99 câu Trắc nghiệm Mũ và Lôgarit vận dụng cao có lời giải

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.. Hướng dẫn giải.[r]

(1)

CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT

Câu 1: [Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – MH LẦN 2]Tìm tập hợp giá trị tham số thực mđể phương trình 6x3m2xm0 có nghiệm thuộc khoảng 0;1

A 3; 4 B 2; 4. C 2; 4 D 3; 4

Hướng dẫn giải

Chọn C

PP1: Giải tự luận

Ta có: 6x3m2x m0 1  3.2

  

x x

x m

Xét hàm số   3.2

2  



x x

x

f x xác định , có

 

 2

12 ln ln 3.2 ln 0,

 

    





x x x

x

f x x nên hàm số f x  đồng biến 

Suy 0x 1 f 0  f x  f  1 2 f x 4 f  0 2, 1f  4

Vậy phương trình  1 có nghiệm thuộc khoảng 0;1 m2; 4

PP2: Trắc nghiệm có sử dụng máy tính

Ta có: 6x3m2x m0 1  3.2

  

x x

x m

Sử dụng chức MODE để nhập vào hình biểu thức 3.2

2

x x

x 

 , vơi Start

0

X  , End X 1, Step 0,1 Cách bấm máy tính

(Để đọc cẩn cài FONT CỦA CHƯƠNG TRÌNH GIẢ ẬP MÁY TÍNH CASIO FX 570VN-PLUS - ES03)

w7a6^Q)$+3O2^Q)R2^Q)$+1==0=1=0.1=

Màn hình

Khi ta thấy giá trị bên cột F X  từ đến nên loại đáp án A D

Vì nghiệm thuộc khoảng nên 0;1 không lấy giá trị F X  nên loại

đáp án B

Câu 2: [Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 104 – MH LẦN 2] Xét số thực a, b thỏa mãn ab1 Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức  

2

log 3log  

   

 

b a

b

a

P a

b A Pmin 19 B Pmin 13 C Pmin 14 D Pmin 15

(2)

Chọn D

Với điều kiện đề bài, ta có  

2

log 3log   2 log  3log   log   3log  

             

          

a a a

b b

a a a a

P a a b

b b b b

2

4 log  3log  

      

 

 ab  b

a b

b

Đặt loga 0

b

t b (vì a b 1), ta có P4 1 t234t28 34  

t

t f t

t

Ta có   

2

3

2 2

2

3

( ) 8  6 

     t  t   t t t

f t t

t t t

Vậy  

2

   

f t t Khảo sát hàm số, ta có

1 15        

P f

Câu 3: [Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 101] Xét số thực dương x,y thỏa

mãn

1

log

2 xy

xy x y x y



   

 Tìm giá trị nhỏ Pmin P x y

A.

9 11 19

P   B.

9 11 19

P  

C.

18 11 29

P   D.

2 11 3

P  

Chọn D

3

log

2 xy

xy x y x y               3

log xy log x 2y xy x 2y

        

       

3

log xy log x 2y xy x 2y

       

       

3

log xy xy log x 2y x 2y

       

Xét f t log3tt, t0

  1 0,

ln

f t t

t

     

Suy : f3 1 xy f x 2y 3 3xyx2y

1 y x y    

Điều kiện 2 2

2

xy y

y

x y y

         3 y P x y y

y



   



 2

1 11

11

1

1 11

(3)

Bảng biến thiên:

x   1 11

3 

1

2

 1 11

3 

y + 0  0 

y



2 



2 11 3



Vậy min 11 3

P  

Câu 4: [Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 102]Tìm tất giá trị thực tham

số m để phương trình

4x2x m0 có hai nghiệm thực phân biệt

A m  ;1 B m0; C m0;1 D m0;1

Chọn D.

PP1: Phương trình 4x2x1m0  2x 22.2xm0,   Đặt t2x 0 Phương trình  1 trở thành:

2

  

t t m ,  2

Phương trình  1 có hai nghiệm thực phân biệt  phương trình  2 có hai nghiệm

thực phân biệt lớn

1

2 0 a

m b S

a c

P m

a   

     

 

    

 

  

 

0;1 m

 

PP2: Sử dụng phương pháp thử loại trừ

Xét m1 ta phương trình 4x2x1 1 0  2x 22.2x 1 0 2x 1

0 x

 

Phương trình có nghiệm m1 Loại B C

Xét m 1 ta phương trình 4x2x1 1 0  2x 2.2x 1 0

    2

2 x

x     

  

 

2 log x

   Phương trình có nghiệm m 1 Loại A

Chọn D

Câu 5: [Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 102] Xét số thực dương a, b thỏa

mãn

1

log ab 2ab a b a b



   

(4)

A

2 10

P   B

3 10

P   C

2 10

P   D

2 10

P  

Chọn A.

Điều kiện: ab1

Ta có

1

log ab 2ab a b a b



   

 log22 1 ab2 1 ablog2ab  ab *

Xét hàm số y f t log2tt khoảng 0;

Ta có   1 0,

.ln

f t t

t

      Suy hàm số f t  đồng biến khoảng 0;

Do đó,  *  f 2 1 ab f a b2 1 ab a ba2b1 2 b

2

b a

b  

 



Ta có 2  

2 b

P a b b g b

b  

    



 

 2

2

g b b



   

  

2

2 b

   10

2 b

   10

4

b 

  (vì b0)

Lập bảng biến thiên ta

10 2 10

4

P g   

 

Câu 6: [Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103] Xét hàm số   9

t t f t

m 

 với m

tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị m cho f x  f y 1 với

mọi x y, thỏa mãn x y  

e  e x y Tìm số phần tử S

A 0 B 1 C Vô số D 2

Chọn D

Ta có nhận xét:  

x

x y y

e e x

e e x y x y

e e y 

 



     

   

( Dấu ‘’=’’ xảy xy1)

