- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | TRƯỜNG THCS THẠCH XÁ ĐỀ THI HSG LỚP
MƠN: TỐN
(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số
Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)
2x +5x−3
b) x4+2009x2+2008x+2009
c) (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 16 Câu (3,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: (x− +y z) (2+ z−y) (2+ x− +y z)(2y−2z)
b) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
2 2 2
1 1 1
3 12 20
x x
x x x x x x x x x x
+
+ + + +
+ + + + + + + + +
Câu (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: a) 3x2+ − −x 2=0 b) 2 23
1 1
x
x x x x
−
= +
− + + +
2) Một số thập phân có phần nguyên số có chữ số Nếu viết thêm chữ số vào bên trái số đó, sau chuyển dấu phẩy sang trái chữ số số
10 số ban đầu Tìm số thập phân ban đầu
Câu (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD
a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Câu (2,0 điểm)
a) Cho a b, Chứng minh a chia 13 dư b chia 13 dư 2
a +b chia hết cho 13 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
( )( )
1
A=x x+ x + −x
ĐÁP ÁN Câu
a) 2x2+5x− =3 2x2+6x− −x
( ) ( ) ( )( )
2x x x x 2x
= + − + = + −
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
2 2
2 2
( 1)( 1) 2008( 1)
( 1)( 2008) ( 1)( 2009)
x x x x x x
x x x x x x x x
= + + − + + + +
= + + − + + = + + − +
c) (x+2)(x+4)(x+6)(x+ + = +8) 16 (x 2)(x+8)(x+4)(x+ +6) 16
( )( ) 10 16 10 24 16
x x x x
= + + + + +
Đặt x2+10x+20=t
( )( ) 2
4 16 16 16
t t t t
= − + + = − + =
( 2 )2
10 20
x x
= + +
Câu
a) (x− +y z) (2+ z−y) (2+ x− +y z)(2y−2z)
( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2
x y z x y z y z y z
x y z y z
x = − + + − + − + − = − + + − = b)
2 2 2
1 1 1
3 12 20
x x
x x x x x x x x x x
+ + + + + + + + + + + + + + ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2
1 1 1
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1
5 5 5 x x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x + = + + + + + + + + + + + + + + = − + − + − + − + − + + + + + + + + + + = − + + = = + Câu 1)
a) 3x2+ − −x 2=0
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2
3
3 2
3 2
2
2 3
x x
x x
x x x
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
3 2
3 x
x x x
− =
+ + =
=
− −
=
Vậy tập nghiệm phương trình 2; 3 S= − −
b) 2 23
1 1
x
x x x x
−
= +
− + + +
ĐKXĐ: x −1
( )
( )( )
2
2
2 1
2
2
1
1( ) 2( )
x x x x
x x x
x x
x x
x l
x n
S
+ = − + + −
+ = +
− − =
+ − =
= − =
=
2) Gọi số phải tìm x (x > 0)
Vì phần nguyên x có chữ số nên viết thêm chữ số vào bên trái số tăng thêm 20 đơn vị, nghĩa ta có số có giá trị 20 + x
Vì dịch dấu phẩy sang trái chữ số số giảm 10 lần, nên dịch dấu phẩy số có giá trị 20 + x sang trái số có giá trị 20
10
x
+ Số nhận
10 số ban đầu nên ta có phương trình
20
10 10 2,5( )
x x
x n
+ = =
Vậy số phải tìm 2,5 Câu
O F
E
K H
C
A
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a) Ta có : BE⊥AC (gt); DF⊥AC (gt) => BE // DF
Chứng minh : BEO= DFO g( − −c g)
=> BE = DF
Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b) Ta có: ABC=ADCHBC=KDC Chứng minh : CBH CDK g( −g)
CH CK
CH CD CK CB
CB CD
= =
c) Chứng minh : AFD AKC g( −g) AF
A
AK
AD AK F AC
AD AC
= =
Chứng minh : CFD AHC g( −g)
CF AH
CD AC
=
Mà : CD = AB CF AH AB AH CF AC
AB AC
= =
Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2 Câu
Ta có
( )
2 2
2 2
2 2
13 13 2.13
13 13 2.13
13 13 13 13 13
a k a k k
b l b l l
a b k k l l
= + = + +
= + = + +
+ = + + + +
1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
( )( ) ( )( )
1 4
A=x x+ x + −x = x +x x + −x
Đặt x2 + x – = t
( )( )
2 4
A= +t t− = − −t
Vậy giá trị nhỏ A -4 Dấu xảy t =
Đề số
Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x4 + 2009x2 + 2008x + 2009
b) 81x4 +
c) (x2 + 3x + 2)(x2+ 11x + 30) – Câu (3,0 điểm) Cho phân thức:
2
3 2
3 1
1 1 5
x x x
P
x x x x x x
+ − −
= − −
− + + − − +
a) Rút gọn P
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1) Giải phương trình:
a) 968
99 97 95 98 96 975 94
x− +x− + x− = x− + x− +x− +x−
b)
5 40 13
3 15
8
5
2
2 − + + − + + − + =−
x x x
x x
x
2) Một ô tô phải quãng đường AB dài 60km thời gian định Nữa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h nửa quãng đường sau với vận tốc vận tốc dự định 6km/h Tính thời gian tơ qng đường AB biết người đến B
Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M, N, I theo
thứ tự trung điểm BD, BC, CD a) Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh
b) Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI
Câu (2,0 điểm) Chứng minh với n Z, n chẵn, ta có số n3 + 20n ln chia hết cho 48
a) Tìm giá trị nguyên x để A = 2
5
x
x x
−
− + cã giá trị nguyên b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biểu thức: B= −5 x2+2x−4y2−4y
ĐÁP ÁN Câu
a) 2x2+5x− =3 2x2+6x− −x
( ) ( ) ( )( )
2x x x x 2x
= + − + = + −
b) x4+2009x2+2008x+2009=x4+x2+ +1 2008x2+2008x+2008
2 2
2 2
( 1)( 1) 2008( 1)
( 1)( 2008) ( 1)( 2009)
x x x x x x
x x x x x x x x
= + + − + + + +
= + + − + + = + + − +
c) (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 16=(x+2)(x+8)(x+4)(x+ +6) 16
( )( ) 10 16 10 24 16
x x x x
= + + + + +
Đặt x2+10x+20=t
( )( ) 2
4 16 16 16
t t t t
= − + + = − + =
( 2 )2
10 20
x x
= + +
Câu
a) (x− +y z) (2+ z−y) (2+ x− +y z)(2y−2z)
( ) ( )( ) ( )
( )
2
2
2
2
x y z x y z y z y z
x y z y z
x
= − + + − + − + −
= − + + −
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b)
2
2 2 2
1 1 1
3 12 20
x x
x x x x x x x x x x
+ + + + + + + + + + + + + + ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2
1 1 1
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1
