[r]
(1)Ngày tháng năm 2008
Chun đề V : Phơng trình vơ tỉ
Sè tiết dạy :3
Phơng trình vô tỉ phơng trình có chứa ẩn dấu căn
Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vơ tỉ
Buæi 15 :
I Ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng:
D¹ng1: f x( ) g x( ) ( ) ( )
( ) ( )
x TXD
f x g x
f x g x
(*)
Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp f(x)0 g(x) 0
VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: x2 3x 2 2m x x2
2
2 2
3 2
1
x
x x
x x m x x
x m x m
Để phơng trình có nghiƯm th× 1 m 0m1
D¹ng2: ( ) ( ) ( ) 2& ( )
( ) ( )
g x conghia g x
f x g x
f x g x
Chú ý:Không cần đặt điều kiện f x( )
VD: Giải phơng trình: 1 1 2 2 1
2
1 ( 1)
x x
x x x x x
x
x x
Vậy phơng trình có nghiệm x=-1
D¹ng3:
2
( ) & ( )
( ) ( ) ( ) ( ) & ( )
( ( ) ( )) ( )
f x co nghia f x
f x g x h x g x co nghia g x
f x g x h x
Chú ý:Không cần đặt iu kin h x( )
VD: Giải phơng tr×nh:
4 1
1
1
1
1
2
1 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 1
x x x
x x
x x x x x
x x x x x x x x
(2)2
1
1
1 2
2
2 2 0
2 7
(1 )(1 ) (2 1)
2
x x
x
x x x
x x
x x x x
Hoặc trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để bt có nghĩa - Biến đổi phơng trỡnh
Cỏc bi ngh:
Bài1: Giải phơng trình sau:
a/ x 2x 0 e/ x1 x 1
b/ x2 x 1 1
g/ 15 x 3 x6
c/ x 3 x 1 h/ 4x 1 3x4 1
d/ 10 x x 3 5 k/ 3x 2x2 x2
Bài2: Giải phơng tr×nh sau:
2
/ 1
/
/( 3) 10 12
a x x x
b x x x
c x x x x
/ 1
/ 2
/ 9
d x x x
e x x x x
g x x x x
Bài3: Cho phơng trình: x2 1 x m
a/ Giải phơng trình với m=1 b/ Giải biện luận phơng trình
Bài4: Cho phơng trình: 2x2 mx 3 x m
a/ Gi¶i phơng trình với m=1
b/ Với giá trị m phơng trình có nghiệm
(3)
2
/
/ 1
a m x x x
b x x a
II Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1:
Phơng pháp đặt ẩn phụ dạng sử dụng ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành phơng trình với ẩn phụ
Các phép thởng đặt là:
- Nếu tốn có chứa f x( ) f(x) đặt t= f x( ) , t0 Khi f(x)=t2
- Nếu tốn có chứa f x( ) , g x( )và f x( ) g x( )=k(hằng số) đặt t= ( )
f x , t0
- Nếu toán chứa f x( ) g x( ), f x g x( ) ( ), f x( ) g x( ) k đặt t=
( ) ( )
f x g x
Chú ý: Với phơng trình thức chứa tham số sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ , thiết phải tỡm iu kin ỳng ca n ph
Cách tìm §K:
- Sư dơng tam thøc bËc hai : VD: t= x2 2x 5 (x 1)2 4 2
- Sư dơng B§T: VD: t= 3x 6 x
+ T2=( 3 x 6 x
)2 (3+x+6-x)(1+1)=18 t 3 2
+ T2=( 3 x 6 x