Do ta có: f x( ) f y( ) 1 f x( ) f(1x)1

1 2

2 2

9 9 9

1

9 9 9

x x x x

m m

m m m m m

 

  

    

    

2 2

9 m 9x m 9x m 9x m 9x m

       

4

9

m m

    

Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu

Câu 7: [Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 104] Xét số nguyên dương a,bsao

cho phương trình

ln ln

(5)

2

5 log x b logx a 0 có hai nghiệm phân biệt x3, x4 thỏa mãn x x1 2x x3 Tính giá

trị nhỏ Smin S2a3b.466666

A Smin 30. B Smin 25. C Smin 33. D Smin 17 Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện x0, điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt

20 b  a Đặt tlnx, ulogx ta at2bt 5 0 (1)

, 5u2bua0(2)

Ta thấy với nghiệm t có nghiệm x, u có x

Ta có 2

1

b

t t t t a

x x e e e  e , 10 10

b u u

x x     , lại có

1 10

b b

a x x x x e  

ln10

5 ln10

b b

a a

a

        ( a b, nguyên dương), suy b260b8

Vậy S2a3b2.3 3.8 30, suy Smin 30 đạt a3,b8 Câu 8: (SGD VĨNH PHÚC) Đạo hàm hàm số ylog 2 3x1 là:

A

3 ln y

x

 

 B  

2 ln y

x

 

 C  

6 ln y

x

 

 D

2 ln y

x

  

Chọn C

Điều kiện: 3x 1

 

     

2

3

y log

3 ln ln ln

x

x y

x

x x

  

     



 

Câu 9: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Bất phương trình 2.5x25.2x2133 10x

có tập nghiệm Sa b;  b2a

A. B. 10 C.12 D. 16

Ta có: 2.5x25.2x2133 10x 50.5x20.2x 133 10x

chia hai vế bất phương trình

cho 5x ta : 50 20.2 133 10 50 20 133

5 5

x x

 

        

    (1)

Đặt , ( 0)

5 x t  t

 

phương trình (1) trở thành: 20 133 50 25

5

t  t    t

Khi ta có:

2

2 25 2

4

5 5 5

x x

x



       

            

       

 

(6)

Vậy b2a10

Câu 10: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho a số nguyên dương lớn thỏa mãn

 

3

3log 1 a a 2 log a Tìm phần nguyên log22017a

A. 14 B. 22 C. 16 D. 19

Đặt t 6a t, 0 , từ giả thiết ta có  2

3

3log 1t t 2 log t

   2

3

log log

f t t t t

     

     

 

3

2

3

3ln 2 ln ln 2 ln ln

1 2

ln ln ln 2.ln

t t

t t f t

t t t t t t

   



   

   

Vì đề xét a nguyên dương nên ta xét t1

Xétg t   3ln 2 ln 3 t32 ln 2 ln 3 t22 ln 3

Ta có   8

3ln ln 3ln ln

9 9

g t  t  tt t 

 

 

9 ln

4

0

8 3ln

9 g t   t 

Lập bảng biến thiên suy hàm số g t  giảm khoảng 1;

Suy g t g 1 5ln ln 3  0 f t 0 Suy hàm số f t  giảm khoảng 1;

Nên t4 nghiệm phương trình f t 0

Suy f t 0 f t  f  4  t 46a 4a4096

Nên số nguyên a lớn thỏa mãn giả thiết toán a4095

Lúc log22017a22,97764311

Nên phần nguyên log22017a 22

Đáp án: B.

Câu 11: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Biết 15

2

x nghiệm bất phương trình

   

2 loga 23 23 log 15 a

(7)

A. ;19 T   

  B.

17 1;

2 T   

  C.T 2;8 D.T 2;19 Hướng dẫn giải

       

2 loga 23 23 log 15 loga 23 23 loga 15 a

x  x  x  x  x  x

Nếu a1ta có

   

2

23 23 15

log 23 23 log 15 19

2 15

a a

x x x

x x x x

x x

    



       

  

 

Nếu 0a1ta có

   

2

2 23 23 15

log 23 23 log 15

19 23 23

a a

x

x x x

x x

 

     

     



  



Mà 15

2

x nghiệm bất phương trình Chọn D.

Câu 12: (T.T DIỆU HIỀN) Tìm m để phương trình :

  2 2  

1

2

1

1 log log 4

2

m x m m

x

      

 có nghiệm

5 ,

 

 

 

A

3 m

   B m C m  D

3 m

  

Chọn A

Đặt 1 

2 log

t x Do 5;  1;1

2

x   t

 

 

4 m1 t 4(m5)t4m 4

   

1

m t m t m

      

 

1

m t t t t

     

2

5 1 t t m

t t  

 

      g m f t

 

Xét  

2

5 1 t t f t

t t

 



(8)

 

2 2

4

0 t f t

t t 

  

   

1;1 t

    Hàm số đồng biến đoạn 1;1

Để phương trình có nghiệm hai đồ thị g m ;f t  cắt   t  1;1

   

( 1)

3

f g m f m

(9)

Câu 13: (LẠNG GIANG SỐ 1) Số giá trị nguyên dương để bất phương trình

2 2

cos sin sin

3 x2 x m.3 x có nghiệm

A 1 B 2 C 3 D 4

Chọn A

Đặt

sin xt 0 t 1

 

2 2 1

cos sin sin

3 x2 x m.3 x 3 t 2t 3t

 2

3

2

3 3

t

t t

t m t m

 

      

 

Đặt: 0 1

9

t

y     t  

1 2

3 .ln ln

9 3

t t

y        

    Hàm số nghịch biến

Dựa vào bảng biến thiên suy ram1 phương trình có nghiệm

Suy giá trị nguyên dương cần tìmm1

Câu 14: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Có giá trị thực tham số m để phương trình m.3x23x234x2 36 3 xm

có nghiệm thực phân biệt

A 1 B 2 C 3 D 4

Chọn A

_

1 1 0

4 f(t)

(10)

