (phần A hoặc B) A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a:

1/ * C1: Nối dài AH cắt đường tròn (C) tâm I tại điểm H'  BC qua trung điểm HH'

Phương trình AH : x =

Đường tròn (C) có pt : (x 2)2 y2 74

  

H' là giao điểm của AH và đường tròn (C)  H' (3; 7)

Đường thẳng BC có phương trình : y = cắt đường tròn (C) tại điểm C có hoành độ là nghiệm phương trình : (x 2)2 32 74

  

 x 65 2 (lấy hoành độ dương); y =

Vậy C ( 65 2 ; 3)

* C2: Gọi (C) là đường tròn tâm I(2;0), bán kính R = IA 74

Pt đường tròn (C) : (x 2)2 y2 74

  

Gọi AA1 là đường kính  BHCA1 là hình bình hành  HA1 qua M trung điểm BC

Ta có IM là đường trung bình của A1AH

Nên : ( 2;3)

3

M

M x

IM AH M

y  

    

 

                           

Pt BC qua M và vuông góc AH : y  =

Toạ độ C thoả hệ phương trình :

2

( 2) 74

2 65

3

x y

x y

y x

   

  

 

  

 

    



Vậy C ( 65 2 ; 3)

2/ PVT n P (1;1;1); PVT mQ (1; 1;1) 

Phương trình (R) có dạng : x  z + D = Ta có : d (0;(R)) = 2 2

D

D

   

Phương trình (R) : x z 2 0 hay x z  2 0

Câu VII.a: Đặt z a bi z2 a2 b2 2abi

     

Ta có hệ phương trình

2 2

2 2

0

2

a b a

a b b

                

Vậy :

3

1 ,

1 ,

z i z i

z i z i

   

   

B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b:

1/ * C1 : Gọi H(x0; y0) là hình chiếu của A xuống  Ta có : AH ( ;x y0 0 2),OH ( ; )x y0 0

 

Do gt :

2 2 2

0 0 0 0 0

2

2

0

0 0

( 2) 2 0

( , ) ( 2) 4

x y y x y y

AH OH

AH d H Ox x y y x y

                                                          2

0 0

2

0 0 0

2

1

2

4 4

8 0( ) y

x

y y y

x y x y y

x loai                                               





0

4

4 8; 5 x H y               

Phương trình  : ( 1) x 4 8 y0 * C2 :

 Oy  H  A : không thoả AH = d(H, Ox)  Ox  H  O : không thoả AH = d(H, Ox)  Pt  : y = kx (k  0)

1 AH

y x

AH qua A k  



  

 

Toạ độ H =  AH thoả hệ

2 2 2 2 2 ; 1 2 k x y kx k k k H k k

y x k

y k k                             

2 2

4

2 2

2

2

2 2

( ; )

1 1

1

2

2

0 ( )

k k k

AH d H Ox k k

k k k

k k k loai                                      

Vậy  : 2 y  x 2/ M 1  M(3+t; t; t)

2

2 (2;1;0)

1 (2;1; 2) qua A

co VTCP a        

Ta có : AM  (1 ;t t1; )t



2

[ ,a AM] (2 t; 2;t 3)

   

 

2

2

(2 ) ( 3) 4

1 (4;1;1) 10 17 10

4 (7; 4; 4)

t t

t M

t t t t

t M

   

 

 

  

         

  

Câu VII.b:

2

4 (1)

2log ( 2) log (2) x x y

x y

    

 

  

 

; đk: x > 2, y >

(2) ( 2)2 2

2 y x

x y

y x

  

    

  

* (1) 2 0 ( )

3 x loai

y x x x x

x  

        

  *

2

4 2

2 (1) 1( )

5 4

x x x

y x x loai

x x

x       

     

   

 

 