Đang tải... (xem toàn văn)
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính '... - Sử dụng phương pháp hình học..[r]
(1)Trang 1/6 - Mã đề thi 132 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN (Đề thi gồm 06 trang)
ĐỀ THI KSCL LỚP 12 THEO ĐỊNH HƯỚNG THI TN THPT VÀ XÉT TUYỂN ĐH NĂM 2021-LẦN
Bài thi: Mơn Tốn
Thời gian làm bài: 90 phút (50 câu trắc nghiệm)
Mã đề thi 132 Họ, tên thí sinh: Số báo danh:
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D Góc hai đường thẳng AB B D A 30 B 135 C 45 D 90
Câu 2: Biết
1
0
1 ( )
3
f x dx
1
0
4
( )
3
g x dx
Khi
1
0
( ) ( )
g x f x dx
A
3
B 5
3 C 1 D 1.
Câu 3: Tập xác định hàm số ylogx log(3x)
A (3; ) B (0; 3). C [3; ) D [0; 3].
Câu 4: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng khoảng đây?
A (0; 1). B ( 2; 1). C ( 1; 0). D ( 1; 3).
Câu 5: Cho góc đỉnh hình nón 60 Gọi r h l, , bán kính đáy, đường cao, đường sinh hình nón Khẳng định sau đúng?
A l2 r B h 2 r C l r D h r
Câu 6: Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua A( 1; 1; 1) nhận u(1; 2; 3)
làm vectơ phương có phương trình tắc
A 1
1
x y z
B
1 1
x y z
C 1
1
x y z
D
1 1
x y z
Câu 7: Hàm số ysinx đồng biến khoảng khoảng sau? A ;
2
B
3 ;
C
3 ; 4
D 2;
Câu 8: Cho số phức z 2 i w 3 i Phần thực số phức zw
A 0 B 1 C 5 D 1.
Câu 9: Họ nguyên hàm hàm số f x( )sin 3x A 1cos
3 x C
B cos 3x C C cos 3x C D 1cos
3 x C
(2)Trang 2/6 - Mã đề thi 132 Câu 10: Cho cấp số cộng ( ),un với u11 3
3
u Công sai ( )un A 2
3 B
1
C
3
D 1
3
Câu 11: Cho hàm số y f x( ) liên tục có bảng xét dấu đạo hàm hình bên Hỏi hàm số cho có điểm cực trị?
A 3 B 4 C 2. D 5
Câu 12: Chu vi đường tròn lớn mặt cầu S O R( ; )
A R2 B 4R2 C R D 2R
Câu 13: Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên hình bên Giá trị lớn hàm số cho đoạn [ 3; 3]
A 0 B 8
C 1. D 3
Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho u(3; 2; 5), (4; 1; 3).v
Tọa độ uv
A (1;1; 2) B (1; 1; 2) C ( 1; 1; 2) D ( 1; 1; 2). Câu 15: Trong không gian Oxyz, vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Oyz)
A i(1; 0; 0)
B n(0; 1; 1)
C j(0; 1; 0)
D k(0; 0; 1)
Câu 16: Nghiệm phương trình 2x1 8
A x 3 B x 2 C x 4 D x 5
Câu 17: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị hình bên Hỏi phương trình ( )f x 5 có nghiệm đoạn [ 1; 2]?
A 4 B 2.
C 3 D 1.
Câu 18: Gọi z z1, 2 nghiệm phức phương trình z23z 5 Mơđun số phức
1
(2z 3)(2z 3)
A 29. B 7 C 1 D 11.
Câu 19: Đồ thị hàm số 3 3 x y
x x
có đường tiệm cận?
A 3 B 4 C 1. D 2
Câu 20: Cho hàm số bậc ba yf x( ) có đồ thị hình bên Phương trình f x( ) 12 0 có nghiệm?
A 6 B 3
(3)Trang 3/6 - Mã đề thi 132 Câu 21: Một khối trụ có đường cao 2, chu vi thiết diện qua trục gấp lần đường kính đáy Thể tích khối trụ
A 2 B 32 C 8
3
D 8 Câu 22: Đạo hàm hàm số ( )
2
x
x
f x
A
1
2 ln (2 1)
x
x
B
2 ln (2 1)
x
x C
1 2 (2 1) x x
D
2 (2 1)
x
x
Câu 23: Giả sử f x( ) hàm liên tục [0; ) diện tích phần hình phẳng kẻ sọc hình bên 3.Tích phân
1
0
(2 )
f x dx
A 4
3 B 3 C 2. D
3
Câu 24: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, O tâm mặt đáy Khoảng cách hai đường thẳng SO CD
A
2
a
B a C
2
a
D a Câu 25: Trong không gian Oxyz, đường thẳng :
1 1
x y z
song song với mặt phẳng sau đây?
A ( ) :P x y z B ( ) : x z
C ( ) :Q x y 2z 0 D ( ) : x y
Câu 26: Họ nguyên hàm hàm số f x( )32x1
A 9
3
x C
B
3 ln
x C
C
6 ln
x C
D 9
6
x C
Câu 27: Cho hàm số f x( ) 3x 1 Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ x 1
A 3
2 B C
4 D 2
Câu 28: Cho số thực dương a b, thỏa mãn log (2 a b) log ( ).2 ab Giá trị 1 a b
A 3 B 1
3 C
1
8 D 8
Câu 29: Cho khối lăng tam giác ABC A B C có cạnh bên AA 2a tạo mặt phẳng đáy góc 60 ,0 diện tích tam giác ABC a2 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
3
3 .
