Các dạng bài tập về Trung điểm của đoạn thẳng Hình học 6 năm 2019

- Từ kết quả của câu a, ta có thể khái quát : Độ dài của đoạn thẳng EF không phụ thuộc vào vị trí khi chọn điểm O mà luôn luôn bằng nửa đoạn MN.. là trung điểm của đoạn EF. Ba điểm M, N[r]

HÌNH HỌC LỚP

CHỦ ĐỀ: TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

* Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A,B cách hai điểm (MA = MB)

Cho đoạn thẳng, u cầu tìm trung điểm đoạn thẳng đó( cho biết số đo khơng biết số đo đoạn thẳng đó)

* Cách xác định trung điểm đoạn thẳng: Để xác định trung điểm M AB ta dùng thước đo độ dài đoạn AB xác định vị trí điểm M nằm A , B chia đoạn AB thành hai ddoanj

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng Tính độ dài đoạn thẳng liên quan tới trung điểm I/ Phương pháp giải:

Để tính độ dài đoạn thẳng ta thường sử dụng nhận xét sau: - Nếu điểm M nằm hai điểm A,B AM + MB = AB - Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB

2 AB MAMB II/ Các ví dụ

Ví dụ 1. Vẽ đoạn thẳng AB7cm C điểm nằm A B, AC3cm M trung điểm BC Tính BM

Giải:

Ta có C nằm A B nên ACBCAB 3 BC 7 BC  7 4(cm)

Vì M trung điểm BC nên 2(cm)

2 BC

BM   

Giải:

M điểm nằm A B nên AMMBAB

Mà , MD

2

AM MB

CM  

Do đó: MD

2 2

AM MB AB

CM    

III/ Bài tập vận dụng

Bài 1: Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Tính độ dài hai đoạn thảng AM MB, biết AB = 4cm

Bài 2: Gọi C trung điểm đoạn thẳng AB Tính độ dài hai đoạn thảng AC BC, biết AB= 6cm

Bài 3: Cho điểm O thuộc đường thẳng xy Trên tia Ox lấy điểm M cho OM = 4cm Trên tia Oy lấy điểm N cho ON=2cm Gọi A, B trung điểm OM ON

a) Chứng tỏ O nằm A B b) Tính độ dài đoạn thẳng AB

Bài 4: Cho Ox Oy hai tia đối Trên tia Ox lấy điểm A cho OA = 6cm Trên tia Oy lấy điểm B cho OB=3cm Gọi M vàN trung điểm OA OB

a) Tong ba điểm M,O,N điểm nằm hai điểm cịn lại? Vì sao? b) Tính độ dài đoạn thẳng OM, ON MN

Bài 5: Trên Ox lấy hai điểm A,B cho OA=2cm, OB =6cm Gọi M trung điểm đoạn thẳn OB

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB b) Chứng tỏ A nằm O M c) Tính đọ dài AM

Bài 6: Trên tia Ox, lấy hai điểm A B cho OA= 4cm, OB = 6cm Gọi M trung điểm đoạn thẳng OB

a) Tinh độ dài AB

b) Chứng tỏ M nằm hai điểm O A

OB Tính độ dài MN, biết AB = a

Bài 8: Cho đoạn thẳng AB= 6cm Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC=4cm Gọi M N trung điểm đoạn thẳng AC BC

a) Tính độ dài MC NC

b) Chứng tỏ điểm C nằm hai điểm M N c) Tính độ dài MN

Dạng 2: Chứng minh điểm trung điểm đoạn thằng, chứng minh đẳng thức độ dài có liên quan

I/ Phương pháp giải:

Để chứng minh M trung điểm đoạn thẳng AB, ta thường làm sau: Bước 1: Chứng tỏ M nằm A B

Bước 2: Chứng tỏ MA = MB II/ Các ví dụ

Ví dụ 1. Trên tia Ox lấy điểm M N cho OM = 3cm, ON = 6cm ( H.30) 1) Chứng tỏ điểm M nằm hai điểm O N

2) Chứng tỏ điểm M trung điểm đoạn thẳng ON Giải

1) Điểm M N thuộc tia Ox, nên tia a OM tia ON trùng Mà OM = 3cm, ON = 6cm, nên ON > OM

suy M phải nằm hai điểm O N

2) Vì M nằm hai điểm O N, nên ta có : ON = OM + MN Thay số ta có : = + MN MN = – = 3(cm)