Đặt 2 3 . 3 3 x x x x u u v v             

Khi phương trình trở thành

      

2 2 2 3

1 1 0 1 0

1 3 1

3

1

3 2 0

2

4 log

4 log x x

x

mu v uv m m u v u u m v

u

v m m

x x x x x m x m                                           

Để phương trình có ba nghiệm x2  4 log3m có nghiệm khác 1;2 Tức

3

4log m0m81

Chọn A

Câu 15: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho

2 log log log

log 0; y

a b c b

x x

p  q  r   ac  Tính y theo

, , p q r

A

yq pr B p r y

q 

 C y2qp r D y2qpr

Chọn C

 

2

log log

log log log log log log log

log

y y

b b

x x

ac ac

y x b a c q x p x r x

x q p r

  

      

  

2

y q p r

    (do logx0)

Câu 16: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hàm số  

4 

 x x

f x Tính giá trị biểu thức

1 100

100 100 100

     

       

     

A f f f ?

A. 50 B. 49 C. 149

3 D.

301 Hướng dẫn giải

Chọn D

Cách 1. Bấm máy tính Casio fx 570 theo công thức

100 100 100 301               X X X

Cách Sử dụng tính chất f x  f1x1 hàm số  

4 

 x x

(11)

1 2

1 99 98 49 51 50 100

100 100 100 100 100 100 100 100

4 301

49

4

                  

                 

               

     

   

 

A f f f f f f f f

PS: Chứng minh tính chất hàm số  

4 

 x x

f x

Ta có    

1

4 4 4

1

4 4 2.4 2



        

     

x x x x

x x x x x x

f x f x

Câu 17: (THTT – 477) Nếu

8

log alog b 5

4

log a log b7 giá trị ab

A

2 B 18

2 C 8 D 2

Chọn A.

Đặt log2 ; log2

x y

x aa y bb

Ta có

2

8

2

4

1

5

log log 3 15

1 21

log log

7 x y

a b x y x

x y y

a b

x y



  

       

 

  

   

  

   

 

  

 

Suy

2x y ab 

 

Câu 18: (THTT – 477) Cho n1 số nguyên Giá trị biểu thức

2

1 1

log n!log n! lognn!

A 0 B n C n! D 1

Chọn D.

 

! ! ! !

2

! !

1 1

1, log log log log

log ! log ! log ! log ! log 2.3.4 log !

n n n n

n

n n

n n n

n n n n

n n

           

  



Câu 19: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn 2x2y 4

Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức   

2

P x y y x  xy

A. max 27

2 

P B. Pmax18 C. Pmax 27 D. Pmax 12

Chọn B

Ta có 42x2y 2 2x y 42x y  x y2

Suy

2

x y xy   

(12)

Khi     3 2

2 10

P x y y x  xy x y  x y  xy

   2  2

2   10

     

 

P x y x y xy xy xy

  2 2  

4 4 10 16 2 18

  xy  x y  xy  x y  xy xy 

VậyPmax 18 x y1

Câu 20: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất giá trị m để phương trình

    2 1

7 5 x m 7 5 x 2x có hai nghiệm phân biệt

A 1

16

m B 0 1

16

m

  C 1 1

2 m 16

   D

1

0 2

1 16

m m



   

   

Chọn D

PT

2

7 5 7 5 1

2 2 2

x x

m

     

     

   

Đặt  

2

7 5

0;1 2

x

t    

 

Khi PT 2t2  t 2m02m t 2t2  g t  (1)

Ta có   1 4 0 1

4

g t   t  t

Suy bảng biến thiên:

PT cho có nghiệm phân biệt (1) có nghiệm t0;1

(13)

1 1

2 16

8

1

1 2 0 0

2

m m

 

 

 

  

 

     

 

Câu 21: (CHUYÊN ĐHSP HN) Số nghiệm thực phân biệt phương trình

1

4

2

x x

 

 

A. B. C. D.

Chọn D

Điều kiện x0

- Nếu 1

4

x x

x

    , dấu xẩy

2

x 1

x x   ,

dấu xẩy x2 suy

1

4

2 4,

x x

x x x

 

   

- Nếu

1

1 1

0 1

4

x x

x x x

x x



           , dấu xẩy

2 x 

và

1

1 1

1

4

x x



         , dấu xẩy x2

Suy

1

4

2 1,

x x

x x x

 

   

Vậy phương trình cho vơ nghiệm

Câu 22: (CHUN ĐH VINH) Số nghiệm phương trình  

3

log x  2x log x  2x2

là

A. B. C.1 D.

Đáp án: B.

ĐK: x0; x

Đặt tx2 2xx2 2x  2 t

 

3

log t log t

  

Đặt log3 t log5t2u

 

3 log log

t u

 



 

 

 

3

u

u t

t    

(14)

5u 3u

  



5

u u

   

   

5 3

u u

  

 

  

5 (1)

3

2 (2)

5

u u

  



    

 

   

    

 Xét  1 : 5u3u 2

Ta thấy u 0 nghiệm, dùng phương pháp hàm số dùng BĐT để chứng

minh nghiệm u 0

Với

0

u    t x  x  , phương trình vơ nghiệm

 Xét  2 : 1

5

u u

   

 

   

   

Ta thấy u1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số dùng BĐT để chứng

minh nghiệm u1

Với

0 3

u   t x  x  , phương trình có nghiệm phân biệt thỏa

0; x x

Câu 23: (CHUN THÁI BÌNH) Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình

sau có hai nghiệm thực phân biệt:

3

log (1x ) log ( x m 4)0

A.

4 m 

  B. 21

4 m

  C. 21

4 m

  D.

