DE THI HSG QUAN TAN BINH

Chøng minh t¬ng tù ON.[r]

(1)

Đề

Bài (4 điểm)

Cho biÓu thøc A =

2

1 :

1

x x x

x x

  

 

  

 

  

víi x khác -1 a, Rút gọn biểu thức A

b, Tính giá trị biểu thức A x

3 



c, Tìm giá trị x để A <

Cho a b2b c2c a2 4.



a

b

c

ab

ac

bc



a

b

c

Giải toán cách lập phơng trình.

Mt phõn số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị đợc phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số ú

Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = 3   

 a a a

a

Bµi (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD

Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh

b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đờng chéo cắt O Đờng thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N

a, Chøng minh r»ng OM = ON b, Chøng minh r»ng

MN CD AB

2 1





c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích)

TÝnh SABCD

híng dÉn chÊm thi häc sinh giỏi cấp

Bài 1( điểm )

a, ( điểm )

Với x khác -1 : A=

) ( )

)( (

) )( ( :

1

2

3

x x x x x

x x x

    

  

0,5®

=

)

1 )( (

) )( ( :

)

)( (

2

x x x

x x x x

  

  

  

 0,5®

=

) (

1 : )

(

x x



 0,5®

= (1 x2)(1 x)  

KL

0,5®

(2)

T¹i x =

3  =

3

 th× A = 

  

 

      

 



 )

3 ( ) (

1 0,25®

= )

3 )( 25

(   0,25®

27 10 27 272 34

 



KL

0,5đ

c, (1điểm)

Với x khác -1 A<0 (1 2)(1 )  

x x (1) 0,25®

V× 

x víi mäi x nên (1) xảy x0 x1

KL

0,5đ 0,25đ

Bài (3 ®iĨm)

Biến đổi đẳng thức để đợc

bc ac ab c

b a ac a c bc c b ab b

a2  2      2 4 24 24   

0,5®

Biến đổi để có ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )  

     

b ac b c bc a c ac

a 0,5®

Biến đổi để có ( )2 ( )2 ( )2     

 b b c a c

a (*) 0,5đ

Vì ( )2 b

a ;( )2

  c

b ;( )2

  c

a ; với a, b, c nên (*) xảy vµ chØ ( )2

  b

a ;( )2

  c

b vµ ( )2

  c

a ;

0,5® 0,5®

Từ suy a = b = c 0,5đ

Bµi (3 điểm)

Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm

11 

x x

(x lµ sè nguyên khác -11)

0,5đ

Khi bt t s đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta đợc phân số

15 

x x

(x khác -15)

0,5đ

Theo ta có phơng trình

11 

x x

=

7 15  

x

x 0,5®

Giải phơng trình tìm đợc x= -5 (thoả mãn) 1đ

Từ tìm đợc phân số

6 

KL

0,5đ

Bài (2 điểm)

Bin đổi để có A= 2( 2) ( 2) ( 2)     

 a a a

a a

0,5®

=( 2)( 2 1) ( 2)( 1)2       

 a a a a

a 0,5®

V× 2  

a a (a 1)2 0a nên (a2 2)(a 1)2 0a

a a

a 2)(  1) 33

( 2

0,5đ

Dấu = xảy a a1 0,25đ

(3)

a,(1 ®iĨm)

Chứng minh đợc tứ giác AMNI hình thang 0,5đ

Chứng minh đợc AN=MI, từ suy t giỏc AMNI l hỡnh thang

cân 0,5đ

b,(2®iĨm)

Tính đợc AD = cm

3

4 ; BD = 2AD = cm

3

AM = BD

1

cm

3

0,5®

Tính đợc NI = AM = cm

3

4 0,5®

DC = BC = cm

3

8 , MN =



DC

2

cm

3

4 0,5®

Tính đợc AI = cm

3

8 0,5đ

Bài (5 ®iĨm)

a, (1,5 điểm) Lập luận để có

BD OD AB

OM

 ,

AC OC AB ON

 0,5®

Lập luận để có

AC OC DB OD

 0,5®



AB ON AB

OM

  OM = ON 0,5®

b, (1,5 điểm) Xét ABDđể có

AD DM AB

OM

 (1), xét ADCđể có

AD AM DC

OM

 (2)

Tõ (1) vµ (2)  OM.(

CD AB

1

 )   1

AD AD AD

DM AM

0,5® N

I M

D C

A B

O

N M

D C

(4)

Chøng minh t¬ng tù ON.(  )1

CD AB

0,5®

từ có (OM + ON).(  )2

CD

AB  AB CD MN

2 1



 0,5®

b, (2 ®iĨm)

OD OB S

S

AOD AOB

 ,

OD OB S

S

DOC BOC

  

AOD AOB

S S

DOC BOC

S S

 SAOB.SDOC SBOC.SAOD

0,5®

Chứng minh đợc SAOD SBOC 0,5đ

 . ( )2

AOD DOC

AOB S S

S 

Thay số để có 20082.20092 = (S

AOD)2  SAOD = 2008.2009

0,5®

Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172