Các dạng bài tập về Cấp số nhân Toán 11 có đáp án chi tiết

Trang | 13 Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh , nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi nhữ[r]

(1)

Trang | CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN

TOÁN 11 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN

Phương pháp:

 Dãy số (un) cấp số nhân

1   n 

n

u q

u không phụ thuộc vào n q công bội  Ba số a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân acb2

 Để xác định cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu cơng bội Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết toán qua u1 q

Câu 1: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định sau đúng?

A. Dãy số cấp số nhân B. Số hạng tổng quát un = 1n =1

C. Dãy số cấp số nhân có u1= –1, q = –1 D. Số hạng tổng quát un = (–1)2n

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có 1  1( 1); 1( 1)   Vậy dãy số cấp số nhân với u1  1; q= 1

Câu 2.Cho dãy số : 1; ; ; ; 1 1 ;

2 16 Khẳng định sau sai?

A. Dãy số cấp số nhân có u1= 1, q =

1

2 B. Số hạng tổng quát un = 1 2n

C. Số hạng tổng quát un =

1

2n D. Dãy số dãy số giảm

Chọn C

Ta có 1 ; 1 1 ; 1 ; 1 ;

2 4 2 84 16 8 Vậy daỹ số cấp số nhân với

1 1; q=

2



u

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nân ta có :

1

2

 

  

   

 

n n

u u q

Câu Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định sau đúng?

A. Dãy số cấp số nhân B. Là cấp số nhân có u1 1; q=1

C. Số hạng tổng quát  ( 1) n n

u D. Là dãy số giảm

Chọn B

Các số hạng dãy giống nên gọi cấp số nhân với u1 1; q=1

Câu Cho dãy số : 1; ; 1; ;

3 27 81

   Khẳng định sau sai?

A. Dãy số cấp số nhân

B. Dãy số cấp số nhân có

1 1; q=

3

  

u

C. Số hạng tổng quát  1 11 

  n

n n

u

D. Là dãy số không tăng, không giảm

(2)

Trang | Ta có: 1 ; 1 ; 1 ;

3 3 27

     

            

      Vậy dãy số cấp số nhân với

1

1 1;

q=-3

 

u

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có  

1

3

 

  

        

n

n n

u u q

Câu 5.Cho cấp số nhân  un với 1 1; u7 32

   

u Tìm q ?

A.

2

 

q B. q 2 C. q 4 D. q 1

Chọn B

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có 1 7 1 6 64 2

  

      

   n

n

q u u q u u q q

q

Câu Cho cấp số nhân  un vớiu1 2; q=-5 Viết số hạng số hạng tổng quát un ?

A. 10; 50; 250;   2 5 n1 B.

10; 50; 250; 5  n

C. 10; 50; 250;   2 5n D. 10; 50; 250;    2 5 n1

Chọn D

Ta có u2 u q1     2  5 10; u3 u q2 10.   5 50; u4 u q3  50.  5 250 Số hạng tổng quát 1    2

 

 n    n

n

u u q

Câu 7.Cho cấp số nhân  un vớiu14; q 4 Viết số hạng số hạng tổng quát un?

A. 16; 64; 256;   4 n B. 16; 64; 256;  4 n

C. 16; 64; 256; 4 4 n D. 16; 64; 256; 4n

Chọn C

Ta có u2 u q1 4.   4 16; u3 u q2  16.  4 64; u4 u q3 64.   4 256 Số hạng tổng quát 1 4. 4

 

 n   n

n

u u q

Câu Cho cấp số nhân  un với u1 1; q=0,00001 Tìm qvà un ?

A. ; un 11

10 10 



  n

q B. 1; un 10

10



   n

q

C. 1; un 1

10 10 



  n

q D. 1; un ( 1)1

10 10 

 

  n n

q

Chọn D

Ta có 6 1.q5 0, 00001 10

      

u u q q

Số hạng tổng quát  

1

10 10

 



 

     

 

n n

n

n n

u u q

Câu Cho cấp số nhân  un với 1 1; 10



  

u q Số 1103

(3)

Trang |

A. Số hạng thứ 103 B. Số hạng thứ 104

C. Số hạng thứ 105 D. Không số hạng cấp số cho

Chọn B

Ta có

1

1 103

1

1 103 104

10 10



  

          

 

n n

n

u u q n n

Câu 10 Cho cấp số nhân  un vớiu1 3; q= 2 Số 192 số hạng thứ  un ? A. Số hạng thứ B. Số hạng thứ

C. Số hạng thứ D. Không số hạng cấp số cho

Chọn C

Ta có    

1 192 2 64

 



 n    n   n      

n

u u q n n

Câu 11 Cho cấp số nhân  un với 1 3;



 

u q Số 222 số hạng thứ  un ?