4 m 

 

Chọn C

 

2

3 2 2

3 3

1;1

1

log (1 ) log ( 4)

x x

x x m

x x m x x m

     

 

      

       

 

 

Yêu cầu toán   5 0

f x x x m

      có nghiệm phân biệt   1;1

Cách 1: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai

Để thỏa yêu cầu toán ta phải có phương trình f x 0 có hai nghiệm thỏa:

1

1 x x    

   

5

21

3

0 4

21

1

2 a f

m a f

m m

m S

  

  

 



 

       

   

   

 

(15)

Cách 2: Với điều kiện có nghiệm, tìm nghiệm phương trình f x 0rồi so sánh trực tiếp nghiệm với 1

Cách 3: Dùng đồ thị

Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số

5

yx  x hai điểm phân biệt

khoảng 1;1 đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số

5 yx  x

hai điểm phân biệt có hồnh độ   1;1

Cách 4: Dùng đạo hàm

Xét hàm số    

5

2 f x x   x f x  x  x 

Có 21;  1 3;  1

2

f    f   f   

 

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để có hai nghiệm phân biệt khoảng 1;1

21 21

5

4 m m

       

Cách 5: Dùng MTCT

Sau đưa phương trình

5

x  x m  , ta nhập phương trình vào máy tính

* Giải m 0, 2: không thỏaloại A, D.

* Giải m5: không thỏa loại B

Câu 24: Tập tất giá trị m để phương trình

 12    

2

2x log x 2x3 4x m log 2x m 2 có ba nghiệm phân biệt là:

A 1; 1;3

2

 



 

  B

1

;1;

2

 



 

  C

1

;1;

2

 



 

  D

1

;1;

2

 

 

 

–

(16)

Chọn D

Ta có  12    

2

2x log x 2x3 4x m log x m 2  1

 

   

2 2

2

2x log  x 2 x m log x m

     

   2

Xét hàm số   2 2 2 , 0.

t

f t  log t t

Vì f t 0, t 0 hàm số đồng biến 0;

Khi  2  f x12 f 2 xmx12 2 xm

 

   

2

4

x x m

x m

    

 

 



Phương trình  1 có ba nghiệm phân biệt xảy trường hợp sau:

+) PT  3 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt PT 4

3 m

  , thay vào PT  4 thỏa mãn

+) PT  4 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt PT 3

1 m

  , thay vào PT  3 thỏa mãn

+) PT  4 có hai nghiệm phân biệt PT  3 có hai nghiệm phân biệt, có

một nghiệm hai PT trùng

 4 x  2m1,với

2m2 Thay vào PT  3 tìm m1

KL: 1;1;3

2

m  

 

Câu 25: (QUẢNG XƯƠNG I) Tất giá trị m để bất phương trình

(3m1)12x(2m)6x3x 0

có nghiệm  x là:

A.  2;  B. ( ; 2] C. ;

 

 

 

  D.

1 2;

3

 

 

 

  Hướng dẫn giải

Chọn đáp án B

Đặt 2x t

(17)

Khi ta có : (3 m 1) t 2(2 m) t 0,    t 1

2

(3 t t) m t t t

3 t t

t m

t t

  

           



Xét hàm số  

2

( ) ê 1;

3 t t

f t tr n

t t

  

 



2

7

'(t) (1; )

(3 t t) t t

f   t

     



BBT

t 1 

f'(t) +

f(t)

3 

2 Do

1

lim (t) t

m f

 

   thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 26: (QUẢNG XƯƠNG I) Trong nghiệm ( ; )x y thỏa mãn bất phương trình 2

logx  y (2xy) 1 Giá trị lớn biểu thức T 2xy bằng:

A.

4 B.

9

2 C.

9

8 D.9

Chọn đáp án B

Bất PT 2

2 2

2 2 2

2

log (2 ) ( ), ( )

2 2

x y

x y x y

x y I II

x y x y x y x y



      

 

     

      

 

 

Xét T=2xy

TH1: (x; y) thỏa mãn (II) 2

0T 2xyx 2y 1

TH2: (x; y) thỏa mãn (I) 2 2

2 ( 1) ( )

8 2

x  y  xy x  y  Khi

2 2

1 1 9 9

2 2( 1) ( ) (2 ) ( 1) ( )

4

2 2 2

xy x  y     x  y    

 

Suy : max

2

T  ( ; y) (2; )1 x

(18)

Câu 27: (MINH HỌA L2) Tìm tập hợp giá trị tham số thực mđể phương trình

 

6x 3m 2xm0 có nghiệm thuộc khoảng 0;1

A 3; 4 B 2; 4. C 2; 4 D 3; 4

Chọn C.

Ta có: 6x3m2x m0 1  3.2

2 

 

x x

x m

Xét hàm số   3.2

2  



x x

x

f x xác định , có

 

 2

12 ln ln 3.2 ln 0,

 

    





x x x

x

f x x nên hàm số f x  đồng biến 

Suy 0x 1 f  0  f x  f  1 2 f x 4 f 0 2, 1f 4

Vậy phương trình  1 có nghiệm thuộc khoảng 0;1 m2; 4

Câu 28: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3) Tìm m để bất phương trình

   

5

1 log x 1 log mx 4x m thoã mãn với x

A  1 m0 B  1 m0 C 2m3 D 2m3

Chọn C

BPT thoã mãn với x.

   

2

4

5

mx x m

x

x mx x m

   



  

   

 

 

   

2

4

5

mx x m

x

m x x m

   



  

    

 

 

 

2

16

5

16

m m m

m 

 

 

 

 



   





0 2

3 m

m m m

m m   

   



 

 

       

 2m3

Câu 29: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3) Cho hàm số

 

4 2017 y  

 

3x x

e  m -1 e + 1

Tìm m để

hàm số đồng biến khoảng 1; 2

A

3e  1 m3e 1 B

3

m e 

C

3e  1 m3e 1 D

3

m e 

(19)

Chọn B



 

3 1 1

3

4

.ln 1

2017 2017

x x

e m e

x x

y e m e

  

    

       

    =

 

3

1

3

4

.ln

2017 2017

x x

e m e

x x

y e m e

  

   

      

   

Hàm số đồng biến khoảng 1; 2 

 

   

3 1 1

3

4

.ln 0, 1;

2017 2017

x x

e m e

x x

y e m e x

  

   

         

    (*), mà

 

3

1

0 , 2017

4

ln

2017

x x

e m e

x

  

 

    

 



 





 

  





Nên (*)  3e3x m1ex 0, x 1; 2 

 

2

3e x 1 m, x 1;

 Đặt    

3 x 1, 1;

g x  e   x ,    

3 x.2 , 1; g x  e   x

   

1

x g x g x

 



| |

Vậy (*) xảy mg 2  m3e41

Câu 30: (CHUYÊN BẮC GIANG) Trong hình vẽ có đồ thị hàm sốyax, x

yb , ylogcx

Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau đây?