Vậy, MN = 3cm

Suy OM = MN = 3cm

Chứng tỏ M trung điểm đoạn ON

31 Trên tia Ox đặt OA4cm OB, 2cm Chứng tỏ B trung điểm đoạn thẳng OA Giải:

32. Cho điểm A M B, , cho

2 AB

AM MB Chứng tỏ M trung điểm AB

Giải:

2

AB AB

AM MB

AM MB AB

  

 

Nên M nằm A B (1) Mà AM MB (2)

Từ (1) (2) suy M trung điểm AB

34 Trên tia Ox lấy OAm,OBn m n C trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh:

OA OB  OC

Giải:

A nằm O B, A nằm O C,C nằm O B ACCB

OA AC OC OA OC AC

OB OC CB

OA OB OC

    

 

  2

35 Cho đoạn thẳng AB C trung điểm đoạn thẳng AB M điểm nằm B C Chứng tỏ: MA MB 2MC

Giải:

MA AC MC

MB BC MC

 

 

Lại có: AC = BC Nên MA MB 2MC

b) Gọi P Q, trung điểm AB CD Chứng minh

2

AC BD

PQ 

Giải:

a)

AB AC BC

CD BD BC

 

 

Mà ACBD Nên ABCD b)

;

2

PQ PB BC CQ

AB CD

PB CQ

  

 

B/ Bài tập vận dụng

Bài 1: Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=3cm, OB= 6cm a, Điểm A nằm hai điểm O B không? Vì sao?

b, So sánh OA AB

c, Điểm A có trung điểm đoạn OB khơng ? Vì sao? Bài 2: Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=4cm, OB= 8cm

a, Điểm A nằm hai điểm O B khơng? Vì sao? b, So sánh OA AB

c, Điểm A có trung điểm đoạn OB khơng ? Vì sao? Bài 3: Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=3cm, OB= 7cm

a, So sánh OA AB

b, Điểm A có trung điểm đoạn OB khơng ? Vì sao? Bài 4: Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=4cm, OB= 7cm

a, So sánh độ dài hai đoạn thẳng OA AB

b, Điểm A có trung điểm đoạn OB khơng ? Vì sao?

Bài 6: Cho điểm O thuộc đường thẳng xy Trên tia Ox lấy điểm A cho OA=3cm Trên tia Oy lấy điểm B cho OB=3cm Điểm O có trung điểm đoạn thẳng AB khơng? Vì sao? Bài 7: Cho đoạn thẳng AB = 8cm, lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho BC= 5cm

a, Tính độ dài đoạn thẳng AC

b, Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD=3cm Chứng tỏ A trung điểm đoạn thẳng CD

Bài 8: Cho đoạn thẳng AB = 8cm, lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC= 3cm a, Tính độ dài đoạn thẳng BC

b, Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho AD=5cm Chứng tỏ B trung điểm đoạn thẳng CD

C/ BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1. Cho đường thẳng xy điểm O đường thẳng xy Lấy hai điểm A B đường thẳng xy cho OA = 6cm , OB = 3cm

a) ba điểm O, A, B điểm nằm hai điểm cịn lại? b) Tính độ dài đoạn thẳng AB

c) Trường hợp điểm B trung điểm đoạn thẳng OA?

Bài 2. Cho đoạn thẳng MN = 8cm điểm O nằm hai điểm M N Gọi E trung điểm đoạn thẳng MO, F trung điểm đoạn thẳng ON

a) Tính độ dài đoạn thẳng EF

b) Điều kiện điểm O phải thêm điều kiện để điểm O trung điểm đoạn thẳng EF? Tại sao?

Bài 3. Cho điểm O nằm đường thẳng xy Trên tia Ox lấy điểm M cho OM = 1cm Trên tia Oy lấy điểm N điểm P cho ON = 1cm, OP = 3cm

a) Tìm trung điểm đoạn thẳng MP

b) Trên tia đối tia My đặt đoạn MQ = 2cm Tìm trung điểm đoạn thẳng : PQ, MN, NQ

Bài 4. Điểm C trung điểm đoạn thẳng AB có độ dài 64cm Trên tia CA lấy điểm D cho CD = 15cm

Bài 5. Trên đường thẳng đặt đoạn AB = 8cm, BC = 4cm ( biết tia BA BC hai tia đối ) Gọi M, N, P trung điểm đoạn thẳng AB, AC, BC

a) Điểm N trung điểm đoạn thẳng ? Tại sao? b) Điểm B trung điểm đoạn thẳng ? Tại sao?

c) Lấy I trung điểm đoạn thẳng MN điểm I trung điểm đoạn thẳng ? Tại ?