5 5 5 x x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x + = + + + + + + + + + + + + + + = − + − + − + − + − + + + + + + + + + + = − + + = = + Câu
a) 3x2+ − −x 2=0
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2
3
3 2
3 2
2
2 3
x x
x x
x x x
x x x x − + − = − + − = − + + − = − + + = − + + = 3
2
3 x x x x − = + + = = − − =
Vậy tập nghiệm phương trình 2; 3 S= − −
b) 2 23
1 1
x
x x x x
−
= +
− + + +
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
( )
( )( )
2
2
2 1
2
2
1
1( ) 2( )
x x x x
x x x
x x
x x
x l
x n
S
+ = − + + −
+ = +
− − =
+ − =
= − =
=
2) Gọi số phải tìm x (x > 0)
Vì phần nguyên x có chữ số nên viết thêm chữ số vào bên trái số tăng thêm 20 đơn vị, nghĩa ta có số có giá trị 20 + x
Vì dịch dấu phẩy sang trái chữ số số giảm 10 lần, nên dịch dấu phẩy số có giá trị 20 + x sang trái số có giá trị 20
10
x
+ Số nhận
10 số ban đầu nên ta có phương trình
20
10 10 2,5( )
x x
x n
+ = =
Vậy số phải tìm 2,5
Câu
a) Ta có : BE⊥AC (gt); DF⊥AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO= DFO g( − −c g)
=> BE = DF
Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b) Ta có: ABC=ADCHBC =KDC Chứng minh : CBH CDK g( −g)
O
F
E
K H
C
A
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
CH CK
CH CD CK CB
CB CD
= =
c) Chứng minh : AFD AKC g( −g)
AF
A
AK
AD AK F AC
AD AC
= =
Chứng minh : CFD AHC g( −g)
CF AH
CD AC
=
Mà : CD = AB CF AH AB AH CF AC
AB AC
= =
Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2 Câu
a) Ta có
( )
2 2
2 2
2 2
13 13 2.13
13 13 2.13
13 13 13 13 13
a k a k k
b l b l l
a b k k l l
= + = + +
= + = + +
+ = + + + +
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
( )( ) ( )( )
1 4
A=x x+ x + −x = x +x x + −x
Đặt x2 + x – = t
( )( )
2 4
A= +t t− = − −t
Vậy giá trị nhỏ A -4 Dấu xảy t =
( )( )
2
2
1
1
x x
x x
x x
+ − =
− + =
= = −
Đề số
Câu 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức M =
4 2
6 4
2
1
x x x
x x x x x
+ + − − +
+ − + + +
1 Rút gọn M Tìm x để M ≥
3 Tìm giá trị lớn biểu thức M Câu 2: (4.0 điểm)
1 Cho số nguyên tố p > số nguyên dương a, b cho: p2 + a2 = b2 Chứng minh a chia hết cho 12 Cho x, y số hữu tỷ khác thỏa mãn: 2
1
x y
x y
− + − =
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Chứng minh M =x +y -xy2 bình phương số hữu tỷ
Câu 3: (4.0 điểm)
1 Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: (x y)+ = 40x+1 Giải phương trình: (3x−2)(x+1) (2 3x+ = −8) 16
Câu 4: (6.0 điểm)
Cho hình vng ABCD có đường chéo AC BD cắt O Trên cạnh AB lấy M (0<MB<MA) cạnh BC lấy N cho MON=900 Gọi E giao điểm AN với DC, gọi K giao điểm ON với BE
1 Chứng minh ΔMON vuông cân Chứng minh: MN // BE CK⊥BE
3 Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC H Chứng minh: KC+KN+CN=1
KB KH BH
Câu 5: (2.0 điểm)
Cho hai số không âm avà b thoả mãn a +b2 a+b Tìm giá trị lớn biểu thức:
2020
2019
1 1
a b
S
a b
= + +
+ +
ĐÁP ÁN Câu
a) M =
( ) ( )( )
4 2
4
