GaHSG9Cd5 Phuong trinh vo ti

[r]

(1)

Ngày tháng năm 2008

Chun đề V : Phơng trình vơ tỉ

Sè tiết dạy

3

Phơng trình vô tỉ phơng trình có chứa ẩn dấu căn

Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vơ tỉ

Buæi 15 :

I Ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng:

D¹ng1: f x( ) g x( ) ( ) ( )

( ) ( )

x TXD

f x g x

 

    



 (*)

Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp f(x)0 g(x) 0

VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: x2 3x 2 2m x x2

     

2

2 2

3 2

1

x

x x

x x m x x

x m x m

 

    

           

 

Để phơng trình có nghiƯm th× 1   m 0m1

D¹ng2: ( ) ( ) ( ) 2& ( )

( ) ( )

g x conghia g x

f x g x

 

  

 

Chú ý:Không cần đặt điều kiện f x( )

VD: Giải phơng trình: 1 1 2 2 1

2

1 ( 1)

x x

x x x x x

x

x x

  

 

            



  

Vậy phơng trình có nghiệm x=-1

D¹ng3:

2

( ) & ( )

( ) ( ) ( ) ( ) & ( )

( ( ) ( )) ( )

f x co nghia f x

f x g x h x g x co nghia g x

f x g x h x

 



    

  



Chú ý:Không cần đặt iu kin h x( )

VD: Giải phơng tr×nh:

4 1

1

2

1 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 1

x x x

x x

x x x x x

x x x x x x x x

    

 

   

 

            

 

       

     

(2)

2

1

1 2

2

2 2 0

2 7

(1 )(1 ) (2 1)

2

x x

x

x x x

x x

x x x x

 

  

 

 

   

 

       

  



    

     

  



 

Hoặc trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để bt có nghĩa - Biến đổi phơng trỡnh

Cỏc bi ngh:

Bài1: Giải phơng trình sau:

a/ x 2x 0 e/ x1 x 1

b/ x2 x 1 1

   g/ 15 x 3 x6

c/ x 3 x 1 h/ 4x 1 3x4 1

d/ 10 x x 3 5 k/ 3x 2x2 x2

Bài2: Giải phơng tr×nh sau:

2

/ 1

/

/( 3) 10 12

a x x x

b x x x

c x x x x

    

    

    

/ 1

/ 2

/ 9

d x x x

e x x x x

g x x x x

    

     

Bài3: Cho phơng trình: x2 1 x m

a/ Giải phơng trình với m=1 b/ Giải biện luận phơng trình

Bài4: Cho phơng trình: 2x2 mx 3 x m

   

a/ Gi¶i phơng trình với m=1

b/ Với giá trị m phơng trình có nghiệm

(3)

2

/

/ 1

a m x x x

b x x a

   

   

II Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1:

 Phơng pháp đặt ẩn phụ dạng sử dụng ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành phơng trình với ẩn phụ

 Các phép thởng đặt là:

- Nếu tốn có chứa f x( ) f(x) đặt t= f x( ) , t0 Khi f(x)=t2

- Nếu tốn có chứa f x( ) , g x( )và f x( ) g x( )=k(hằng số) đặt t= ( )

f x , t0

- Nếu toán chứa f x( ) g x( ), f x g x( ) ( ), f x( ) g x( ) k đặt t=

( ) ( )

f x  g x

Chú ý: Với phơng trình thức chứa tham số sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ , thiết phải tỡm iu kin ỳng ca n ph

Cách tìm §K:

- Sư dơng tam thøc bËc hai : VD: t= x2 2x 5 (x 1)2 4 2

     

- Sư dơng B§T: VD: t= 3x 6 x

+ T2=( 3 x 6 x

   )2 (3+x+6-x)(1+1)=18  t 3 2

+ T2=( 3 x 6 x

   )2 =3+x+6-x+2 (3x)(6 x) 9  t3

VD1: Giải phơng trình:

2

1 31

11 11 42

x x

  

     

Đặt t=

11 11

x   t Khi phong trình có dạng:

t2 +t – 42 =0

t t

    

Vì t 11 nên t=6 x211 6  x211 36  x2 25 x5

VËy phơng trình có nghiệm x=-5; x=5

(4)