A cab B a c b C b c a D a b c Hướng dẫn giải

Chọn B

O



1

x y

x ya

x yb

(20)

Từ đồ thị

Ta thấy hàm số yax

nghịch biến 0a1

Hàm số x, log

c

yb y x đồng biến b1,c1

, a b a c

   nên loại A, C

Nếu bc đồ thị hàm số x

yb ylogcx phải đối xứng qua đường phân

giác góc phần tư thứ yx Nhưng ta thấy đồ thị hàm số ylogcx cắt đường

yx nên loại D

Câu 31: (CHUYÊN BẮC GIANG) Biết phương trình  log24 2  3

2 x

x     x

có hai nghiệm x1, x2 x1x2 Tính 2x1x2

A 1 B 3 C 5 D 1

Chọn D

 Điều kiện x2

 Phương trình thành  log log2 2 2  3

2 x

x    x    2 log2 2  3

2 x

x x  x

     hay  log2 2  

2 x

x   x

 Lấy lôgarit số hai vế ta log2x2 log 2x2log24x2

     

 

2

5

log

log 2 log 2

log 2 6

x x

   

 



      



 

  

 Suy

5

x  x26 Vậy

5

2

x x    

Câu 32: (CHUYÊN KHTN L4) Cho x y, số thực dương thỏa mãn   lnxlnyln x  y

Tìm giá trị nhỏ P x y

A P6 B P2 23 C P2 2 D P 17

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B

Từ lnxlnylnx2 yxyx2 y Ta xét:

Nếu 0x1 y xy x2 y 0 x2 mâu thuẫn

Nếu x1  

2

1

      

 x

xy x y y x x

x

y Vậy

2 

  

 x x P

x

(21)

Ta có  

2  

 x f x x

x xét 1;

Có  

2

2 ( )

2 2

'

2

( )

4

2

 

  

    

   

  

x loai

x f x

x

x an

x

nh x

Vậy

1;   

2

min 2

2

 

  

   

 

f x f

Câu 33: (CHUYÊN KHTN L4) Tìm tập hợp tất tham số m cho phương trình

2

2 2

4x  x m.2x  x 3m 2 0 có bốn nghiệm phân biệt

A ;1 B ;1  2; C 2; D 2;

Đặt t2(x1)2 t1

Phương trình có dạng: t22mt3m 2 *  Phương trình cho có nghiệm phân biệt

 phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn

2

1,2

3

1

3

3 2

m m

m m m m

m m

x m m m m m m

m m m m

   

        

 

      

          

 

     



Chọn đáp án: D

Câu 34: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình

2

log (5x1).log (2.5x2)m có nghiệm x1?

A. m6 B.m6 C.m6 D.m6

BPT log (52 1).log (2.52 2) m log (52 1) log (52 1) m

x x x  x 

         

Đặt  

6

log

t x x  dox1 t 2;

BPTt(1t)mt2 t m f t( )m

Với

( ) f t t t

,( ) 2 1 0

(22)

Nên Minf t( ) f(2)6

Do để để bất phương trình log (52 1).log (2.52 2) m

x x

   có nghiệm x1thì :

( )

mMinf t m

Câu 35: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình

 

2 2

2

log xlog x  3 m log x 3 có nghiệm thuộc 32; ?

A.m1; 3

 B.m1; 3 C.m  1; 3 D.m  3;1

Điều kiện: x0 Khi phương trình tương đương:

 

2

2 2

log x2 log x 3 m log x3

Đặt tlog2x với x32log2xlog 322 5 hay t5

Phương trình có dạng t22t3m t 3 *  

Khi tốn phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t5”

Với t5 (*) t3  t1m t 3 t3. t 1 m t30

1

3 t

t m t m

t 

      



Ta có 1

3

t

t t

  

  Với

4

5 1

3

t

      

  hay

1

1 3

3

t t

 

    

 

suy 1m Vậy phương trình có nghiệm với 1m

   

2

log 7x 7 log mx 4xm ,  x 

A.m2;5 B.m  2;5 C.m2;5 D.m  2;5

Bất phương trình tương đương 7x2 7 mx24xm0,  x 

 

2

7 0 (2)

, 0 (3)

m x x m

x

mx x m

     



  

  

 



 m7: (2) không thỏa  x 

(23)

(1) thỏa  x    2

2

7 7

5

4

2

0

2

4

m m

m

m m

 

  

 

 

    

 

     

 

 

     



   

5

1 log x 1 log mx 4xm có nghiệm x

A.m2;3 B.m  2;3 C.m2;3 D.m  2;3

Bất phương trình tương đương 7x21mx24xm0,  x 

 

2

5 0 (2)

(*), 0 (3)

m x x m

x

mx x m

     



  

  

 



 m0 m5 : (*) không thỏa  x 

 m0 m5: (*)  

2

5

4

2

4

m

m m

m    



    



   

 

     

Câu 38: Tìm tất giá trị thực tham số m cho khoảng 2;3 thuộc tập nghiệm

bất phương trình    

5

log x 1 log x 4xm 1 (1)

A.m  12;13 B.m12;13 C.m  13;12 D.m  13; 12 

2

4

4 ( )

(1)

4 ( )

4

x x m

m x x f x

x

m x x g x

x x m

  

    

 

 

 

   

 

   



Hệ thỏa mãn  x 2;3

2

( ) 12 khi

12 13

( ) 13 khi x

x

m Max f x x

m

m Min f x x

 

   

 

    

  

  Câu 39: Phương trình

2x 3x  x có hai nghiệm x x1, x1x2 , chọn phát biểu

đúng?