)2 =3+x+6-x+2 (3x)(6 x) 9 t3
VD1: Giải phơng trình:
2
2
1 31
11 11 42
x x
x x
Đặt t=
11 11
x t Khi phong trình có dạng:
t2 +t – 42 =0
t t
Vì t 11 nên t=6 x211 6 x211 36 x2 25 x5
VËy phơng trình có nghiệm x=-5; x=5
(4)Vì x=1 không nghiệm phơng trình nên chia vế phơng trình cho
2
4 1 x 0, ta đợc: 241 41
1
x x
x x
Đặt t=41 41
1
x x
x x t
, Khi phơng trình trở thành:
2t+
1
3 1
0
t
t t
t t
(không thoả mÃn ĐK)
Vậy phơng trình vô nghiệm
VD3: Giải phơng trình : m 3x 2 x 1 4x 9 3x2 5x 2
a) Giải phơng trình với m=1 b) Tìm m để PT cú nghim
Giải:
Điều kiện: 1
x
x x
Phơng trình viết lại dới dạng: m 3x x1 3x x12
Đặt t= 3x 2 x1 t1 a) x=2
b) m5
Buæi 16 :
III Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2:
- Là phơng pháp sử dụng ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành phơng trình với ẩn phụ nhng hệ số chứa x- Phơng pháp đợc sử dụng những phơng trình lựa chọn ẩn phụ cho BT BT cịn lại khơng biểu diễn đ-ợc triệt để qua ẩn phụ biểu diễn đđ-ợc cơng thức biểu diễn lại phức tạp
- Khi ta thờng đợc PT bậc theo ẩn phụ theo ẩn x có biệt thức số chính phơng
VD: Gi¶i PT: 4x 1 x3 1 2x3 2x 1
(5)Giải:
Đặt t= x3 1,t 0 t2 x3 1
Khi PT có dạng:
(4x-1)t=2(x3+1) + 2x –
2
2
4
2
4
1
2
t x t x
x x x
t x x x t t
Thay trở lại ẩn x, ta đợc: 3 3
2
2
1
3 4 4 x x x x x x x x x x VËy PT cã nghiƯm ph©n biƯt
IV Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3:
- Là phơng pháp sử dụng k ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành hệ Pt với k ẩn phụ Trong hệ k-1 pt nhận đợc từ mối liên hệ đại lợng tơng ng.
Chẳng hạn với PT : ma f x ( )mb f x ( )c
Đặt ( )
( )
m
m m
m
u a f x
u v a b
v b f x
Khi ta có hệ PT:
m m
u v a b
u v c
VD: Gi¶i PT: 32 x 1 x 1
Giải:
Điều kiện : x-10 x1
Đặt 3 2 1, u x u v
v x v
Khi ta có hệ:
3 1
1 u v u v
Giải hệ ta tìm đợc u=0,1,2 , thay trở lại ẩn x ta đợc: x=2,1,10 Vậy pt cho có nghiệm 1,2,10
V Phơng pháp đặt ẩn ph - Dng 4:
(6)Dạng1: Phơng trình chứa bậc luỹ thừa bậc 2 ax b c dx e( )2 x ,d ac ,e bc
(*)
Cách giải: Điều kiện ax+b0
t dy+e= ax b dy e , 0 Khi chuyển phơng trình hệ 2pt 2ẩn x,y
Nhận xét: Để sử dụng phơng pháp cần khéo léo biến đổi phơng trình ban đầu dạng thoả mãn ĐK(*)
VD: Gi¶i PT: x 1 x2 4x 5
Gi¶i:
§iỊu kiƯn: x+1 0 x1
PT đợc viết đới dạng: x 1 (x 1)2 1
ở đậy a=b=c=d= 1;e2; 0 Thoả mãn điều kiện d=ac+;e bc Đặt y+2= x1,y 2 y2 Khi phơng trình đợc chuyển thành hệ
2
2
2 ( 2) 1 ( 2)
( )( 4) ( )( 5)