3
a
B a3 C a3 D
3
(4)Trang 4/6 - Mã đề thi 132 Câu 30: Phương trình cos
3
x có nghiệm khoảng 0; ?
2
A 2. B 3 C 1. D 4
Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng
( ) : x y z ( ) : x2y 3z 4 Một vectơ phương có tọa độ A (2; 1; 1) B (1;1; 0) C (1; 1;1) D (1;2; 1) Câu 32: Hàm số f x( )x x4( 1)2 có điểm cực trị?
A 3 B 0 C 5 D 2
Câu 33: Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm nam nữ Cần chọn nhóm học sinh tổ để làm vệ sinh lớp học Hỏi có cách chọn cho nhóm có nam nữ ?
A 22. B 175 C 43 D 350
Câu 34: Có số nguyên m để hàm số f x( )3x m x21 đồng biến ?
A 5 B 1. C 7 D 2
Câu 35: Giả sử f x( ) hàm số có đạo hàm liên tục Biết G x( )x3 nguyên hàm g x( )e2xf x( ) Họ tất nguyên hàm e2xf x( )
A 2x33x2C B 2x33x2 C C x33x2C D x33x2 C Câu 36: Có số phức z đơi khác thỏa mãn z i (z2)4 số thực?
A 4 B 5 C 7 D 6
Câu 37: Có 10 học sinh, gồm bạn lớp 12A 5bạn lớp 12B tham gia trò chơi Để thực trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên 10 học sinh thành cặp Xác suất để khơng có cặp gồm hai học sinh lớp
A
63 B
1
63 C
2
63 D
8 63
Câu 38: Một xe đua F1 đạt tới vận tốc lớn 360km/h Đồ thị bên biểu thị vận tốc v xe 5giây kể từ lúc xuất phát Đồ thị giây đầu phần parabol đỉnh gốc tọa độ O, giây đoạn thẳng sau ba giây xe đạt vận tốc lớn Biết đơn vị trục hoành biểu thị giây, đơn vị trục tung biểu thị 10m/s 5giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng Hỏi giây xe quãng đường bao nhiêu?
A 340(mét) B 420(mét) C 400(mét) D 320(mét) Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) vng góc với :
1
x y z
( ) cắt trục
,
Ox trục Oy tia Oz M N P, , Biết thể tích khối tứ diện OMNP Mặt phẳng
( ) qua điểm sau đây?
(5)Trang 5/6 - Mã đề thi 132 Câu 40: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân, ABBC 2 a Tam giác SAC cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC), SA a Góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC)
A 60 B 30 C 45 D 90
Câu 41: Cho đồ thị ( ) :
1
x
C y
x
Đường thẳng d qua điểm I(1; 1), cắt ( )C hai điểm phân biệt A B Khi diện tích tam giác MAB, với M(0; 3) đạt giá trị nhỏ độ dài đoạn AB
A 10 B C 2 D 2
Câu 42: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có ABAA2 ,a AC a,BAC 120 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A BCC B
A 30
3
a
B 10
3
a
C 30
10
a
D 33
3
a
Câu 43: Có số nguyên a để phương trình
5
x x x a
có hai nghiệm thực phân biệt ?
A 4 B 5 C 1. D Vô số
Câu 44: Cho hai hàm số
2
3 ( )
3
x u x
x
f x( ), đồ thị hàm số y f x( ) hình bên Hỏi có số ngun m để phương trình f u x ( )m có nghiệm phân biệt? A 4 B 3
C 2 D 1.
Câu 45: Giả sử f x( ) đa thức bậc bốn Đồ thị hàm số
(1 )
y f x cho hình bên Hỏi hàm số
2
( ) ( 3)
g x f x nghịch biến khoảng khoảng sau?
A (1; 2) B ( 2; 1) C (0; 1) D ( 1; 0).
Câu 46: Giả sử f x( ) hàm có đạo hàm liên tục khoảng (0; )
( ) sin ( ) cos , (0; )
f x x x f x x x Biết 1,
2
f
1
ln , 12
f ab c
với
, ,
a b c số nguyên Giá trị a b c
A 1 B 1. C 11. D 11
Câu 47: Có số nguyên a để phương trình z2(a3)z a2 a có hai nghiệm phức
1,
z z thỏa mãn z1z2 z1z2 ?
