Luận văn thạc sĩ sự tồn tại nghiệm của phương trình monge ampère phức trong các lớp năng lượng đa phức có trọng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  - SHERLOR NENGZE SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  - SHERLOR NENGZE SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CĨ TRỌNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả Sherlor Nengze i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Việt Nam hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Lào - Việt nam (Thủ đô Viêng Chăn) đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 05 năm 2017 Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa 1.2 Hàm đa điều hịa cực đại 1.3 Tốn tử Monge-Ampère phức 14 1.4 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 16 1.5 Các lớp lượng Cegrell 18 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE- 22 AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG 2.1 Các lớp lượng lớp lượng có trọng £ n 22 2.2 Sự tồn nghiệm lớp Ec (W) 25 2.3 Sự tồn nghiệm lớp Ec ( f ) 28 2.4 Sự tồn nghiệm lớp F ( f ) 32 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán tử Monge-Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương, khái niệm đóng vai trị quan trọng trung tâm lý thuyết đa vị E Berfod B.A Taylor xây dựng năm 1982 Từ trở lý thuyết liên tục phát triển đạt nhiều kết quan trọng, đồng thời tìm thấy nhiều ứng dụng vào lĩnh vực khác toán học Năm 1998, Cegrell định nghĩa lớp lượng E0(W), F p (W), Ep (W) tốn tử Monge-Ampère phức xác định Năm 2004, Cegrell định nghĩa lớp E(W), F (W) lớp E(W) lớp hàm định nghĩa tự nhiên tốn tử Monge-Ampère phức Đó lớp hàm lớn tốn tử Monge-Ampère xác định, liên tục dãy giảm hàm đa điều hòa Tiếp tục mở rộng lớp lượng F (W) , năm 2009, S Benelkourchi đưa lớp lượng có trọng Ec (W) nghiên cứu toán tử Monge-Ampère lớp lượng đa phức hữu hạn trường hợp tổng quát Đồng thời giải thích lớp theo nghĩa tốc độ giảm dung lượng tập mức mô tả đầy đủ miền giá trị toán tử Monge-Ampère (dd c )n lớp Ec (W) Nghiên cứu lớp dẫn đến nhiều kết nguyên lý so sánh, giải toán Dirichlet,… Với mong muốn tìm hiểu sâu tốn tử Monge-Ampère áp dụng kết đạt việc giải toán Dirichlet lớp lượng có trọng, chúng tơi chọn “Sự tồn nghiệm phương trình Monge-Ampère phức lớp lượng đa phức có trọng” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lớp lượng đa phức có trọng tồn nghiệm phương trình Monge-Ampère phức lớp 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Trình bày tổng quan hệ thống số kết lý thuyết đa vị phức + Trình bày lại cách chi tiết số kết S Benelkourchi tồn nghiệm phương trình Monge-Ampère phức lớp lượng đa