A. Số hạng thứ 11 B. Số hạng thứ 12

C. Số hạng thứ D. Không số hạng cấp số cho

Chọn D

Ta có

1

222 74

2

 

    

        

   

n n

u u q Vậy 222không số hạng cấp số cho

Câu 12: Cho cấp số nhân (un) có số hạng khác khơng, tìm u1 biết:

1

2 2

1

15 85

   



     

u u u u u u u u

A u1 1,u12 B u1 1,u1 8 C u1 1,u1 5 D u1 1,u19

Chọn B

Ta có:

 

4

2

1

2

1

15

(1 ) 15 1

1 85

85

 

 

     

 

 

    

 

 

 



q u

u q q q q

u q

2

4

8

2

1 45 ( 1)( 1) 45

1

1 17 ( 1)( 1) 17

2

 

        

      



    

    

q

q q q q

q q q q q

Từ ta tìm u11,u18

Câu 13: Cho cấp số nhân (un) có số hạng khác khơng, tìm u1 biết:

1

11 82 11

    

 

  



u u u u u

u u

A 1 , 1 81

11 11

 

u u B 1 , 1 81

12 12

 

u u C 1 , 1 81

13 13

 

u u D 1 , 1 81

11 11

 

u u

(4)

Trang | Ta có:

 4

1

4

1

39

1 11 (1 )

11

82 82

(1 ) (1 )

11 11



         

 

 

 

   

 

u q q q q u q q q

u q u q

4

1 82

3,

39



    

 

q

q q

q q q

 1 , 1 81

11 11

 

u u

Câu 14: Dãy số (un) có phải cấp số nhân khơng ? Nếu phải xác định số công bội ? Biết: un 2n

A q3 B q2 C q4 D q 

Chọn D

Ta có: n1  1

n

u n

u n phụ thuộc vào n suy dãy (un) cấp số nhân

Câu 15: Dãy số (un) có phải cấp số nhân không ? Nếu phải xác định số công bội ? Biết: 4.3n n

u

A q3 B q2 C q4 D q 

Chọn A

Ta có:

1 4.3 3

4.3 

  n 

n

n n

u

u không phụ thuộc vào n suy dãy (un) cấp số nhân với công bội q3

Câu 16: Dãy số (un) có phải cấp số nhân không ? Nếu phải xác định số công bội ? Biết: un  n

A q3 B

2



q C q4 D q 

Chọn D

Ta có: 2

:

1

  

 

n n

u n

u n n n phụ thuộc vào n Suy dãy (un) cấp số nhân

Câu 17: Xét xem dãy số sau có phải cấp số nhân hay không? Nếu phải xác định cơng bội 1. Xét xem dãy số sau có phải cấp số nhân hay không? Nếu phải xác định công bội

2

 n n

u

A q3 B q2 C q4 D q 

Chọn B Ta có:

2 ( )

  

n

n n

u

u CSN với công bội q2

Câu 18: Xét xem dãy số sau có phải cấp số nhân hay khơng? Nếu phải xác định công bội

3

   n

n

u

(5)

Trang |

Chọn A Ta có:

3 ( )

  

n

n n

u

u CSN với công bội q3

Câu 19: Xét xem dãy số sau có phải cấp số nhân hay không? Nếu phải xác định công bội

3

 

n

u n

A q3 B q2 C q4 D q 

Chọn D

Ta có:

( )

   



n

n n

u n

u

u n CSN

Câu 20: Xét xem dãy số sau có phải cấp số nhân hay khơng? Nếu phải xác định công bội

2

  n

n

u

A q3 B q2 C q4 D q 

Chọn D

Ta có:

1

1 ( )

2 

   

 n n

n n

n

u

u CSN

Câu 21: Xét xem dãy số sau có phải cấp số nhân hay không? Nếu phải xác định công bội

3

 n u n

A q3 B q2 C q4 D q 

Chọn D

Ta có:

3

3 ( 1)

( )