2 2
2
1
( 1) 1
x x x
x x
x x x x x
+ + − − +
− +
+ − + + +
=
( )
4
4 2
2
2 1
1
( 1)
x x
x x x
x x x
+ + − −
− + +
+ − +
= ( )( ) ( )
( ) ( )
4 2 4 4 4 2
2 2
2 1 2 1 1
( 1) ( 1)
x x x x x x x x x
x x x x x x
+ + − + − − + + + − − + −
=
+ − + + − +
=
( ) ( )
4 2 2
4
2 2
( 1)
1
( 1) ( 1)
x x x x x
x x
x x x x x x
+ = + =
− +
+ − + + − +
Vậy M=
1
x
x −x + với x
b) Để M ≥
4
2
1
1 x
x x
x x x
− +
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10
( 2 )2
1
x
−
Do (x2−1)2 0, x
Suy ra: x2 -1 =
Vậy x = ± c) Ta có M=
2
1
x
x −x + với x
- Nếu x=0 ta có M=0
- Nếu x0, chia tử mẫu M cho x2 ta có M=
2
1 x
x
+ −
Ta có
2
2
2
1 1
1 1
x x x x
x x x x
+ − = − + + = − +
với x0 Nên ta có
2
1
1 M
x x
=
+ −
với x0, dấu “=” xảy x
x
− = x = ±1 Vậy Mmax = x = ±1
Câu
a) Ta có: p2 + a2 = b2 p2 = (b + a)(b - a) Mà ước p2 1; p p2
Do b + a > b – a với a, b nguyên dương p nguyên tố lớn Nên không xảy trường hợp b + a = b – a = p
Do
2
2
2 (p 1)(p 1)
b a p
a p b a
+ =
= − = + −
− =
(1)
Mà p nguyên tố p > 3, suy p lẻ nên p + p – hai số chẵn (2)
Từ (1) (2) suy (p + 1)(p -1) chia hết cho Suy 2a chia hết cho 8, nên a chia hết cho (3)
Lại có p nguyên tố p > Nên p không chia hết cho p2 số phương lẻ Do p2 chia dư Suy p2 – chia hết cho 3, nên 2a chia hết cho
Suy a chia hết cho ( (2, 3) = 1) (4)
Tư (3) (4) suy a chia hết cho 12 (do (3, 4) = 1) (đpcm)
b) Ta có 1 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
1
x y
x y y x x y
x y
− + − = − − + − − = − −
− −
1− −y 2x+2xy+ − −1 x 2y+2xy= − − +1 x y xy
2
xy
x y +
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11
Khi đó: M= ( )
2
2
2 3
3
2
xy xy
x +y −xy= x+y − xy= + − xy= = −
Vì x, yQ nên
2
xy−
số hữu tỷ, M bình phương số hữu tỷ Câu
a) Ta có: (x+y)4 =40x+1(1)
Do x, y nguyên dương nên: 41 ≤ 40x + < 40x + 40y Suy 41 +(x y)4 40x+40y
Nên 16 < (x + y)4 (x + y)3 < 40 Suy < x + y < Mà x, y nguyên dương; nên x + y = (2)
Thay (2) vào (1) ta có: 40x + = 34 x = 2, thay vào (2) tìm y = Vậy (x; y) = (2; 1)
b) Ta có (3x−2)(x+1) (2 3x+8)= −16(3x−2 3)( x+3) (2 3x+8)= −144
Đặt 3x+ = 3 t 3x− = −2 t 5;3x+ = +8 t Ta có PT (t−5) (t2 t+ = −5) 144
( )( )
4 2
2
9
25 144 16
4 16
t t
t t t t
t t
= =
− + = − − = =
=
-Xét trường hợp t ta tìm x=0 ; x=−2; x=1
3 ; x=
− -KL
Câu
a) -Ta có BOC=900 CON+BON =900;
vì MON=900 BOM +BON=900 BOM =CON
H
E O
N M
K
D C
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 -Ta có BD phân giác góc ABC 450
2
ABC
MBO=CBO= =
Tương tự ta có
45
BCD
NCO=DCO= = Vậy ta có MBO=NCO
-Xét OBM OCN có OB=OC ; BOM =CON;MBO=NCO OBM= OCNOM =ON *Xét MON có MON=90 ;0 OM =ON MON vuông cân O
b) + OBM = OCNMB=NC; mà AB=BC AB MB BC NC AM BN AM BN
MB NC
− = − = =
Ta có AB//CD AB/ /CE AN BN
NE NC
=
/ /
AM AN
MN BE
MB NE
= ( theo định ký Ta- lét đảo )
+ Vì MN//BE BKN =MNO=450 ( góc đồng vị có tam giác MON vuông cân)
BNK ONC