phức có trọng Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 43 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [1] [5] Chương Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hồ cực đại, tốn tử Monge-Ampère ngun lý so sánh Chương Là nội dung luận văn Phần đầu chương trình bày số khái niệm kết lớp lượng lớp lượng có trọng £ n Tiếp theo mục 2.2 nghiên cứu tồn nghiệm phương trình Monge-Ampère phức lớp Ec (W) (Định lý 2.2.1) Mục 2.3 trình bày kết tồn nghiệm phương trình Monge-Ampère phức lớp Ec ( f ) (Định lý 2.3.6 Hệ 2.3.7) Cuối mục 2.4 trình bày tồn nghiệm phương trình Monge-Ampère phức lớp F ( f ) (Định lý 2.4.1 Hệ 2.4.2) Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà Địng nghĩa 1.1.1 Giả sử WÌ £ n tập mở, u : Wđ ộ- Ơ , + Ơ ờở ) hàm nửa liên tục trên, không đồng - ¥ moi thành phần liên thơng W Hàm u gọi đa điều hoà W (viết u Ỵ PSH (W) ) với a Î W b Î £ n , hàm l a u (a + l b) điều hoà - ¥ thành phần liên thơng tập {l Ỵ £ : a + l b Î W} Định lý sau cho đặc trưng tính đa điều hồ hàm lớp C tập mở WÌ £ n Định lý 1.1.2 Giả sử WÌ £ n tập mở u Ỵ C 2(W) Khi u Î PSH (W) Hessian H u (z ) = ( ¶ 2u ) u z xác định dương, nghĩa với ¶ z j ¶ zk w = (w1, w2, , wn ) Î £ n , ¶ 2u H u (z )( w, w) = å (z )wj wk ³ j ,k = ¶ z j ¶ z k n Định nghĩa 1.1.3 Tập hợp E Ì có lõn cn V E ầV è {z ẻ V n gọi đa cực với điểm a Î E a hàm u Î PSH (V ) cho : u (z ) = - ¥ } Hệ 1.1.4 Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) khơng Dưới số kết liên quan tới tính đa điều hồ qua giới hạn tính lồi họ hàm đa điều hoà Định lý 1.1.5 Giả sử W tập mở £ n i ) Nếu u, v Ỵ PSH (W) m ax{u, v} Î PSH ( W) a , b ³ a u + b v Ỵ PSH (W) Nghĩa PSH (W) nón lồi ii ) Nếu {u j }j ³ Ì PSH (W) dãy giảm u = lim u j hàm đa điều hoà W º - ¥ iii ) Nếu dãy {u j } Ì PSH (W) dãy hội tụ tập compact W tới hàm u : W® ¡ u Ỵ PSH (W) iv ) Giả sử {ua }a Ỵ I Ì PSH (W) cho u = sup {u a : a Ỵ I } bị chặn địa phương Khi quy hố nửa liên tục u * Ỵ PSH (W) Chứng minh Các khẳng định i ) , ii ) , iii ) suy từ định nghĩa 1.1.1 định lý hội tụ đơn điệu hay định lý qua giới hạn dấu tích phân trường hợp dãy hội tụ Ta chứng minh iv ) Chỉ cần chứng tỏ a Ỵ W, b Ỵ £ n cho {a+ l b:l Ỵ £ , l £ 1} Ì W u (a ) £ 2p * 2p òu * (a + e i qb)d q Dễ thấy với z Ỵ W, b Ỵ £ n cho {z + l b, l £ 1} Ì W ta có u (z ) £ 2p 2p òu * (z + e i qb)d q (4) tồn hàm bị chặn địa phương F : ò - c (u )d m £ lim supt đ + Ơ F (t ) / t < W { + ® + cho F (E c (u )), " u Ỵ E0(W), (2.3) } E0 (W) := u Ỵ E0 (W) ; ò - c (u )(dd cu )n £ E c (u ) := W ò - c (u )(dd u ) c n W ký hiệu c -năng lượng u Các chứng minh (1) Û (3) Û (4) tìm thấy [4] Các chứng minh (1) Û (2) chứng