the tich do dinh quan

MÆt ph¼ng qua AC vµ vu«ng gãc (SAD) chia h×nh chãp thµnh hai phÇn.. TÝnh thÓ tÝch mÆt cÇu[r]

PhÇn 1.

ThĨ tÝch khèi ®a diƯn

A Lý thut

1 Khái niệm thể tích khối đa diện (Sgk hh 12) Các công thức tính thể tích cđa khèi ®a diƯn

a) ThĨ tÝch khèi hép ch÷ nhËt

V = abc víi a, b, c kích thớc khối hp chữ nhật b) ThĨ tÝch cđa khèi chãp

V=

Sđáy h ; h: Chiều cao khối chóp

c) Thể tích khối lăng trụ

V= Sđáy h ; h: Chiều cao khối lăng tr

B Các dạng tập

Dạng 1.Tính thể tích khối đa diện

*Ph ơng pháp: §Ĩ tÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn ta cã thể: +áp dụng trực tiếp công thức tính thể tÝch

+Chia khối đa diện thành khối nhỏ mà thể tích khối tính đợc

+Bổ sung thêm bên khối đa diện để đợc khối đa diện tính thể tích cơng thức phần bù vào tính c th tớch

*Các tập

1)Về thể tÝch cđa khèi chãp

+Nếu khối chóp có chiều cao đáy ta tính tốn chiều cao, diện tích đáy áp dụng cơng thức :V=

1

Sđáy h

Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trờng hợp sau:

a) Cạnh đáy a, góc ABC = 60o

b) AB = a, SA = l

c) SA = l, góc mặt bên mặt đáy α

gi¶i:

a) Gọi O tâm ∆ABC

⇒ SO ⊥(ABC)

SABC =

2

a

2

a =

4 a

∆ABC cã SA = SB; ABC = 60o

⇒ SA = AB = SB = a C

S

A

B O a

SO ⊥ OA ( SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:

SO2 = SA2 - OA2 = a2 - (

3 a

2

3 )2 = 2

3

3 a

a

a  

⇒ SO = a

3

VËy VSABC = S∆ABC SO = 31

4

2

a a

3 a2 l 

VSABC =

1 a . a2 l 

c)

Gäi O tâm ABC Gọi A trung điểm BC

DÔ thÊy ((SBC), (ABC)) = gãc SA’O = α Tam giác vuông SOA có:

SO2 = l2 - OA2 = l2 -

9 AA2

Tam giác vuông SOA có:

 '.sin

sin 31

'

3

1SOAA  SO AA

 (2)

Tõ (1) (2) ta cã:

94

9

1 AA'sin  AA'.sin l O

B A'

A C

a

 AA’2(sin2α + 4) = 9l2

 ' sin32 4  



l

AA

S∆ABC =

) (sin 3 sin 3 sin 2 2 2 . . '.         l l l BC AA sin sin sin 3 2 .sin

.         l l SO

⇒VSABC = 31 S∆ABC SO =

4 sin ) (sin sin 3 2 .      l

Bài 2. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông A, AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính VA’ABC theo a?

Giải

-Gọi H trung điểm BC

⇒A’H ⊥ (ABC) (gt)

-Ta cã S∆ABC = 21 AB.AC 21a2

-V× A’H ⊥ (ABC) ⇒ AH AH

Tam giác vuông AHA có: AH2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 -

4

1 .(a2 + 3a2)

hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a 3 B H C

2a

a a 3

C' A'

⇒VA’ABC = 31 S∆ABC A’H =

2

2

1. a 3.a 3a2

Bài 3. Hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABC), SA = a ∆ABC vng cân có AB = BC =a B’ trung điểm SB C’ chân đờng cao hạ từ A ∆SAC

a) tÝnh VSABC

a)

S∆ABC = 21BA.BC 21a2; SA =a

⇒ VSABC = 13 S∆ABC SA = 16 a3

a

C A

a a

B' C'

B

b) ∆SAB cã AB = SA = a ⇒∆SAB cân A AB SB BS = B’B

BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’

BC⊥ SA

⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’) AC’ ⊥ SC

C¸ch

2 2

1 2

' SB a a

AB  

V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’ SC = SA2AC2  3a

2

' a

SC SA

SC  

B’C’2 = SB’2 - SC’2 =

6

6 ' '

2 a

a  B C 

⇒S∆AB’C’ =

3 2

1 AB'.B'C' . a . a  a2

⇒V∆AB’C’ =

36 24

1.a2.a a3 C¸ch 2

3

' '

2 3

a

SB SC

SB  SC a 

3

' ' ' ' ' 1

' ' '

6 6 36

3

SAB C SABC

a

V SA SB SC a

SA B C

V SA SB SC a   V a

Bài 4 Hình chóp SABC có SA (ABC), ABC cân A, D trung ®iÓm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β TÝnh VSABC

DÔ thÊy

(SB, (ABC)) = α = SBA (SB, (SAD)) = β = BSD

∆ABC c©n ⇒ AD ⊥ BC DB = DC

∆SAB cã cos α = SBAB (1)

BC ⊥ AD

BC ⊥ SA (v× SA⊥ (ABC)

⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SD a

B

A C

D S

Tam gi¸c vu«ng SB cã sinβ = BDSB (2)

Tõ (1) (2) ⇒ cosAB sinBD  ABsin2a2 ⇒ 

 sin

cos

2 2

2 AB a

AB  

⇒ AB2(sin2β – cos2α) = -a2cos2α ⇒ AB = 



 cos

2 sin cos

1 2  a

S∆SAB =BD.AD =

2

2 2

sin cos sin

cos . . cos cos sin cos sin

Sin AD AB  a  a 

       

SA = AB tan α = cos2 sin2 sin



a

⇒ VSABC = 13 SA.S∆ABC =  

 2 sin cos

sin

1



a

 



2

2

sin cos

sin



a

= 2 2

3

sin cos

3

cos sin



a

Bài 5 Cho hình vng ABCD cạnh a nửa đờng thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD) phía với mặt phẳng Điểm M khơng trùng với với A Ax, điểm N không trùng với C Cy Đặt AM = m, CN = n Tính thể tích hình chóp BAMNC

Gọi I giao điểm cđa AC vµ BD

Ta cã BD ⊥ AC

(vì ABCD hình vuông)

(Ax, Cy) (ABCD)

⇒ BD ⊥ (AMNC)

⇒ BI ⊥ (AMNC)

BI = BD2 a22

x

n

A

D C

m

B M

N

Diện tích hình thang AMNC S =(AM2CN).AC (mn2)a



VAMNC = . . . ( )

6

2

2 ) ( 3

1

n m BI

S m n a a a

AMNC   



*Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao ta phải xác định đựơc vị trí chân đờng cao đáy.

Ta cã mét sè nhËn xÐt sau:

-Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đáy cạnh bên chân đờng cao tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp đáy

-Nếu hình chóp có mặt bên nghiêng đáy có đờng cao mặt bên xuất phát từ đỉnh chân đờng cao tâm đờng trịn nội tiếp đáy

-Hình chóp có mặt bên mặt mặt chéo vng góc với đáy đờng cao hình chóp đờng cao mặt bên mặt chéo

-Nếu có đờng thẳng vng góc với mặt đáy khối chóp đờng cao khối chóp song song nằm trờn với đờng thẳng

-Nếu đờng thẳng nằm đáy khối chóp vng góc vng góc với mặt phẳng chứa đỉnh khối chóp đờng cao khối chóp đờng thẳng kẻ từ đỉnh vng góc với giao tuyến mặt đáy mặt phẳng chứa đỉnh nói

*Nếu khối chóp khối tứ diện ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.

Bài 6: SABCD có đáy tâm giác cân A, BC =a, ABC = α, cạnh bên nghiêng đáy góc α Tính VSABC

Gi¶i

A S

C B

H a

- Gäi H hình chiếu S lên (ABC)

- Vỡ cạnh bên nghiêng đáy ⇒ H tâm đờng trịn ngoại tiếp ∆ABC - Ta có: ∆ABC = 21 AB.AC.sin

mµ BC2 = 2AB2 - 2AB2cosα= 2AB2(1-cosα) = a2 ⇒ AB =

2 cos 1 

⇒ S∆ABC =

2 cos 1sin 2

2

1 sin 2 cos

 

 a a

AB   

HA = R = 2sinBC 2sina

Tan giác vuông có tan = AHSH SH =2sinatan 2cosa

⇒VSABC =

 

 

cos 24

cot cos

2 3

1

3

. cot .

. a a a

ABC SH

S  

Bài 7: SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = góc đờng chéo = 60o cạnh bên nghiêng

đều đáy góc 45o Tính VSABCD

Gi¶i

A B

C O

D

-H¹ SO ⊥ (ABCD)

- Vì khối chóp có bên nghiêng đáy ⇒ O tâm đờng tròn qua đỉnh A, B, C, D ⇒ tứ giác ABCD hình chữ nhật v {O} = AC BD

- Đặt AC = BD =x

Ta cã ShcnABCD = 12 AC.BD.sin60o =21x2 23 43x2  3⇒ x=3

- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông cân S SO =

2



AC ⇒

VSABCD =

33

1 3.1

Bµi 8: SABC cã SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o.

a) Chøng minh r»ng ∆ABC vu«ng

b) TÝnh VSABC

Gi¶i

a)

H B A

S

C a

  

 

o

ASB SB SA

60 AB = a

-Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2

-∆SAC cã AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2

(-2

-ABC có AC2 = AB2 + BC2ABC vuông B

b) Hạ SH (ABC)

Vì SA = SB = SL HA = HB = HC H trung điểm AC

ABC vuông B

Tam giác vuông SHB có SB = a ⇒ SH2 = SB2 - BH2 =

2

2 a

a  SH 

BH =

2

a AC 

(Hoặc ∆SAC nửa tam giác ⇒ SH = SA2 a2)

⇒VSABC = 13 31 12 61 2 12

2

. 2 . .

. .

. a a

ABC SH ABBCSH aa

S   

Bài 9: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o ∆SAC ∆SBD tam giác có

c¹nh =

Tính thể tích khối chóp SABCD Đáp số: VSABCD =

46

Bài 10: SABCD có đáy hình thang vng A D, ∆SAD cạnh = 2a, BC = 3a Các mặt bên lập với đáy góc Tính VSABCD

Gi¶i

2a 3a

C D

H K

- H¹ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)

- Vì mặt bên lập với đáy góc nên dễ dàng chứng minh đợc H tâm đờng trịn nội tiếp đáy - Gọi K hình chiếu H lên AD

- Ta cã HK = AD2 a

- Tam giác vuông SHK có HK = a

SK = 2a 23 a 3 (vì ∆SAD đều)

⇒SH = 3a2 a2 a

Vì ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a

⇒SABCD = (ABCD2 ).AD 5a2.2a 5a2

⇒VSABCD =

3

3

1 . 5 . 2 a3

ABCD SH a a

S

Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a,

S

A D

C H

B M

N

∆SAB h¹ SH b AB

(SAB) b (ABCD)

⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN)

S∆CDN = S∆MDA = 14 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = 12 S⋄ABCD = 21 2a.2a = 2a2 ∆SAB cã AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 SAB vuông S

⇒ 2 2 3

1 1 1

a a a SB SA

SH      ⇒ SH =

3

a

⇒VSBMDN = 31 S⋄BMDN.SH =

2

3

12a .a a3

Bài 12: SABCD có ⋄ABCD hình thang với AB = BC = CD = 21 AD ∆SBD vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy SB = 8a, SD = 15a

TÝnh VSABCD

Gi¶i S

H

15a 8a

A D

C B

-Trong SBD kẻ SH b BD

Vì (SBD) b (ABCD) SH b (ABCD)

-Tam giác vuông SBD cã 12 12 12

SD SH

SH  

hay 2 2 2

225 64

1

a a

SH  

hay SH a 12017 a

289 14400. 



-V× h×nh thang cã AB = BC = CD =21 AD ⇒ Aˆ Dˆ = 60o, B = C = 120o

-∆SBD cã BD2 = SB2 +SD2 =289a2⇒ BD = 17a ∆CBD cã BD2 =2BC2(1+

2

) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = a 17

S∆BCD =

12 289

3 289 2

2

1 BC sin120o . a . a2

S⋄ABCD = 3S∆BCD =

123 289 a2

⇒VSABCD =31 S⋄ABCD.SH =

17 120 123 289

1 a2. a = 170 3a3

Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD hình chữ nhật, ∆SCD cân S nằm mặt phẳng  (ABCD)

∆SAB cã SA = a, ASB = α nằm mặt phẳng lập với (SCD) góc α TÝnh thĨ tÝch khèi chãp SABCD

Gi¶i

S

A D

C K

B

H

Trong SCD hạ SH CD Vì SCD cân S

H trung điểm CD SH  CD

(SCD) (ABCD

⇒ SH  (ABCD) Gọi K trung điểm AB Ta có HK  AB

AB SH (v× SH  (ABD))

AB (SKH) AB SK SAB cân S

DÔ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α

∆SAB cã SK = acosα , AB = 2AK = 2asin

SHK vuông H có SH =SK.cosα = acos2α

KH = SKsinα = asinαcosα SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα

= 2a2sin2αcosα ⇒VSABCD =

3

3SH1 SABCD  a sin

Bài 14: Hình chóp SABCD có ABC vuông B, SA b (ABC) ACB =60o,

BC = a, SA = a 3, M lµ trung ®iĨm SB TÝnh thĨ tÝch MABC

Gi¶i

H

C A

B

a M

C¸ch

SA b (ABC)

Tõ M kỴ MH // AS cắt AB H MH b (ABC) Vì M trung điểm SB H- trung điểm

MH= 23

2

S∆ABC = 12 AB.BC 21a.tan60o.a 21a2

VMABC =

4

3

2 3

1

. 3 .

. a a

ABC MH a

S  

C¸ch

2  SMSB

V V

ASABC

MABC V

MABC = 21VSABC

mµ VSABC = 13 SA.S∆ABC = 13a 3.21a2 21a3

⇒Vmabc = 41a3

Bài 15: Hình chóp SABCD có ABCD hình vuông tâm O, SA (ABCD),

AB = a, SA = a H, K lần lợt hình chiếu vuông góc A SB, SD Chøng minh r»ng: SC  (AHK) vµ

tÝnh thĨ tích hình chóp OAHK

Giải

A

C O

H

K a

a

N F E

B

D

a

2

S

y

x

AH  SB (gt) (1)

BC AB (vì ABCD hình vuông) BC SA (vì SA (ABCD))

BC  (SAB) BC  AH (2) Tõ (1) (2) ⇒AH  (SBC ⇒AH  SC (3) Chøng minh t¬ng tù ta cã: SC  AK (4) Tõ (3) (4) ⇒ SC  (AKH)

Gäi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF KÐo dµi AF cắt SC N

Trong (SAC) k ng thng qua O//SC cắt AN E ⇒ OE (AHK)

V× OA = OC; OE//CN OE = 21 CN

Tam giác vuông SAD có 12 12 12

AD AS

AK   ⇒ AK =

2

2

2 a a

a a AD AS

AD

AS  



DÔ thÊy AH =a 32

AKH cân A

Dễ thấy ∆SBD cã SDSK KHBD mµ SK = SA2 AK2  2a2 32a2 2a3

SD = a

⇒ a SOSF a

BD

KH   

3 3

2

HK = 32 BD = 32a

∆SAC cã : OA = OC

⇒

2  

SF OF SN OE

⇒OE =

SN =

a S∆AHK =

2

KH

4

2 HK

AK  =

9 2

a

⇒ V = 3 AHK 

1 S OE

27 2a3

* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK nh sau: Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.Ta có:

A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a 2) , O(

2 a

,

2 a

, 0)

∆SKA ∆ SAD ⇒

SD SA SA SK

 ⇒ SK=

3 2a

⇒K(0,2

3a , a

)

∆ABS cã AS2 SB.SH

 ⇒ SH=

3 2a

⇒H(2

3a,0, a

)

Ta cã )

3 , ,

( a a

AH 

)

3 , ,

( a a

AK 

,0)

2 , (a a AO 

[AH,AK ] =(

9 ,

2 ,

2

2 2

a a a 

 )

⇒ VOAHK=

6

|[AH,AK ].AO|=

27 a

Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2 ,

SA = a, SA  (ABCD) M, N lần lợt trung điểm AD SC {I} = BM ∩ AC TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp ANIB

Gi¶i

a K

O C

D A a

a

N

I B

SA (ABCD)

Gäi {O} = AC ∩ BD

Trong ∆SAC cã ON // SA

⇒ON  (ABCD) ⇒ NO  (AIB) Ta cã NO = 21SA2a

ABD sã I trọng tâm

SABI =32 SABO = 23.14 S⋄ABCD = 32 a.a =

6

2

a

⇒ SANIB = 31 NO.S∆AIB =

362 62

2

1.a.a2 a3

Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a,

(SAD) (ABCD), ∆SAD Gọi M, N, P lần lợt trung điểm SB, BC, CD Tính thể tích hình chóp CMNP

Gi¶i

A

C N a

D

P

B M

F E

S

y

x z

- Gọi E trung điểm AD (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD

(SAD)  (ABCD)

SE (ABCD)

- Gọi F hình chiếu cđa M lªn (ABCD) ⇒ MF // SE DƠ thÊy F EB F trung điểm EB

Ta cã MF = 21 SE = 43

23

1.a a S∆CNP = 14S CBD 81SABCD 18a2



VCMNP = 21 S∆NCP.MF =

963 43

1 a .a a3

Nhận xét: dùng phơng pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O 0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES

Bài 18: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’ bán kính đáy chiều cao a Trên đờng tròn tâm O lấy A, Trên đờng tròn tâm O’ lấy B cho AB = 2a Tính thể tích hình chóp OO’AB

Gi¶i

B

A

A' O'

O

H D

Ta cã BH  A’D BH A’A

⇒ BH  (AOO’A’)

⇒BH đờng cao tứ diện BAOO’

SAOO’ =

2

2 a

, A’B = AB2 AA'2 a

 

∆A’BD vu«ng ë B ⇒ BD=a

∆O’BD ⇒ BH=

2

a ⇒

VBAOO’ =

3

BH SAOO’ = 123

a

Bµi 19: Cho hình chóp có ABCD hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; SA  (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o Điểm M thuộc cạnh SA, AM =

33

a .

(BCM)∩ SD ={ N} Tính thể tích hình chóp S.BCMN

Giải

S

A D

C B

N M

H

Ta có SAB=600

SAB vuông A cã AM =

3 a

, AB = a ⇒ ABM = 300

Kẻ SH⊥ BM SH đơng cao hình chóp S.BCMN

ta cã SH=SB sin 300 = a

BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒

AD MN SA

SM

 ⇒MN =

3

a

SA SM AD



⇒SBCMN =

3 10 )

(

1 a2

BM BC

MN 

⇒VSBCMN =

3

SH SBCMN = 10273

a

Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình thang; BAD = ABC = 90o;

AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a M, N lần lợt trung điểm SA SD Chứng minh BCMN

hình chữ nhật tính thể tích hình chóp S.BCNM

A D

S H

M N

Ta cã BC//AD ,BC= AD

2

,MN//AD , MN= AD

2

1 ⇒

BC = MN , BC// MN (1)

BC ⊥AB

BC ⊥SA

⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2)

Tõ (1) vµ (2) ta có BCNM hình chữ nhật

Kẻ SH ⊥BM SH⊥ (BCNM)

⇒Vsbcnm=

3

SBCNM.SH=

3

BC.NM.SH=

3 a

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông AB = AC = a;

AA1 = a M trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trơ MA1BC1

Híng dÉn:

+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = a3122 +Có thể dùng phơng pháp toạ độ

Bµi 22: Tø diƯn ABCD cã AB = x có cạnh lại a.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn theo x

b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn

Gi¶i

a

H C

B

C

C¸ch 1:

Gọi H Hình chiếu D lên (ABC) DA = DC = DB = ⇒ H tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC mà

∆ABC cân H CC với C trung điểm AB

S∆ABC = CC'.AB 4 x .x 4 x2.x

4

1

1    

HC = R∆ABC =

4 2

2

1

cos sin sin

2 xC Cx C x x x x

 

Tam giác vuông HCD cã HD2 = CD2- DC2 =

2 2 43

1

1 xx

x 



 



⇒ HD =

2

4

x x

  ⇒

VABCD =

2

2

1 1

3SABC.HD3 4 x x 4xx 12x 3 x

C¸ch 2:

B

A

D M

C'

Gọi M trung điểm CD CD  ABM

Vì ∆ACD ∆BCD ⇒ AM = BM = 23 VABCD = 2VCBMA = 2.13 CM.S∆ABC = 32 21.SABM

S∆ABM = 21 MC’.AB =

4 2 2

3

1x. ( ) (x) x 3 x

VABCD = x x x2.x

121

3

1   

b)

SACD=

3 ⇒ d(B,(ACD))=

ACD ABCD S V

3

= x x

3

1

 c)

VABCD = 2

12 3 x x 12 x2x 8 DÊu “=” x¶y ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x =

2

3 vµ thĨ tÝch lín nhÊt lµ

8

Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy ABCD SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ

SH vng góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối lớn

C A S M D B H

Ta cã BM  SH (gt)

BM  SA (V× SA ( ABCD)

⇒BM  AH SABM =

2

SABCD =

a2

Mµ SABM =

2

AH.BM ⇒ AH=

2 2 x a a BM a  

∆SAH vu«ng ë A cã SH= 2 2

2 2 x a a h AH SA    

∆BAH vu«ng ë H cã BH=

2 2 2 x a ax x a a a AH AB      

SABH =

2 AH.BH = 2 x a x a  VSABH =

2 x a xh a SA SABH 

 a h

ax xh

a3

12  

DÊu b»ng x¶y a=x tøc M trïng D

Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với đáy ABC SA = a.Điểm M thuộc

c¹nh AB Đặt góc ACM

Hạ SH vuông góc với CM

a)Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện SAHC

b)Hạ AI vuông góc víi SC,AK vu«ng gãc víi SH TÝnh thĨ tÝch khèi tứ diện SAKI Đáp số

a)Vmax=

12

3 a

b)VSAKI =

) sin ( 24 sin    a

Cã thĨ tÝnh thĨ tÝch khèi ®a diƯn nhờ việc chia thành các khối nhỏ bổ sung thªm

Bài 25: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối đôi AB = CD =a, AC = BD = b, AD = BC = c Tính thể tích ABCD

H

C P

Q

R B

+Dùng ∆PQR cho B, C, D lần lợt trung điểm PQ, QR, PR +SDCR = S∆BCQ = S∆PDB = 41 S∆PQR

⇒ S∆BCD =41 S∆PQR

AD = BC = PR D lµ trung ®iĨm PR

⇒AR  AP

T¬ng tù AP b AQ, AQ b AR VAPQR =41 S∆PQRAR

Bµi 26: VABCD =

6

AD.BC.MN.Sin α Trong ABCD tứ diện có MN độ dài đoạn vng góc chung

các cặp cạnh đối AD CB, α =(AD, BC)

Híng dÉn: Dùng hình hộp ngoại tiếp t diện

Bi 27: Cho hình chóp SABC có tất góc phẳng đỉnh A B tam diện α AB = a Tính thể tích hình chóp SABC

Gi¶i

C A

B S

E

F

a

-DÔ thÊy∆ SAB, ∆CAB tâm giác cân S C

-Gọi E trung điểm AB AB b SE

AB b CE

⇒AB b (SCE)

⇒VSABC = VASEC + VBSEC = 31 S∆SEC.(AE+BE) = 13 S∆SEC.AB

Tính SSEC = ?

SEC cân E v× ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g)) Gäi F trung điểm SC EF b SC

FS = FC

FBC =

Tam giác vuông EBC có CE = tan

2

Tam giác vuông FBC cã BC = CE2 EB2



cos cos 2cos

( )

a

a EB

  

  

Sin2 =

BC

FC ⇒ FC = BC sin

2

 =

2 cos

2 .sin

a

Tam gi¸c vu«ng EFC cã EF2 = EC2 - FC2 =

2 2

cos cos

sin

4 tan (sin sin

2 2

2 2

 

 

 a  a 

a

S∆SEC = 21 EF.SC = EF.FC = 2cos sin2 sin2 2.2cos sin2  

  a

a 

=

2 2

2 cos

2 .sin . sin sin

2

 

  

a

VSABC =

2 2

2 cos

12

3 .sin . sin sin

2  

  

a

một số tập giải PP toạ độ vỚi việc chọn hệ toạ độ dễ dàng

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt BD O SO  (ABCD), SA =

2 Gọi M trung điểm SC, (ABM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Giải Cách 1:

B

O C

D A

S

M N

Ta cã AB // CD (gt) (ABM) (SCD) = MN

⇒MN // CD ⇒ N trung điểm SD

VSABCD = 21 SABCD.SO = 12 AC.BD.SO = 214.2.2 8

2  SDSN

V V

SABD

SABN ⇒ V

SABN = 21 SSABD =

22

1. = 2 2

4 2 1.

.   SMSC SDSN

V V

SBCD

SBMN ⇒ V

SBMN = 14 SSBCD =

2

1. = 2 ⇒VSABMN = VSABN + VSBMN =

O S

A

C D

N M

B z

x y

Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS

DÔ thÊy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; 2)

Do (ABM) ∩ (SCD) = MN

AB // CD

MN//CD

N trung điểm SD

⇒N(0; - 21 ; 2)

SA = (2; 0; -2 2); SM = (-1; 0; - 2); SB = (0; 1; -2 2); SN = (0; -21 ; - 2) [SA, SM ] = (0; 2; 0)

VSABM = 61 [SA, SM ].SB =

32

VSAMN = 61 [SA, SM ].SN =

32

VSABMN = VSABM + VSAMN = 2

Bµi 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD có AB = a, AD = b , AA ’= c a)TÝnh thÓ tích ACBD

b)Gọi M trung điểm CCTính thể tÝch MA’BD

gi¶i

C B'

D' C'

A'

A

D

B x

y

a

b c

M

a) Cách 1:

Thể tích khối hộp ABCDABCD V = abc VC’CDB =

6

1

1 '

3

 



 c ab abc

S

CC BCD V

T¬ng tù ta cã: VAA’BD = VBA’B’ C’ = VD’A’DC’ =

⇒VA’C’DB = V -

6

V =

V=

abc Cách 2: dùng phơng pháp toạ độ

Chọn hệ toạ độ Axyz nh hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c), A’(0; 0; 0)

DB = (a; -b; 0); DC' = (a; 0; c); DA' = (0; -b;c);

[DB,DC'] = (-bc; -ac; ab) VA’C’DB =

6

|[DB,DC'].DA'| =

abc

b) Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.ta có A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0;B;0) , A’(0;0;c) , C(a;b;0) , C’(a;b;c) M trung điểm CC’ nên M(a;b;

2 c

)

) ; ; ( a b

BD   , )

2 ; ;

( b c

BM , BA' ( a;0;c)

 

[BD,BM ]= ; )

2 ;

(bc ac ab

VBDA’M =

|[BD,BM ].BA'| =

4

3



abc abc

2) Về thể tích khối lăng trụ

Ta thờng áp dụng cơng thức tính thể tích biết chia nhỏ khối cần tính bổ sung thêm

Bài Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác đều, cạnh a A’A = A’B = A’C Cạnh AA’ tạo với đáy góc 60o Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’.

Gi¶i

B

A

C C' B'

A'

O a

Gäi O tâm ABC OA = OB = OC

AA = A’B = A’C (gt)

⇒A’O⊥ (ABC)

(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600

A’O ⊥OA (v× A’O⊥ (ABC)

Trong tam giác vuông AOA có OA = OA tan 600 = a

Vì ∆ABC cạnh a nên S∆ABC =

a ⇒

VABCA’B’C’ = S∆ABC.A’O =

3 a

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, AC = b, C = 60o (BC’,

(AA’C’C)) = 30o Tính thể tích khối lăng trụ

C C' A'

A

B B'

b b'

DÔ thÊy AB (ACC’A’) nªn (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300 ∆ABC vuông A có C =600, AC=b nên BC=2b AB= 3b.

vì AB (ACCA) nên AB b AC

ABC vuông A có AC = AB 3b

30 tan 

∆ACC’ vu«ng t¹i C cã (CC’)2 = AC’2- AC2 = 9b2- b2 = 8b2 ⇒CC’ = 2b =AA’ S∆ABC =

2

CA.CBsin6oo = 3b2

⇒VABCA’B’C’ = SABC.AA = 6b3 Bài 3

Dạng 2: tỉ số thể tích

A/ Phơng pháp: Giả sử mặt phẳng chia khối đa diện thành hai khối tích V1 V2 Để tính k =

V V

ta cã thÓ:

-TÝnh trùc tiÕp V1, V2 b»ng c«ng thøc ⇒ k

-Tính V2 (hoặc V2) công thức tính thể tích khối Thể tích V2 (hoặc V1) k

Ta có kết sau:

+Hai khối chóp có diện tích đáy tỉ số thể tích tỉ số hai đờng cao tơng ứng +Hai khối chóp có độ dài đờng cao tỉ số thể tích tỉ số hai diện tích đáy

+ '. '. '

' '

' SA SB SC

SC SB SA V

V

C B SA

SABC 

C A

B B'

(chỉ cho khối chóp tam giác (t din))

B Các tập

Bi 1: Chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC mặt phẳng (P) chứa AM //BD chia hình chóp thành hai phân Tính tỉ số thể tích hai phần

Gi¶i

C

B O A

S

D

M

B' I D'

-Gäi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM

⇒ I ∈ (P) BD ⊂ (SBD) BD // (P)

⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD

9 3 2

1 '

' . . . . .

.

' '

 



SMSC CSBSB SDSD SOSI SOSI

V V

SCBD D

SMB (vì I trọng tâm SAC)

92 3 '

'

'. . 1. .

' '

 

SASA SBSB SDSD

V V

SCBD D SMB

mµ VSABD = VSCBD =

2

VSABCD

2

1

2

92 ' ' ' ' ''

2

' '

1 '

'        

MB ABCDD

MD SAB SABCD

MD SAB D

SAB D SMB

V V V

V V

V V V

Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy hình vng, SA  (ABCD) (SC, (SAB)) = α Mắp phẳng (P) qua A vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

Gi¶i

KÝ hiÖu K1 = VSMAQN

V2 = V - V1

Gäi O = AC ∩ BD

∆SAC kỴ AN SC

E = SO ∩ AN ⇒ E (P) (P) SC

mà BD SC BD  AC BD  SA

 BD  (SAC) BD ⊂ (SAC)

S

D

C O B

A N M

Q E

⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BD CB  AB (gt)

CB  SA (v× SA  (ABCD))

SB SQ SC SN V V V V SACB SANQ .

1  

Tam giác vuông SAC: SA2 = SC.SN SN =

SC SA2

Tam giác vuông SAB: SA2 = SB.SQ ⇒ SQ =

SB SA2

)

(

. 2

2 2 SC SB SA SB SA SC SA V V  

BC AB (gt)

BC SA (v× SA  (ABCD))

⇒BC SB

Tam giác vuông SBC: cos =

SC SB

⇒ SC =  cos

SB

Tam giác vuông SAB: SA2 = SB2 - AB2 = SB2 - BC2 = SB2 - SB2tanα 

 



 ) (cos sin ) 1 sin2

( 2

) tan ( cos

1      

SA SB SB V V     sinsin2 ) sin 1 ( ) sin ( 1       

VVV VV

V V

Bài 3: SABCD hình chóp tứ giác cạnh a, đờng cao h Mặt phẳng qua AB  (SDC) chia chóp làm hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

Bài 4: Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ cạnh a M trung điểm CD, N trung điểm A’D’ Tính tỉ số thể tích hai phần (MNB’) chia hình lập phơng

Gi¶i D A B Q M C' B' D' A' P E C Gỵi ý:

Gäi V1, V2 tơng ứng thể tích phần phÇn díi thiÕt diƯn ta cã:

V1 = VB’ECF - (VEPD’N + VFMQC)

§Ĩ ý: ED’ = a, FC = a

, PD’ = 2a

, CQ = a

Tính đợc V1 =

144 55a3

V2 = V- V1 = a3 -

144 55a3

= 144 89a3

Bµi 5: Cho tø diƯn SABC lÊy M, N thc c¹nh SA, SB cho

2 

MA SM

,

NB SN

Mặt phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

Giải

A' C

A

B E

M

N F

Dễ thấy thiết diện hình thang MNEF (với MF // NE) Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS, V2 = VMNEFAB

V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE

9 3 1.

.   CACF CBCE

V VSCEF

3

.   SMSE SESA SMSA

V V

SFEA SFME

9

.

.  



SS SS SS CAFA CECB

V V

ABC CEA CEA FEA ABC

FEA SFEA

⇒VSFMEV V

274

1. 



9

.  SMSA SNSB

V V

SABE SMNE

3

.

.  



SS SS SS CEEB CBCE

V V

ABC CEA CEA ABE ABC

ABE SABE

⇒VSABE =27

V ⇒ V1 =

V + 274 V + 272 V = 94 V 54

2



V V

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a M, N, E lần l ợt trung điểm BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ (MNE) tạo

Gi¶i

B'

C'

C

B A

A' E

M

N A'

I

Gäi V1, V2 tơng ứng thể tích phần phần dới cđa thiÕt diƯn, ta cã

V1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF

V2 = VNFA’E + VNAA’FI + VNACMI

So sánh phần tơng ứng ta có V1 = V2 

V V

=

Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a {O} = AC  BD, ox  (ABCD) LÊy

S  Ox, S  O Mặt phẳng qua AC vng góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

Dạng Phơng pháp thể tích : Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thứC,khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

dùa vµo thĨ tÝch.

Bµi 1: SABC cã SA = 3a, SA  (ABC), ∆ABC cã AB = BC = 2a, ABC =120o

TÝnh D(A,(SBC))

Gi¶i

B A

S

C

M 3a

2a

S∆ABC = 21 AB.BC.sin120o =

4

2a a = a3 3

SSABC = 31 S∆ABC SA=

333

2 a

a = a3 3

Kẻ SM BC

BC SA (vì SA  (ABC))

⇒BC  AM ⇒ AM = a

SAM vuông A có SM = 3a

S∆SBC = SM.BC = 3a2

d(A, (SBC)) = 23

3

3 3

2

 

 a

a S

V SBC

SABC a

Bài 2: SABC có đáy ABC tam giác cạnh a 3, SA (ABC), SA =2a `Tính d(A, (SBC))

B A

S

C M

a 2a

S∆ABC = 21 a 3.a 3.sin60o =

4 3

3

3a2  a2

VSABC =13 SA.S∆ABC =

2

3a3 Gäi M trung điểm BC

AM BC

BC SA ⇒BC  SM

AM = 32

2

3 a

a 

SAM vuông A có SM2 = SA2 + AM2 = 4a2 +

4

a2 =

4 25

a2⇒ SM =

2

a S∆SBC = 21 SM.BC = 523 a2

d(A, (SBC)) = 53

3

2

3

3

3  

 a

a S

V

SBC

SABC a

Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD cã AD b (ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC = TÝnh d(A, (BCD)) ?

Gi¶i

C A

B D

4

5

M

Dễ thấy ABC vuông A SABC = 21 AB.AC = VDABC = 13 S∆ABC.DA =

∆DAC cã DC = ∆DAB cã DB =

∆DBC cã BC = BD = DBC cân B, gọi M trung điểm DC ⇒BM  DC BM = 25 8 17 S∆DBC = 21 BM.DC = 21 17 2 = 34

d(A, (DBC)) =

34 12



DBC DABC

S V

a

Gi¶i

A N

B

C

D M

a

ACD = BCD Gọi M trung điểm CD

⇒AM = BM, DC  (ABM)

Gäi N trung điểm AB MN AB MN2 = BM2 - BN2 = c2 +

4 4

2 2

2 a c b a

b    

S∆AMN = 2

4

4

2. 4

2 2

a b c

a a b c

a     

VABCD = VBCMA = 2.31 CM.S(∆ABM) = 2

12 2

2.b.a 4c b  a ab 4c b  a

V∆BCD = BM.CD =

4 2

1 c b2 .b =

b 2 2

4c b

d(A, (BCD)) = 2

2 2

2

2 2

4 4

b c

a b c b

c a b c S

V a

b ab BCD ABCB

   

 

 



Bµi 5: Cho tø diƯn ABCD cã AB = CD = x cạnh lại a) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD theo x

b)TÝnh d(A, (BCD))

Tơng tự

Đáp sè: VABCD =

6

2

x

d(A, (BCD)) = x 2

4

4

x x x   

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a BAC = 120o Gọi m trung điểm

c¹nh CC1

B

A

C

2a

y x

z

M

C1

A1

B1

Đa hệ trục toạ độ A1xyz vng góc nh hình vẽ: gốc toạ độ A1 trục A1Z hớngtheo A1A

Trơc A1y híng theo A1C1 Trơc A1x t¹o víi trơc Oy gãc 90o vµ n»m MP (A1B1C1)

Toạ độ điểm:

A1(0 ; 0; 0), B1(a23; a2;0), C1(0; 2a; 0)

A(0 ; 0; 2a 5), B(a23; a2;2a 5), C(0; 2a; 2a 5)

M(0; 2a; a 5)

BM ( a23;52a;-a 5)

M

A1 (0; 2a; a 5), AB(a23; a2;0) M

A

BM = 0+5a2 - 5a2 = (BM  MA1 )

ThÓ tÝch khèi chãp AA1BM b»ng V = 61 |AB [BM,A1M ]| M

A

BM 1 = 52a -a

2 a

 -a

2 a

 52a

2a a ; a ; 2a

= ; ; 3

2 15

5

9a2 a2 a



⇒VAA1BM = 3

15

15 2

5

3

1 a . a2 a.a2 0 a2

  

S∆BMA1 = 61 BM.A1M = 3a2 Khoảng cách từ A tới (BMA1)

h = a35

SV 

Bài 7: Cho tứ diện OABC Lấy M nằm tam giác ABC, đờng thẳng qua M // với OA, OB OC cắt mặt OBC, OCA, OAB lần lợt A1, B1, C1

Chøng minh r»ng:   1

OC MC OB MB OA MA

H

B

C A

O

K A1

M

Nối M với đỉnh O,A,B,C Khi VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA

1=

OABC MOCA OABC

MOBC OABC

MOAB

V V V

V V

V

 

XÐt OABC MOAB

V V

KỴ AH b (OBC), MK b (OBC) AH //MK

∆OAH ∾ A1MK ⇒ MK

AH MAOA1  OA

MA AH

MK V

V

OABC

MOBC  

T¬ng tù ta cã

OC MC V

V

OABC

MOAB



OB MB V

V

OABC

MOCA 

VËy   1

OC MC OB MB OA MA

Bài 8: Giả sử M điểm nằm tứ diện ABCD Các đờng thẳng MA, MB, MC, MD cắt mặt đối diện A1, B1, C1, D1

Chøng minh r»ng 1

1 1

1

1

1    

DD MD CC

MC BB

MB AA

MA

Gi¶i

M

H K A1

A

B

C

D

1= V V V V V V V

VMBCD MACD MABD MABC

  Xét V VMBCD

Gọi H, K lần lợt hình chiếu A, M lên (BCD) MK//AH ⇒

1 AA MA AH MK  1 AA MA AH MK V

VMBCD   T¬ng tù: 1 BB MB V VMACD  ; 1 CC MC V VMABD  ; 1 DD MD V VMABC 

Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc SABCD cạnh SA, SB, SC ta lấy điểm A1, B1, C1 cho

3  SA SA ; 1  SB SB ; 1  SC SC

Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD t¹i D1 Chøng minh r»ng

5  SD SD Gi¶i S A B C D C1 D1 A1 B1

Ta cã VSABC = VSBCD + VSCDA = VSDAB = V2 1 1 1

1  . . 

SC SC SB SB SA SA VSABC

VSABC (1)

SD SD SC SC SD SD SA SA VSADC

VSA1D1C1 1 1 1 1 . .

. 92

 (2)

Cộng vế với vế (1) (2) ta đợc SD

SD V

VSABCD 1

2 1111

1 . 9   T¬ng tù: SD SD SD SD SB SB SA SA VSABD

VSA1B1D1 1 1 1 1 . .

. 31

 (4) SD SD SD SD SC SC SB SB VSBCD

VSB1C1D1 1 1 1 1 . .

. 61

 (5)

Cộng vế với vế (4) (5) ta đợc SD

SD V

VSABCD 1

2 111

1 .

2



Tõ (3) vµ (6) ta cã

SD SD SD

SD1 . 1

. 92

9

1   ⇒

PhÇn 2.

ThĨ tÝch khèi cÇu, khèi trơ, khèi nãn

A/ Lý thuyết. 1/Định nghĩa:

-Thể tích khối cầu (Sgk HH12 – Trang 44) -ThĨ tÝch khèi trơ (Sgk HH12 – Trang 50) -ThÓ tÝch khèi nãn (Sgk HH12 – Trang 56)

2/Các công thức:

a)Thể tích khối cầu V = 34R3, R: bán kính mặt cầu

b)Th tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao

c)Thể tích khối nón V = 31 Sđáy.h , h: chiu cao B/.Bi tp

ở chủ yếu tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào công thức

Bi 1: Cho lăng trụ tam giác có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên b Tính thể tích mặt cầu qua đỉnh lăng trụ

Gi¶i

a

C

C' O

O'

A1

A1'

B' B I

A'

-Gọi O O’ tâm ∆ABC ∆A’B’C’ OO’ trục đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC và∆A’B’C’ -Gọi I trung điểm OO’ IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ -Bán kính mặt cầu R = IA

Tam giác vuông AOI có: AO = 32 23 33

1

2 AA a a

 

OI = 21OO'21 AA'2b

⇒AI2 = OA2+OI2 =

12

2

2 b a

a   ⇒ AI =

3

7

a

V=

54 21 18 7 72.28

7 3

4R   a3. a3  a3  a3

AI2 = a  b  AI  a  b R

3

3 12

3

4 2 2

V=

3

3 2 2

4 2

3R 3 8.3 3(4a 3 )b 18 3.(4a 3 )b

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 30o Tính thể tích mặt cầu

ngo¹i tiÕp h×nh chãp

a O S

M

D C

B A

I

Gọi O tâm hình vuông ABCD Ta cã SO b (ABCD), SO lµ trơc cđa ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o

Gäi M trung điểm SA

Trung trực SA cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

OIMA từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = SMSO.SA

Víi AO = a22 , AS =

3 22

3 30 cos

a a

AO

o   , SO = SA sin30o =

a

⇒SI =

3

a aa

= a 32 ⇒ VMcÇu =

3 3 3

4a  a

Các tập xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, hi

thêm thể tích mặt cầu

Bi 3: Cho hình trụ có đáy tâm đờng trịn tâm O O’ tứ giác ABCD hình vng nội tiếp đờng tròn tâm O AA’, BB’ đờng sinh khối trụ Biết góc mặt phẳng (A’B”CD) đáy hình trụ 60o Tính thể

tÝch khèi trơ

Gi¶i

A' B'

B

A D C

  

 

DC D A

DC AD

' ⇒ADA’ góc (A’B’CD) đáy

Do đó: ADA = 60o

OAD vuông cân nên AD = OA = R

∆ADA’ cã h = AA’ = ADtan60o = R 6

Bài 4: Bên hình trụ có hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đờng tròn đáy thứ C, D thuộc đờng trịn đáy thứ hai hình trụ mặt phẳng hình vng tạo với đáy hình trụ góc 45o Tính thể tích khối

trơ

Gi¶i

A

J

B M'

C' D

O'

O

Gäi I, J lµ trung ®iĨm cđa AB vµ CD

Ta có: OI AB; IJ cắt OO’ ttrung điểm M OO’ MIO = 45o góc mặt (ABCD) với đáy, đó:

O’I = 2a2 ; R =

8

2

2 a a

a  

h = 2OM = a2 VËy V = R 2h = 

3

3 3 . 2

3

8 . 2 16

a

a a  

Bài 5: Một hình trụ có diện tích tồn phần S = Xác định kích th ớc khối trụ để thể tích khối trụ lớn

Gi¶i

STP = Rh +2 R  =2 R(R+h) = 6  ⇔R(h+R) = ⇔ Rh + R2 =

V = R 2h = R(3-R 2) = - R 3 +3 R

V’ = -3 R + ; V’ =0  ⇔ R = 1

Dùa vào bảng biến thiên ta có VMaxR = h =

Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đờng trịn đáy cung α (P) tạo với đáy góc β Cho khoảng cách từ tâm O đáy đến (P) a Tính thể tích khối nón

Gi¶i

O A

E B S

Gọi E trung điểm AB ta cã OES=β ; AOB=α

VÏ OM (SAB) th× SOM= ta cã: SO=  cos a vµ OE=  sin a

Bán kính đáy R=OA=

2 cos sin

cos  

a OE



ThĨ tÝch khèi nãn lµ:V=

3

2

1

3 3sin .cos .cos a

R h 





 



Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đờng cao SO = h, bán kính đáy = R M ∈ SO đờng tròn (C) 1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S đáy (C)

2.Tìm x để thể tích lớn nhát

Gi¶i

S

(C) M

O

Ta cã ' ' ' (h x)

h R R R R h x h R R SO SM       

ThÓ tÝch khèi nãn V= ( 2 )

3 ) (

1 2

2 2 2

' x hx h x

h R x x h h R SM

R       



V’= 3 4 ,

3

1 2 2 h hx x h R   

V’ = ⇔     h x x h

x= h (loại)

Dựa vào bảng biến thiªn ta cã: V Max ⇔x =h3

Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích tồn phần 2 Với x hình trụ tồn tại? Tính thể tích V khối trụ theo x tìm giá trị lớn ca V

Giải

Ta có Stp=Sxq+2Sđ=2 2 ( )

2

2 xy x

x

xy    



Theo gi¶ thiÕt ta cã (xy+x 2)=2 ⇔xy+x2 =1 ⇔ y =

x x2

1

.H×nh trơ tån t¹i y>0 ⇔1-x2> ⇔0 < x < 1

Khi V = x 2y = x(1-x 2) = - x 3+ x

Khảo sát hàm số với x (0,1) ta đợc giá trị lớn V=

3 3   x 

Bài 9: Cho hình nón trịn xoay đỉnh S, đáy hình trịn tâm O.Trên đờng trịn lấy điểm A cố định điểm M di động.Biết AOM= α ,nhị diện cạnh AM có số đo β khoảng cách t O đến (SAM) a

TÝnh thÓ tÝch khèi nãn theo a, α, β

Gọi I trung điểm AM

SAM cân nên SI AM

OAM cân nên OI AM

(SOI) AM nên SOI góc phẳng nhị diện cạnh AM SIO =

Kẻ OH  (SAM)

(SOI)  (SAM)

⇒ H ∈ SI vµ OH = a

Ta cã OI=  

  



 sin ; tan cos

2 cos cos ;

sin sin

a IO

SO a

OI OM a OH

 

 



V=

2

2

2 2

1

3 cos cos .sin 3sin .cos cos

2

a a a

SO OM  

 

   

 

Bài 10: Cho mặt cầu đờng kính AB=2R Gọi I điểm AB cho AI=h Một mặt phẳng vng góc với AB I cắt mặt cầu theo đờng trịn (C)

+Tính thể tích khối nón đỉnh A đáy (C)

+Xác định vị trí điểm I để thể tích đạt giá trị lớn

Gi¶i

B O I

F E

Gọi EFlà đờng kính cua (C) ta có :

IE2 = IA.IB = h(2R-h) ⇒ R = IE = h(2R h)

Thể tích cần tính là:V= (2 )

3

1

2h h r h

r  

 víi < h < 2R

V’ =

2

3 (

3 Rh h



, V’ =

4

R h

 

Vmax

4R h 

hay AI =

4R