(6)Trang 6/6 - Mã đề thi 132 Câu 48: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt bên SAB tam giác cạnh
3 ,a ABC tam giác vng A có cạnh AC a, góc AD (SAB) 30 Thể tích khối chóp S ABCD
A a3 B
3
a
C
3
a
D
3
a
Câu 49: Xét tất số thực dương x y, thỏa mãn log 1
10 2
x y
xy
x y
Khi biểu thức
2
4
x y đạt giá trị nhỏ nhất, tích xy A
100 B
9
200 C
1
64 D
1 32
Câu 50: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 (y2)2 (z3)2 24 cắt mặt phẳng
( ) : x y theo giao tuyến đường trịn ( ).C Tìm hồnh độ điểm M thuộc đường tròn ( )C cho khoảng cách từ M đến A(6;10; 3) lớn
A 1 B 4 C 2 D 5
-
(7)Câu Mã 132 Mã 209 Mã 357 Mã 485
1 C A B A
2 D D B D
3 B D C D
4 C C A A
5 A C D B
6 C A B C
7 A C B D
8 C A C B
9 A C D D
10 B B B A
11 D A B D
12 D B A C
13 B D C C
14 D A D B
15 A D C D
16 C C A C
17 B D D B
18 D D A B
19 B D A B
20 C A C C
21 D D B A
22 A D D B
23 D A B D
24 A A C C
25 C B D B
26 C C A D
27 B C B A
28 D D B C
29 C B C A
30 B C A B
31 D A D C
32 A B C C
33 B C A D
34 C D A A
35 B B C C
36 B B D B
37 D D C B
38 D C A A
39 A A B A
40 A B D A
41 A A B D
42 A B C C
43 A C A B
44 B A A D
45 D B C D
46 A B B A
47 A C D A
48 C B B C
49 C B D D
50 B A D D
(8)9
BẢNG ĐÁP ÁN
1 C D B C A A A C A 10 B 11 A 12 D 13 B 14 D 15 D 16 C 17 B 18 D 19 B 20 C 21 D 22 A 23 D 24 A 25 A 26 C 27 B 28 D 29 C 30 B 31 D 32 A 33 B 34 C 35 C 36 B 37 D 38 D 39 A 40 A 41 A 42 A 43 A 44 B 45 D 46 A 47 B 48 C 49 C 50 B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (NB)
Phương pháp:
Sử dụng: a a/ / ' a b; a b'; ' Cách giải:
Ta có ' '/ /B D BD nên AB B D; ' ' AB BD;
Vì ABCD hình vng nên ABD45 0
Vậy AB B D; ' '45 0 Chọn C
Câu (NB) Phương pháp:
Sử dụng tính chất tích phân:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Cách giải:
1 1
0 0
4 1 3
g x f x dx g x dx f x dx
(9)10
Hàm số ylogx xác định x0
Cách giải:
Hàm số ylogxlog 3 x xác định 0
3
x x
x
x x
Chọn B Câu (NB) Phương pháp:
Dựa vào đồ thị xác định khoảng đồ thị lên từ trái qua phải Cách giải:
Dựa vào đồ thị đáp án ta thấy hàm số y f x đồng biến 1;0
Chọn C Câu (TH) Phương pháp:
- Cho góc đỉnh hình nón tan
2
r h
với ,r h bán kính đáy, đường cao hình
nón
- Sử dụng cơng thức: l2 h2r2. Cách giải:
Vì góc đỉnh hình nón 600 nên tan 300 3
3
r r
h r
h h
Lại có l2 h2r2 l2 3r2r2 l 2 r Chọn A
Câu (NB) Phương pháp:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua A x y z 0; ;0 0 nhận u a b c ; ; làm vectơ phương có
phương trình tắc là: x x0 y y0 z z0.
a b c
Cách giải:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua A 1; 1;1 nhận u1; 2;3 làm vectơ phương có
phương trình tắc là: 1
1
x y z
(10)11
Câu (NB) Phương pháp:
Hàm số ysinx đồng biến ;
2 k k
Cách giải:
Hàm số ysinx đồng biến ;
2 k k
Với k 0 ta có hàm số ysinx đồng biến
; ;0
2 2
Vậy hàm số ysinx đồng biến khoảng ;0
2
Chọn A Câu (NB) Phương pháp:
Thực phép cộng số phức Cách giải:
Ta có z w i i có phần thực
Chọn C Câu (NB) Phương pháp:
Sử dụng: sinkxdx 1coskx C
k
Cách giải:
sin 1cos
3
f x dx xdx x C
Chọn A Câu 10 (NB) Phương pháp:
Sử dụng công thức SHTQ cấp số cộng có số hạng đầu u1, cơng sai d un u1 n1 d
Cách giải:
Ta có
3
1
1 1
3
2
2
u u
u u d d
(11)12
Chọn B Câu 11 (NB) Phương pháp:
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm xác định điểm mà qua đạo hàm đổi dấu Cách giải:
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số có điểm cực trị x 2,x1,x6
Chọn A Câu 12 (NB) Phương pháp:
Đường tròn lớn mặt cầu S O R ; có bán kính R
Cách giải:
Đường trịn lớn mặt cầu S O R ; có bán kính R nên có chu 2R