Bài 6. Cho điểm O đường thẳng xy Trên đường thẳng đặt đoạn OA = 2cm, OB = 3cm, lấy điểm E F cho A trung điểm đoạn thẳng OE ; B trung điểm đoạn thẳng OF Tính độ dài đoạn EF

Bài 7. Cho hai tia Ox Ox’ hia tia đối Trên tia Ox lấy hai điểm M N cho OM = 2cm, ON = 6cm Trên tia Ox’ lấy điểm P cho OP = 2cm

a) Trong ba điểm M, N, O điểm nằm hai điểm lại ? Tại ? b) Tia MO trùng với tia ? Tia MO tia đối tia ?

c) Chứng tỏ M trung điểm đoạn MP Điểm O trung điểm đoạn thẳng ? Vì sao?

Bài 8. Cho ba điểm M, N, O : biết độ dài ba đoạn thẳng MN = 5cm, NO = 4cm, MO = 3cm

a) Điểm O có nằm hai điểm M N khơng ? sao? b) Ba điểm M, N, O có thẳng hàng khơng ? sao?

Bài 9. Đoạn thẳng AB= 36 cm chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài khơng đoạn thẳng AM, MN, NP PB Gọi E, F, H theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AM, MN, NP PB Biết độ dài đoạn thẳng EH = 30cm Tính độ dài đoạn thẳng FG

Bài 10. Các điểm A, B, C nằm đường thẳng Các điểm M N trung điểm đoạn thẳng AB AC Chứng tỏ : BC = 2MN Bài toán có trường hợp, chứng tỏ trường hợp

Bài 11. Trả lời câu hỏi sau:

a) Qua hai điểm tùy ý vẽ đường thẳng ? b) Hai đường thẳng tùy ý có điểm chung? c) Đoạn thẳng ? Kí hiệu ?

d) Tia ? Kí hiệu ? Cho hai tia xảy trường hợp nào?

sao ?

f) Muốn cho C trung điểm đoạn thẳng AB cần thêm điều kiện ?

g) Điểm C chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn thẳng Nếu biết độ dài đoạn thẳng AB CB tìm độ dài đoạn thẳng AC cách ?

h) Cách so sánh hai đoạn thẳng nào? Những dụng cụ thường đo khoảng cách hai điểm cho ?

Bài 12. Xem hình vẽ bên cho biết :

a) Hình có tia gốc O ? Là tia b) Những cặp tia đối ?

c) Những cặp tia trùng ? d) Có đoạn thẳng ? đoạn thẳng ?

Bài 13 Cho đoạn thẳng MN = 8cm điểm O nằm hai điểm M N a) Nếu O trung điểm đoạn MN, tính độ dài đoạn OM, ON b) Nếu đoạn OM lớn đoạn ON 2cm, tính độ dài đoạn OM, ON

Bài 14 Cho ba điểm O, M, N thẳng hàng điểm O nằm hai điểm M N ba đoạn thẳng OM, ON MN cần biết số đo đoạn thẳng để tính đoạn thẳng cịn lại ? Vì sao?

Bài 15 Điểm A B thuộc đường thẳng a; điểm C nằm hai điểm A B; điểm D nằm hai điểm C B

a) Tìm hình vẽ tia gốc C đối Tìm hình vẽ tia gốc C trùng

b) Hãy chứng tỏ điểm C nằm hai điểm A D

Bài 16 các điểm A, B, C nằm đoạn thẳng Biết AB= 12cm, BC = 13,5cm Độ dài đoạn thẳng AC bao nhiêu? Chỉ rõ trường hợp

Bài 17. Trên đường thẳng xy cho trước lấy điểm O, A B cho OA = 12cm, OB = 9cm Hãy tính khoảng cách hai điểm M N trung điểm đoạn OA OB nếu:

Bài 18 Đoạn thẳng AB có độ dài 28cm Được chia thành ba đoạn thẳng không theo thứ tự AC, CD DB E F trung điểm đoạn thẳng AC DB Biết độ dài đoạn EF = 16cm Tìm độ dài đoạn CD

Bài 19. Cho đoạn thẳng AB = 4cm Trên tia đối tia BA lấy điểm C cho BC = 5cm Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 4cm

a) Hãy chứng tỏ bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng b) So sánh độ dài đoạn thẳng AC BD

c) Nếu I trung điểm đoạn thẳng BC I có phải trung điểm đoạn thẳng AD không ? Tại sao?