A 3x12x2log 83 B 2x13x2 log 83

C 2x13x2log 54.3 D. 3x12x2 log 54.3 Hướng dẫn giải

Logarit hóa hai vế phương trình (theo số 2) ta được:  

2

(24)

        

2 2

3 log log 3 log

x x x x x x

          

   

2

3

3 log

2 log log

log x

x x

x

x x

 

  

  

        

  

   

 



3 3

log 2 log log log 18

x x x

  

  

  

    

  

Câu 40: Phương trình 33 3 x33 3 x34x34x103có tổng nghiệm ?

A B C D

3 3 4

3x3 x3x3x 10  7

  3 3  

3

27 81 1

7 27.3 81.3 10 27 81 10 '

3 3

x x x x

   

           

   

Đặt 3

3

x x

Côsi

t   

3

3 3

2 3

1 1 1

3 3.3 3.3 3

3 3 3

x x x x x

t   t t

           

 

Khi đó:      

3

3 3 10 10

7 ' 27 81 10 2

27

t t t t t N

        

Với 10 10 '' 

3 3

x x

t   

Đặt y3x 0 Khi đó:  

   

3 10

7 '' 10 1

3

y N

y y y

y y N

  

       

  

Với y 3 3x  3 x1

Với 1

3

x

y    x 

Câu 41: Phương trình  

3 x2x 3x 1 4.3x 5 có tất nghiệm không âm ?

A. B.2 C.0 D.3

 

2

3 x2x 3x 1 4.3x 5

32x 1 2x3x 1 4.3x 4 0

(25)

3x 3 x 1 2x 3 x 1

       3x2x5 3 x103x2x 5

Xét hàm số f x 3x2x5 , ta có : f 1 0

 

' ln 2x 0;

f x     x  Do hàm số f x  đồng biến 

Vậy nghiệm phương trình x1

Câu 42: Gọi x x1, 2 hai nghiệm phương trình    

2

2 4 2 2 3

2x  2 x   x  2x  1 Khi đó,

tổng hai nghiệm bằng?

A.0 B. C 2 D

       

2 4 2 2 3 1 2 1

2x  2 x   x 2x   1 8.2x  2 x   4.2 x  4.2x  1

Đặt 1 

2x

t  t , phương trình tương đương với

2 2

8tt  4t 4t 1 t 6t    1 t 10 (vì t 2) Từ suy

2 1

2

3 10 log

2

2 10

3 10 log

2 x

x



 

  

  



   



Vậy tổng hai nghiệm

Câu 43: Với giá trị tham số m phương trình m1 16 x2 2 m3 4 x6m 5 có hai nghiệm trái dấu?

A. 4 m 1 B Không tồn m C

2 m

   D

6 m

   

Đặt 4x

t

  Phương trình cho trở thành:    

 

1 2

f t

m t  m t m    *

Yêu cầu tốn  * có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0t1 1 t2

   

  

1

1 1 12

1 6

m m

m f m m m

m m m m

     

 

           

 

     

 

Câu 44: Với giá trị tham số m phương trình

4xm.2x 2m0 có hai nghiệm

,

(26)

A m4 B m2 C m1 D m3

Ta có:  2  

4xm.2x 2m0 2x 2 2m x2m0 *

Phương trình  * phương trình bậc hai ẩn 2x

có:  2

' m 2m m 2m

     

Phương trình  * có nghiệm  

2

0 m

m m m m

m

 

       

 

Áp dụng định lý Vi-ét ta có: 2 2x1 x2 2m2x1x2 2m

Do

1 2

x x    mm

Thử lại ta m4thỏa mãn Chọn A.

Câu 45: (CHUYÊN VINH – L2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số

2

3

1

log log y

m x x m



   xác định khoảng 0;

A m   ; 4  1; B m1;

C m  4;1 D m1;

Chọn A

Đặt tlog3x, x0;     t 

2

3

1

log log y

m x x m



   trở thành

1

4

y

mt t m 

  

Hàm số 2

3

1

log log y

m x x m



   xác định khoảng 0; hàm

số 2

4

y

mt t m 

   xác định 

2

4

mt t m

    vô nghiệm

2

4 4

mt t m  m m m m

              

Câu 46: (CHUYÊN VINH – L2) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình

 

3

log

x m

x

 

 có hai nghiệm phân biệt

A  1 m0 B m 1 C Không tồn m D  1 m0

(27)

O x y

 C1

 C3

C4

Điều kiện: 1

1

   

 



 

  

 

x x

Xét hàm số

 

      2     

3

2

; 0, 1; 0 :

log 1 ln 3.log

f x x f x x

x  x x

         

  

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy phương trình

 

3 log

 



x m

x có hai nghiệm phân biệt

khi m 1

Câu 47: (TIÊN LÃNG – HP) Cho bốn hàm số y 3 x 1 ,  2

x y  

  ,  

4 3x y ,

 

1 4

x

y   

  có đồ thị đường cong theo phía

đồ thị, thứ tự từ trái qua phải   C1 , C2,  C3 , C4

như hình vẽ bên

Tương ứng hàm số - đồ thị

A   1  C2       ,  C3 ,  C4    ,  C1 B                1  C1 ,  C2 ,  C3 ,  C4 C   1  C4           ,  C1 ,  C3 ,  C2 D                1  C1 ,  C2 ,  C3 ,  C4

Chọn C

Ta có  3

x

y y4xcó số dương nên hàm đồng biến nên nhận đồ thị  C3

hoặc  C4 Lấy x2 ta có  

2

3 4 nên đồ thị y4x

là  C3 đồ thị  3

x y

 C4

Ta có đồ thị hàm số y4xvà

4 x y   

  đối xứng qua Oy nên đồ thị

1

x y   

   C2 Còn lại  C1 đồ thị

1

x y  

 

Vậy                1  C4 ,  C1 ,  C3 ,  C2

0

+ +

(28)

RÈN LUYỆN TỐC ĐỘ: LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT Câu 1:(THPT AN LÃO) Khẳng định sau khẳng định đúng?

