Nghiên cứu xây dựng mô hình ứng xử của kết cấu chịu tải trọng ngẫu nhiên dựa vào phương pháp kriging metamodels

Luận văn này giới thiệu phương pháp ứng dụng một mô hình xác suất dựa trên lý thuyết Kriging để mô phỏng ứng xử của kết cấu khi những yếu tố tác động lên kết cấu là ngẫu nhiên Kriging Metamodels cho phép tích hợp các thông số đầu vào của mô hình số với các tham số ngẫu nhiên và kết quả mô phỏng ứng xử từ phần mềm phần tử hữu hạn thông qua các biến Luận văn đã nêu được lý thuyết tính toán kiểm chứng với phương pháp Monte Carlo và phần tử hữu hạn Sau đó ứng dụng vào bài toán cụ thể nhằm phân tích được kết quả của bài toán khi các thông số đầu vào là ngẫu nhiên đánh giá được mức độ ảnh hưởng của các thông số Nghiên cứu này góp phần quan trọng trong việc giải bài toán phân tích độ tin cậy tiết kiệm được thời gian tính toán

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN DUY MỸ NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG MƠ HÌNH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP KRIGING METAMODELS LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CƠNG NGHIỆP Đà Nẵng, Năm 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN DUY MỸ NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG MÔ HÌNH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP KRIGING METAMODELS Chuyên ngành Mã ngành : Kỹ thuật xây dựng cơng trình CN XD : 85.80.201 LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CƠNG NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐẶNG CÔNG THUẬT Đà Nẵng, Năm 2019 i LỜI CẢM ƠN Qua trình nỗ lực phấn đấu học tập nghiên cứu thân với giúp đỡ tận tình thầy, cô giáo Trường Đại học Bách Khoa Đà Nẵng bạn bè đồng nghiệp, luận văn thạc sĩ ứng dụng “Nghiên cứu xây dựng mơ hình ứng xử kết cấu chịu tải trọng ngẫu nhiên dựa vào phương pháp Kriging Metamodels” tác giả hoàn thành Để có thành này, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đặng Cơng Thuật tận tình hướng dẫn, bảo trình thực luận văn Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể Thầy, cô giáo khoa Xây dựng Dân dụng Cơng nghiệp, Trường Đại học Bách Khoa, gia đình, bạn bè động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian, kiến thức khoa học kinh nghiệm thực tế thân tác giả cịn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp trao đổi chân thành giúp tác giả hoàn thiện đề tài luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Đà Nẵng, ngày 01 tháng 10 năm 2019 Học viên thực Nguyễn Duy Mỹ ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Duy Mỹ iii NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG MÔ HÌNH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP KRIGING METAMODELS Học viên: NGUYỄN DUY MỸ Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng DD&CN Mã số: 85.80.201 Khóa: K35 Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng Tóm tắt: Luận văn giới thiệu phương pháp ứng dụng mơ hình xác suất dựa lý thuyết Kriging để mô ứng xử kết cấu yếu tố tác động lên kết cấu ngẫu nhiên Kriging Metamodels cho phép tích hợp thơng số đầu vào mơ hình số với tham số ngẫu nhiên kết mô ứng xử từ phần mềm phần tử hữu hạn thông qua biến Luận văn nêu lý thuyết tính tốn, kiểm chứng với phương pháp Monte Carlo phần tử hữu hạn Sau ứng dụng vào tốn cụ thể, nhằm phân tích kết tốn thơng số đầu vào ngẫu nhiên, đánh giá mức độ ảnh hưởng thơng số Nghiên cứu góp phần quan trọng việc giải tốn phân tích độ tin cậy, tiết kiệm thời gian tính tốn Từ khóa: Kriging; Metamodels RESEARCH ON CONSTRUCTION OF RESPONSE MODEL RANDOM VIBRATION STRUCTURE BASED ON KRIGING METAMODELS METHOD Abstract – This thesis introduces the method of applying a probability model based on Kriging theory to simulate the response of structures when the factors affecting the structure are random Kriging allows integration of numerical model input parameters with random values and response simulation results from finite element software through variables The thesis has stated the calculation theory and verified with Monte-Carlo method and finite element Then apply to two specific problems, in order to analyze the results of the problem when the input parameters are random, evaluate the influence of the parameters This study makes an important contribution to solving uncertain quantitative problems, estimating reliability, and saving calculation time Keywords: Kriging; metamodels iv MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii MỤC LỤC iv MỤC BẢNG vi MỤC HÌNH vii DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT ix MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu .1 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .2 Bố cục đề tài Tổng quan tài liệu nghiên cứu .2 CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ BÀI TỐN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI THAM SỐ ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN 1.1 Tình hình nghiên cứu tốn dao động xây dựng 1.2 Cơ sở động lực học kết cấu tính tốn hệ đàn hồi chịu động đất 1.2.1 Khái niệm động lực học cơng trình 1.2.2 Bậc tự 1.3 Nhận xét chương 30 CHƯƠNG LÝ THUYẾT KRIGING METAMODELS 31 2.1 Cơ sở xác suất biến ngẫu nhiên 31 2.1.1 Các dạng phân phối xác suất 31 2.1.2 Biến ngẫu nhiên 32 2.1.3 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên .32 2.2 Các mơ hình ứng xử .32 2.2.2 Low-rank approximations (LRA) 33 2.2.3 Kriging (KRG) .33 2.2.4 Polynomial chaos expansions (PCE) 33 2.2.5 Polynomial chaos Kriging (PCK) 34 2.2.6 Stochastic Kriging SCR 34 2.2.7 Các khái niệm .35 2.2.8 Các kiểu hàm dự báo hồi