   

n

n n

u n

u

u n CSN

Câu 22: Cho dãy số (un) với 321

n n

u

1. Tìm cơng bội dãy số (un)

A

2



q B q C

2



q D q3

2. Tính tổng Su2  u4 u6 u20

A 9(320 1)

 

S B 9(320 1)

2

 

S C 9(310 1)

2

 

S D 7(310 1)

2

 

S

3. Số 19683 số hạng thứ dãy số

A 15 B 16 C 19 D 17

1. Chọn B Ta có:

1

*

1

3

3 ,

 



    

n n

u

n N

u Dãy số cấp số nhân với u13 3;q

(6)

Trang | 10 10

10

1 3

(3 1)

1 2

 

   



S u

3. Chọn B Ta có : 19683 32 39 1 9 16

2



  n      

n

u n

Vậy số 19683 số hạng thứ 16 cấp số

Câu 23:

1 Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng thứ tư số hạng thứ gấp 243 lần số hạng thứ hai Hãy tìm số hạng cịn lại CSN

A 1 2; 2 2; 3 2; 5 18; 6 54; 7 162

9

     

u u u u u u

B 1 2; 2 2; 3 2; 5 18; 6 54; 7 162

7

     

u u u u u u

C

2

; ; 2; 21; 54; 162

9

     

u u u u u u

D 1 2; 2 2; 3 2; 5 18; 6 54; 7 162

9

     

u u u u u u

Chọn D

Gọi CSN (un), n1, Theo đề ta có :

3

4 1

6

7 1

2

6

9 243 243

3



   

  

   



   

u u q u

u u u q u q

q Do số hạng cịn lại cấp số nhân

1

2

; ; 2; 18; 54; 162

9

     

u u u u u u

Câu 24: Cho cấp số nhân (un) thỏa:

3

2 27 243

      

u

u u

1 Viết năm số hạng đầu cấp số;

A 1 2, 2 2, 3 2; 4 , 5

5 27 81

    

u u u u u B 1 1, 2 2, 3 2; 4 , 5

3 27 81

    

u u u u u

C 1 2, 2 2, 3 2; 4 , 5

3 27 64

    

u u u u u D 1 2, 2 2, 3 2; 4 , 5

3 27 81

    

u u u u u

2 Tính tổng 10 số hạng đầu cấp số;

A 10 59048

12383



S B 10 59123148

19683



S C 10 1359048

3319683



S D 10 59048

19683



S

3 Số

6561 số hạng thứ cấp số ?

A 41 B 12 C 9 D 3

(7)

Trang | 3 1 1 2 27 27 243 243                      u q

u q q

u q

u q u q

1 Chọn C Năm số hạng đầu cấp số là: 1 2, 2 2, 3 2; 4 , 5

3 27 81

    

u u u u u

2 Chọn D Tổng 10 số hạng đầu cấp số 10 10 10 10 1

1 59048

2

1

1 19683

1                          q S u q

3 Chọn C Ta có: 21 6561 38

3 6561

 

    n    

n n n

u u n

Vậy

6561 số hạng thứ cấp số

Câu 25: Hãy chọn cấp số nhân dãy số cho sau đây:

A. 1       

 n n

u u u B. 1 2 

   

  

 n n

u u u C.   n

u n D.

1

1;          n n n

u u

u u u

Chọn B.

Do

2

  

n n

u

u ( không đổi) nên dãy số  un :

1

2 

   

  

 n n

u

u u

là cấp số nhân

Câu 26: Chọn mệnh đề mệnh đề Cấp số nhân với

A.        n n

u dãy số tăng B.

4

     

n n

u dãy số tăng

C. 4n n

u dãy số tăng D. un   4 n dãy số tăng

Chọn C.

Ta có: un 0, với n 1

4

4 



 n  

n n n

u

u nên  un dãy số tăng

Câu 27: Chọn mệnh đề mệnh đề Cấp số nhân với

A.

10



n n

u dãy số giảm B.

10

 

n n

u dãy số giảm

C. 10n n

u dãy số giảm D. un   10n dãy số giảm

Chọn A.

Ta có: un 0, với n

1 10 1 10 10  

 n  

n

n n

u

u nên  un dãy số giảm

Câu 28: Chọn mệnh đề mệnh đề đây:

(8)

Trang |

B. Cấp số nhân: 2; 6; 18; .có u6 2. 3

C. Cấp số nhân: 1;  2; 2; có u6  2

D. Cấp số nhân: 1;  2; 2; có u6  4

Chọn D.