minh [6] Chứng minh Ta bắt đầu chứng minh (1) Þ (2) Giả sử u , j Ỵ Ec (W) Chú ý với s > tùy ý ta có : s s ) È (j < - ) 2 (u < - s ) Ì (u < j - Từ ta có ị - c (u )(dd cj )n = W £ ò ¥ ò ¥ (u < j - s ) (u < - s ) (dd cj )n ds + ũ c Â(- s ) ũ Ơ (j < - s ) (dd cj )n ds ¥ £ 2ị c ¢(- 2s ) ị (dd cj )n ds Ơ c Â(- s ) ũ - c ¢(- s ) ị (u < j - s ) (dd c j )n ds + 2ị c ¢(- 2s ) ò (dd c j )n ds (2.4) (j < - s ) Tính lồi c kéo theo c ¢(- 2s ) £ M c ¢(- s ), " s > (2.5) Theo nguyên lý so sánh điều kéo theo ị (u < j - s ) (dd cj )n £ ò (dd cu )n £ (u < j - s ) ò (dd cu )n (2.6) (u < - s ) với s > Từ (2.4), (2.5) (2.6) suy tồn số C độc lập với u cho 29 ò - c (u )(dd j ) c n £ C W (ò - c (u )(dd u ) c + n W ò - c (j )(dd j ) c n W )< + ¥ , " u Ỵ E0 (W) ( Đặt C = C + ) ta nhận ước lượng (2.1), ò - c (j )(dd j ) c n W Bây giờ, Ta chứng minh (3) Þ (4) Giả sử y Ỵ E0 (W), theo ta có E c ( y ) := ò - c ( y ) (dd c y )n W Nếu y Î E0 (W), nghĩa E c (y ) £ 1, ị - c (y )d m £ C W Nếu E c (y ) > Hàm y xác định y Ỵ E0 (W) E c ( y )1/ n y := Thật vậy, từ tính đơn điệu c , ta có ò - c (E y 1n W c (y ) y )(dd c 1n )n £ E c (y ) - c ( y )(dd c y )n = ò E c (y ) W Từ (2.1) tính lồi c suy ị - c (y )d m W 1n £ E c (y ) ò - c (E W y 1n 1n (y ) c )d m £ Ỵ C 1.E c ( y ) Từ ta nhận (2.2) với C = max (1,C ) Đối với chứng minh (3) Þ (4), ta xét F (t ) = C 2max(1, t 30 1n ) (4) Þ (1) Điều suy từ [6] lớp Ec (W) đặc trưng tập đa cực Khi đó, khẳng định (2.3) kéo theo m triệt tiêu tập đa cực Từ [9] điều suy tồn u Ỵ E0 (W) f Ỵ L1loc (dd cu )n cho m = f (dd cu )n Xét mj = min( f , j )(dd cu )n Đó độ đo hữu hạn bị chặn độ đo Monge-Ampère phức hàm bị chặn Do đó, từ [11] suy tồn j j Ỵ E0(W) cho: (dd cj j )n = min( f , j )(dd cu )n Theo nguyên lý so sánh j j dãy giảm Đặt j = lim j đ Ơ j j T (2.3) suy n nử ổ c c ữ ỗ c ( j )( dd j ) £ F c ( j )( dd j ) ữ ỗỗốũW ũW j j j j ÷ ø Do đó: n sup ị - c (j j )(dd cj j ) < ¥ j W Suy +¥ sup ị j t n c ¢(- t )CapW({j j < - t })dt < + ¥ , Điều kéo theo ị +¥ t n c ¢(- t )CapW({j < - t })dt < + ¥ Khi j º/ - ¥ j Ỵ Ec (W) Bây tính liên tục tốn tử Monge-Ampère phức dãy giảm, ta kết luận (dd cj )n = m Tính j suy từ nguyên lý so sánh 31 2.3 Sự tồn nghiệm lớp Ec ( f ) Giả sử c : - ® - hàm khơng giảm f Ỵ  M (W) hàm đa điều hịa cực đại Định nghĩa 2.3.1 Ec ( f ) (tương ứng N ( f ) , F ( f ) , N a ( f ) , F a ( f ) ) lớp hàm đa điều hòa u cho tồn hàm j Î Ec (W) (tương ứng N (W) , F (W) , N a (W) , F a (W) ) thỏa mãn j (z ) + f (z ) £ u (z ) £ f (z ), " z Ỵ W Định lý 2.3.2 ([10]) Giả sử f hàm cực đại bị chặn, u Ỵ N a ( f ) v Ỵ E(W) cho v £ f - e Khi ị (dd cv )n £ (u < v ) ò (dd cu )n (u < v ) Hệ 2.3.3 