( 2) 1 ( 2)
y x y x
x y x y x y x y x y
y x x y
Do x1;y2 nªn x+y+5>0 x y 0 xy
Thay x=y vµo PT(1), ta cã x2+3x+3=0: PT v« nghiƯm
Vậy PT cho vơ nghiệm
Dạng2: PT có chứa bậc luỹ thõa bËc 3 3b ay c dy e( )3 y ,d ac ,e bc
Cách giải: Đặt dx+e=3 ay b Khi chuyển PT hệ 2ẩn PT
VD: Gi¶i PT: x3 2 33 x 2
Đặt y=33x 2
Khi phơng trình chuyển thành hệ
3
2
3
x y
x y
y x
Từ tìm đợc x=1; x=-2
Bài tập đề nghị:
(7)2
2
2
2
/ 3
/ 2
/ 2 2
/( 5)(2 ) 3
a x x x x
b x x x x
c x x x x
d x x x x
2
4 4
2 2
/ ( 1) 2
/ 1
/ 1n 1n n
e x x x x
g x x x x
h x x x
Bµi2: Cho phơng trình: x x (1x)(8 x)m
a/ Giải phơng trình với m=3 b/ Tìm m để pt có nghiệm
c/ Tìm m để pt có nghim nht
Bài3: Cho phơng trình: 2x2 2x x2 2x 3 m 0
a/ Gi¶i pt víi m=9
b/ Tìm m để phơng trình có nghim
Bài4: Cho phơng trình : 3 1 4 3
x
x x x m
x
a/ Gi¶i pt víi m=-3
b/ Tìm m để pt có nghiệm
Bài 5:Giải pt sau:
2
, 2
2
/ 2
2
x
a x x x x
x x
b x x x
x
Bài6:Giải phơng trình sau:
2
2
/ 2
/ 2
a x x x x
b x x x x x
2
3
/ 2
/ 1 2
c x x x x
d x x x x
Bài 7: Giải phơng trình sau:
3
2
/
/ 1
/ 1
a x x
b x x
c x x x x x x
Bài8:Với giá trị a pt sau có nghiệm:
a/ 13 x 31 x a
(8)Bài9:Giải biện luận phơng trình sau:
a/ x 4 x m b x/ x2 m Bài10:Giải phơng trình sau:
3
3
3
3
/
/ 25
/1 16
/
a x x
b x x
c x x
d x x
3 3
/ 1
/ 24 12
/ 1
/
e x x
g x x
h x x
i x x
Bµi11: Giải phơng trình sau:
3 3
2 3 2
3
3 3
3
3
/ 1
/ 1 1 /
7
a x x x
b x x x
c x x x
x x d x x x 2
/ 2 2 2
/ 2 21 11
2
/
2 2
e x x x x x
g x x x x x
x x h x x
Bài12:Giải phơng trình sau:
2
3
/
/ 13
/ 3
a x x x
b x x x
c x x
3
3 3
4
/ 7 ,
28
/ 2
/ 35 35 30
x
d x x x
e x x
g x x x x
VI Sử dụng tính đơn điệu hàm số: * Hng1:
- Đa pt dạng f(x)=k - Xét hµm sè y=f(k)
Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu(đb)
- NhËn xÐt: + Víi x=x0 f(x)=f(x0)=k nên x=x0 nghiệm
+ Víi x>x0 th× f(x)>f(x0)=k : ptvn
(9)VËy x=x0 lµ nghiƯm nhÊt cđa pt
* Híng 2:
- §a pt dạng f(x)=g(x) - Xét hàm số y=f(x) vµ y=g(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) hàm đồng biến hàm y=g(x) hàm nghịch biến Xác định x0 cho f(x0)=g(x0)
- x=x0 lµ nghiƯm nhÊt *Híng3:
- Đa pt dạng f(u)=f(v)
- Xột hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu - Khi u=v với u,v thuộc TX
Bi ngh:
Bài1:Giải phơng tr×nh sau:
3 2
/
/
/ 2
a x x x
b x x x
c x x x x
Bài2:Giải biện luận pt: x2 1 2m 1x m2 m 1
, víi x-m
Bi 17 :
VII Ph ơng pháp điều kiện cần đủ: *Thờng áp dụng cho dạng toán.
Tìm điều kiện tham số để: - Pt có nghiệm
- Pt có nghiệm với giá trị tham số - Pt nghiệm với x thuộc D
- Pt tong đơng với pt bất ph khác
* Cách làm: - Đặt ĐK để biểu thức pt có nghĩa - Tìm ĐK cần
- Tìm ĐK đủ
(10)1 x2 2 13 x2 m
Gi¶i:
§iỊu kiƯn:
1 x 0 x
ĐK cần: Nếu pt có nghiệm x0 -x0 nghiệm pt Do để pt có
nghiệm x0=-x0 x0 0 m3 ĐK đủ: Với m=3 pt: 1 x2 2 13 x2 3
V×
2
3
2
3
1
1
1
x
x x
x
Do phơng trình có nghiệm
2
3
1
0
1
x
x x
Vëy víi m= phơng trình có nghiệm
VD2: Tìm m để phơng trình sau nghiệm với x0
2
2
x x m m x m (1)
Gi¶i:
*ĐK cần: G/s (1) có nghiệm với x0 x=0 nghiệm (1),
(1):
2
2
2
2
2
m
m m m m
m m m
* ĐK đủ:
Víi m=3 (1) có dạng: x2 2x 1 x 1 x 0
Vởy với m=3 (1) có nghiệm với mội x0
VD3: Tìm a,b để phơng trình sau nghiệm với x
2
1
a x x bx
Gi¶i:
*ĐK cần: giả sử pt có nghiệm với x x=0 nghiệm pt thay vào tìm đợc a=1; b=0
*ĐK đủ: Với a=1; b=0 thay vào pt ta có pt ln đúgn với x Vởy với a=1; b=0 phơng trình nghiệm với x
(11)
2
5 3
x x m x x m (1)
X4 +6x3+9x2-16 =0 (2) Gi¶i:
Gi¶i (2): x=1 hc x=4
ĐK cần: G/s (1) tơng đơng với (2) x=1 nghiệm (1) Thay vào tìm đợc m=1
ĐK đủ: với m=1, thay vào (1) Tìm đợc nghiệm -4 Vởy với m=1 (1) tơng đơng với (2)
Bài tập đề nghị:
Bài1:Tìm m để phơng trình sau có nghiệm nhất:
3
2
3
2
5
2
/ 1
/
/
/
a x x m
b x x m
c x x m
d x x m
4
4
4
4
/
/ 3
/ ( 1)
/ 2
e x x m
g x x x x m
h x x m x x
i x x x x m
Bài2:Tìm a,b để pt sau có gnhiệm nhất:
3(ay b )2 3ay b 2 3a y2 2 b2 3b
Bài3:Tìm m để phơng trình sau nghiệm với x1 x2 2x m2 3m 3 mx 1
Bài4:Tìm m để pt sau nghiệm với x 0, 2
2 2x x 1 m(m1)x x
Bài5:Tìm a,b để pt sau nghiệm với x
2
1
x a bx b x
Bài6:Cho phơng trình bất phơng trình :
2
1 2 2
3 2
x m x x m x
x x x x
Tìm m để phơng trình bất phơng trình tơng ng vi nhau.
(12)Đánh giá dựa tam thức bậc hai, BĐT, GTTĐ,.
VD1: Giải phơng trình: x2 2x 5 x 1 2
Giải: Từ ĐK đánh giá VT lớn dựa tam thc bc hai
VD2: Giải phơng trình: 2
1
x x x x
Giải: ĐK: x1
đánh giá VT2 dựa BĐT Cosi, dấu = xảy x=1,-1 Do x1 nên x=1
VD3: Gi¶i pt:
2 1
1 1
1 2
x x x x
x x x x
x x x
Bi ngh:
Bài1:Giải phơng trình sau:
3 2
2
2
3 2
3
2 3 4 4
/ 11 25 12
1
/ 2
/ 2 2
3
/ 2
2
/ 3
/ 1 1 1
a x x x x x
b x x
x x
c x x x x
y
d y y y y
e x x x x x
f x x x x x x
4 4
4
4
2
24 4
2
4
/ 1
/
6
/ 19
10 24
/
/ 2
g x x x x
h x x x
i x x
x x
k x x x x
l x x x x
(13)
2
/ 4
/ 4
/ 11
a x x x x
b x x x x
c x x x x
2
2
/
/
/ 16 66
d x x x x
e x x x
g x x x x
Bài3:Giải phơng trình sau:
/ 10
/ 3
a x x x x
b x x x x x x