A.Hàm số yax

(với 0a1) đồng biến  ; 

B.Hàm số x

ya (với a1) nghịch biến  ; 

C.Đồ thị hàm số yax (với 0a1) qua điểm

 ;1  M a

D.Đồ thị hàm số yax

x y

a     

  (với

0a1) đối xứng với qua trục

tung

Câu 2: (THPT AN LÃO) Giá trị nhỏ hàm số  2 ln

y x x e 0;e

A.1 B.

2 C.1 ln 1   2 D.1 ln 1   2. Câu 3: (SGD BÌNH ĐỊNH) Hàm số      

 

2

ln 1

y x x x x Mệnh đề sau

sai?

A. Hàm số có đạo hàm      

 

2

ln

y x x

B.Hàm số đồng biến khoảng 0;

C. Tập xác định hàm số 

D. Hàm số nghịch biến khoảng 0;

Câu 4: (CHUYÊN HẠ LONG) Cho hàm số ( ) 5x x

f x    Khẳng định sau

khẳng định sai?

A

( ) 10 ( 1) ln ( 3) ln ln ln

f x   x  x   

B

( ) 10 ( 1) log ( 3) log log log

f x   x  x   

C f x( ) 10   x (x23) log log 5.2  

D

5 2

( ) 10 ( 1) log ( 3) log log

f x   x  x   

Câu 5: (SGD HÀ NỘI) Phương trình

2 4 6

log x.log x.log xlog x.log xlog x.log xlog xlog x có tập nghiệm

A.  1 B. 2; 4;6 C. 1;12 D. 1; 48

Câu 6: (SGD HÀ NỘI) Nếu log log2 8xlog log8 2x   2

log x

A 3 B. 3 C.27 D.

3

Câu 7: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Đạo hàm hàm số yln sinx là:

A. ln cosx B. cotx C. tanx D.

(29)

Câu 8: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Các giá trị tham số a để bất phương trình

2

sin cos

2 x3 x a.3sin x có nghiệm thực là:

A. a   2;  B. a  ; 4

C. a4; D. a   ; 4

Câu 9: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho a b, số thực thỏa mãn

3

a a

3

log log

4

b  b Khẳng định sau đúng?

A. 0a1,b1 B. 0a1, 0b1

C. a1,b1 D. a1, 0 b

Câu 10: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Với m số thực dương Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A. ex  1 x B. ex  1 x C. sinxx D. 2x x

Câu 11: (CHUN THÁI BÌNH) Số nghiệm phương trình esin x tanx



  

 

   trên đoạn

0; 2 là:

A.1 B 2 C. D.

Câu 12: (THPT ĐÔNG QUAN) Cho bất phương trình 2x22x1 2x22x m

  Tìm m để bất

phương trình có nghiệm với x

A.m 2 B. m 3 C. m 3 D. m

Câu 13: (THPT ĐÔNG QUAN) Hàm số F x ln x nguyên hàm hàm số

A. f x( )

x

 B.f x x

C.

2

( )

x

f x  D.f x  x

Câu 14: (SGD BÌNH ĐỊNH) Cho 9x9x 23 Khi biểu thức 3

1 3

x x

K



 



  có giá trị

bằng

A.

2

 B.

2 C.

7

3 D.

Câu 15: (SGD BÌNH ĐỊNH) Cho hàm số f x 3 4x2 x Khẳng định sau khẳng

định sai ?

A.f x  9 x22 log 2x 2 B.  

2

9 log 2log

f x  x  x C. f x  9 xlog log log 9 x  D. f x  9 x2ln 3xln 42ln

Câu 16: (SGD BÌNH ĐỊNH) Cho hàm số  

ln 1

yx x x   x  Mệnh đề sau

sai ?

A. Hàm số có đạo hàm  2

' ln

y  x x B. Hàm số tăng khoảng 0;

(30)

Câu 17: (SGD HCM) Cho hàm số  

5x

y x  x Khẳng định sau khẳng định

đúng?

A Hàm số nghịch biến  B. Hàm số đồng biến 

C. Giá trị hàm số âm D. Hàm số có cực trị

Câu 18: (SGD HCM) Đạo hàm hàm số   2  sin ln

f x  x x là:

A.   2  2sin ln 1 

2 cos ln

1

x x

f x x x

x 

   



B.   2  sin

2 cos ln

1 x

f x x x

x

   



C.   2 cos ln 12  2sin ln 1 

f x  x x  x x

D. f x 2 cos 2x2 ln 1 x.

Câu 19: (SGD BÌNH ĐỊNH) Tập nghiệm bất phương trình có dạng

Khi bằng:

A. B. C. D.

Câu 20: (SGD BÌNH ĐỊNH) Hàm số y ln cos sin cos sin

x x

 

 có đạo hàm bằng:

A.

cos 2x. B

sin 2x C.cos x2 D. sin x2

Câu 21: (SGD HÀ NỘI) Phương trình log2x2 3xm103 có nghiệm trái dấu khi:

A m2 B. m2 C m4 D m4

Câu 22: (SGD THANH HĨA) Tìm số khẳng định sai: 1) logablogalogb với ab0

2)

2

log (x 1) log | |;  x  x R

3) log2a2blogab;  a b0

4) ln ln

;

y x

x y  x y

A.2 B.3 C.1 D.