Cấp số nhân có u1 1; q nên    5

6   1  4

u u q

Câu 29: Cho cấp số nhân  un có cơng bội q Chọn hệ thức hệ thức sau:

A. uk  uk1.uk2 B. 1

2   

 k k

k

u u

u C.

1



 k

k

u u q D. uk   u1 k q

Chọn C.

Theo tính chất số hạng cấp số nhân

Câu 30: Cho dãy số  un xác định :

1

2

10

    

  

 n n

u

u u Chọn hệ thức đúng:

A.  un cấp số nhân có cơng bội

1 10

 

q B. ( 2) 1

10 

 

n n

u

C. 1

2   

 n n

n

u u

u n2 D. un  un1.un1 n2

Chọn A.

Ta có: 1

10

  

n n

u

u nên  un cấp số nhân có cơng bội

1 10

 

q

Câu 31: Cho dãy số  un :1; ; ; ; .x x2 x3 (với xR, x1, x0) Chọn mệnh đề đúng:

A.  un cấp số nhân có 

n n

u x B.  un cấp số nhân cóu11; qx

C.  un khơng phải cấp số nhân D.  un dãy số tăng

Chọn B.

Câu 32: Cho dãy số  un : x; x3; ; x5 x7; (với xR, x1, x0) Chọn mệnh đề sai:

A.  un dãy số không tăng, không giảm B.  un cấp số nhân có  

1  

  n n n

u x

C.  un có tổng

2

(1 )

  



n n

x x

S

x D.  un cấp số nhân có u1 x,

2

 

q x Hướng dẫn giải:

Chọn C.

 un cấp số nhân có u1 x,

2

 

q x un x. x2 n1  1 n1.x2n2.x  1 n1.x2n1 Suy A, B, D

Câu 33: Chọn cấp số nhân dãy số sau:

A 1; 0, 2; 0, 04; 0,0008; B.2; 22; 222; 2222;

C. x; ; ; ; x x x D. 1; x2; ; x4 x6; Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Dãy số :

1; x ; ; x x ; cấp số nhân có số hạng đầu u11; cơng bội  

(9)

Trang |

Câu 34: Cho cấp số nhân có u13,



q Chọn kết đúng:

A. Bốn số hạng cấp số là: 2; ; ; 16 3

B.

1

2

3

      

n n

u

C. 9

3

     

 

n n

S

D.  un dãy số tăng

Chọn B.

Áp dụng công thức: 1



 n

n

u u q ta được:

1

2

3

      

n n

u

Câu 35: Cho cấp số nhân có u1 3,



q Tính u5?

A. 5 27

16

 

u B. 5 16

27

 

u C. 5 16

27



u D. 5 27

16



u Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:  

4

5

2 16

3 27

        

 

u u q

Câu 36: Cho cấp số nhân có u1 3,



q Số 96 243



số hạng thứ cấp số này?

A. Thứ B. Thứ

C. Thứ D. Không phải số hạng cấp số

Chọn B.

Giả sử số 96 243



số hạng thứ n cấp số

Ta có:  

1

96 96

243 243



          

   

n n

u q n

Vậy số 96 243



số hạng thứ cấp số

Câu 37: Cho cấp số nhân có 2



u ; u5 16 Tìm q u1

A. 1; 1

2

 

q u B. 1; 1

2

   

q u

C. 4; 1

16

 

q u D. 4; 1

16

   

q u

Chọn C.

Ta có: 2 1 1

  

u u q u q ; 4

5   16

u u q u q

Suy ra: q3 64  q4 Từ đó: 1

16



(10)

Trang | 10

Câu 38: Cho CSN (un) thỏa:

1

11 82 11

    

  

 



u u u u u

u u

1 Tìm cơng bội số hạng tổng quát cấp số

A

1

3 3;

11

  n  n

q u B 1; 81 1

3 11 3

 n  n

q u C Cả A, B D Cả A, B sai 2 Tính tổng S2011

A 1; 2011 243 20111

3 22

 

    

 

q S B 2011  2011 

1

3;

22

  

q S

C Cả A, B D Cả A, B sai

3 Trên khoảng 1;1

   

  có số hạng cấp số

A 1 B 2 C 3 D 4

1. Gọi q công bội cấp số Khi ta có:

 