Chọn D Câu 13 (NB) Phương pháp:
Dựa vào BBT xác định điểm có tung độ lớn 3;3
Cách giải:
Dựa vào BBT ta thấy
3;3
maxy y
Chọn B Câu 14 (NB) Phương pháp:
Trong không gian Oxyz, cho u x y z 1; ;1 1
v x y z 2; ;2 2 u v x1x y2; 1y z2; 1z2
Cách giải:
1;1;
u v
Chọn D Câu 15 (NB) Phương pháp:
Trong không gian Oxyz,một vectơ pháp tuyến mặt phẳng Oyz k0;0;1
(12)13
Trong không gian Oxyz,một vectơ pháp tuyến mặt phẳng Oyz k0;0;1
Chọn D Câu 16 (NB) Phương pháp: Đưa số Cách giải:
1
2x 8 2x 2 x x
Chọn C Câu 17 (TH) Phương pháp:
Số nghiệm phương trình f x m số giao điểm đồ thị hàm số y f x đường thẳng y m
Cách giải:
Ta có
2
f x f x
Số nghiệm phương trình
2
f x số giao điểm đồ thị hàm số y f x đường thẳng
2
y
Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng
2
y cắt đồ thị hàm số y f x điểm có hồnh độ thuộc 1;
Vậy phương trình 2f x 5 có nghiệm đoạn 1;
Chọn B Câu 18 (TH) Phương pháp:
- Thực phép nhân số phức
- Sử dụng tính chất: z z1 2 z z z1 2, 1z2 z1 z2 Cách giải:
Ta có:
2z13 2 z23
1 2
4 z z z z
1 2
4z z 6z z
Vì z z1, nghiệm phức phương trình
2 3 5 0
(13)14
Vậy 2z13 2 z2 3 4z z1 26z1 z2 4.5 6.3 11
Chọn D Câu 19 (TH) Phương pháp:
- Đồ thị hàm phân thức hữu tỷ có bậc tử < bậc mẫu ln có TCN y0
- Số TCĐ = số nghiệm phương trình mẫu số khơng bị triệt tiêu phương trình tử số Cách giải:
Hàm số 3
3
x y
x x
có bậc tử < bậc mẫu nên đồ thị hàm số ln có TCN y0
Xét 3 0
3
x x x
x
nên đồ thị hàm số có TCĐ
Vậy đồ thị hàm số 3
3
x y
x x
có đường tiệm cận
Chọn B Câu 20 (TH) Phương pháp:
- Số nghiệm phương trình f x m số giao điểm đồ thị hàm số y f x đường thẳng y m
- Tìm nghiệm x2, từ tìm nghiệm x.
Cách giải:
Ta có: 2 2
1 1,
f x f x số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y f x
và đường thẳng y 1
Dựa vào đồ thị ta thấy
2
2
2
0
1
0
x a Vo nghiem
x b
f x x b
x c
x c
(14)15
Vậy phương trình f x 2 1 0 có nghiệm
Chọn C
Chú ý giải: Đề yêu cầu tìm nghiệm phương trình 2
1 0,
f x tìm nghiệm x chứa khơng tìm
nghiệm x2. Câu 21 (TH) Phương pháp:
- Gọi bán kính đáy hình trụ r Thiết diện qua trục hình chữ nhật có kích thước h2r
- Dựa vào giả thiết: chu vi thiết diện qua trục gấp lần đường kính đáy tìm r
- Thể tích khối trụ có chiều cao ,h bán kính đáy r V r h2 .
Cách giải:
Gọi bán kính đáy hình trụ r Thiết diện qua trục hình chữ nhật có kích thước h2rvới h2
Vì chu vi thiết diện qua trục gấp lần đường kính đáy nên ta có phương trình: 2h2r3.2r h r
Vậy thể tích khối trụ bằng: V r h2 .2 2
Chọn D Câu 22 (TH) Phương pháp:
- Sử dụng cơng thức tính đạo hàm: ax 'axln a
- Sử dụng quy tắc tính đạo hàm thương: u ' u v uv' 2 '
v v
Cách giải:
2
x x
f x
2
2 ln 2 2 ln
'
2
x x x x
x
f x
2
2 ln 2
'
2
x x x
x
f x
2 ln 2.2.2 '
2
x x
x
f x
(15)16
2
2 ln
'
2
x x
f x
Chọn A Câu 23 (TH) Phương pháp:
- Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành, đường thẳng x a x b ,
b
a
S f x dx
- Tính tích phân phương pháp đổi biến số Cách giải:
Vì diện tích hình phẳng kẻ sọc nên
2
0
3
f x dx
(do f x 0 x 0; )
Đặt t2x ta có dt2 dx Đổi cận: 0
1
x t
x t
Khi
1 2
0 0
1
2
2 2
f x dx f t dt f x dx
Chọn D Câu 24 (TH Phương pháp:
Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đoạn thẳng Cách giải:
Gọi M trung điểm CD Ta có OM SO OM
OM CD
đoạn vng góc chung SO CD
;
2
a d SO CD OM
(16)17
Câu 25 (TH) Phương pháp:
Sử dụng: d/ / P ud nP phương Cách giải:
Đường thẳng :
1 1
x y z
có VTCP u1;1;
Mặt phẳng P x y z: 0 có VTPT n1;1; 1 u nên / / P Chọn A
Câu 26 (TH) Phương pháp:
Sử dụng cơng thức tính ngun hàm:
ln
mx n mx n a
a dx C
m a
Cách giải:
32 32 .
ln 6ln
x x
x
f x dx dx C C
Chọn C Câu 27 (TH) Phương pháp:
Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x điểm có hồnh độ x x k f x' 0
Cách giải:
TXĐ: 1;
3
D
Ta có '
2
f x x f x
x
Vậy hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ x1 là: ' 1
4
k f
Chọn B Câu 28 (TH) Phương pháp:
Chuyển vế, sử dụng công thức loga loga loga 0 1; , 0
x
x y a x y
y
(17)18
Cách giải: Ta có:
2
log a b 3 log ab
2
log a b log ab
2
log a b
ab
3
2
a b ab
1
a b
Chọn D Câu 29 (TH) Phương pháp:
- Gọi H hình chiếu vng góc 'A lên ABC Xác định góc AA' ABC góc AA'
hình chiếu AA' lên ABC
- Sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vng tính ' A H
- Tính VABC A B C ' ' ' A H S' ABC Cách giải:
Gọi H hình chiếu vng góc 'A lên ABCAH hình chiếu vng góc AA' lên ABC
AA ABC'; AA AH'; A AH' 60 0
Xét tam giác vng 'A AH có ' '.sin 600 2 3.
2
A H AA a a
Vậy
' ' ' ' 3
ABC A B C ABC
V A H S a a a
(18)19
Phương pháp:
Số nghiệm phương trình cos
3
x số giao điểm đồ thị hàm số ycos 2x đường thẳng
1
y
Cách giải: Ta có đồ thị:
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình cos
3
x có nghiệm khoảng 0;3
2
Chọn B Câu 31 (TH) Phương pháp:
Sử dụng: u n u n n,
u n
Cách giải:
Gọi u VTCP đường thẳng
1;1;1 , 1; 2;3
n n
VTPT mặt phẳng ,
Vì u n u n n, 1; 2;1
u n
Chọn D Câu 32 (TH) Phương pháp: - Tính f x'
- Giải phương trình f x' 0 xác định số nghiệm bội lẻ
(19)20
Ta có:
4 2
1
f x x x
3 2 4
'
f x x x x x
3
' 2
f x x x x x
3
'
f x x x x
0
'
2
x nghiem boi f x x nghiem don x nghiem don
Vậy hàm số f x cho có điểm cực trị
Chọn A Câu 33 (TH) Phương pháp: Xét TH:
- Chọn nam nữ - Chọn nam nữ
Sử dụng tổ hợp quy tắc cộng, nhân Cách giải:
Để chọn cho nhóm có nam nữ ta có TH sau:
TH1: Chọn nam nữ Có
7 70
C C cách
TH2: Chọn nam nữ Có
7 105
C C cách
Vậy để chọn nhóm học sinh cho nhóm có nam nữ có 70 105 175 cách
Chọn B Câu 34 (VD) Phương pháp:
- Tính đạo hàm f x'
- Để hàm số f x 3x m x 21 đồng biến f x' 0 x hữu hạn điểm
(20)21
- Giải bất phương trình:
;
;
; max
;
a b
a b
m f x x a b m f x m f x x a b m f x
Cách giải:
TXĐ: D
Ta có
2
3 '
1
mx
f x x m x f x
x
Để hàm số f x 3x m x 21 đồng biến f x' 0 x hữu hạn điểm
2
2
3
3 0
1
mx x mx
x x
x x
2
3 x mx x mx x x
TH1: x 0 (luôn đúng)
TH2:
2
0;
3
0 x max
x m f x m f x
x
TH3:
2
0;
3
0 x
x m f x m f x
x
Xét hàm số
2
3
0
x
f x x
x
ta có
2
2 2 2
3
3
3
' 0
1
x
x x
x
f x x
x x x
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy 1 m 3, 2 m 3 m
Mà m m 3; 2; 1;0;1; 2;3
(21)22
Chọn C Câu 35 (VD) Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần
- Sử dụng: F x nguyên hàm f x nên
'
f x dx F x C f x F x
Cách giải:
Xét I e2xf x dx' .
Đặt
2 2
'
x x
u e du e dx
dv f x dx v f x
2x 2 2x .
I e f x e f x dx
Vì G x x3 nguyên hàm g x e2xf x nên
2
2 ' 3
x
x
e f x dx G x C x C e f x G x x
3 3 .
I x x C
Chọn C Câu 36 (VDC) Phương pháp:
- Từ giả thiết z i 2 suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z
- Từ giả thiết z24 số thực chứng minh z2 số thực, z2 số ảo, z2 có
phần thực cộng trừ phần ảo - Sử dụng phương pháp hình học Cách giải:
Vì z i 2 z i nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I0; 1 , bán kính
2
R
Gọi z 2 x yi ta có:
2 4 2 2 2
2
(22)23 2 22 2 2 2 2
4
x y xy x y i x y
4 8 2 4 2
x x y y xy x y i
Vì z22 số thực nên 2
0
4 0
x
xy x y y
x y
TH1: x 0 z yi z yi tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng x2 trừ điểm
2;0
TH2: y 0 z z z x tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng y0 trừ điểm
2;0
TH3: 2
2
x y z x xi z x xi
x y
x y z x xi z x xi
tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường
thẳng
2
y x y x
trừ điểm 0; , 2;0 , 0; , 2;0
Ta có hình vẽ:
Vậy có số phức z thỏa mãn yêu cầu toán
Chọn B Câu 37 (VD) Phương pháp:
- Tính số phần tử khơng gian mẫu
- Gọi A biến cố: “khơng có cặp gồm hai học sinh lớp” Mỗi học sinh lớp 12A phải ghép cặpvới
một học sinh lớp 12B Chọn học sinh lớp 12A, sau chọn học sinh lớp 12B để ghép cặp với học sinh
(23)24
Số phần tử không gian mẫu 2 2
10 .8 113400
n C C C C C
Gọi A biến cố: “khơng có cặp gồm hai học sinh lớp” Mỗi học sinh lớp 12A phải ghép cặpvới
một học sinh lớp 12B
1 1 1 1 1
5 14400
n A C C C C C
Vậy xác suất biến cố A
11340014400 638
n A P A
n
Chọn D Câu 38 (VD) Phương pháp:
- Tìm hàm vận tốc v t giai đoạn dựa vào đồ thị
- Quãng đường vật từ thời điểm t a đến thời điểm t b
b
a
sv t dt
Cách giải:
Trong giây đầu,
1 ,
v at lại có t2 s v1 60m s/ nên 60a.22 a 15, suy
1 15
v t
Quãng đường vật giây đầu
2
2
1
0
15 40
s v t dt t dt m
Trong giây tiếp theo, v2 mt n
Ta có 60 ,
3 360 / 100 /
t v
t v km h m s
nên ta có hệ phương trình
2 60 40
3 100 20
m n m
m n n
2 40 20
v t t
Quãng đường vật giây
3
2
2
40 20 80
s v t dt t dt m
Trong giây cuối, v3 100m s/
Quãng đường vật giây cuối
5
3
3
100 200
s v t dt dt m
Vậy giây xe quãng đường là: 40 80 200 320 m
(24)25
- Vì có VTPT n u A B C; ; Suy dạng phương trình mặt phẳng
:Ax By Cz d 0
- Tìm giao điểm với trục Ox, trục Oy tia Oz
- Tính độ dài OM ON OP, , theo d
- Tính ,
6
OMNP
V OM ON OP giải phương trình tìm d e
- Suy phương trình mặt phẳng tìm điểm thuộc
Cách giải: Đường thẳng :
1
x y z
có VTCP u 1; 2;3
Vì có VTPT n u 1; 2;3
, phương trình mặt phẳng có dạng:
:x2y3z d 0
Ta có
;0;0
2 0; ;
2
3 0;0;
3 0
3
OM d d
M d ON
M Ox
d
N Oy N d
OP P tia Oz
d
P d
d
Vì OMNP tứ diện vuông O nên
3 3
1 1
216 6
6 6 36
OMNP
V OM ON OP d d d d d
Mà d 0 d :x2y3z 6 Vậy qua điểm B1; 1;1
Chọn A Câu 40 (VD) Phương pháp:
- Gọi H trung điểm AC, chứng minh SH SAC BH, SAC
- Trong SAB kẻ BI SA , chứng minh SAB ; SAC BH HI;
- Sử dụng tính chất tam giác vng cân, định lí Pytago, hệ thức lượng tam giác vuông tỉ số lượng giác
(25)26
Cách giải:
Gọi H trung điểm AC ta có SH AC (do tam giác SAC cân S)
Ta có
,
SAC ABC AC
AH ABC AH SAC AH AC
Tương tự BH SAC
Trong SAB kẻ BI SA ta có
BH
SA BI
SA BHI SA HI SA BI SAC
, ; ;
,
SAB SAC SA
BI SAB BI SA SAB SAC BI HI HI SAC HI SA
Vì BH SAC cmt BH HI BHI vuông I
Do SAB ; SAC BH HI; BHI
Tam giác ABC vng cân B có AB BC 2a nên 2, 2
2
AB
BH a AC AB a
Ta có: SH SA2AH2 3a22a2 a.
