Cho 4 số tự nhiên thỏa tính chất : Bình phương của tổng hai số bất kỳ chia hết cho tích hai số còn lại. Chứng minh rằng có ít nhất ba trong bốn số đó phải bằng nhau.[r]
(1)SỐ NGUYÊN, PHÉP CHIA HẾT
1 Định nghĩa
Tập số nguyên bao gồm số tự nhiên số đối chúng ký hiệu Z
0, 1, 2,
Z
Số nguyên lớn gọi số nguyên dương Số nguyên nhỏ gọi số nguyên âm Tính chất
2.1 Khơng có số ngun lớn nhỏ Số nguyên dương nhỏ 2.2 Một tập hữu hạn Z ln có phần tử lớn phần tử nhỏ
2.3 Khơng có số ngun nằm hai số nguyên liên tiếp 2.4 Nguyên lý qui nạp:
Cho A tập hợp Z Nếu k A n A n + A , n ≥ k số nguyên lớn hay k thuộc A
2.5 Nếu a, b Z , a < b a + b 2.6. a R n, Z n: a
3 Phép chia hết 3.1 Định nghĩa
Cho a, b hai số nguyên bất kỳ, b khác Nếu tồn số nguyên q cho a = bq ta nói a chia hết cho b hay a bội b (a b) hay b ước a (b|a)
3.2 Định lý (thuật toán chia)
Cho a, b hai số nguyên bất kỳ, b khác Khi đó, tồn số nguyên q, r cho a = bq + r với r < |b|
3.3 Các tính chất phép chia hết
3.3.1 Nếu a b am b với số nguyên m 3.3.2 Nếu a b b c a c
3.3.3 Nếu a c b c ax + by c x,y Z ( ax + by gọi tổ hợp tuyến tính a,b)
3.3.4 Nếu a b |a| ≥ |b|
3.3.5 Nếu a b b a |a| = |b| 3.3.6 a b am bm, m Z*
BÀI TẬP
1 Cho a, b, n số nguyên, n > 0, a b Chứng minh a/ an – bn (a – b)
b/ (an + bn) (a + b) với n lẻ c/ (an – bn) ( a + b) với n chẵn
2 Chứng minh với số nguyên n a/ 33n + – 26n – 27 169
(2)a/ Cho f(x) đa thức tùy ý với hệ số nguyên Chứng minh f(a) – f(b)
(a – b) với số nguyên a, b
b/ Chứng minh không tồn đa thức p(x) với hệ số nguyên thỏa p(3) = 10, p(7) = 24
4 Chứng minh (a2k 1) 2 k1 với k nguyên, a lẻ
5 Chứng minh (n + 1)(n + 2) …(2n) 2n với số nguyên dương n Chứng minh tồn vô số nguyên dương n thỏa mãn 2n + n Giả sử x, y, z số tự nhiên thỏa x2+ y2 = z2 Chứng minh xyz 60 Cho x,y,z số nguyên thỏa (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z Chứng minh x + y + z chia hết cho 27
9 Chứng minh a2 + b2 - ab 8a3 – 6b3
10 Chứng minh + a 35 – b chia hết cho 11 a + b chia hết 11
ƯỚC SỐ CHUNG LỚN NHẤT, BỘI SỐ CHUNG NHỎ NHẤT
1.Ước chung lớn 1.1 Định nghĩa
Số nguyên dương d gọi ước chung lớn số nguyên a1, a2, …, an d ước chung a1, a2, …, an e ước chung khác chúng e ước d
Ký hiệu: d = UCLN(a1,a2,…,an) hay d = (a1,a2,…,an) Ví dụ : (-20, 30, 50) = 10, (15, 20, 18) =
Các số nguyên a1, a2, …, an gọi nguyên tố (a1,a2,…,an) = Các số nguyên a1,a2,…,an gọi nguyên tố sánh đôi hai số chúng nguyên tố
Chú ý: Các số ngun tố sánh đơi nguyên tố ngược lại không
1.2 Thuật toán Euclid