Vì x=1 không nghiệm phơng trình nên chia vế phơng trình cho

4 1 x 0, ta đợc: 241 41

1

x x

 

  



Đặt t=41 41

1

x x

x x t

 

 

   , Khi phơng trình trở thành:

2t+

1

3 1

0

t

t t

  

       

   

(không thoả mÃn ĐK)

Vậy phơng trình vô nghiệm

VD3: Giải phơng trình : m

x



x

       

a) Giải phơng trình với m=1 b) Tìm m để PT cú nghim

Giải:

Điều kiện: 1

x

x x

  

 

  

Phơng trình viết lại dới dạng: m

x

Đặt t= 3x 2 x1 t1 a) x=2

b) m5

Buæi 16 :

III Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2:

- Là phơng pháp sử dụng ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành phơng trình với ẩn phụ nhng hệ số chứa x- Phơng pháp đợc sử dụng những phơng trình lựa chọn ẩn phụ cho BT BT cịn lại khơng biểu diễn đ-ợc triệt để qua ẩn phụ biểu diễn đđ-ợc cơng thức biểu diễn lại phức tạp

- Khi ta thờng đợc PT bậc theo ẩn phụ theo ẩn x có biệt thức số chính phơng

VD: Gi¶i PT:



x



x

(5)

Giải:

Đặt t= x3 1,t 0 t2 x3 1

     Khi PT có dạng:

(4x-1)t=2(x3+1) + 2x –











 







2

4

2

4

1

2

t x t x

x x x

t x x x t t                          

Thay trở lại ẩn x, ta đợc:





2

1

3 4 4 x x x x x x x x x x                                              VËy PT cã nghiƯm ph©n biƯt

IV Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3:

- Là phơng pháp sử dụng k ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành hệ Pt với k ẩn phụ Trong hệ k-1 pt nhận đợc từ mối liên hệ đại lợng tơng ng.

Chẳng hạn với PT : ma f x ( )mb f x ( )c

Đặt ( )

( )

m

m m

m

u a f x

u v a b

v b f x

            

Khi ta có hệ PT:

m m

u v a b

u v c

    

  

VD: Gi¶i PT: 32 x 1 x 1

Giải:

Điều kiện : x-10 x1

Đặt 3 2 1, u x u v

v x v

            

Khi ta có hệ:

3 1

1 u v u v       

Giải hệ ta tìm đợc u=0,1,2 , thay trở lại ẩn x ta đợc: x=2,1,10 Vậy pt cho có nghiệm 1,2,10

V Phơng pháp đặt ẩn ph - Dng 4:

(6)

Dạng1: Phơng trình chứa bậc luỹ thừa bậc 2 ax b c dx e( )2 x ,d ac ,e bc

   

         (*)

Cách giải: Điều kiện ax+b0

t dy+e= ax b dy e ,  0 Khi chuyển phơng trình hệ 2pt 2ẩn x,y

Nhận xét: Để sử dụng phơng pháp cần khéo léo biến đổi phơng trình ban đầu dạng thoả mãn ĐK(*)

VD: Gi¶i PT: x 1 x2 4x 5

   

Gi¶i:

§iỊu kiƯn: x+1 0 x1

PT đợc viết đới dạng: x 1 (x 1)2 1

   

ở đậy a=b=c=d= 1;e2; 0 Thoả mãn điều kiện d=ac+;e bc  Đặt y+2= x1,y  2 y2 Khi phơng trình đợc chuyển thành hệ

2

2 ( 2) 1 ( 2)

( )( 4) ( )( 5)

( 2) 1 ( 2)

y x y x

x y x y x y x y x y

y x x y

        

 

           

 

     

 

 

Do x1;y2 nªn x+y+5>0 x y  0 xy

Thay x=y vµo PT(1), ta cã x2+3x+3=0: PT v« nghiƯm

Vậy PT cho vơ nghiệm

Dạng2: PT có chứa bậc luỹ thõa bËc 3 3b ay c dy e( )3 y ,d ac ,e bc

   

        