quy 36 2.2.9 Các hàm tương quan [26] .37 2.2.10 Phương pháp ước lượng hệ số  .39 2.2.11 2.2.12 Phương pháp tối ưu 40 Ước tính lỗi phát sinh .41 CHƯƠNG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ ĐỘ TIN CẬY CỦA KẾT CẤU 42 v 3.1 Đặt vấn đề 42 3.2 Ví dụ 1: Dầm đầu ngàm – toán đơn biến 43 3.2.1 Xây dựng mơ hình 43 3.2.2 Lấy ngẫu nhiên giá trị biên độ lực tác động theo phân phối Gausian 44 3.2.3 Chương trình tính tốn 46 3.2.4 Kiểm tra toán phương pháp PTHH 47 3.2.5 Một cách tiếp cận khác toán .49 3.2.6 Nhận xét 55 3.3 Ví dụ 2: Dầm đầu ngàm – toán đa biến 56 3.3.1 Xây dựng mơ hình 56 3.3.2 Chương trình tính tốn 57 3.3.3 Kết toán 57 3.3.4 Xây dựng mơ hình phân tích độ nhạy tham số 58 3.4 Ví dụ 3: Phân tích với cơng trình 10 Tầng .64 3.4.1 Dữ liệu ban đầu 65 3.4.2 Khảo sát với giả thiết tải trọng ngẫu nhiên 66 3.4.3 Khảo sát với giả thiết kích thước cột BNN 72 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 79 KẾT LUẬN .79 KIẾN NGHỊ 79 HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 Phụ lục - Chương trình “uq_Kriging_01_01_ViDu1.m” Phụ lục - Chương trình “uq_cantileverbeam_dabien.m” Phụ lục 3.1 - Chương trình “uq_Kriging_01_02_HamDonBien.m” Phụ lục 3.2 - Chương trình “uq_Kriging_02_01_HamDaBien.m” Phụ lục - Chương trình “uq_Kriging_03_02_HamDaBien_Sensitivity.m” Phụ lục – Chương trình “uq_Kriging_Vidu3.m” 12 Phụ lục – Chương trình “uq_Kriging_10_Story” 14 vi MỤC BẢNG Bảng 3.1 Các đại lượng giá trị dầm đầu ngàm 44 Bảng 3.2 Kết chuyển vị theo phân phối Gaussian 45 Bảng 3.3 Tổng hợp kết chuyển vị (mm) .48 Bảng 3.4 Bảng so sánh kết hai phương pháp 49 Bảng 3.5 Giá trị chuyển vị theo phương pháp LHS 49 Bảng 3.6 Độ lệch chuẩn theo phương pháp LHS 49 Bảng 3.7 Giá trị chuyển vị theo phương pháp MC 52 Bảng 3.8 Độ lệch chuẩn theo phương pháp MC 52 Bảng 3.9 Mô đun đàn hồi ban đầu bê tông nén kéo theo TCVN 5574-2018 [1] 56 Bảng 3.10 Giá trị đại lượng hệ số sai lệch 57 Bảng 3.11 Kết với bai toán đơn biến đa biến .57 Bảng 3.12 Các thông số đầu vào 61 Bảng 3.13 Giá trị độ nhạy % tham số 61 Bảng 3.14 Các đại lượng khảo sát 62 Bảng 3.15 Kết tham số đầu vào 62 Bảng 3.16 Các giá trị với phương án thay đổi Cov tải trọng 63 Bảng 3.17 Kết khảo sát .63 Bảng 3.18 Các thông số đầu vào cơng trình 66 Bảng 3.19 Giá trị phân phối đại lượng ngẫu nhiên .66 Bảng 3.20 Các điểm quan sát 68 Bảng 3.21 Bộ sở liệu để dự đoán (Xval,Yval) .68 Bảng 3.22 Các điểm kiểm tra 71 Bảng 3.23 Các thông số đầu vào với tiết diện thay đổi 72 Bảng 3.24 Quy ước vị trí kích thước cột 72 Bảng 3.25 Thống kê số lượng loại cột mô hình .73 Bảng 3.26 Giá trị chuyển vị đỉnh cơng trình theo trường hợp 73 Bảng 3.27 Trọng số loại cột theo trường hợp 76 Bảng 3.28 Các điểm quan sát A, B, C, D, E 77 vii MỤC HÌNH Hình 1.1 Kết cấu dầm giản đơn mơ hình khối lượng tập trung thay .4 Hình 1.2 Các loại tải trọng tác dụng lên hệ kết cấu Hình 1.3 Dao động lắc đơn Hình 1.4 Dao động tự không cản .8 Hình 1.5 Dao động tự có cản .8 Hình 1.6 Dao động hệ bậc tự có xét ảnh hưởng chuyển vị Hình 1.7 Dao động hệ bậc tự tác dụng lực cưỡng .10 Hình 1.8 Biểu đồ Nyquist hàm độ dẫn học M() .12 Hình 1.9 Tải trọng xung 13 Hình 1.10 Mơ hình tính tốn tương đương hệ bậc tự 18 Hình 1.11 Mơ hình hệ bậc tự chịu tải trọng động đất .19 Hình 1.12 Chuyển động hệ kết cấu có cản tới hạn 21 Hình 1.13 Phổ gia tốc vận tốc thực sau làm trơn 24 Hình 1.14 Phổ phản ứng băng gia tốc trận động đất Imperial Valley (15/10/1979), đo trạm El Centro Array 25 Hình 1.15 Phổ mục tiêu MCE so với trung bình SRSS kết cấu cách chấn 26 Hình 1.16 Bậc tự động hệ kết cấu: a Hệ có xét đến biến dạng dọc trục kết cấu gồm 18 bậc tự b Hệ không xét đến biến dạng dọc trục kết cấu gồm bậc tự 27 Hình 1.17 Bậc tự sàn cứng mặt phẳng ngang 30 Hình 1.18 Mơ hình tính tốn hệ nhiều bậc tự chịu tải trọng động đất .30 Hình 2.1 Các dạng phân phối .31 Hình 2.2 Phân loại mơ hình metamodels .33 Hình 3.1 Mơ hình dầm đầu ngàm 43 Hình 3.2 Mơ tả thơng số đầu vào hàm phân phối Gaussian (N=1000) 45 Hình 3.3 Mô tả kết N=1000 hàm phân phối Gaussian 45 Hình 3.4 Sơ đồ bước thực toán Kriging Metamodels .46 Hình 3.5 Mơ tả kết hàm phân phối Gaussian 47 Hình 3.6 Kết theo PTHH (theo công thức (3.2)) .48 Hình 3.7 Chuyển vị theo phương pháp LHS – Xét trục Ns 50 viii Hình 3.8 Độ lệch chuẩn theo phương pháp LHS – Xét trục Ns 50 Hình 3.9 Chuyển vị theo phương pháp LHS - Xét trục N 51 Hình 3.10 Độ lệch chuẩn theo phương pháp LHS -Xét trục N 51 Hình 3.11 Chuyển vị theo phương pháp MC – Xét trục Ns 53 Hình 3.12 Độ lệch chuẩn theo phương pháp MC – Xét trục Ns 53 Hình 3.13 Chuyển vị theo phương pháp MC – Xét trục N .54 Hình 3.14 Độ lệch chuẩn theo phương pháp MC – Xét trục N 54 Hình 3.15 Sơ đồ phân tích độ nhạy theo phương pháp Sobol’ 61 Hình 3.16 Biểu đồ khảo sát độ nhạy tham số 62 Hình 3.17 Biểu đồ khảo sát độ nhạy theo trường hợp 63 Hình 3.18 Biểu đồ khảo sát độ nhạy theo trường hợp tải trọng 64 Hình 3.19 Xây dựng mơ hình 3D 67 Hình 3.20 Các module phân tích Ansys 67 Hình 3.21 Biểu diễn kết Yval ; YKRG 70 Hình 3.22 Kết dự đốn từ mơ hình thực mơ hình Kriging 70 Hình 3.23 Chuyển vị lớn (Mode1, t=2s), trường hợp 74 Hình 3.24 Chuyển vị lớn (Mode1, t=2s), trường hợp 74 Hình 3.25 Chuyển vị lớn (Mode1, t=2s), trường hợp 75 Hình 3.26 Chuyển vị lớn (Mode1, t=2s), trường hợp 75 Hình 3.27 Chuyển vị lớn (Mode1, t=2s), trường hợp 76 Hình 3.28 Mơ hình Kriging cho điểm A, B, C, D, E 77 Hình 3.29 Kết với trường hợp cột 500x500 78 Ứng dụng kriging metamodels phân tích độ nhạy sobol nghiên cứu dao động ngẫu nhiên kết cấu Random vibration study of structures based on