1.2.1 Bổ đề Nếu a = bq + r (a,b) = (b,r) Chứng minh: Ta có (a,b) |a (a,b)| b (a,b)| r (a,b)|(b,r) (1) Mặt khác (b,r)|b (b,r)|r (b,r)|a (b,r)|(a,b) (2) Từ (1) (2) (a,b) = (b,r)
1.2.2 Thuật tốn Tìm ước chung lớn hai số nguyên a b
Đầu tiên ta chia a cho b dư r1 (0 r1 <|b|), chia b cho r1 dư r2 (0 r2 <r1), tiếp tục ta dãy |b|, r1, r2, … giảm dần Giả sử rn+1 =
Thuật toán kết thúc sau số hữu hạn bước a = bq + r1 (0 r < |b|)
b = r1q1 + r2 (0 r2 < r1) r1 = r2q2 + r3 (0 r3 < r2) …
(3)Theo định lý ta có (a,b) = (b,r1) = (r1,r2) =…=(rn-1,rn) = rn Ví dụ: Tìm ước chung lớn hai số a = 555 b = 407 555 = 407.1 + 148
407 = 148.2 + 111 148 = 111.1 + 37 111 = 37
Vậy (555,407) = 37 1.3 Tính chất 1.3.1 (a,b) = (b,a)
1.3.2 d = (a,b) ,
a b d d 1.3.3 k(a,b) = (ka,kb)
1.3.4 Nếu (a,b) = b|ac b|c
1.3.5 Nếu (a,b) = (a,c) = (a,bc) = 1.3.6 (a,b,c) = ((a,b),c) = (a,(b,c))
1.3.7 (a,b) = (a, b + ka), k 1.4 Định lý
Cho a, b số nguyên, d ước số chung lớn a b Khi tồn số nguyên x’, y’ cho d = ax’ + by’
Chứng minh
Đặt A = {ax + by /x,y Z} Gọi l số dương nhỏ A Do l > nên tồn q, r cho a = lq + r ( r < l)
Giả sử r > Khi r = a – lq = a – (ax’ + by’)q = a(1 – x’q) + b( – y’q) A mâu thuẩn với l số dương nhỏ A
r = hay a l
Tương tự ta có b l
d l ( d = (a,b))
Mặt khác l = ax’ + by’ l d Từ suy l = d 1.5 Hệ
1.5.1 a, b hai số nguyên tố tồn hai số nguyên m, n cho am + bn =
1.5.2 d ước chung lớn a b d tổ hợp tuyến tính dương nhỏ a b
1.5.3 Nếu d = (a1,a2,…,an) tồn số x1,x2, ,xn cho d = a1x1 + a2x2 + … + anxn
2 Bội chung nhỏ 2.1 Định nghĩa
Số nguyên dương b gọi bội chung nhỏ n số nguyên a1,a2,…,an khác m bội chung a1,a2,…,an e bội chung khác chúng e bội b
(4)Ví dụ: [7, -14, 4] = 28 2.2.Tính chất
2.2.1 k[a,b] = [ka,kb] 2.2.2 [a,b,c] = [[a,b],c] 2.2.3 [a,b].(a,b) = ab
Chứng minh tính chất 2.2.3 Đặt d = (a,b) a = a1d, b = b1d với (a1,b1) =
Ta có [a1,b1] a1 [a1,b1] = m.a1
b1|[a1,b1] = ma1 b1|m Do (a1,b1) = [a1,b1] a1b1 mà a1b1 [a1,b1] nên [a1,b1] = a1b1
[a,b].(a,b) = [a1d, b1d] d = [a1,b1]d
= a1b1d
= ab 2.2.4 Hệ
2.2.4.1 a b, a c a [b,c]
2.2.4.2 a b, a c, (b,c) = a bc BÀI TẬP
1 Chứng minh phân số 15
33
n n
tối giản
2 Chứng minh phân số 21 17
14
n n
không số nguyên
3 Chứng minh không tồn số tự nhiên n cho 2010n – chia hết cho 1010n –
4.Cho M số nguyên dương tập hợp S nN M/ n (M 1)2 Chứng minh tất tích có dạng ab với a, b S phân biệt
5 Chứng minh số có số lẻ ước số khác khi bình phương
6 Chứng minh (a,b) = (a + b,a2 + b2)
7 Giả sử m, n số tự nhiên thỏa (m,n) + [m,n] = m + n Chứng minh (m,n) m n