Câu 23: (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho a0và a1 b0 Rút gọn biểu thức

  2 log

log

 a  b

P ab

a ta kết là:

A. logab1 B. logab1 C. logab D.

Câu 24: (SGD VŨNG TÀU) Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm

số   x 2

f x e x x đoạn 0; 2 Khẳng định sau đúng?

A.

6

Mme  B. 2

ln ln Mme  

C. 2

ln ln

Mme    D. 2

ln ln M me   

3.9x10.3x 3  ;

S a b ba

1

2

(31)

O x y

x ya

x yb x

yc

1 Câu 25: (SGD VŨNG TÀU) Cho

1 log

2

x Khi giá trị biểu thức

 

2

2 log log

2 log

x x

P

x x

 



bằng:

A.

7 B.1 C.

8

7 D.

Câu 26: (SGD VŨNG TÀU) Giá trị tham số m bất phương trình

 2   

2

log 3x 2mxm 2m4  1 log x 2 nghiệm với x A. m  1 m0 B.  1 m0 C. m0 D. m 1 Câu 27: (SGD HẢI DƯƠNG) Giải bất phương trình log28 6 2 1

x x

x

   

A.1xlog 32 B.

2

log x

x     

C. xlog 32 D. 0xlog 32

Câu 28: (SGD HẢI DƯƠNG) Tìm điều kiện xác định bất phương trình

3

1

3

5

log 2x 1 log (3x) 12 log ( x1) 0

A.1x3 B.

1 x x

  



 C.

1 x x 

      

D.

3

1 x x 

  

     Câu 29: (SGD HÀ TĨNH) Cho ba số thực dương a b c, , khác

1 Đồ thị hàm số yax, ybx, ycx cho

trong hình vẽ bên Mệnh đề đúng?

A abc

B a c b

C b c a

D cab

Câu 30: (SGD HÀ TĨNH) Xét số thực a, b thỏa mãn ab1 Tìm giá

trị nhỏ Pmin biểu thức  

2

log 3log  

   

  b a

b

a

P a

b

A Pmin 19 B Pmin 13 C Pmin 14 D Pmin 15

Câu 31: (SGD VĨNH PHÚC) Phương trình

9x x x

m

     có hai nghiệm trái dấu

A. m1 B. m 1 m1

C. m  1; 0  0;1 D. m 1

Câu 32: (SGD HẢI DƯƠNG) Tìm tích nghiệm phương trình

 1  x 1 x 2 20

(32)

Câu 33: (SGD THANH HĨA) Phương trình log4x122log 4xlog84x3 có hai

nghiệm x1, x2, x1x2 là?

A. 6 B. C. D.

Câu 34: (SGD THANH HÓA) Đặt aln bln Biểu diễn

1 71

ln ln ln ln

2 72

S      theo a b:

A S 3a2b B. S 3a2b

C. S3a2b D. S 3a2b

Câu 35: (SGD BẮC NINH) Tập nghiệm bất phương trình

2

16 log log

0 log log

x x

x

x    

A.(0;1) ( 2; ) B. ;1 (1; )

2 2            

C  

           1

; 1; 2

2 D.  

1 ;1 2; 2            

Câu 36: (SGD BẮC NINH) Gọi x1, x2 (x1x2) hai nghiệm phương trình

1 3

8x 8.(0,5)x 3.2x 12524.(0, 5)x

Tính giá trị P3x14 x2

A B. 2 C. D.

Câu 37: (SGD VINH) Số nghiệm phương trình  

3

log x  2x log x  2x2

A. B. C.1 D.

Câu 38: (SGD HỊA BÌNH) Cho hàm số yln 2 x1 Tìm m để y e 2m1

A

4 e m e    B e m e    C e m e    D e m e   

Câu 39: (SGD BẮC NINH) Phương trình    

log x1 log x 2xm có nghiệm

và

A. m m      

B.

5 m m      

C.

4

m D.

5 m m      

Câu 40: (SGD BẮC NINH) Cho a b, 0 a b, 1, x y hai số dương Tìm mệnh đề sai

trong mệnh đề sau

A. 2

1

log loga a

x   x B. loga xy logaxloga y

C. 2016

(33)

Câu 41: (THPT PHAN BỘI CHÂU) Tính giá trị biểu thức

 

2

10 2

log log log

a b

a

P a b b

b



 

   

  ( với

0a1; 0b1)

A P2 B P1 C P D P

Câu 42: (THPT PHAN BỘI CHÂU) Số nghiệm ngun khơng âm bất phương trình

1

15.2x  1 2x 1 2x bao nhiêu?

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 43: (THPT PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất giá trị m để phương trình

 

5

log 25xlog m  x có nghiệm

A

1 . 5

m B m1 C

4

1 . 1

5

m m

     

D m1.

Câu 44: (SGD HÀ TĨNH) Một học sinh rút gọn biểu thức:

2

1 1

loga loga log n

a P

b b b

   

(với 0a1; 0b1 n*) theo bước sau:

Bước 1:

logb logb logb n

P a a   a Bước 2:  

logb n P a a a

Bước 3:   logb n

P a   Bước 4: Pn n 1 log ba

Bạn học sinh sai từ bước nào?

A Bước B Bước C Bước D Bước

Câu 45: (SGD HẢI DƯƠNG) Tập nghiệm bất phương trình: 33 1 2 4 3 2016 2017 x  x   x

là:

A.2;0 B 2; 0 C  2;  D 0;

Câu 46: (SGD HẢI DƯƠNG) Giải phương trình    4

6

4 log x3 log x5 0.Một học sinh làm sau :

Bước 1 Điều kiện : 3(*) x x

  





Bước 2 Phương trình cho tương đương với log6x34 log6x50

Bước 3 Hay log6x3x50

 3 5 1 8 14 0

4 x

x x x x

x   

         

  

Đối chiếu với điều kiện (*), suy phương trình cho có nghiệm x 4

(34)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng được biên soạn công phu giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạmđến từcác trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt

ở kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	3,26 MB