Kriging metamodels and Sobol sensitivity analysis Ngày nhận bài: 29/6/2019 Ngày sửa bài: 22/7/2019 Ngày chấp nhận đăng: 15/8/2019 Nguyễn Duy Mỹ, Đặng Công Thuật TĨM TẮT Cơ học xác suất nhằm mục đích tính đến khơng chắn tham số đầu vào mơ hình kết cấu nghiên cứu tác động chúng mơ hình đáp ứng kết cấu Lĩnh vực nằm giao thoa ba lĩnh vực: học, thống kê lý thuyết xác suất bao gồm ứng dụng khác phân tích độ tin cậy, phân tích phần tử hữu hạn ngẫu nhiên dao động ngẫu nhiên Hơn nữa, việc mơ hình hóa kết cấu phức tạp thường đòi hỏi số lượng lớn tham số đầu vào Tuy nhiên, có số lượng tham số đầu vào ảnh hưởng đáng kể đến tính ngẫu nhiên đáp ứng Bài viết nhằm mục đích khảo sát ứng xử động kết cấu chịu tải ngẫu nhiên dựa mơ hình Kriging metamodels Sự xác phương pháp so sánh với kết mô Monte Carlo Bên cạnh đó, tác giả ứng dụng phân tích độ nhạy Sobol nhằm phân tích ảnh hưởng tham số ngẫu nhiên đầu vào ảnh hưởng đến ứng xử kết cấu Từ khóa: Kriging, metamodels, Sobol, phân tích độ nhạy, tải trọng ngẫu nhiên ABSTRACT Probabilistic engineering mechanics aims at taking into account uncertainties on input parameters of mechanical models and studying their impact on to the model response [1] This field lies at the interface between mechanics, statistics and probability theory and encompasses various applications such as structural reliability, stochastic finite element analysis and random vibrations Moreover, the modelling of complex systems usually requires a large number of input parameters However, in most real-world problems, only a limited number of input parameters happens to influence the response randomness significantly This paper aims to investigate the dynamic response of a structure subjected to random load based on Kriging metamodels The accuracy of the Kriging surrogate model are confirmed by comparison with the Monte Carlo simulation results In addition, the author applies Sobol sensitivity analysis to analyze the effects of input random parameters affecting the dynamic responses of the structure Keywords: Kriging, metamodels, Sobol, sensitivity analysis, loading random Nguyễn Duy Mỹ Khoa Xây dựng Dân dụng Công nghiệp, Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Đà Nẵng Đặng Công Thuật Khoa Xây dựng Dân dụng Công nghiệp, Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Đà Nẵng Giới thiệu Kết cấu cơng trình xây dựng (nhà xưởng, cầu cống, cảng biển ), trình sử dụng bình thường, chịu tác động tải trọng động ngẫu nhiên tải trọng gió, tải trọng sóng hay tải trọng động đất [1,2]… Do đáp ứng chuyển vị, vận tốc có tính chất ngẫu nhiên Bởi vậy, phân tích dao động ngẫu nhiên, kết đáp ứng biểu diễn dạng trung bình theo nghĩa xác suất Phương pháp mô Monte Carlo [3,4] sử dụng nhiều tính ổn định mạnh mẽ khía cạnh xây dựng mơ hình xác suất địi hỏi thời gian tính tốn tốn Bài báo giới thiệu phương pháp xây dựng mơ hình xác suất dựa Kriging (KRG) metamodels để mô ứng xử kết cấu yếu tố tác động lên kết cấu ngẫu nhiên KRG cho phép thiết lập ánh xạ đáp ứng kết cấu thông qua hàm thông số đầu vào ngẫu nhiên (tải trọng, vật liệu, kích thước cấu kiện Bên cạnh đó, tác giả sử dụng phương pháp phân tích độ nhạy Sobol để phân tích ảnh hưởng tham số đầu vào đến kết đáp ứng kết cấu Cở sở lý thuyết Kriging Metamodels phân tích độ nhạy Sobol 2.1 Kriging Metamodels Metamodel xấp xỉ hàm Input/Output xác định mơ hình mơ [5] Mơ hình mơ tất định ngẫu nhiên Kriging thuật tốn nội suy ngẫu nhiên có ứng dụng lĩnh vực toán học kỹ thuật ứng dụng khác [5] Cung cấp quy trình Gaussian để phù hợp với điểm quan sát, hồi quy (khơng đổi, tuyến tính, đa thức tùy ý), với hàm tương quan khác (Gaussian, lũy thừa, Matérn, tùy ý) Công thức theo Santner, T., B Williams, and W Notz [6]: 09.2019 137 K ( x ) β T f ( x ) + σ Z ( x ,ϖ ) M = n (1) Giả định Gaussian nói vectơ hình thành phản ứng mơ hình thực y dự đốn Yˆ ( x) , có phân phối Gaussian chung định nghĩa bởi:  Yˆ ( x )     f T ( x)β   2   rT ( x )     Ν N +1c   ,σ     y   R   Fβ   r ( x )     • r(x) vectơ tương quan chéo điểm dự đoán x Rlà ma trận tương quan Ri j = R ( xi , x j ;θ ), i, j = 1, , N Do đó, giá trị trung bình phương sai ngẫu nhiên Gaussian Yˆ ( x) tính tốn theo tài liệu [6] µYˆ ( x) = f ( x)T β + r ( x)T R −1 ( y − F β ) (3) σ 2Yˆ ( x) = σ (1 − r T ( x) R −1r ( x) + µ T ( x)( F T R −1 F ) −1 u ( x)) (4) Trong đó: β = ( F T R −1 F ) −1 F T R −1 y (5) ước lượng bình phương nhỏ toán hồi quy = u ( x) F T R −1r ( x) − f ( x) (6) Một hệ hữu ích khác giả định Gaussian là: Yˆ ( x)  Ν ( µYˆ ( x), σ Yˆ ( x) ) (7) Do (8) Trong Φ(.) biểu thị hàm mật độ tích lũy Gaussian Lưu ý xác suất nhỏ t giá trị x Dựa phương trình (8) dự đoán    α  α Yˆ ( x) ∈  µYˆ ( x) − Φ −1 1 −  σ Yˆ ( x), µYˆ ( x) + Φ −1 1 −  σ Yˆ ( x)    2 09.2019 i1 , is  n n i =1 i< j ( xi , xi , , xi s )dx = 0;= k i1 , , is k (11) 2  (9) Yˆ ( x) , sử dụng phương trình (3) (4) (12) Từ (12), phần tử (10) trực giao biểu diễn tích phân f(x):   f ( x)dx = f ;  ( ) f x dx= f + f i ( xi );  ∏ k k ≠i   f ( x) ∏ dxk =+ f f i ( xi ) + f j ( x j ) + f ij ( xi , x j ); k ≠i, j  (13) Giả thiết f(x) bình phương khả tích Do tất hàm fi1 is (10) bình phương khả tích Bình phương hai vế (10) lấy tích phân: ∫ f ( x) n n dx − f o = ∑∑ =s i1 < is ∫ f ( x) dx − f D=∑ ∑ D D= ∫f i1 is ; Di1 is = ( xi1 , , xis )dxi1 dxis ∫f i1 is dxi1 dxis (14) (15) n =s i1 < is (16) i1 is Đối chiếu với lý thuyết xác suất, dễ dàng nhận thấy; f0 kỳ vọng f(x); D phương sai f(x); Di1, is phương sai hàm fi1, is(xi1, ,xis) Chỉ số độ nhạy toàn phần Sobol tỷ số: n 2.2.Kỹ thuật phân tích phương sai số độ nhạy Sobol Phương pháp phân tích độ nhạy Sobol dựa kỹ thuật phân tích phương sai (Analysis Of Variance - ANOVA), phân tích phương sai đầu mơ hình/hệ thống thành tổng phương sai thông số đầu vào theo bậc tăng dần Xét x = (x1, x2,…, xn) tập thông số đầu vào Mỗi thông số xem thay đổi khoảng hữu hạn đó, với giả thiết sau số ánh xạ đó, [0,1] Mỗi thơng số xem biến ngẫu nhiên có phân phối [0,1] độc lập với Đầu mơ hình cần đánh giá độ nhạy hàm f(x) không gian Nếu f(x) hàm khả tích, khai triển dạng: 138 D=∑ với xác suất 1-α Trong thực tế, để có mơ hình Kriging ta cần có bước sau: • Bước 1: Chọn hàm hồi quy Kriging • Bước 2: Chọn hàm tương quan thích hợp R(x,x;θ) • Bước 3: Nếu θ phương sai σ2 trình Gaussian khơng xác định, ta ước tính giá trị • Bước 4: Sử dụng giá trị tối ưu θ, phần lại tham số Kriging chưa biết (σ2, β) tính tốn Sau đó, dự đốn cho điểm thực theo giá trị trung bình phương sai ∫f n  t − µYˆ ( x)  Ρ Yˆ ( x) ≤ t  = Φ  σ ˆ ( x)   Y  Yˆ ( x) (10) Trong (10)) ≤ i1 < < is ≤ n Tổng số hạng (10) 2n, cách biểu diễn khác là: f= 1, , = N , j 1, , P j ( xi ), i ri = R( x, xi ;θ ), i = 1, , N f i1 is ( xi1 , xis ) =s i1 < is Sobol chứng minh (10) gọi biểu diễn ANOVA nếu: F ma trận = Fij • n ∑ f ( x) = f + ∑ f i ( xi ) + ∑ f ij ( x i , x j ) + + f1,2, ,n ( x1 , x2 , , xn ) (2) Trong đó: • điểm quan sát, ) f +∑ f ( x= n ∑D =s i1 < is (17) i1 is Số nguyên s công thức thường gọi số độ nhạy Tất Si1 is không âm và: n n ∑∑S =s i1 < is i1 is =1 (18) Trong nghiên cứu [7] giải thích chi tiết ý nghĩa số độ nhạy Sobol đưa thuật tốn Monte Carlo để tính tốn chúng Một số đặc điểm số độ nhạy Sobol là: (i) số độ nhạy toàn phần/bậc một/bậc hai ln ln dương; (ii) thơng số có số độ nhạy ≥ 0,05 xem có ảnh hưởng đến thơng số đầu mơ hình; (iii) tổng số độ nhạy Sobol 1; (iv) số độ nhạy tồn phần ln lớn số độ nhạy bậc một/bậc hai Các số độ nhạy Sobol’ bậc Si, bậc hai Sij số tác động tổng cộng SiT viết Si = Si j = V [ E ( f | xi ) ] V( f ) V  E ( f | xi , x j )  − V [ E ( f | xi )] − V  E ( f | x j )  V( f ) ST = V [ E ( f | x= i )] V( f ) (19) Các bước phân tích độ nhạy theo phương pháp Sobol mơ tả hình vẽ Theo cơng thức (21) nhận thấy hàm giá trị chuyển vị vị trí khối lượng tập trung m phụ thuộc vào biến m, g, L, E, b, h, p0 , ϖ0, t, ϕ Trình tự thực việc phân tích dao động ngẫu nhiên kết cấu dựa nề tảng UQLab [10] sau: •Khai báo thơng số tải trọng ngẫu nhiên •Chọn điểm quan sát dựa kết từ phương pháp lý thuyết •Chọn mơ hình Kriging •Chọn loại hàm hồi quy, hàm tương quan, phương pháp ước lượng thích hợp •Phân tích đánh giá kết Hình Sơ đồ phân tích độ nhạy theo phương pháp Sobol Ví dụ minh họa 3.1 Dầm đơn giản chịu tải trọng động ngẫu nhiên Hình Mơ hình dầm đầu ngàm Xét tốn đơn giản dầm đầu ngàm có khối lượng tập trung đầu tự hình vẽ Bỏ qua khối lượng dầm so với khối lượng tập trung m Dầm có chiều dài l độ cứng chống uốn EI (giả thiết cột hình chữ nhật có tiết diện b x h) Khối lượng chịu tác dụng tải trọng ngẫu nhiên p(t)=p0sin(ϖ0t) Độ cứng hệ: k = 3EI L3 Tần số dao động riêng:= ϖ bh3 3EI (trong I = ) 12 mL k = m Hệ số động (theo công thức 1-123 tài liệu [8] ): Rd = = 1− ϖo ϖ2 40 1− 35 ϖ o mL 3EI 30 25 p0 L Rd sin(ϖ t ) 3EI Tan suat Phương trình dao động trạng thái ổn định: u p (t ) = umax = um + u p = 20 15 (20) Độ võng dầm (tại vị trí khối lượng m): mgL p0 L Rd sin(ϖ t ) + 3EI 3EI Hình Sơ đồ bước thực toán Kriging Metamodels 3.1.1 Trường hợp có tải trọng ngẫu nhiên Trong tốn này, tác giả quan tâm đến tải trọng ngẫu nhiên p(t)=p0sin(ϖ0t+ϕ) nên chọn biến p0 biến khảo sát Bảng Các đại lượng giá trị dầm đầu ngàm Phân TT Đại lượng Ký hiệu Giá trị phối Gia tốc g (m/s2) 10 Khối lượng m (T) 3 Mô đun đàn hồi E (kN/m2) 30E6 Tiết diện b (m) 0.22 Tiết diện h (m) 0.35 Mô men quán I = b.h3/12 0.0007860 tính (m4) Chiều dài L (m) Biên độ lực tác Gaussia p0 (kN) [ 10 ] động n Tần số góc 30 ϖ0 (độ/s) 10 Thời gian t(s) - 10 (21) 4.62 4.625 4.63 4.635 4.64 4.645 4.65 4.655 4.66 Chuyen vi (mm) Hình Kết chuyển vị đầu dầm với 5000 lần mô 09.2019 139 70 % Do Nhay 60 50 40 30 20 10 m Hình Phân tích chuyển vị dầm theo Ansys Bên cạnh đó, tác giả sử dụng phần mềm phần tử hữu hạn Ansys (hình vẽ 5) để phân tích dao động dầm, với trường hợp p0 = 10 kN, có kết chuyển vị sau: Bảng Tổng hợp kết chuyển vị (mm) Monte Carlo Kriging PTHH 4.6402 4.6392 4.6007 Trung bình µ 0.1188 0.00523 Độ lệch chuẩn σ Như vậy, độ lệch phương pháp Kriging Metamodel nhỏ so với phương pháp lý thuyết sử dụng Monte Carlo với 5000 lần mô so với phương pháp PTHH, giá trị chuyển vị (kỳ vọng) chênh lệch hai phương pháp Monte Carlo KRG nhỏ 1% 3.1.2 Trường hợp xét đồng thời biến ngẫu nhiên Các biến có giá trị theo phân phối xác suất giả thiết Biến E có giá trị thay đổi lấy theo bảng Bảng Giá trị đại lượng hệ số sai lệch TT Đại lượng Ký hiệu Giá trị Cov (%) Khối lượng m (T) Mô đun đàn hồi E (kN/m2) 30E6 Tiết diện b (m) 0.22 Tiết diện h (m) 0.35 Chiều dài L (m) Biên độ lực p0 (kN) 10 Thời gian t(s) t Kết chuyển vị đỉnh dầm bải toán sau: - Giá trị trung bình: μ = 4,5944 mm - Độ lệch chuẩn: σ = 0,2897 mm Kết khảo sát độ nhạy tham số đầu vào thể bảng hình vẽ Bảng Giá trị độ nhạy % tham số Độ nhạy tham số đầu vào (%) m b h L E p 1.34 2.43 21.39 0.21 60.07 15.11 140 09.2019 b h L E p Hình Biểu đồ khảo sát độ nhạy tham số Chúng ta tiến hành khảo sát độ nhạy tham số đầu vào số trường hợp thay đổi hệ số biến thiên tham số: Bảng Các đại lượng khảo sát Cov (%) Ký Giá T Đại lượng TH TH TH TH hiệu trị T Khối lượng m (T) 3 Tiết diện b (m) 0.22 Tiết diện h (m) 0.35 Chiều