8 Tìm (2n + 1,9n + 4), (2n – , 9n + 4), (36n + 3, 90n + 6) Tìm x, y nguyên dương thỏa x + y = 150, (x,y) = 30
10 Tìm x, y nguyên dương thỏa (x,y) = 5!, [x,y] = 50! x y
SỐ NGUYÊN TỐ
1 Định nghĩa
Số nguyên p > gọi số nguyên tố p có hai ước dương
Số ngun lớn khơng phải số nguyên tố gọi hợp số
Từ định nghĩa dễ thấy p số nguyên tố a số nguyên a p (a,p) =
2 Định lý
(5)Nếu p | a (a,p) = suy p|b 3.Định lý
Mọi hợp số phải có ước nguyên tố nhỏ hay bậc hai Chứng minh
Giả sử n = a b (1 < a, b < n )
Nếu a b lớn n n = ab > n (vơ lý) phải có thừa số khơng vượt q n hay có ước ngun tố không vượt n
3.1.Hệ
Nếu số ngun n > khơng có ước nguyên tố nhỏ hay n n số nguyên tố
Ví dụ: 211 số nguyên tố tất số nguyên tố nhỏ 211 2,3,5,7,11,13 không ước 211
4 Định lý số học
Mọi số nguyên n > biểu diễn dạng tích số ngun tố Phân tích khơng tính thứ tự thừa số
Chứng minh Ta chứng minh tồn biểu diễn qui nạp
Với n = 2, n =3, n = = 2.2, n = 5, n =6 = 2.3 biểu diễn dạng tích số nguyên tố Giả sử khẳng định đến n – 1, tức số nguyên không vượt n – biểu diễn dạng tích số nguyên tố
Xét số nguyên n Nếu n nguyên tố ta có điều chứng minh Nếu n hợp số n = n1.n2 (1 < n1, n2 < n), từ giả thiết qui nạp ta có n1, n2 biểu diễn dạng tích số nguyên tố, n biểu diễn dạng tích số nguyên tố
Ta chứng minh cách biểu diễn Giả sử n có hai cách biểu diễn khác
n = p1p2…pr = q1q2…qs (các số nguyên tố pi khác số nguyên tố qj ) Khi p1| q1q2…qs p1| qj p1 = qj (mâu thuẩn)
Như số nguyên n > có biểu diễn n =
1
1
,
i
k
k
i k i
i
p p p p
trong pi (i =1,2,…k) số ngun tố đơi khác Ta nói n có dạng phân tích tắc
4.1 Hệ
4.1.1 Nếu n có dạng phân tích tắc
1
k
k
n p p p số tất ước số dương n ( 1 1)( 2 1) ( k 1)
4.1.2 Nếu
1
i
k i i
n p ,
1
i
k i i
m p , i, i
(6)(m,n) = min( , )
i i
k i i
p
[m,n] = max( , )
1
i i
k i i
p
5 Định lý Tập hợp số nguyên tố vô hạn Chứng minh
Giả sử có n số nguyên tố p1, p2, …, pn Xét số N = + p1p2…pn
N > nên tồn số nguyên tố p ước N Rõ ràng p khác với p1, p2, , pn (vô lý)
Vậy có vơ hạn số ngun tố
6 Hệ thống ghi số 6.1 Định lý
Cho số nguyên dương d > Khi số tự nhiên N biểu diễn cách dạng N = d0 + d1b + d2b
2
+ … + dnb n
(1) , số nguyên dương di thỏa mãn di b –
Chứng minh Ta Chứng minhbằng qui nạp theo N
Với N = 1, ta có biểu diễn =
Giả sử biểu diễn nói có cho số 1, 2, …, N – Xét số N Gọi d0 số cho N – d0 b
Đặt N1 = (N – d0)/b Vì N1 < N , theo gt qui nạp N1 biểu diễn dạng N1 =
2
0
1
n n
N d
d d b d b d b
b
Như N = d0 + d1b + d2b
+ … + dnb n
Nếu có cách biểu diễn khác cho N tức N = d0 + d1b + d2b2 + … + dnb