3
SH AH a a a
HI
SA a
Xét tam giác vng BHI có
tan 60
6
BH a
BIH BIH
IH a
Vậy SAB ; SAC60 0 Chọn A
(26)27
Phương pháp:
- Sử dụng: Vì I tâm đối xứng đồ thị hàm số
1
x
y IA IB
x
- Chứng minh SMAB 2SMAI
- Kẻ AH MI H MI ta có ,
2
MAI
S AH MI chứng minh để SMAB đạt giá trị nhỏ SMAI đạt giá
trị nhỏ AH đạt giá trị nhỏ
- Viết phương trình đường thẳng MI, tính AH d A MI ; , sử dụng BĐT Cơ-si để tìm GTNN
- Suy tọa độ điểm ,A tính IA suy AB
Cách giải:
Dễ thấy I tâm đối xứng đồ thị hàm số
1
x y
x
(giao điểm đường tiệm cận)
Vì d qua I cắt đồ thị
1
x y
x
điểm phân biệt ,A B nên
1
IA IB AB
Ta có:
2
MAI
MAB MAI MAB
S MI
S S
S MA
Kẻ AH MI H MI ta có
2
MAI
S AH MI với MI 1 0 2 1 32
1
2
MAI
S AH AH
(27)28
Phương trình đường thẳng MI 1 2 1 1
0
x y
x y x y
Gọi
0 ;
1
x
A x C
x
ta có
0
0
0
2
1
2 2
1
;
5
2
x
x x
x x
AH d A MI
Giả sử A điểm nằm bên phải đường thẳng x 1 x0 1
Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: 0 0 min
0
1 2 10
2 2 2
1 5
x x AH
x x
Dấu “=” xảy 0 0 2 0 0
0
1 1
2 1 1
1 2
x x x x
x
Khi
2
2
1 10
1 ;1 1 2 10
2
2
A IA AB IA
Vậy để SMAB đạt giá trị nhỏ AB 10
Chọn A Câu 42 (VD) Phương pháp:
- Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A BCC B' ' mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC A B C ' ' '
- Sử dụng cơng thức tính nhanh: Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, Rday bán kính đường trịn
ngoại tiếp đáy ABC, ta có
2
2 ,
4 day
h
R R với h chiều cao hình trụ
- Áp dụng định lí Cosin tính BC
- Áp dụng định lí sin tính :
sin
day day
BC
R R
BAC
Cách giải:
(28)29
Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, Rday bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy ABC, ta có
2
4 day
h
R R , với h chiều cao lăng trụ
Ta có: 1. . .sin 1.2 sin1200 2.
2 2
ABC
a S AB AC BAC a a
Áp dụng định lí Cosin tam giác ABC ta có BC2 AB2AC22AB AC. .cosBAC7a2 BC 7 a
Áp dụng định lí Sin tam giác ABC ta có: 21
sin day day
BC a
R R
BAC
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp A BCC B' ' là:
2 2
2 30
4 day 3
h a a a
R R
Chọn A Câu 43 (VD) Phương pháp:
- Đặt f x 6x2x3 x Tính f x' .
- Chứng minh f x' 0 x 0, 'f x 0 x suy phương trình f x' 0 có nghiệm x0
- Lập BBT hàm số f x
- Số nghiệm phương trình
5
x x x a số giao điểm đồ thị hàm số f x 6x2x3x đường
thẳng
5
a y
Cách giải:
Xét hàm số f x 6x2x3x ta có f x' 6 ln ln ln 3.x x x
Ta có:
' ln ln ln 3x x x
f x
' ln ln 3x ln ln 3x x
f x
' 6x ln 2x 6x ln 3x
f x
Với
6
0 '
ln 0,ln
x x x x
x f x
(29)30
Với
6
0 '
ln 0,ln
x x x x
x f x
Với x 0 f x' 0
Do phương trình f x' 0 có nghiệm x0
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình
5
x x x a có nghiệm phân biệt 1 0 5 0.
5
a
a
Mà a a 4; 3; 2; Vậy có giá trị a thỏa mãn yêu cầu toán Chọn A
Câu 44 (VD) Phương pháp:
- Lập BBT hàm số
2
,
x u x
x
xác định tương ứng nghiệm xu x
- Đặt t u x Biện luận để phương trình f t m có nghiệm x phân biệt cần có nghiệm t thỏa
mãn điều kiện gì?
- Dựa vào đồ thị hàm số tìm m để phương trình có nghiệm t thỏa mãn điều kiện vừa biện luận
Cách giải:
Xét hàm số
2
3
x u x
x
ta có
2
2
3
3 '
3
x
x x
x u x
x
2
2 2
3 3
3 3
x x x x
x x x x
(30)31
'
u x x
Ta có BBT:
Đặt t u x , phương trình f u x m f t m
Do để phương trình f t m có nghiệm x phân biệt cần phải có nghiệm t phân biệt thỏa mãn
1
1;1
* 1;
t t
Dựa vào đồ thị hàm số f x ta thấy * m 3;0
Mà m m 0; 1;
Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán
Chọn B Câu 45 (VDC) Phương pháp: - Tính g x'
- Giải phương trình g x' 0
- Lập BXD g x'
Cách giải:
Ta có
2
' '
'
x g x xf x
f x
Dựa vào đồ thị hàm số y f ' 1 x ta có
1
' 1
1
x x
f x x x
x x
(31)32
Do
2
2
2
2
' 3
1
3
x x
f x x x
x x
Lấy x3 ta có g x' 6 ' 6f 0, qua nghiệm g x' 0 g x' đổi dấu
Bảng xét dấu g x' :
Vậy hàm số nghịch biến 1;0
Chọn D Câu 46 (VDC) Phương pháp:
- Chuyển vế, chia vế cho sin 2x
- Lấy nguyên hàm hai vế, từ tìm hàm f x
- Sử dụng giả thiết
2
f
tìm số ,C từ tìm f
- Đồng hệ số tìm , ,a b c tính tổng a b c
Cách giải: Theo ta có:
' sin cos
f x x x f x x
' sin cos
f x x f x x x
2
' sin sin '
sin sin
f x x f x x x
x x
2 '
sin sin
f x x
x x
Lấy nguyên hàm hai vế ta có:
2
'
sin sin sin sin
f x x f x x
dx dx dx
x x x x
(32)33
Đặt
2 cot
sin
u x du dx
dx
v x
dv
x
2
cos
cot cot cot
sin sin
x x
dx x x xdx x x dx
x x
sin
cot cot ln sin
sin
d x
x x x x x C
x
cot ln sin sin cot ln sin
sin
f x
x x x C f x x x x x C
x
Vì
2
f
nên sin2 2cot ln sin C 1 2.0 ln1 C C
sin cot ln sin
f x x x x x
sin cot ln sin
6 6 6
f
ln1
2
6 ln 3
12
6, 6,
a b c
Vậy a b c 6 1 Chọn A
Câu 47 (VDC) Phương pháp:
- Tính phương trình z2a3z a 2 a 0, giải bất phương trình 0.
- Phương trình bậc hai có nghiệm phức hai nghiệm số phức liên hợp nhau, đặt
1
z x yi z x yi
- Giải phương trình z1z2 z1z2 tìm mối quan hệ x y
- Giải phương trình z2a3z a 2 a 0 theo ,a tìm
1,
z z Với trường hợp giải phương trình
chứa tìm a
Cách giải:
(33)34
2 2 2
3 10
a a a a a
Để phương trình có nghiệm phức
5 13
3 10 *
5 13 a a a a
Vì z z1, 2 hai nghiệm phức phương trình z2 a3z a 2 a 0 nên chúng số phức liên hợp Do
đặt z1 x yiz2 z yi Theo ta có:
1 2
z z z z
x yi x yi x yi x yi
2x 2yi
x yi x y x y x y
Ta có:
2 3
2 2
3
3 3
2 2
a i a
z i
z a z a a
a i a
z i TH1:
2
3
3 10
a x y a
a a a
2 16 18
a a ktm a a a TH2:
2
3
3 10
a
x y a
a a a
2 16 18
a a tm a a a
Hai giá trị a thỏa mãn điều kiện *
Vậy có số nguyên a thỏa mãn yêu cầu toán
(34)35
Câu 48 (VD) Phương pháp:
- Chứng minh AD SAB; BC SAB;
- Gọi H hình chiếu vng góc C lên SAB, xác định BC SAB; Từ tính CH
- Tính .
3
S ABC SAB
V CH S
- Tính VS ABCD. 2VS ABC. Cách giải:
Vì BC/ /AD AD SAB; BC SAB;
Gọi H hình chiếu vng góc C lên SABBH hình chiếu BC lên SAB
BC SAB; BC BH; HBC 300
Xét tam giác vng ABC có BC AB2AC2 3a2a2 2a
Xét tam giác vng BCH có .sin 300 2 1 .
2
CH BC a a
Vì SAB cạnh a nên
2
2
3 3 3
4
SAB
a a
S
2
1 3
3 4
S ABC SAB
a a
V CH S a
Vậy
3
3
2
2
S ABCD S ABC
a
V V
(35)36
- Xét hàm đặc trưng, rút y theo x
- Thế vào biểu thức 42 12,
x y sử dụng: Biểu thức
2 0
ax bx c a đạt GTNN
b x
a
Từ tìm , x y
Cách giải: Với ,x y ta có:
1
log
10 2
x y
xy x y
log
10
x y x y
xy xy
log log 2
10
x y
x y xy xy
log log 2
10
x y
x y xy xy
log log 2 *
10 10
x y x y
xy xy
Xét hàm số f t logt t t 0 ta có ' 1 0,
ln10
f t t
t
nên hàm số y f t đồng biến
0; Do * 20
10 20
x y x
xy x y xy y x
Ta có:
2 2
2 2 2
20
4 400 40 40
400
x x x
P
x y x x x x x
Hàm số đạt GTNN 40 1
2.5 x tm
x
Khi Pmin 1,
4 16
x y
Vậy 1
4 16 64
xy
Chọn C Câu 50 (VDC) Phương pháp:
(36)37
- Gọi H tâm đường trịn C , tìm tọa độ điểm H Gọi K hình chiếu vng góc A lên , tìm tọa
độ điểm K
- Sử dụng định lí Pytago: AM2 AK2 KM2, chứng minh
max max
AM KM
- Sử dụng BĐT tam giác: KM KH HM , tìm M để KM KH HM
Cách giải:
Mặt cầu S :x2y2 2 z 32 24 có tâm I0; 2; 3 , bán kính R2 6.
Gọi H tâm đường tròn C IH
Phương trình đường thẳng :
3
x t IH y t
z
Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình
1
2
1 1;1;
3
3
0
x t x t
x
y t y t
y H
z z
z
x y t t
Ta có ; 2
2
IH d I Bán kính đường trịn C r R2IH2 24 2 22.
Dễ thấy điểm A nằm mặt cầu S Gọi K hình chiếu vng góc A lên , tương tự tìm tọa
độ điểm H ta tìm K8; 8;3
Khi ta có KH 8 1 2 8 1 2 3 32 3 22r
Áp dụng định lí Pytago ta có: AM2 AK2KM2, AK không đổi nên
max max
AM KM
Ta cps KM KH HM (BĐT tam giác), KMmax HM KH HM 3 22 22 22,
4
MK MH
(37)38
8 4
8 4
3
3
M M M
M M M
M
M M
x x x
y y y
z
z z
Vậy xM 4
Chọn B
HẾT