dài L (m) 2 5 Biên độ lực p0 (kN) 10 Mô đun đàn E 3E10 5 5 hồi (kN/m2) Kết khảo sát thể bảng hình vẽ Bảng Kết tham số đầu vào Độ nhạy tham số đầu vào (%) m b h L E p 1.34 2.43 21.39 0.21 60.07 15.11 TH1 2.39 4.37 38.49 0.38 27.01 27.06 TH2 2.80 5.14 45.31 0.45 14.11 31.68 TH3 2.97 5.51 48.50 0.48 8.47 33.65 TH4 3.06 5.73 50.38 0.50 5.61 34.60 40 50 Truong Hop 35 Truong Hop 40 30 25 30 20 20 15 10 10 0 m b h L E p m b h L E p 60 50 Truong Hop Truong Hop 50 40 40 30 30 20 20 10 10 0 m b h L E p m b h L E p Hình Biểu đồ khảo sát độ nhạy theo trường hợp Nhận xét: •Thơng số E có ảnh hưởng lớn đến giá trị tốn, sau đến thơng số h p •Khi tăng hệ số Cov đồng thời cho tham số h p mức độ ảnh hưởng tăng, mức độ tăng không tham số E 3.2 Phân tích với cơng trình 10 tầng chịu tải trọng động đất Mục đích tốn phân tích cơng trình bê tơng cốt thép với thông số đầu vào giả thiết theo quy luật phân phối định Cơng trình chịu động đất với gia tốc lịch sử thời gian giả thiết Với thông số đầu vào ngẫu nhiên, qua phân tích thiết lập mơ hình ứng xử kết cấu dựa vào Kriging metamodels với độ tin cậy cao mà sau dùng để tìm đáp ứng kết cấu mà khơng cần phải sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích 1.1.2.Dữ liệu đầu vào Bảng Các thơng số đầu vào cơng trình TT Đại lượng Ký hiệu Giá trị Số tầng N 10 b (mm) 500 Cột h (mm) 500 b (mm) 300 Dầm h (mm) 600 Sàn h (mm) 150 Vách h (mm) 200 Vật liệu: Bê tông E (kN/m2) 30E6 Chiều cao tầng H1 (m) Chiều cao tầng đến 10 H2 – H10(m) Hình Minh họa phân tích cơng trình phần mềm Ansys Trong ví dụ này, tác giả xét biến ngẫu nhiên mô đun đàn hồi vật liệu bê tông (bảng 8) Bảng Giá trị phân phối đại lượng ngẫu nhiên Độ Phân TT Đại lượng Ký hiệu Giá trị lệch phối Mô đun đàn hồi E (kN/m2) 30E6 15E5 Gaussian a Xây dựng mơ hình Kriging Xây dựng sở liệu ban đầu phần mềm Ansys Bảng Các điểm quan sát TT E (kN/m2) a(t) (m/s2) YANSYS (mm) 2.95E+07 -0.6846 10.787 2.95E+07 -2.2863 37.693 2.95E+07 -0.3556 8.7091 2.95E+07 -0.1877 -2.8431 2.95E+07 0.7137 -4.3081 3.00E+07 -0.6846 10.614 3.00E+07 -2.2863 37.064 3.00E+07 -0.3556 8.5168 3.00E+07 -0.1877 -2.7075 10 3.00E+07 0.7137 -4.3221 11 3.05E+07 -0.6846 10.447 12 3.05E+07 -2.2863 36.456 13 3.05E+07 -0.3556 8.3323 14 3.05E+07 -0.1877 -2.5789 15 3.05E+07 0.7137 -4.3336 Bảng 10 Bộ sở liệu để dự đoán (Xval,Yval) TT t (s) E (kN/m2) a(t) (m/s2) Yval1 (mm) YKRGn (mm) 10 0.2 3.42E+07 0.0368 -0.5734 9.0306 20 0.4 3.21E+07 0.129 -2.0099 9.9969 30 0.6 2.88E+07 0.2449 -3.8158 10.3926 … … … … … … b Kết thực mơ hình Kriging Kết thực mơ hình đạt độ xác cao giá trị Yval xấp xỉ với YKRG, tức điểm nằm đường chéo hình vẽ Hình Kết dự đốn từ mơ hình thực mơ hình Kriging c Kiểm tra Tiến hành kiểm tra số điểm ngẫu nhiên điểm bảng phần mềm Ansys Bảng 11 Các điểm kiểm tra a(t) YKRGn YANSYS TT t (s) E (kN/m2) % (m/s2) (mm) (mm) 10 0.2 3.42E+07 0.0368 9.0306 9.2004 1.88 20 0.4 3.21E+07 0.129 9.9969 9.7798 2.17 30 0.6 2.88E+07 0.2449 10.393 10.854 4.44 Nhận xét: Căn vào kết bảng 11, nhận thấy rằng, giá trị chuyển vị mà mơ hình KRG dự đốn so với kết phương pháp PTHH chênh lệch khơng q 4.5% Độ xác mơ hình cao tăng số điểm quan sát, tốn tăng số điểm quan sát, nhiên số điểm quan sát số lần giải tốn phương pháp PTHH, nên việc chọn số lần mô hợp lý cân đối độ xác thời gian thực toán Thảo luận Trên sở nghiên cứu, ứng dụng công cụ phân tích tảng UQLab để phân tích dao động ngẫu nhiên kết cấu, tác giả có số nhận xét sau: Trong báo đưa lý thuyết xây dựng mơ hình Kriging Metamodels ứng dụng mơ hình vào tốn phân tích kết cấu với thông số đầu vào tải trọng ngẫu nhiên Mơ hình Kriging thuộc gói cơng cụ UQLab hỗ trợ đắc lực việc nghiên cứu toán dao động ngẫu nhiên Việc chọn tùy chọn tham số mơ hình Kriging có ảnh hưởng đến kết quả, cần tiến hành phân tích, so sánh, đánh giá để có hướng dẫn cho việc tùy chọn tham số tùy thuộc vào toán cụ thể Ngồi phân tích với mơ hình LRA, PCE, PCK Bên cạnh đó, tốn mở rộng không với tải trọng ngẫu nhiên, mà cịn kể đến thơng số ngẫu nhiên khác mơ hình kết cấu vật liệu, kích thước hình học Đánh giá độ nhạy tham số ngẫu nhiên dựa vào phương pháp phân tích độ nhạy Sobol Lời cảm ơn Chúng xin chân thành cảm ơn Bộ Giáo dục Đào tạo hỗ trợ kinh phí cho báo thơng qua đề tài nghiên cứu khoa học B2018.DNA.01 09.2019 141 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1].Sudret, Bruno "Uncertainty propagation and sensitivity analysis in mechanical models– Contributions to structural reliability and stochastic spectral methods." Habilitationa diriger des recherches, Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand, France (2007) [2].A Preumont, Vibrations aléatoires et analyse spectrale PPUR presses polytechniques, 1990 [3].Nguyễn Hữu Lộc, Thiết kế phân tích hệ thống khí theo độ tin cậy, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật 2007 [4] C J Astill, S B Imosseir, and M Shinozuka, “Impact loading on structures with random properties,” J Struct Mech., vol 1, no 1, pp 63–77, 1972 [5] Kleijnen, J.P.C., Kriging metamodeling in simulation [6].Santner, T., B Williams, and W Notz The design and analysis of computer experiments 2003 [7].Sobol’, I.M., Global sensivity indices for nonline mathematical models and their MonteCarlo estimates 2001 [8] Phạm Đình Ba, Động lực học cơng trình 2009 [9].Tran Thi Xuan Thanh, Bayesian uncertainty quantification of model parameters of existing structures using earthquake response data, Doctor thesis [10].Marelli, Stefano, and Bruno Sudret, UQLab: A framework for uncertainty quantification in Matlab