n
= a0 + a1b + a2b2 + … + anbn
Khi d0 = a0 = r ( số dư chia N cho b)
N1 =
2
0
1
n n
n n
N d
d d b d b d b a a b a b a b
b
theo tính chất giả thiết qui nạp, ta có điều phải chứng minh 6.2 Định nghĩa
Giả sử g số tự nhiên lớn hớn M = {0,1,2,…, g – 1} tập hợp gồn g ký hiệu số tự nhiên Ta nói số tự nhiên s viết hệ g- phân ( hệ thống ghi số g) s = ang
n
+ an-1g n-1
+ … + a1g + a0 n số
nguyên dương ai M, an
(7)Một số tự nhiên k hệ nhị phân viết k = a an n1 a a1 0với , i = 0,1,2, ,n chữ số 0,1 an có nghĩa k = an2
n
+ an-12 n-1
+ …+ a1.2 + a0
6.3.1 Định lý
Cho số tự nhiên N Gọi n số chữ số (0,1) N viết hệ nhị phân, ta có n = [log2N] +
Chứng minh Ta có N = 2n – + an-22
n -2 + … + a
12 + a0 , ai{0,1} n
> N ≥ n -1
n > log2N ≥ n – hay [log2N] = n – suy dpcm Phần nguyên
7.1 Định nghĩa
Phần nguyên, ký hiệu [x], số thực x số nguyên lớn không vượt x Phần phân x , ký hiệu {x}, x – [x]
7.2 Tính chất 7.2.1 x = [x] + {x} 7.2.2 x = [x] x Z 7.2.3 x = {x} x < 7.2.4 x – < [x] x
7.2.5 Nếu k Z [x + k] = [x] + k, {x + k} = {x} + k 7.2.6 [x + y] – [x] – [y]
7.2.7 [x + y] ≥ [x] + [y] , {x + y} {x} + {y} 7.3 Định lý
* Nếu số thực dương n N n
số tất số nguyên dương
bội n không vượt qua
* Nếu a, b hai số khơng âm [2a] + [2b] ≥ [a] + [b] + [a + b] Định lý
Trong phân tích số n! thừa số nguyên tố n! =
1 ,
k
k i
p p p
thì số mũ i pi 2
i
i k
i i
n n n
p p p
Chứng minh Tổng hữu hạn k đủ lớn n < pi
k
1 0
k k
i i
n n
p p
(8)Ta có n! = 1.2…p.(p+1)…2p…3p….
n p
p …n = ! !
n
p n m
p q p m q
p với m =
n
p (p,q) =1
Tương tự ! ! '
m
p m
m p q
p với (p,q’) =
Suy ! ! ' 2 ! '
n
n m n
p p m p p n
n p p qq p qq
p p với (p,qq’) =
Cứ tiếp tục ta thu số mũ p : 2
k
n n n
p p p
Ví dụ Số mũ phân tích 100! thừa số nguyên tố
5
100 100 100
20 24
5 5
Từ 100! Có tận 24
chữ số
BÀI TẬP
1 Tìm tất số nguyên tố vừa tổng số nguyên tố, vừa hiệu số nguyên tố
2 Chứng minh với số tự nhiên n tồn n số tự nhiên liên tiếp không số nguyên tố
3 Chứng minh không tồn n để 6n + biểu diễn dạng tổng số nguyên tố
4 Tìm tất số tự nhiên n lẻ để n, n + 10, n + 14 số nguyên tố Tìm tất số nguyên tố p cho 2p2 + số nguyên tố Cho a, b, c số nguyên khác 0, a c thỏa mãn
2
2
a a b
c c b
Chứng minh
rằng a2 + b2 + c2 số nguyên tố
7 Tìm tất số nguyên tố p cho p2 + 11 có ước số nguyên dương Tìm tất số nguyên tố p cho hệ phương trình p + = 2x2, p2 + = 2y2 có nghiệm nguyên
8 Chứng minh p 8p2 + lẻ số nguyên tố 8p2 + 2p + số nguyên tố
9 Tìm tất số tự nhiên n cho n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 n + 15 số nguyên tố