Giả sử u Ỵ N a ( f ) v Ỵ E(W) cho v £ f (dd cu )n £ (dd cv )n Khi u ³ v Đặc biệt, (dd cu )n = (dd cv )n với u , v Ỵ N a ( f ) u = v Bổ đề sau cho ước lượng độ lớn tập mức theo nghĩa khối lượng Monge-Ampère, sử dụng sau Bổ đề 2.3.4 Giả sử c : - ® - hàm khơng giảm cho c º/ j Ỵ Ec ( f ) Khi với s > t > , ta có t nCapW(j < - s - t + f ) £ ò n (dd cj ) (2.7) (j < - s + f ) Chứng minh Cố định s, t > Lấy K Ì {j < f - s - t } tập compact Khi CapW(K ) = ò (dd u c W * n K ) = 32 ò {j < f - s - t } (dd cu K* )n = ò {j < f - s - tu *K } (dd cu K* ) £ tn ò n (dd cv ) , {j < v } u K* hàm cực trị tương đối compact K v = f - s + tuK* Khi từ Định lý 2.3.2 suy tn ò (dd c max(j , v ))n n ò{j < m ax( j ,v )} t (dd cv )n = {j < v } £ £ tn ò tn ò (dd cj )n = {j < max( j ,v )} tn ò (dd cj )n {j < f - s + tu K } (dd cj )n {j < f - s } Lấy supremum theo K ta bất đẳng thức cần chứng minh Mệnh đề 2.3.5 Giả sử c : Ec ( f ) Ì - ® { u Ỵ PSH (W) ; u £ f hàm tăng Khi ta có - ũ +Ơ s n c Â(- s )CapW(u < f - 2s )ds < + ¥ } Đặc biệt, c (t ) < 0, " t < , lúc CapW(u < f - s ) < + ¥ với s > u Î Ec ( f ) Chứng minh Giả sử u Ỵ Ec ( f ) Khi tồn hàm j Ỵ Ec (W) cho j + f £ u Do (u < f - s ) Ì (j < - s ) Từ Bổ đề 2.3.4 suy ị +¥ s n c ¢(- s )CapW(u < f - 2s )ds £ Ê ũ +Ơ c Â(- s )ũ ũ +Ơ s n c ¢(- s )CapW(j < - 2s )ds (dd cj )n ds = (j < - s ) ò - c (j )(dd j ) c < ¥ n W Định lý 2.3.6 Giả sử  m độ đo không âm W, c : lồi tăng cho c (- ¥ ) = - ¥ v f ẻ M 33 Ơ - đ - l hàm hàm cực đại bị chặn Khi đó, tồn hàm j Ỵ Ec ( f ) cho m = (dd cj )n m thỏa mãn điều kiện Định lý 2.2.1 Chứng minh Giả sử m = (dd cv )n với v Ỵ Ec (Wj ) j Ỵ dãy tập giả lồi chặt W f j Ỵ PSH (Wj + 1) Ç C (Wj + 1) dãy hàm cực đại giảm đến f Từ [9] suy tồn hàm g Ỵ E0 hàm q Ỵ L1loc (dd cg)n cho n ( ) m = g dd c g Với j Î N , đặt mj = 1W min(q, j )(dd cg)n , ký hiệu 1W hàm đặc trưng j j tập Wj Bây xét toán Dirichlet miền giả lồi chặt Wj , giả sử tồn hàm u j , v j ẻ PSH (Wj ) ầ C (Wj ) cho (dd cv j )n = (dd cu j )n = mj v j = 0, u j = f j ¶ Wj Theo nguyên lý so sánh, ta tìm dãy giảm v j u j cho v + f £ v j + f j £ u j £ f j trờn Wj Cho j đ Ơ , ta c u = lim j đ Ơ u j ẻ Ec ( f ) Cuối cùng, từ tính liên tục toán tử Monge-Ampère phức dãy đơn điệu, ta có (dd cu )n = m Hàm u suy từ nguyên lý so sánh lớp Ec ( f ) Hệ 2.3.3 □ Hệ 2.3.7 Giả sử m độ đo không âm W với khối lượng tổng cộng hữu hạn f ẻ M Ơ l mt hm cc i b chặn Khi tồn hàm j Î F a ( f ) cho (dd cj )n = m m triệt tiêu tất tập đa cực 34 Chứng minh Từ [9] suy tồn hàm y Ỵ E0 hàm khơng âm f Ỵ L1((dd c y )n ) cho m = f (dd c y )n Do [11], tồn hàm gj Ỵ E0 cho (dd cgj )n = min( j , f )(dd c y )n Nguyên lý so sánh