Cách giải: Đặt dx+e=3 ay b Khi chuyển PT hệ 2ẩn PT

VD: Gi¶i PT: x3 2 33 x 2



Đặt y=33x 2

Khi phơng trình chuyển thành hệ

3

2

3

x y

y x

   

 



  



Từ tìm đợc x=1; x=-2

Bài tập đề nghị:

(7)

2

/ 3

/ 2

/ 2 2

/( 5)(2 ) 3

a x x x x

b x x x x

c x x x x

d x x x x

     

     

     

   

















2

4 4

2 2

/ ( 1) 2

/ 1

/ 1n 1n n

e x x x x

g x x x x

h x x x

    

   

     

Bµi2: Cho phơng trình: x x (1x)(8 x)m

a/ Giải phơng trình với m=3 b/ Tìm m để pt có nghiệm

c/ Tìm m để pt có nghim nht

Bài3: Cho phơng trình: 2

x

m

     

a/ Gi¶i pt víi m=9

b/ Tìm m để phơng trình có nghim

Bài4: Cho phơng trình :







x

x x x m

x



    

 a/ Gi¶i pt víi m=-3

b/ Tìm m để pt có nghiệm

Bài 5:Giải pt sau:







 







2

, 2

2

/ 2

2

x

a x x x x

x x

b x x x

x



      

 

    



Bài6:Giải phơng trình sau:





2

/ 2

a x x x x

b x x x x x

  

    





2

3

/ 2

/ 1 2

c x x x x

d x x x x

  

    

Bài 7: Giải phơng trình sau:





3

2

/

/ 1

a x x

b x x

c x x x x x x

       

Bài8:Với giá trị a pt sau có nghiệm:

a/ 13 x 31 x a

(8)

Bài9:Giải biện luận phơng trình sau:

a/ x 4 x m b x/ x2 m Bài10:Giải phơng trình sau:

3

/

/ 25

/1 16

/

a x x

b x x

c x x

d x x

                3 3

/ 1

/ 24 12

/ 1

/

e x x

g x x

h x x

i x x

   

   

       

Bµi11: Giải phơng trình sau:

   

3 3

2 3 2

3

3 3

3

/ 1

/ 1 1 /

7

a x x x

b x x x

c x x x

x x d x x x                         2

/ 2 2 2

/ 2 21 11

2

/

2 2

e x x x x x

g x x x x x

x x h x x                     

2

3

/

/ 13

/ 3

a x x x

b x x x

c x x

          





3 3

4

/ 7 ,

28

/ 2

/ 35 35 30

x

d x x x

e x x

g x x x x



  

  

   

VI Sử dụng tính đơn điệu hàm số: * Hng1:

- Đa pt dạng f(x)=k - Xét hµm sè y=f(k)

Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu(đb)

- NhËn xÐt: + Víi x=x0 f(x)=f(x0)=k nên x=x0 nghiệm

+ Víi x>x0 th× f(x)>f(x0)=k : ptvn

(9)

VËy x=x0 lµ nghiƯm nhÊt cđa pt

* Híng 2:

- §a pt dạng f(x)=g(x) - Xét hàm số y=f(x) vµ y=g(x)

Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) hàm đồng biến hàm y=g(x) hàm nghịch biến Xác định x0 cho f(x0)=g(x0)

- x=x0 lµ nghiƯm nhÊt *Híng3:

- Đa pt dạng f(u)=f(v)

- Xột hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu - Khi u=v với u,v thuộc TX

Bi ngh:

Bài1:Giải phơng tr×nh sau:

3 2

/

/ 2

a x x x

b x x x

c x x x x

       

Bài2:Giải biện luận pt: x2 1



m



x m

m

      , víi x-m

Bi 17 :

VII Ph ơng pháp điều kiện cần đủ: *Thờng áp dụng cho dạng toán.