Vulnerability, Uncertainty, and Risk: Quantification, Mitigation, and Management 2014 2554-2563 142 09.2019 Use of Kriging metamodels for seismic fragility analysis of structures Cong-Thuat Dang1, Thanh Tran2, Duy-My Nguyen1, My Pham1 and Thien-Phu Le3 University of Science and Technology - The University of Danang, Vietnam Yokohama National University, Japan 3LMEE, Université d’Évry Val-d’Essonne, 91020 Evry cedex, France dangcongthuat@dut.udn.vn Abstract In civil engineering, a seismic fragility curve is popularly used to predict failure probability of structures under different earthquakes, and hence propose essential rehabilitation strategies through risk assessment for future earthquakes The curve shows the failure probability as a function of seismic intensity, e.g., spectral acceleration at fundamental frequencies of structures (Sa,T1), and can be obtained using one of three approaches: engineering judgment, numerical and empirical simulation The paper focuses on constructing seismic fragility curves using numerical simulations, where robust approaches of seismic reliability analysis are based on direct Monte Carlo (MC) simulation technique The MC based method usually requires a relatively large number of simulations to obtain a sufficiently reliable estimate of the fragility It therefore becomes computationally expensive and time consuming as generating the simulations using the actual model or called full model of the structure In this regard, this paper suggests using Kriging metamodel as a viable alternative of the actual model to reduce computational costs in seismic fragility computation The Kriging metamodel is constructed based on the training samples of input and corresponding output responses of the structure The validation of this method is performed on two numerical examples Keywords: Monte Carlo Simulation, Kriging Metamodeling, Fragility Curves Introduction Seismic probabilistic assessment (PRA) comprises seismic hazard, fragility curves and dominant accident sequences, which lead to core damage of structures in nuclear engineering field [1] Fragility curves have been applied to diff erent structural types, e.g., buildings and bridges They are useful for structural designs in earthquake-prone areas, retrofit or disaster response planning A seismic fragility curve expresses failure probability of a structure or a mechanical system subjected to earthquakes as a function of a ground motion index, e.g., peak ground acceleration (PGA) and peak ground velocity (PGV) Fragility  P  LS  DS IM  (1) where LS, DS are limit states or damage levels of the structures; IM is an earthquake intensity measure There are three common approaches to attain failure probability such as scaled seismic intensity (SSI), and probabilistic seismic demand model/probabilistic seismic capacity model (PSDM/PSCM), and maximum likelihood estimation (MLE) A comparative study on these methods can be found in reference [2] Fragility calculation methods based on Monte Carlo usually require the large amount of numerical simulations to obtain reliable failure probability of the structures Unfortunately, these approaches are commonly not feasible in many real cases The complexity of civil structures such as bridges and buildings demand corresponding approximated numerical models which are costly to run with thousands of times For this reason, third-party approximated metamodels with sufficient accuracy to some extent can be used alternatively In recent decades, Kriging based metamodeling [3,4] has emerged as an efficient statistical approach which involves random errors into the process of constructing alternative input-output relations In general, one of advantages of using Kriging metamodel or surrogate is accurate modeling capacity for nonlinear responses In this study, Kriging metamodels are first developed to approximate dynamic responses of dynamic structures under seismic excitations The metamodels are then adopted to construct fragility curves of the structures Particularly, the fragility analysis can be addressed without log-normal shape assumption as most of traditional methods The efficiency of using the surrogates instead of actual responses is finally demonstrated by two examples of linear and nonlinear oscillators Seismic fragility analysis using Kriging metamodels 2.1 Kriging metamodel Kriging is a metamodeling technique which considers true model responses as realizations of a Gaussian process Suppose y = f(x) is a function representing the relationship between input and output of a numerical model A d-dimensional input vector x = (x1, x2, …, xd) of concern is experimentally designed into a sample Xs = (x1, x2, , xn), and a corresponding output matrix is Ys = f (x1, x2, …, xn) The target is to construct the function f(x) for any untried inputs; therefore, the pair of (Xs, Ys) can be considered as a training data set D A Gaussian process (GP) can interpolate an output of a certain input in conjugation with the learning data via covariance functions, and defined as follows: k f (x)  m(x)  e(x)    j h j (x)  e(x) (2) j 0 with k basic functions Without prior knowledge about the input-output relationship, m(x) can be simplified as a onedegree polynomial with (d+1) basic functions (also called trend), β = [β0, β1,…βd]T is the unknown regression vector, and h(x) = [1, x1,…, xd] is the known corresponding function vector The stochastic part e(x) is assumed as a zero-mean Gaussian process characterized by covariance