cho hàm bị chặn (xem [2]) kéo theo gj dãy giảm Đặt g = lim g j Từ Bổ đề 2.3.4 suy j® + ¥ g º/ - ¥ Do g Ỵ F Do tính liên tục tốn tử Monge-Ampère phức dãy giảm, ta có (dd c g)n = m Bây giờ, (xem [6]) Fa = Ec , c li; c (0) 0, c (- Ơ ) = - ¥ nên tồn hàm lồi c : - đ - vi c (0) c (- ¥ ) = - ¥ cho g Ỵ Ec Bây theo Định lý 2.3.6, tồn hàm j Ỵ Ec ( f ) Ì F aa ( f ) cho (dd cj )n = m Tính suy từ Định lý 2.3.2 □ 2.4 Sự tồn nghiệm lớp F ( f ) Trong suốt phần này, ta ký hiệu m độ đo Borel dương cố định có khối lượng tổng cộng hữu hạn m(W) < + ¥ Xét toán Dirichlet (dd cj )n = m , với j Ỵ F ( f ),a j ¶W = f, độ đo bị chặn, giả thiết m bị trội dung lượng Monge-Ampère, dù khoảng cách nghiệm j liệu biên cho f nào, Các độ đo bị trội dung lượng Monge-Ampère nghiên cứu S.Kolodziej [11,12,13] Kết nghiên cứu S.Kolodziej, đạt [12], phát biểu nh sau C nh e : R đ ộờ0, Ơ éê ë ë n hàm liên tục giảm đặt Fe (x ) = x éêëe(- ln x / n )ù ú û Nếu với tất tập compact K Ì W, 35 m(K ) £ Fe (CapW(K )) ị +¥ e(t )dt < + ¥ , m = (dd cj )n hàm liên tục j Ỵ PSH (W) với j | ả W= iu kin ũ +Ơ e(t )dt < + ¥ , nghĩa e giảm đủ nhanh đến không vô Điều cho ước lượng định lượng e (- ln CapW(K) / n ), CapW(K) ® m(K ) Khi ị +¥ e(t )dt = + ¥ , xảy m = (dd cj )n với j Ỵ F (af ) nói chung j khơng bị chặn Định lý 2.4.1 Cho m độ đo không âm với khối lượng tổng cộng hữu hạn Giả sử m(K ) £ Fe (CapW(K )) (2.8) với tập compact K Ì W Khi tồn hàm j Ỵ F (af ) cho m = (dd cj )n CapW({j < f - s}) £ exp(- nH - 1(s )), với s > 0, x H - hàm nghịch đảo H (x ) = e ò e(t )dt + s 0( m) ( ) Nói riêng j Ỵ Ec ( f ) với - c (- t ) = exp nH - 1(t ) / Chứng minh Từ Hệ 2.3.7 suy tồn hàm j Ỵ F (af ) cho m = (dd cj )n Đặt a (s ) = - logC apW({j < f - s }), " s > n 36 Hàm a tăng a (+ ¥ ) = + ¥ , CapW triệt tiêu tập đa cực Từ Bổ đề 2.3.4 (5.1) suy t nCapW( j < ( f - s - t ) £ m(j < f - s ) £ Fe (CapW( {j < f - s })) với s > t > Do log t - log e a (s ) + a (s ) £ a (s + t ) Ta xác định dãy tăng (s j ) j Î (2.9) quy nạp Đặt s j + = s j + ee a (s j ), với j Ỵ Lựa chọn s Ta chọn s ³ đủ lớn cho a (s ) ³ Ta cần bảo đảm s = s ( m) chọn độc lập với j Từ Bổ đề 2.3.4 suy CapW({j < f - s }) £ m(W) , " s > sn 1n Từ  a (s ) ³ log s - / n log m(W) Vì a (s ) ³ s ³ m(W) Độ tăng s j Bây áp dụng (2.9) ta nhận a (s j ) ³ j + a (s ) ³ j Suy lim j a (s j ) = + ¥ Xét hai trường hợp sau: Trường hợp thứ nhất: s ¥ = lim s j Ỵ + , a (s ) = + ¥ với s > s ¥ , tức CapW(j < f - s ) = 0, " s > s ¥ Do j bị chặn bi f - s Ơ , núi riờng j ẻ Ec ( f ) với c Trường hợp th hai: Gi s s j đ + Ơ Với s > , tồn N = N s Ỵ cho sN £ s < sN + Ta ước lượng s 37 N s, N s £ sN + = å N (s j + - s j ) + s = å N e e a (s j ) + s 0 N £ e å e( j ) + s £ e ò e(t )dt + s = : H (N ), 0 s = s + e.e(0) Vì H - 1(s ) £ N £ a (sN ) £ a (s ) , Từ CapW(j < f - s ) £ exp(- nH - 1(s )) Đặt g(t ) = - c (- t ) = exp(nH - 1(t ) / 2) Khi ta cú ũ +Ơ Ê t n gÂ(t )CapW(j < f - t )dt £ n +¥ n t exp(- nH - 1(t ) / 2)dt ò e(H (t )) + s £ Cò +¥ (t + 1)n exp(n (a - 1)t )dt < + ¥ ( ) Từ suy j Ỵ Ec ( f ) , c (t ) = - exp nH - 1( - t ) / □ Bây xét trường hợp m = fdl liên tục tuyệt đối độ đo Lebesgue Ký hiệu G Ì £ n không gian thực £ n cho G + J G = £ n , J cấu trúc phức thông thường £ n G trang bị cấu trúc Euclid cảm sinh độ đo Lebesgue tương ứng ký hiệu l G Xét không gian Orlicz L logn + a L(dl G ) , a > gồm hàm l G - đo g xác định WÇ G cho ò (f ( ) / l ) logn + a + ( f / l ) dl G < ¥ , với l > WÇ G Trên khơng gian L logn + a L (d m) ta định nghĩa chuẩn 38 f L logn + a L ìï ü ï n+ a ï = inf í l > 0; ị ( f / l ) log e + ( f / l ) d l G < 1ïý ïï ïï W ỵ þ ( ) Không gian đối ngẫu với LLog n + a L (d m) lớp mũ ExpL1/ n + a : khơng gian vectơ hàm m- đo ìï ExpL1/ n + a = ùớ f : Wđ ùợù ổ ; $ l > : ũ (exp ỗỗ f / l W ố 1/ n + a ( ) ü ïï ÷ 1) d m < Ơ ý ữ ữ ùỵ ứ ï trang bị chuẩn f ExpL1/ n + a ïì = inf ïí l > 0; ïỵï ỉ ỉ ũWỗỗốỗexp ỗỗố f / l ( 1/ n + a ) ÷ ÷ ÷ ø 1÷ ÷ ÷d m < ứ ùỹ 1ùý ùỵ ù Khi ú, ta có bất đẳng thức Hưlder sau ị W fgd m £ C n , a f LLogn + a L g ExpL1/ n + a (2.10) với f Ỵ LLog n + a L g Ỵ ExpL1/ n + a , C n ,a > số dương phụ thuộc vào n a Khi ta có 1/ n + a ExpL (K ) Hệ 2.4.2 Giả sử = log n+ a (1 + / l G (K ) ) độ đo với mật độ m = 1WầG gl G g ẻ LLog n + a L (WÇ G ), l G (2.11) độ đo Lebesgue Khi tồn hàm bị chặn j Ỵ F aa ( f ) Ç L¥ (W) cho (dd cj )n = m 0£ f - j £ C g 1/ n LLogn + a L , C = C (n , a , W) > phụ thuộc vào n , a , W G Chứng minh Ta chứng minh tồn số C > cho 39 æ m(K ) £ ççC g è n a+n n ÷ ÷ ÷ (CapW(K ) ) , với compact K Ì W (2.12) LL ogn + a L ø 1/ n Thật vậy, từ bất đẳng thức Hölder (2.10) (2.11) suy m(K ) £ g LLogn + a L logn + a (1 + / l G (K )) (2.13) Theo [7] ta có ỉ ữ ỗ ữ l G (K ) Ê C exp ỗỗữ vi mi compact K è W, 1/ n çè capW (K ) ÷ ø (2.14) C > số phụ thuộc vào W G Suy bất đẳng thức (2.12) nhờ kết hợp (2.13) (2.14) Khi áp dụng Định lý 2.4.1 với e(x ) = C g n+ a L log L C g 1/ n L logn + a L e- ax / n , Ta x £ f - j £ e ò e(t )dt + e e(0) + m(W)1/ n £ C g 40 1/ n LLogn + a L □ KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère nguyên lý so sánh - Một số kết S Benelkourchi tồn nghiệm phương trình Monge-Ampère phức lớp lượng đa phức có trọng Cụ thể trình bày: + Một số khái niệm kết lớp lượng lớp lượng có trọng £ n + Sự tồn nghiệm phương trình Monge-Ampère phức lớp Ec (W) (Định