Tìm điều kiện tham số để: - Pt có nghiệm

- Pt có nghiệm với giá trị tham số - Pt nghiệm với x thuộc D

- Pt tong đơng với pt bất ph khác

* Cách làm: - Đặt ĐK để biểu thức pt có nghĩa - Tìm ĐK cần

- Tìm ĐK đủ

(10)

1 x2 2 13 x2 m

   

Gi¶i:

§iỊu kiƯn:

1 x     0 x

 ĐK cần: Nếu pt có nghiệm x0 -x0 nghiệm pt Do để pt có

nghiệm x0=-x0  x0  0 m3  ĐK đủ: Với m=3 pt: 1 x2 2 13 x2 3

   

V×

2

3

2

3

1

x

x x

x

  



    



 

 

Do phơng trình có nghiệm

2

3

1

0

1

x

x x

  



   

 

 

Vëy víi m= phơng trình có nghiệm

VD2: Tìm m để phơng trình sau nghiệm với x0

2

x  x m  m  x m (1)

Gi¶i:

*ĐK cần: G/s (1) có nghiệm với x0 x=0 nghiệm (1),

(1):





2

m

m m m m

m m m

  



        

    

  * ĐK đủ:

Víi m=3 (1) có dạng: x2 2x 1 x 1 x 0

     

Vởy với m=3 (1) có nghiệm với mội x0

VD3: Tìm a,b để phơng trình sau nghiệm với x

2

1

a x  x bx 

Gi¶i:

*ĐK cần: giả sử pt có nghiệm với x x=0 nghiệm pt thay vào tìm đợc a=1; b=0

*ĐK đủ: Với a=1; b=0 thay vào pt ta có pt ln đúgn với x Vởy với a=1; b=0 phơng trình nghiệm với x

(11)



 



2

5 3

x  x  m x  x m  (1)

X4 +6x3+9x2-16 =0 (2) Gi¶i:

Gi¶i (2): x=1 hc x=4

 ĐK cần: G/s (1) tơng đơng với (2) x=1 nghiệm (1) Thay vào tìm đợc m=1

 ĐK đủ: với m=1, thay vào (1) Tìm đợc nghiệm -4 Vởy với m=1 (1) tơng đơng với (2)

Bài tập đề nghị:

Bài1:Tìm m để phơng trình sau có nghiệm nhất:

3

2

3

2

5

2

/ 1

/

a x x m

b x x m

c x x m

d x x m

   

   

   

4

/

/ 3

/ ( 1)

/ 2

e x x m

g x x x x m

h x x m x x

i x x x x m

  

       

      

     

Bài2:Tìm a,b để pt sau có gnhiệm nhất:

3(ay b )2 3



ay b





a y

b



b

Bài3:Tìm m để phơng trình sau nghiệm với x1 x2 2x m2 3m 3 mx 1

     

Bài4:Tìm m để pt sau nghiệm với  x





2 2x x  1 m(m1)x x

Bài5:Tìm a,b để pt sau nghiệm với x

2





1

x a bx b x

Bài6:Cho phơng trình bất phơng trình :

2

1 2 2

3 2

x m x x m x

x x x x

       

    

Tìm m để phơng trình bất phơng trình tơng ng vi nhau.

(12)

Đánh giá dựa tam thức bậc hai, BĐT, GTTĐ,.

VD1: Giải phơng trình: x2 2x 5 x 1 2

    

Giải: Từ ĐK đánh giá VT lớn dựa tam thc bc hai

VD2: Giải phơng trình: 2

1

x x  x x

Giải: ĐK: x1

đánh giá VT2 dựa BĐT Cosi, dấu = xảy x=1,-1 Do x1 nên x=1

VD3: Gi¶i pt:



 





 



2 1

1 1

1 2

x x x x

x x x

      

           

        

Bi ngh:

3 2

2

3 2

3

2 3 4 4

/ 11 25 12

1

/ 2

/ 2 2

3

/ 2

2

/ 3

/ 1 1 1

a x x x x x

b x x

x x

c x x x x

y

d y y y y

e x x x x x

f x x x x x x

     

 

       

 

       



     

     

           

4 4

4

2

24 4

2

4

/ 1

/

6

/ 19

10 24

/

/ 2

g x x x x

h x x x

i x x

x x

k x x x x

l x x x x

      

   

   

  

   

     

(13)

2

/ 4

/ 11

a x x x x

b x x x x

c x x x x

     

     

       

2

/

/ 16 66

d x x x x

e x x x

g x x x x

       

   



/ 10

/ 3

a x x x x

b x x x x x x

      

        