Khao sat ham so LTDH 2010

Tìm t ập xác định.. ii.[r]

BÀI TẬP KHẢO SÁT

Chủ đề 1: Tính đơn điệu hàm số. I Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa

- Hàm số y f x( )đồng biến (tăng) ( , )a b

1, ( , )

x x a b

  : x1x2 f x( )1  f x( 2)

- Hàm số y f x( )nghịch biến (giảm) ( , )a b

1, ( , )

x x a b

  : x1x2 f x( )1  f x( 2)

2 Định lý:

Cho hàm số y f x( ) xác định (có thể đoạn, khoảng hay nửa đoạn) f tăng  f x'( )0, x 

f giảm  f x'( )0, x 

3.Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số

1 Tìm tập xác định

2 Tính đạo hàm f x'( ) Tìm điểm tới hạn

3 Lập bảng biến thiên

4 Kết luận dựa vào bảng biến thiên

II Bài tập:

Bài 1: Xét tính đơn điệu hàm số sau:

a

3

y x  x

b

3

y x x

c y2x36x218x2

d

3 10

y x  x  x

e yx42x23 f yx33x23x1

g

4

4

x y x

Bài 2: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số:

a y 4xx2

b y2x3 x21

c y x 4x22x1 d y x2 x 20

e y 2xx2

Bài 3: Xét tính đơn điệu hàm số sau:

a

1

x y

x

 



b

1

x y

x

 



c

4

y

x

 

d

2

3

x x

y

x

 

 

e

2

2

x x

y x

 



f

y x

x

   

g

2

2

x x

y

x

 

 

Bài 4: Chứng minh với giá trị m, hàm số

2

2

x m x m

y

x

  



 đồng biến

từng khoảng xác định

Bài 6: Chứng minh hàm số y (k 1)x x k

  

 đơn điệu khoảng xác định k

Bài 7: Chứng minh hàm số

2

2x 3ax a

y

x a

  



 đơn điệu khoảng xác định a Bài 8: Xác định m để hàm số:

a 2

y x  x mx đồng biến 

b 3

m

y  x  x mx nghịch biến 

c y mx x m

 

 đồng biến khoảng xác định

d

2

(2 1) 1

mx m x m

y

x

   



 nghịch biến khoảng xác định

d

2

2

x mx m

y

x m

  



 đồng biến khoảng xác định Bài 9: Xác định m để hàm số:

a yx2mx1 đồng biến (0;)

b ymx2(m6)x3 nghịch biến (0;) c 2

3

y x  x mx đồng biến (; 0)

d y x m x m

 

 đồng biến (0;)

e

2

2

x mx m

y

x m

  



  nghịch biến (0;)

f

2

6 2

mx x

y

x

 



 giảm (0;)

Bài 10: Cho hàm số:

3

2

( 1)

x

y  m x  x

a) Tìm mđể hàm số tăng  b) Tìm m để hàm số giảm [ 1; 0]

Bài 11: Cho hàm số:

3

2

( 1) ( 3)

x

y   m x  m x

Chủ đề 2: Cực trị hàm số I Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa:

Cho hàm số y f x( ) xác định liên tục khoảng ( ; )a b xo( ; )a b

a) Nếu tồn số h0 cho ( )f x  f x( o), x (xoh x; oh) xxo ta nói ( )

f x đạt cực đại xo

b) Nếu tồn số h0 cho ( )f x  f x( o), x (xoh x; o h) xxo ta nói ( )

f x đạt cực tiểu xo

Ghi chú:

a) Nếu hàm số f x( ) đạt cực đại (cực tiểu) xo xo gọi điểm cực đại (điểm

cực tiểu) hàm số Điểm M x( ; (o f xo)) gọi điểm cực đại (cực tiểu) đồ thị

hàm số

b) cực đại, cực tiểu gọi chung cực trị Định lý

Giả sử hàm số y f x( ) liên tục khoảng K (xoh x; oh) có đạo hàm K K\ { }xo (h0) thì:

a) Nếu f x'( ) đổi dấu từ dương sang âm qua xo xo điểm cực đại

b) Nếu f x'( ) đổi dấu từ âm sang dương qua xo xo điểm cực tiểu

3 Quy tắc tìm cực trị

a Quy tắc I

i Tìm tập xác định

ii Tính f x'( ) Tìm điểm f x'( ) không xác định

iii Lập bảng biến thiên

iv Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị

b Quy tắc II

i Tìm tập xác định

ii Tính f x'( ) Giải phương trình f x'( )0 kí hiệu xi nghiệm

iii Tính f ''( )x f ''( )xi

iv Nếu f ''( )xi 0 xi điểm cực tiểu Nếu f ''( )xi 0 xi điểm cực đại II Các dạng tốn thường gặp