lý 2.2.1) + Sự tồn nghiệm phương trình Monge-Ampère phức lớp Ec ( f ) (Định lý 2.3.6 Hệ 2.3.7) + Sự tồn nghiệm phương trình Monge-Ampère phức lớp F ( f ) (Định lý 2.4.1 Hệ 2.4.2) 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa vị Nxb Đại học sư phạm Hà Nội Tiếng Anh Anh [2] Bedford.E and Taylor B.A (1982), “A new capacity for plurisubharmonic functions”, Acta Math 149 (1982) , no - 2, - 40 [3] Benelkourchi.S , Jennane B and Zeriahi A (2005), ”Polia’s inequalities, global uniform intergrability and the size of plurisubharmonic lemniscates”, Arkiv for Matematik Vol 43 No.1, pp.85-112 [4] Benelkourchi.S (2009), “Weighted Pluricomplex Energy”, Potential Analysis: Volume 31, Issuel 1-20 [5] Benelkourchi.S (2015), “Weighted Pluricomplex Energy II”, Hindawi Publishing Corporation International Journal of partial Differential Equations Volume 2015, Article ID 947819, pages [6] Benelkourchi.S, Guedj.V and Zeriahi.A (2006), “Plurisubharmonic functions with weak singularities”, In proceedings of the conference in honour of C Kiselman, Acta Univ Upsaliensis 86, 57-74 [7] Benelkourchi.S, Guedj.V and Zeriahi.A (2005), “Polya’s inequalities, global uniform integrability and the size of plurisubharmonic lemniscates”, Ark Mat 43, No 1, 85-112 [8] Cegrell U (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math 180, no 2, 187-217 [9] Cegrell.U (2004), “The general definition of the complex Monge- Ampère operator”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, No.1,159-179 42 [10] Cegrell.U (2008), “A general Dirichlet problem for of the complex Monge-Ampère operator”, Ann Polon Math 94 No 2,131-147 [11] Kolodziej.S (1994), “The range of the complex Monge-Ampère operator”, Indiana Univ Math J 43, No.4, 1321-1338 [12] Kolodziej.S (1998), “The complex Monge-Ampère equation”, Acta Math 180, No.1, 69-117 [13] Kolodziej.S (2005), “The complex Monge-Ampère equation and pluripotential theory”, Mem Amer Math Soc 178, No.840, x+64pp 43 ... ey } ta gặp mâu thuẫn W 24 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE- AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG 2.1 Các lớp lượng lớp lượng có trọng £ n Cho WÌ chặn n n miền siêu... nghiệm phương trình Monge- Ampère phức lớp lượng đa phức có trọng Cụ thể trình bày: + Một số khái niệm kết lớp lượng lớp lượng có trọng £ n + Sự tồn nghiệm phương trình Monge- Ampère phức lớp Ec (W)... Monge- Ampère phức 14 1.4 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 16 1.5 Các lớp lượng Cegrell 18 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE- 22 AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG 2.1 Các