function The process of Kriging metamodeling can be briefly described within five steps The first step is determining all possible uncertainties originating from structures or loadings Secondly, samples of the identified uncertain parameters can be created by Design-of-Experiments (DOE) Next step is computing corresponding responses from the above samples of inputs Then, the Kriging metamodels can be constructed by functioning the relationship between input uncertain parameters and response realizations Finally, the metamodels must be validated before using them as alternative models of actual models or structures 2.2 Kriging metamodel based seismic fragility analysis The seismic fragility analysis considering not only randomness of seismic excitations but also the uncertainty of structural properties is expected to predict reliable failure probability for civil structures Two popular methods to develop the fragility curves as Maximum Likelihood Estimation (MLE) and Kriging metamodel based MC simulations are adopted in this paper Herein, the authors focus on how to use the surrogates to compute failure probability by the MS method Given an intensity level, N simulations can be computed using the developed metamodels with considering the random variability of the structural parameters N corresponding outputs are then obtained For structures subjected to seismic loadings, maximum displacement is commonly chosen as a sensitive measure to damage The responses are then compared to limit states to attain exceeding failure probability The fragility curve can be finally derived from different failure probabilities under various intensities Applications 3.1 Synthetic ground motion histories The stochastic method proposed by Boore [5] assumes that ground motion is dis- tributed with random phase over a time duration related to earthquake size and propa- gation distance The ground motion is characterized by its spectrum - this is where the physics of earthquake process and wave propagation are contained The total spectrum of the motion at a site S(M0, R, f) is considered as a combination of earthquake source (E), path (P), site (G) and type of motion (I) S  M , R, f   E  M , f  P( R, f )G( f ) I ( f ) (3) where M0 is the seismic moment that is related to the seismic magnitude M by M  log M  10 (4) R is the distance from source to site and f is frequency The source E(M0,f): is based on the source spectral shape AS00 [6] The path P(R,f) accounts the effects of geometrical spreading, attenuation and the increase of duration with distance due to wave propagation and scattering The site G(f) accounts the effects due to local site geology and is separated to amplification A(f) and attenuation D(f): G(f) = D(f)A(f) The motion type I(f) for acceleration is defined as I(f) = (2πf)2 3.2 Linear and non-linear oscillators Two linear and non-linear Bouc-Wen oscillators [7] were considered here x  t   20 x  t    x  t   a t  (5) x  t   20 x  t   02  x  t   1      t    a  t  , with   t   C1 x  t   C2 x  t    t  nd 1   t   C3 x  t    t  (6) nd where ω0 (rad/s) is the natural angular frequency; ζ is the damping ratio; for Bouc- Wen behavior: ω(t) is the hysteretic displacement and α, C1, C2, C3, nd are constants; a(t) is ground acceleration and g is gravitational acceleration Numerical parameter values were inspired by Kafali et Grigoriu [7]: ω0 = 5.97 rad/s, ζ = 2%, C1 = 1, C2 = C3 = 0.5 cm, α = 0.1, nd = for the Bouc-Wen oscillator Oscillator responses under seismic excitations were obtained with the Runge-Kutta algorithm in MATLAB software The failure of an oscillator was verified by comparing displacement x(t) with a displacement limit x0 i.e., X = max|x(t)| The displacement limit x0 = cm was chosen in these examples 3.3 Design-of-Experiment of uncertain parameters Kriging metamodels are basically constructed from experimental designs of input parameters and response outputs The idea behind is the forward propagation of parameter uncertainties to the outputs through the Gaussian process For this reason, structural properties of two oscillators mentioned earlier should be considered as uncertain parameters in the metamodeling On the other hand, random earthquake intensity is an inevitably decisive factor to structural failure The intensity is hence considered as another input factor in the Kriging approximation For the practical sake of predicting the failure probability of structures under a certain earthquake, peak ground acceleration (PGA) is commonly adopted to graph the relation between earthquake intensity and exceeding failure probability However, it is argued that spectral acceleration at the fundamental frequency of structures (Sa,T1) can be a more appropriate measure for representing the intensity The metamodeling process in this study will deal with both uncertainties from structural properties and seismic loadings In this study, the authors chose two significant structural parameters including angular frequency, ω; damping ratio, ς of linear and nonlinear oscillators; and the spectral acceleration at the first frequency of the oscillators, Sa,T1 as uncertain parameters The determination of their variability range with upper bounds and lower bounds is needed to create an experimentally design space Table shows bounds and nominal values of each parameter These bounds are carefully chosen to enable covering the entire design space of interest On the other hand, they should not too wide to keep physical