( có BNK=ONC BKN; =OCN=450) NB NO
NK NC
=
Xét BNO;KNCcó BNO=CNK; NB NO
NK = NC BNO KNC
0
45
NKC=NBO=
Vậy ta có BKC=BKN+CKN=450+450 =900 CK⊥BE
c) -Vì KH//OM mà ON ⊥OM OK ⊥KHNKH =900, mà NKC=450 CKH =450BKN =NKC=CKH=450
Xét BKC có BKN =NKCKN phân giác củaBKC, mà KH ⊥KN KH phân giác BKC KC HC
KB HB
=
Chứng minh tương tự ta có KN BN
KH BH
=
-Vậy ta có KC KN NC HC BN CN BH
KB +KH +BH = HB +BH +BH = = BH =
Câu
+ Ta có a2+ 1 ;a b2+ 1 2ba2+b2+ 2 2a+2b + a b (do a2+b2 +a b) + Chứng minh với hai số dương x y, 1
x+ y x+y
+ Do
2020 2020
1
2019 2019 2020
1 1
S
a b a b
= + − + + −
+ + + + +
(13)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Đề số
Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức:
3
2
4
x x x
A
x x
− + −
=
− −
a Rút gọn A
b Tìm giá trị ngun x để A có giá trị nguyên Bài (3,0 điểm)
a Chứng minh rằng: n3 + 2012n chia hết cho 48 với n chẵn b Tìm giá trị lớn biểu thức B =
2 x x
+
− với x số nguyên Bài (3,0 điểm)
Giải phương trình:
2
1
1
x x
x x
+ + =
+
Bài (3,0 điểm)
Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: a 5x2 + y2 = 17 + 2xy
b x+ + − = − +2 x (y 2)2 Bài (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M BD cho MB MD Đường thẳng qua M song song với AB cắt AD BC E F Đường thẳng qua M song song với AD cắt AB CD K H
a Chứng minh: KF // EH
b Chứng minh: đường thẳng EK, HF, BD đồng quy c Chứng minh: SMKAE = SMHCF
ĐÁP ÁN Bài 1:
a) Rút gọn A
- Phân tích 4x3 - 8x2 + 3x - = (x - 2)(4x2 + 3)
- Phân tích 2x2 - 3x - = (x - 2)(2x + 1) - Rút gọn kết
2
4
x A
x
+ =
+
b) Tìm giá trị ngun x để A có giá trị nguyên - Tìm ĐKXĐ:
1 ; 2
(14)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14
4
2
2
x
A x
x x
+
= = − +
+ +
-Lập luận để A có giá trị nguyên xZ 2x + ước lẻ - Tìm x = 0; -1
Bài
a) Vì n chẵn nên n = 2k (k Z) Do n3 + 2012n = (2k)3 + 2012.2k
= 8k3 + 4024k = 8k3 - 8k + 4032k
= 8k(k2 - 1) + 4032k = 8k(k + 1)(k - 1) + 4032k lập luận suy điều phải chứng minh b) Nhận xét : B =
2 x x
+
− với x2 mà x−2 > với x2 nên: Nếu x + < x < -1 B <
Nếu x + = x = -1 B = Nếu x + > x > -1 B > Suy B đạt giá trị lớn x > -1 Do x số nguyên, x2, x > -1
Nên ta xét trường hợp sau x = B =
2 (1)
x = B = (2) x > B =
2
x x
+ − Với x > ta có B =
2
x x
+ − =
3
2
x
+ − B lớn
2
x− lớn
mà > x > x - > nên:
2
x− lớn x - nhỏ x - nguyên x - =
x = B = (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: B lớn x = Bài
(15)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 15 Đặt
2
1
x y
x
+
= (y 0) 2
1
x
x y
=
+ Khi ta có phương trình
1
y y
+ = (2)
Giải (2) tìm y = (tmđk);
2
y= (tmđk)
Với y = 2
1
x x
+
= Tìm x = (tmđk) Với
2
y=
2
1
x x
+
= Lập luận chứng tỏ phương trình vơ nghiệm Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x =
Bài
a) 5 2 17 ( )2 17 17 17
4
x +y = + xy x−y + x = x x
Do x nguyên nên x20;1; 4 + x2 = 0(x - y)2 = 17 (loại) + x2 = 1(x - y)2 = 13 (loại) + x2 = 4(x - y)2 =
