Luận văn thạc sĩ phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử j đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2016 i Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, thầy, cô giáo khoa Toán - Tin trường, Đại học Khoa học- Đại học Thái Ngun tận tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập nghiên cứu Trường Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, lãnh đạo trường Trung học phổ thơng Gang Thép, tồn thể đồng nghiệp, quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập nghiên cứu ii Mục lục Một số ký hiệu viết tắt iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề khơng gian Banach trơn tốn tử j-đơn điệu 1.1.1 Không gian Banach trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.3 Toán tử j-đơn điệu 1.2 Giới hạn Banach 10 1.3 Phương pháp xấp xỉ gắn kết phương pháp đường dốc cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 14 1.3.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết 14 1.3.2 Phương pháp đường dốc 15 1.4 Phương pháp điểm gần kề cho tốn xác định khơng điểm toán tử đơn điệu số cải tiến 17 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 19 Chương Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép 21 2.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép xác định khơng điểm tốn tử j-đơn điệu 21 2.2 Ví dụ số minh họa 36 Kết luận 40 ii Tài liệu tham khảo 41 iii Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M o(t) vô bé bậc cao t Mở đầu Cho H không gian Hilbert, tốn xác định khơng điểm lớp tốn tử đơn điệu A với tập xác định D(A) ⊆ H có vai trị quan trọng lĩnh vực giải tích phi tuyến lĩnh vực tối ưu hóa Chẳng hạn, f : H −→ R ∪ {+∞} hàm lồi, thường, nửa liên tục tốn tử vi phân ∂f : H −→ 2H xác định ∂f (x0 ) = {u ∈ H : f (x) − f (x0 ) ≥ u, x − x0 , ∀x ∈ H} toán tử đơn điệu cực đại [16] Ta biết điểm x ∈ H làm cực tiểu phiếm hàm lồi f θ ∈ ∂f (x) Như vậy, toán cực tiểu hóa phiếm hàm lồi f tương đương với tốn xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại ∂f Bài toán nghiên cứu mở rộng cho tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu hay tốn tử j-đơn điệu khơng gian Banach Ta biết rằng, T : D(T ) ⊆ E −→ 2E ánh xạ khơng giãn, A = I − T toán tử j-đơn điệu, I tốn tử đồng E Do đó, tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn T đưa tốn xác định khơng điểm tốn tử j-đơn điệu A = I − T Ngược lại, A toán tử j-đơn điệu thỏa mãn điều kiện miền, tức D(A) ⊂ ∩λ>0 R(I + λA), tốn xác định khơng điểm A tương đương với tốn tìm điểm bất động tốn tử giải Jr = (I + rA)−1 với r > Do đó, vấn đề nghiên cứu tìm phương pháp tìm khơng điểm tốn tử kiểu đơn điệu mang nhiều ý nghĩa quan trọng thu hút quan tâm đơng đảo người làm tốn ngồi nước Mục đích luận văn trình bày lại cách có hệ thống kết Ceng L.C., Ansari Q H Yao J C tài liệu [6] phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc cho toán xác định khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu không gian Banach Luận văn chia làm hai chương chính: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, đề cập đến khái niệm không gian Banach trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử j-đơn điệu; giới hạn Banach; phương pháp xấp xỉ gắn kết phương pháp đường dốc Ngồi chương cịn trình bày phương pháp điểm gần kề số cải tiến cho tốn xác định khơng điểm tốn tử kiểu đơn điệu Chương Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép Chương này, chúng tơi trình bày lại kết Ceng L.C., Ansari Q H Yao J C tài liệu [6] phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc cho tốn xác định khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu khơng gian Banach Ngồi ra, chúng tơi xây dựng ví dụ số chạy thử nghiệm phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho phương pháp Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm mục Mục 1.1 giới thiệu không gian Banach trơn tốn tử j-đơn điệu Mục 1.2 trình bày giới hạn Banach số tính chất quan trọng nhằm phục vụ trình bày nội dung chương Mục 1.3 giới thiệu sơ lược phương pháp xấp xỉ gắn kết phương pháp đường dốc cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục 1.4 đề cập đến phương pháp điểm gần kề cho tốn xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu số cải tiến Mục 1.5 trình bày số bổ đề bổ trợ cần sử dụng chứng minh định lý chương sau luận văn 1.1 Một số vấn đề khơng gian Banach trơn tốn tử j-đơn điệu 1.1.1 Không gian Banach trơn Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.1 Một không gian Banach E gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E, tồn phần tử x thuộc E cho x, x∗ = x∗ , x∗∗ với x∗ ∈ E Chú ý 1.1 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu x, x∗ để giá trị phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ x ∈ E Mệnh đề 1.1 [1] Cho E khơng gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.2 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho y, x∗ ≤ x, x∗ − ε, với y ∈ C Đặc biệt, ta có xn , x∗ ≤ x, x∗ − ε, với n ≥ Ngồi ra, xn x, nên xn , x∗ → x, x∗ Do đó, bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận x, x∗ ≤ x, x∗ − ε, điều vô lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.2 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng Mệnh đề cho ta điều kiện tồn điểm cực tiểu phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục không gian Banach phản xạ ... THỊ HỒNG PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ J- ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... trợ 19 Chương Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép 21 2.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép xác định khơng điểm tốn tử j- đơn điệu 21 2.2 Ví... Chương Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép Chương này, chúng tơi trình bày lại kết Ceng L.C., Ansari Q H Yao J C tài liệu [6] phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc cho tốn xác