Dạng 1:Tìm cực trị hàm số

Phương pháp : Áp dụng quy tắc quy tắc để giải

Bài 1: Tìm cực trị hàm số:

a y2x33x236x10

b yx42x23

c y x33x23x2 d y x33x29x1 e yx33x23x1

f yx42x23 g 2

4

Bài 2: Tìm cực trị hàm số: a 2 x x y x    

b

1 x y x    c 2 x x y x    

d y x x

 

e yx x f yx 3x g y| | (x x3)

h yx22 | | 2x 

i y| | (x x2)

Bài : Tìm cực trị hàm số:

a ysin 2xx

b ysin 2x c os2x

c y 3 cosx c os2x d y2 sin 2x3

Dạng 2: đường thẳng nối cực trị toán chứa tham số Phương pháp:

TH1: y f x( ) hàm đa thức

Chia f x( ) cho f x'( ) ta f x( ) f x q x'( ) ( )r x( ) Nếu ( ;x yo o) điểm cực trị '( o)

f x  , đó: yo  f x( o) f x q x'( o) ( o)r x( o)r x( o) Suy ra: yr x( ) đường thẳng nối cực trị

TH2: ( ) ( ) ( )

u x y f x

v x

  hàm phân thức

Ta có:

2

'( ) ( ) ( ) '( ) '

( )

u x v x u x v x y

u x  

Nếu ( ;x yo o) điểm cực trị f '(xo)0

'( o) ( o) ( o) '( o)

u x v x u x v x

  

( ) '( ) ( ) '( )

o o

o o

u x u x

v x v x

  '( ) '( ) o o o u x y v x  

Suy ra: '( ) '( )

u x y

v x

 đường thẳng nối cực trị

Bài 1: Xác định m để hàm số:

2

2

x x m

y

x

 



 có cực đại cực tiểu Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu đồ thị

Bài 2: Xác định m để hàm số:

a) y3x2mx4 đạt cực tiểu x2

b) x mx y x m   

 đạt cực đại x2

c)

( ) 6

y  m  m x  mx  x đạt cực đại x1

d) 2

2

yx  mx m x đạt cực tiểu x1

e)

( )

y x m  x đạt cực tiểu x0

f) 2

2

a)

(1 )

y m x mx  m có cực trị

b) 2

( 9) 10

ymx  m  x  có cực trị

Bài 4: Xác định m để hàm số:

a)

2

2

x m x m

y

x

 



 có cực trị nằm phía Ox

b)

3

( 6)

x

y mx  m x có cực đại, cực tiểu nằm hai phía Oy

c) yx33mx2(m22m3)x4 có cực đại, cực tiểu nằm phía trục tung

d)

2

1

x x m

y x   

 có giá trị cực trị trái dấu

e)

2

1

x x m

y

x

  



 có giá trị cực trị dấu

f)

2

3 1

mx mx m

y

x

  



 có cực đại, cực tiểu nằm phía trục hoành

g)

2

( 1)

mx m x m m

y

x m

   



 có điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) điểm cực

trị thuộc góc phần tư thứ (IV)

Bài 5: Cho hàm số :

( 1) 3( 2)

3

y mx  m x  m x

a) Tìm mđể hàm số đạt cực đại cực tiểu điểm có hồnh độ x x1, 2 thỏa :x12x2 1 b) Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu điểm có hồnh độ x x1, 2 thỏa |x1x2| 1

c)viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị

Bài 6: cho hàm số : 2

1

4

m

y x  x  x

Tìm m để :

a) Hàm số khơng có cực trị

b) Hàm số đạt cực trị điểm có hoành độ lớn

Bài 7: Cho hàm số :

2

( 1)

x m x m

y

x m

   





Tìm m để hàm số :

a) Có cực đại cực tiểu

b) Có hai cực trị với hồnh độ nhỏ

c) Có hai cực trị với hai giá trị cực trị trái dấu

Bài 8: Cho hàm số 2

2

yx  m x  Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân

Bài 9: Xác định m để hàm số: yx22(m1)xm24m có cực đại, cực tiểu điểm

cực trị gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O

Bài 10: Xác định m để hàm số: y2x33(2m1)x26 (m m1)x1 có hai điểm cực trị đối

xứng qua đường thẳng: y x Bài 11: Cho hàm số:

2 x mx y x  

 Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị

nào m d(CĐ,CT) = 10 Bài 12: Xác định m để hàm số:

2

1

x mx m

y

x

 



 có cực trị Tính khoảng cách điểm

Bài 13: Cho hàm số:

2

2

x mx

y

x

 



 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị A B,

Chứng minh AB/ /( ) : 2d x y 100

Chủ đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

hàm số

I Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa

Cho hàm số y f x( ) xác định tập D

a) Số M GTLN hàm số y f x( ) D (kí hiệu: M =

D

Max f x( )) nếu:   x D f x: ( )M

 xoD f x: ( o)M

b) Số M GTNN hàm số y f x( ) D (kí hiệu: m =

D

Min ( )f x ) nếu:   x D f x: ( )m

 xoD f x: ( o)m

2 Quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số y f x( ) đoạn

i Tìm điểm x x1; 2; ;xn khoảng ( ; )a b f x'( )0 khơng xác định

ii Tính f a( ); ( ); (f x1 f x2); (f xn); ( )f b

iii Tìm số nhỏ nhất, lớn số

Chú ý:

i Để tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng ta nên lập bảng biến thiên ii Quy tắc áp dụng cho đoạn

II Bài tập:

Bài : Tìm GTLN, GTNN hàm số :

a)yx33x29x5 [ 2; 2]; ( 2; 2)  [ 2; ) b)yx42x2 [ 2; 2]; ( 2; 2)  trên[ 2; )

c)

2

3 1

x x

y x

 



 [1; 4] [1;)

d)

1

x y

x

 

 [0; 4] [0;)

Bài : Tìm GTLN, GTNN hàm số:

a)y x 1x [ 1; 0]

b)y|x23x2 | [ 3;3]

c)yx2| 2x1| [ 2; 2]

d)y2x x21  e)ysin 2xx ;

2

 

 



 

 

Bài : Tìm GTLN,GTNN hàm số :

a)ycos 2xsinx

b) 2s inx

sin s inx

y

x

 

 

c)

6

4

1 sin cos sin os

x x

y

x c x

 



 

Chủ đề 4: Đường tiệm cận I Tóm tắt lý thuyết

Ta xét tiệm cận hàm biến:

Cho hàm số: y ax b cx d

 

 (hàm số gọi hàm biến)

i x d c

  đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số

ii y a c

 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số II Bài tập:

Bài 1: Tìm đường tiệm cận đường cong sau:

a)

1

x y

x

 



b)

1

y x

 

c)

3

x y

x

 



Bài 2: Tìm hàm số y ax b cx d

 

 biết đồ thị hàm số qua điểm A(-1;7) giao điểm

đường tiệm cận I(-2;3)

Chủ đề 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số I Sơ đồ khảo sát hàm số

1 Tập xác định

2 Sự biến thiên + Tính y'

+Tìm điểm y' khơng xác định

+Tìm giới hạn, tiệm cận (nếu có)

+Lập bảng biến thiên

+Xét tính đơn điệu

+Xét cực trị

3 Vẽ đồ thị II Bài tập

Bài 1: khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau:

a) yx36x2 9x3 b) y x33x25x2 c) yx33x23x5 d) yx44x21 e) y 2x44x28

f)

1

x y

x

 



g)

2

x y

x

 

Chủ đề 6: Sự tương giao hai đồ thị I Tóm tắt lý thuyết

Cho hai đồ thị (C1) :y f x( ) (C2) :yg x( )

Tọa độ giao điểm (C1) (C2) nghiệm hệ

( ) ( )

y f x y g x

  

 

(I)

Giải hệ (I) ta tọa độ giao điểm (C1)và (C2) Số nghiệm hệ (I) số giao điểm (C1)và (C2)

II Bài tập

Bài 1: Cho hàm số

2

x y

x

 

 ( )C

Biện luận theo m số giao điểm ( )C đường thẳng ( ) :d y x m

Bài 2: Cho hàm số:

4

y  x  x ( )C

Gọi ( )d đường thẳng qua điểm A (-1;0) có hệ số góc m Biện luận theo m số giao điểm ( )d ( )C

Bài 3: Cho hàm số: yx34x24x có đồ thị ( )C Biện luận theo k vị trí tương đối

( )C với đường thẳng ykx

Bài 4: Cho hàm số:

2

x y

x

 

 có đồ thị ( )C Chứng minh đường thẳng

( ) : y  x m cắt ( )C điểm phân biệt A,B Định m để AB ngắn

Bài 5: Cho hàm số: yx32ax2(2a21)xa a( 21) Định a để hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ dương

Bài 6: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d y  x m cắt đồ thị

2

1 ( ) :

1

x x

C y

x   

 hai điểm phân biệt

Bài 7: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d ymx 2 2m cắt đồ thị

2

2 ( ) :

2

x x

C y

x

 

 

tại điểm phân biệt

Bài 8: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d ym x( 1) 1 cắt đồ thị ( ) : 1

C y x

x

   

tại điểm có hồnh độ trái dấu

Bài 9: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d y2mx m cắt đồ thị

2

2 ( ) :

2

x x

C y

x  

 điểm thuộc nhánh đồ thị

Bài 10: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d ymx1 cắt đồ thị

2

1 ( ) :

1

x x

C y

x   

Bài 11: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d ymx cắt đồ thị

2

2 ( ) :

1

x x

C y

x

 



 hai điểm A, B phân biệt cho gốc tọa độ O làm trung điểm AB

Bài 12: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d ym x( 5) 10 cắt đồ thị

2

2 ( ) :

2

x x

C y

x

 

 

tại điểm phân biệt nhận A(5;10) làm trung điểm

Bài 13: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d ym cắt đồ thị hàm số

2

3 ( ) :

2( 1)

x x

C y

x

  





tại điểm A,B cho AB=1

Bài 14:Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d ym cắt đồ thị hàm số ( ) : 1

C y x

x

 



hai điểm A,B cho OAOB

Bài 15:Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d y  x m cắt đồ thị

2

2 ( ) :

1

x x

C y

x

 





Chủ đề 7: biện luận phương trình bằng đồ thị

I Tóm tăt lý thuyết

Bài toán: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị ( )C Dúng ( )C biện luận theo m số nghiệm phương trình P x m( , )0

Giải tốn:

i Biến đổi phương trình P x m( , )0 f x( )g m( ) (1) ii Số nghiệm (1) số giao ddierm đồ thị

( ) :C y f x( ) ( ) :d yg m( )

iii Khi m thay đổi, điểm số giao điểm ( )d ( )C , từ suy số nghiệm

(1)

Chú ý: ( ) :d yg m( ) đường thẳng II Bài tập

Bài 1: Cho hàm số:

4

y x  x

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình i) 4x33x m 0

ii) 4x33xm 1 Bài 2: Cho hàm số:

3

yx  x ( )C

a) Khảo sát vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Dùng đồ thị( )C để biện luận theo m số nghiệm phương trinh

i) x33x 1 m0 ii) x33x m 2 2 iii)

2

3

3 2 m

x x

m

       

 

Bài 3: Tìm tham số m để phương trình 2

3x  x  xm có nghiệm phân biệt

Bài 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình a) 2x2(5m x)  4 m0

b) |x3| | | x m0 c)

2

2

1

x x

m x

 

  



Chủ đề 8: Tiếp tuyến đồ thị Dạng 1: Tiếp tuyến M x y( ,0 0) đồ thị

I.Phương pháp giải:

Cho đồ thị ( )C có phương trình y f x( ) với điểm M x y( ,0 0) ( )C Phương trình tiếp

tuyến với ( )C M là:

'

0 ( 0)( 0)

yy  f x xx

Chú ý : f x'( 0) hệ số góc tiếp tuyến M II Bài tập:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x( ) điểm có hồnh độ x0 cho

dưới đây:

a) yx3 x x0  1 b)

1

x y

x

 

 x0=

c) yx4x23 x0 1 d)

2

2 4

x x

y

x

 



 x0 0

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến vói đồ thị hàm số yx33x22 điểm uốn

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C hàm số yx33x2 giao điểm với trục hoành

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị

4

y x  x  x

Bài 5: Tìm M x y( ;0 0) thuộc

( ) :C y x 2x  x cho tiếp tuyến có hệ số góc

lớn Viết phương trình tiếp tuyến điểm

Bài 6: Cho hàm số:

2

2

x mx m

y

x m

 



 Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cắt Ox

tại điểm tiếp tuyến điểm vng góc với

Bài 7: Tìm đồ thị hàm số

3

y x  x điểm mà tiếp tuyến đồ thị vng

góc với đường thẳng

3

y  x

Bài 8: Cho hàm số:

2

3

x mx m

y

x

 



 Với giá trị m đồ thị hàm số có

tiếp tuyến vng góc với đường phân giác thứ chứng minh đồ thị hàm số có

điểm cực đại cực tiểu

Dạng 2: Tiếp tuyến qua điểm Bài toán :

Cho hàm số y f x( ) có đồ thị ( )C Điểm M x y( ,0 o) Viết phương trình tiếp tuyến

( )C qua M

Giải toán :

Gọi ( )T tiếp tuyến qua M Phương trình ( )T có dạng : yK x( x0)y0

Do ( )T tiếp xúc với ( )C nên : ' 0

0

( ) ( ) ( )

k x x y f x

k f x

  

  

  

Chú ý : số nghiệm hệ (I) số tiếp tuyến ( )C qua M Bài tập:

Bài 1: Cho hàm số

3

yx  x  x Tìm tiếp tuyến đồ thị ( )C hàm số qua điểm B(3;3)

Bài 2: Cho hàm số 3

4

y x  x  Tìm tiếp tuyến hàm số qua (0; )3

A

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

2

x y

x

 

 , biết tiếp tuyến qua

( 6;5)

A 

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

2

4

x x

y x

 



 , biết tiếp tuyến qua điểm A(1;1)

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số yx33x2 từ điểm A(1;0)

Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến qua (0; )3

A đồ thị hàm số 3

2

y x  x 

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O tiếp xúc với đồ thị hàm số

3( 1)

x y

x

 



Bài 8: Chứng minh qua A(1;0) kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

2

2

x x

y

x

 



 hai tiếp tuyến vng góc với

Bài 9: Chứng minh qua A(-1;1) kẻ tới đồ thị

1

y x x

 

 hai tiếp tuyến

vng góc

Bài 10: Tìm điểm trục hồnh cho từ điểm kẻ tiếp tuyên đến đồ

thị

2

1

x x

y x

  



Bài 11: Tìm đường thẳng x2 điểm mà từ kẻ tiếp tuyến tới đồ thị

hàm số

3

yx  x

Bài 12: Tìm điểm M đường thẳng y 4 cho qua M kẻ tới đồ thị

3

12 12

yx  x ba tiếp tuyến

Bài 13: Tìm trục tung điểm mà từ kẻ đến đồ thị hàm số

2

2

1

x x

y x

  

 hai

tiếp tuyến vng góc với

Bài 14: Cho hàm số: yx33x22 ( )C

a) Lập phương trình tiếp tuyến ( )C qua điểm A(0;3)

b) Tìm đường thẳng y 2 điểm mà từ kẻ tiếp tuyến

với ( )C vng góc với

Bài 15: Cho hàm số: yx33x22 ( )C

a) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C qua A(0;3)

Dạng 3: Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước I Bài tốn

Cho hàm số y f x( ) có đồ thị ( )C Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C có hệ số góc k0 cho trước

II Giải toán

Gọi ( )T tiếp tuyến ( )C có hệ số góc k0

Phương trình ( )T có dạng: yk x b0  (b cần tìm) Do ( )T tiếp xúc với ( )C nên

0

( ) '( )

k x b f x

k f x

  

  

(I) Giải (I) ta tìm b

Chú ý: Số nghiệm hệ (I) số tiếp tuyến kẻ đến ( )C

Bài tập:

Bài 1: Cho parabol

( ) :P yx 2x3 Tìm phương trình tiếp tuyến với  P thỏa:

a) Song song với đường thẳng ( ) : 4d x2y 5 b) Vng góc với đường thẳng ( ') :d x4y0 Bài 2: Cho hàm số 2

3

y  x  x  x Tìm tiếp tuyến đồ thị hàm số song song

với đường thẳng

a)

4

y x b) y2x

Bài 3: Tìm a để hàm số

2

3

x x a

y

x

 



 có tiếp tuyến vng góc với yx Chứng minh