Với x = (2 - y)2 = tìm y = ; y = Với x = - (- - y)2 = tìm y = -1 ; y = -3 Vậy cặp số nguyên (x; y) (2;1); (2;3); (-2;-1); (-2;-3) b) Chứng tỏ x+ + − 2 x 3với x
Dấu xảy -2 x
Chứng tỏ (− y+2)2 3với y Do x+ + − = − +2 x (y 2)2 =3
2
3 (− y+2) =3 tìm y = -
2
x+ + − =x -2 x mà x Z
x = -2; -1; 0;
(16)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 16 a) Chứng minh: KF // EH
Chứng minh được: BK MF
AK = ME
Chứng minh được: MF BF BF
ME = DE = FC (hệ định lý Ta - lét)
Suy BK BF
AK = FC KF // AC (Định lý Ta - lét đảo)
Chứng minh tương tự ta có EH // AC Kết luận KF // EH
b) Chứng minh: đường thẳng EK, HF, BD đồng quy
Gọi giao điểm BD với KF HE O Q N giao điểm AC BD Chứng minh OK QE
OF =QH =
Gọi giao điểm đường thẳng EK HF P, giao điểm đường thẳng EK DB P’ Chứng minh P P’ trùng
Kết luận đường thẳng EK, HF, BD đồng quy c) Chứng minh: SMKAE = SMHCF
Kẻ EG FI vng góc với HK, I G thuộc HK Chỉ : SMKAE = MK.EG; SMHCF = MH.FI
Chứng minh được: MK KB
MH = HD
Suy MK MF
MH = ME
Chứng minh được: MF FI
ME = EG
Suy raMK FI
MH = EG, suy MK.EG = MH.FI
Suy điều phải chứng minh I
G
M
P
O
Q
N
H
K
F E
D C
(17)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 17 Đề số
Câu1 (2,0 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
( x+ x )( + x )( + x )( + ) − 120 b) Rút gọn biểu thức:
2
2
x 10 x
A : x
x x x x
−
= + + − +
− − + +
tìm x cho A = −A
Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau:
a) x + x+1 + x+2 + x+3 =x +2016
2020 2019 2018 2017
b) (3x + x )( + 6x )( + 7)2 6= Câu (2,0 điểm)
a) Tìm x, y nguyên dương biết: x2 - y2 + 2x - 4y – 10 =
b) Chứng minh với số nguyên x, y
B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Câu (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh:
AE AB
AF = AC ; AEF=CED
b) Gọi M điểm đối xứng H qua D Giao điểm EF với AM N Chứng minh: HN.AD=AN.DM
c) Gọi I K hình chiếu M AB AC Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng Câu (1,0 điểm)
Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = abc Tìm giá trị lớn biểu thức: P =
( 1) ( 1) ( 1)
a b c
bc a+ +ca b+ +ab c+
ĐÁP ÁN Câu
a) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 120 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 120 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 120
(18)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 18 b)
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
−
= + + − +
− − + +
− + + − − + + −
=
− + +
2 x 2(x 2) x 2 (x 2)(x 2) 10 x
A :
(x 2)(x 2) x 2
− − + − − + −
=
− + +
2
x 2x 4 x 2 x 4 10 x
A :
(x 2)(x 2) x 2
− + −
= =
− + −
6 x 2 1
A
(x 2)(x 2) 6 x 2
Vậy A 1 x 2
− =
− với x 2
−
= − −
−
1
A A A 0 0 x 2 0 x 2
x 2
Câu
x x+1 x+2 x+3
+ + + =x +2016
2020 2019 2018 2017
x x+1 x+2 x+3
+1+ +1+ +1+ +1=x +2016+4
2020 2019 2018 2017
x+2020 x+2020 x+2020 x+2020
+ + + =x +2020