meaning of each parameter as well as not to change the system order A multi-dimensional design space of 100 samples was created by Latin hypercube sampling with the assumed uniform distributions for three parameters Then, a training data set including input samples and corresponding response samples is prepared for constructing the metamodels, which will be addressed in the next section Table Uncertain parameters and their design space Parameters Symbol Lower bound Nominal value Upper bound Omega (rad/s) ω 5.37 5.97 6.57 Damping ratio ζ 0.01 0.02 0.03 Sa,T1 0.1 0.6 1.1 Spectral acceleration (g) 3.4 Kriging metamodeling Kriging metamodeling for linear and nonlinear Bouc-Wen models used the training samples of three inputs in Table and corresponding outputs Here the authors chose maximum displacement of the SDOF structures as an output response measure A training data set of input and output samples with a 100×3 size matrix is used to build the metamodels Leave-one-out (LOO) cross-validation [8] is adopted to measure their errors LOO error can measure insensitivity degree of the metamodels when one of input points of DOE is set constant A better metamodel can show smaller LOO error which ideally equals zero Small LOO errors, 3.21e-4 and 4.62e-4, were found at the metamodels of linear and nonlinear oscillators, respectively The validated ones were then used for Monte Carlo based fragility analysis to reduce computational costs 3.5 Seismic fragility curves Fragility curves obtained by MC simulations using Kriging metamodels and the existing MLE are depicted in Fig A total 1e6 simulation runs were implemented for the MC using the metamodels while only 5e3 simulations needed for the MLE method Obviously, the use of the alternative approximated models for the fragility analysis can reduce significantly computational costs The result of fragility analysis performed by MC simulations is close to the one by MLE in both linear and nonlinear response cases under earthquakes with Sa,T1 smaller than approximately 1g (Sa,T1 < 1g) However, the higher discrepancy between two methods is found in the nonlinear case under huge earthquakes with Sa,T1 larger than around 1.1g (Sa,T1 > 1.1g) This indicates that the precision of the metamodels should be concerned under huge earthquakes There are two possibilities which can explain for this Firstly, increasing nonlinearity in dynamic responses under very large earthquakes may cause the metamodels less accurate The Gaussian process conditional on a constant size of the training data, i.e a data set of size 100, may not appropriate for all earthquake levels The second possibility is bad extrapolation of the Kriging metamodels for Sa,T1 larger than 1.1g It is concluded that verification and validation of the surrogate models in large seismic intensities plays important role in structural risk assessment through the fragility curves Fig Fragility curves of linear and nonlinear Bouc-Wen oscillators Conclusions This study demonstrated effective use of the Kriging metamodel in the seismic fragility analysis of the structures based on Monte Carlo simulations The process of fragility curve derivation considered uncertainties from both the structural properties and input earthquake ground motions The fragility analysis using the alternative approximated models can reduce significantly computational costs However, it is cautioned that metamodeling process of the structures must be verified and validated carefully for different earthquake intensities For future work, the effect of nonlinearity degree of dynamic responses in large earthquakes on metamodel accuracy can be investigated References B Ellingwood Validation studies of seismic PRAs Nuclear Engineering and Design, 123, (1990), pp 189–196 T.-P Le, C.-T Dang, and P Ray A comparative study of construction methods for seismic fragility curves using numerical simulations Mechanics and Industry, 17, (6), (2016), p 12 Cressie, Noel "Spatial prediction and ordinary kriging." Mathematical geology 20.4 (1988): 405-421 Sacks, J., Welch, W J., Mitchell, T J., & Wynn, H P Design and analysis of computer experiments Statistical science, (1989): 409-423 D M Boore Simulation of ground motion using the stochastic method Pure and Applied Geophysics, 160, (3), (2003), pp 635– 676 G M Atkinson and W Silva Stochastic modeling of California ground motions Bulletin of the Seismological Society of America, 90, (2), (2000), pp 255–274 C Kafali and M Grigoriu Seismic fragility analysis: Application to simple linear and non- linear systems Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 36, (13), (2007), pp 1885–1900 Stone, M ‘Cross-Validatory Choice and Assessment of Statistical Predictions’, Journal of the Royal Statistical Society, 36(2), (1974), pp 111–147 ... nghiên cứu đề tài: ? ?Nghiên cứu xây dựng mơ hình ứng xử kết cấu chịu tải trọng ngẫu nhiên dựa vào phương pháp Kriging Metamodels? ?? - Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu tổng quát:  Xây dựng mơ hình ứng. .. Nguyễn Duy Mỹ iii NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG MƠ HÌNH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP KRIGING METAMODELS Học viên: NGUYỄN DUY MỸ Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng DD&CN Mã... BÁCH KHOA NGUYỄN DUY MỸ NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG MƠ HÌNH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP KRIGING METAMODELS Chuyên ngành Mã ngành : Kỹ thuật xây dựng cơng trình CN XD