2

4

1

39 39

11 11

82 82

1

11 11

       

 

 

 

     

 

 

u u u u q q q

u u u q

Suy ra:

4

3

1 82

39 82 82 82 39

39



      

 

q

q q q q

q q q

2

(3 1)( 3)(13 16 13) ,

3

 q q q  q   q q

 1 81 81 1

3 11 11 3

    n  n

q u u

 1

11 11

     n  n

q u u

2 Ta có:

2011 2011

1

 



q

S u

q

 2011 243 20111

3 22

 

     

 

q S

  2011 

2011

3

22

   

q S

3 Với q3 ta có:

1

3

;1

11

  

   

 

n n

u n nên có số hạng dãy

Với



q ta có: 5 1;1

11.3

 

   

 

n n

(11)

Trang | 11

DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN

Phương pháp:

 a b c, , theo thứ tự lập thành CSN acb2

Câu 1: Cho dãy số 1; b; 2



Chọn b để dãy số cho lập thành cấp số nhân?

A. b 1 B. b1

C. b2 D. Không có giá trị b

Chọn D

Dãy số cho lập thành cấp số nhân

0

2

  

    

 b

b Vậy khơng có giá trị b

Câu 2: Cho cấp số nhân: 1; ;

5 125

 

a Giá trị a là:

A.

5

 

a B.

25

 

a C.

5

 

a D. a 5

Chọn B.

Ta có: 1 1

5 125 625 25

   

       

   

a a

Câu 3: Cho dãy số: -1; ; 0,64x Chọn x để dãy số cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

A. Khơng có giá trị x B. x 0, 008

C. x0, 008 D. x0, 004 Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Dãy số: -1; ; 0,64x theo thứ tự lập thành cấp số nhân

0, 64

x   ( Phương trình vơ nghiệm)

Câu 4: Hãy chọn cấp số nhân dãy số cho sau đây:

A. 1

4

 

n n

u B. 12

4 



n n

u C.

4

 

n

u n D.

4

 

n

u n Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: 12 1 13   

  

n n n n

u u Suy

1

 

n n

u

u ( Không đổi) Vậy  un : 



n n

u cấp số nhân có

công bội



q

Câu 5: Xác định x để số 2x1; ; 2x x1 lập thành cấp số nhân:

A.

3

 

x B. x 

C.

3

 

x D. Khơng có giá trị x

(12)

Trang | 12 Ba số: 2x1; ; 2x x1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân 2x1 2 x 1 x2 2

4

 x  x

3

 x 

3

  x

Câu 6: Xác định x để số x2; x1; 3x lập thành cấp số nhân:

A. Không có giá trị x B. x 1

C. x2 D.x 3

Chọn A.

Ba số x2; x1; 3x theo thứ tự lập thành cấp số nhânx2 3 x  x12

2

 x  x  ( Phương trình vơ nghiệm)

Câu 7: Tìm x biết :1,x2, 6x2 lập thành cấp số nhân

A x 1 B x  C x 2 D x 

Ta có: 2

1,x , 6x lập thành cấp số nhân x4  6 x2   x

Câu 8: Các số x6 ,5y x2 ,8y xy lập thành cấp số cộng số , 1, 3

  

x y y x y lập thành cấp số nhân

A ( ; )  3; ; 1; 8

 

    

 

x y B ( ; )  3; ; 1; 8

 

    

 

x y

C ( ; )  3;1 ; 1; 8

 

  

 

x y D ( ; )  3; ; 12 1; 8

 

    

 

x y

Ta có hệ: 2

6 2(5 )

( )(2 ) ( 1)

    

 

    



x y x y x y

x y x y y giải hệ ta tìm

 

( ; ) 3; ; ; 8

 

    

 

x y

Chọn A

Câu 9: Phương trình x32x2m1x2m 1 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân

A m 1,m 3,m 4 B m 1,m13,m 4

C m1,m3,m4 D m 1,m3,m 4

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành CSN,khi :

1

1 2 3

1

2

 



       



    



x x x

m

x x x x

x x x x x x m

thay vào phương trình ta có : m 1,m3,m 4

Bằng cách thay giá trị m vào phương trình ta thấy khơng có giá trị m thỏa yêu cầu toán

(13)

Trang | 13 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên

danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	1,14 MB