2020 2019 2018 2017
1 1 1 1
( 2020)( + + + 1) 0
2020 2019 2018 2017
x
+ − =
x + 2020 =
1 1 1 1
+ + + 1 0
2020 2019 2018 2017 −
x = -2020
Vậy nghiệm phương trình cho là: x=- 2020 b) (3x+4)(x 1)(6x+ +7)2 =6
(6x+8)(6x+6)(6x+7) =72 (*)
Đặt 6x + = t, ta có:
(*) (t+1)(t 1)t− =72 − −t4 t2 72= = 0 t 3
- Với t = 3, ta có 6x 7 3 x 2 3
− + = =
(19)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 19 - Với t = -3, ta có 6x 7 3 x 5
3
− + = − =
Vậy nghiệm phương trình cho là: x 2; x 5
3 3
− −
= =
Bài
) x2 - y2 + 2x - 4y - 10 =
(x2 + 2x + 1) - (y2 + 4y + 4) – = (x+1)2 - (y + 2)2 =
(x – y - 1)(x + y + 3) =
Vì x, y nguyên dương nên x + y + > x – y – > x + y + = x – y – =
x = ; y =
Vậy phương trình có nghiệm dương (x,y) =(3;1) b) Ta có B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z)
B = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2
= (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy B số phương Câu
a) Xét AEB AFC có :
N
M
K
I
H F
E
D C
B
(20)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 20
EAB chung
0
AEB=AFC( 90 )=
Do AEB đồng dạng AFC( g.g) AE AB
AF AC
=
Xét AEF ABC có : BAC chung
AE AF
AB= AC(vì
AE AB
AF = AC)
Do AEF đồng dạng ABC (c.g.c) AEF=ABC
Chứng minh tương tự ta : CED=CBA Do : AEF=CED
b) Vì BEF+AEF=BED+CED=900 nên BEF=BED EB tia phân giác góc DEF Tam giác NED có EH tia phân giác DEN nên: HN EN
HD =ED (1)
Vì EA⊥ EH nên EA tia phân giác ngồi đỉnh E DEN
AN EN
AD ED
= (2)
Từ ( 1) (2) suy : HN AN
HD =AD , mà HD=DM ( Do M điểm đối xứng H qua D)
Nên HN AN HN.AD AN.DM
DM = AD =
c) HN AN AN HN AH AN AH
DM AD AD DM AM AD AM
+
= = = =
+
AMI có HF//MI( ⊥AB) AF AH
AI AM
= (định lí Ta lét), Mà AN AH
AD = AM nên
AF AN
AI = AD FN / /ID(định lí Ta lét đảo (3)) AMK có HE//MK (cùng ⊥AC) AE AH
AK AM
= (định lí Ta lét),
AIK có AF AH AE IK / /FE
AI = AM = AK ( Định lí Ta lét đảo) (4)
Từ (3) (4) suy I, K, D thẳng hàng Câu
(21)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 21
( 1) 1
a a a a
bc a abc bc ab bc ca bc ab bc ca bc
= = +
+ + + + + + + ;
dấu xảy b = c Tương tự:
( 1) 1
b b
ca b ab ca bc ca
+
+ + + dấu xảy c = a
( 1) 1
c c
ab c ab bc ca ab
+
+ + + dấu xảy a = b Suy
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1 1
4 4
1 1
1 1 1
4 4
1 1
1 1
1
a b c
bc a ca b ab c
a b c
ab bc ca bc ab ca bc ca ab bc ca ab
a b c
bc a ca b ab c
a c a b b c
ab bc bc ca ca ab
a b c
bc a ca b ab c a b c
a b c
bc a ca b ab c
+ +
+ + +
+ + + + +
+ + + + + +
+ +
+ + +
+ + + + +
+ + +
+ + + +
+ + +
+ +
+ + ( )
1 + Dấu xảy a = b = c = Vậy GTLN P=
(22)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 22 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây
dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS
THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành
cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -