Chøng minh t¬ng tù ON.[r]
(1)Đề
Bài (4 điểm)
Cho biÓu thøc A =
2
1 :
1
x x x
x x
x x
víi x khác -1 a, Rút gọn biểu thức A
b, Tính giá trị biểu thức A x
3
c, Tìm giá trị x để A <
Bài (3 điểm)
Cho a b2b c2c a2 4.a2 b2 c2 ab ac bc Chøng minh r»ng abc
Bài (3 điểm)
Giải toán cách lập phơng trình.
Mt phõn số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị đợc phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số ú
Bài (2 điểm)
Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = 3
a a a
a
Bµi (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD
Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh
b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI
Bài (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đờng chéo cắt O Đờng thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N
a, Chøng minh r»ng OM = ON b, Chøng minh r»ng
MN CD AB
2 1
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích)
TÝnh SABCD
híng dÉn chÊm thi häc sinh giỏi cấp
Bài 1( điểm )
a, ( điểm )
Với x khác -1 : A=
) ( )
)( (
) )( ( :
1
2
3
x x x x x
x x x
x x x
0,5®
=
)
1 )( (
) )( ( :
)
)( (
2
x x x
x x x
x x x x
0,5®
=
) (
1 : )
(
x x
0,5®
= (1 x2)(1 x)
KL
0,5®
(2)T¹i x =
3 =
3
th× A =
)
3 ( ) (
1 0,25®
= )
3 )( 25
( 0,25®
27 10 27 272 34
KL
0,5đ
c, (1điểm)
Với x khác -1 A<0 (1 2)(1 )
x x (1) 0,25®
V×
x víi mäi x nên (1) xảy x0 x1
KL
0,5đ 0,25đ
Bài (3 ®iĨm)
Biến đổi đẳng thức để đợc
bc ac ab c
b a ac a c bc c b ab b
a2 2 2 4 24 24
0,5®
Biến đổi để có ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
b ac b c bc a c ac
a 0,5®
Biến đổi để có ( )2 ( )2 ( )2
b b c a c
a (*) 0,5đ
Vì ( )2 b
a ;( )2
c
b ;( )2
c
a ; với a, b, c nên (*) xảy vµ chØ ( )2
b
a ;( )2
c
b vµ ( )2
c
a ;
0,5® 0,5®
Từ suy a = b = c 0,5đ
Bµi (3 điểm)
Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm
11
x x
(x lµ sè nguyên khác -11)
0,5đ
Khi bt t s đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta đợc phân số
15
x x
(x khác -15)
0,5đ
Theo ta có phơng trình
11
x x
=
7 15
x
x 0,5®
Giải phơng trình tìm đợc x= -5 (thoả mãn) 1đ
Từ tìm đợc phân số
6
KL
0,5đ
Bài (2 điểm)
Bin đổi để có A= 2( 2) ( 2) ( 2)
a a a
a a
0,5®
=( 2)( 2 1) ( 2)( 1)2
a a a a
a 0,5®
V× 2
a a (a 1)2 0a nên (a2 2)(a 1)2 0a
a a
a 2)( 1) 33
( 2
0,5đ
Dấu = xảy a a1 0,25đ
(3)Bài (3 điểm)
a,(1 ®iĨm)
Chứng minh đợc tứ giác AMNI hình thang 0,5đ
Chứng minh đợc AN=MI, từ suy t giỏc AMNI l hỡnh thang
cân 0,5đ
b,(2®iĨm)
Tính đợc AD = cm
3
4 ; BD = 2AD = cm
3
AM = BD
1
cm
3
0,5®
Tính đợc NI = AM = cm
3
4 0,5®
DC = BC = cm
3
8 , MN =
DC
2
cm
3
4 0,5®
Tính đợc AI = cm
3
8 0,5đ
Bài (5 ®iĨm)
a, (1,5 điểm) Lập luận để có
BD OD AB
OM
,
AC OC AB ON
0,5®
Lập luận để có
AC OC DB OD
0,5®
AB ON AB
OM
OM = ON 0,5®
b, (1,5 điểm) Xét ABDđể có
AD DM AB
OM
(1), xét ADCđể có
AD AM DC
OM
(2)
Tõ (1) vµ (2) OM.(
CD AB
1
) 1
AD AD AD
DM AM
0,5® N
I M
D C
A B
O
N M
D C
(4)Chøng minh t¬ng tù ON.( )1
CD AB
0,5®
từ có (OM + ON).( )2
CD
AB AB CD MN
2 1
0,5®
b, (2 ®iĨm)
OD OB S
S
AOD AOB
,
OD OB S
S
DOC BOC
AOD AOB
S S
DOC BOC
S S
SAOB.SDOC SBOC.SAOD
0,5®
Chứng minh đợc SAOD SBOC 0,5đ
. ( )2
AOD DOC
AOB S S
S
Thay số để có 20082.20092 = (S
AOD)2 SAOD = 2008.2009
0,5®
Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172