Bài 20 Cho đoạn thẳng AB= 6cm Trên tia đối tia AB lấy điểm C Biết E trung điểm đoạn thẳng CA, F trung điểm đoạn thẳng CB

a) Chứng tỏ độ dài đoạn CB lớn độ dài đoạn CA b) Tìm độ dài đoạn EF

Bài 21 Buổi họp mặt nhóm học sinh gồm bạn Mỗi bạn bắt tay bạn khác lần Hỏi tất có bắt tay?

Bài 22. Cho điểm : M, N, P, Q, E, F, O mặt phẳng, khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm xác định đoạn thẳng Hỏi vẽ tất đoạn thẳng?

Bài 23 Đoạn thẳng AB có độ dài a chia thành hai đoạn thẳng điểm chia Tính khoảng cách hai trung điểm hai đoạn thẳng chia

Bài 24 Đoạn thẳng AB có độ dài a chia thành ba đoạn thẳng hai điểm chia P, Q theo thứ tự đoạn AP, PQ QB cho AP = 2PQ = QB Tìm khoảng cách

a) Điểm A điểm I trung điểm QB b) Điểm E trung điểm đoạn AP điểm I

HƯỚNG DẪN Bài

a) Xảy hai trường hợp :

- Trường hợp 1: Hai điểm A B thuộc hai tia đối ( A ∈ Ox, B ∈ Oy) ngược lại đó, điểm O nằm hai điểm A B ( H.a)

b)

– Trường hợp 1: AB = 9cm – Trường hợp 2: AB = 3cm c) Xét trường hợp 2:

Theo câu a, điểm B nẳm hai điểm O A, mà OB = 3cm ( đầu bài), BA = 3cm( câu b), nên OB = BA

Điểm B thỏa mãn hai điều kiện trung điểm , nên điểm B trung điểm đoạn thẳng OA

Bài

a) E trung điểm MO, nên E ∈ MO ME = EO Vậy,

2 MO

EO (1)

F trung điểm ON, nên F ∈ ON OF = FN, Vậy

2 ON OF 

(2)

Hai điểm E F thuộc hai tia đối OM ON, nên điểm O nằm hai điểm E F

Vậy, ta có : EF = EO + OF (3)

Thay (1), (2) vào (3) ta có : 2

  MOON  MO ON EF

Vậy

8

4( )

2

 MN  

EF cm

b) Muốn cho O trung điểm EF phải có thêm điểu kiện OE = OF

Từ (1) (2) suy : 2 OM ON

hay OM = ON Tức là, O phải trung điểm đoạn MN ( điểm )

Chú ý :

là trung điểm đoạn EF Bài 3.

a) Hai điểm N P thuộc tia Oy ( đầu ) , mà ON < OP ( 1cm < 3cm), nên điểm N nằm hai điểm O P

Ta có : OP = ON + NP

Thay số vào ta có : = 1+ NP → NP = (cm)

Hai điểm M N thuộc hai tia đối Ox Oy ( đầu ) Vậy, điểm O nằm hai điểm M N ta có :

MN = MO + ON → MN = + → MN = (cm) Ba điểm M, N, P thuộc đường thẳng xy

Điểm N nằm hai điểm M P, lại có MN = NP = 2cm Vậy, điểm N trung điểm đoạn thẳng MP

b) Tương tự , chứng tỏ :

- Điểm O trung điểm đoạn MN PQ - Điểm M trung điểm đoạn thẳng QN Bài 4.

a) Điểm C trung điểm đoạn AB ( đầu bài), nên ta có: 64

32( )

2

AB

CBCA   cm

- Điểm D thuộc tia CA, mà CD < CA ( 15cm < 32cm), nên điểm D nằm hai điểm A C

Ta có : AC = AD + DC

Thay số vào ta có:

32  AD  15AD17(cm)

b) Điểm D trung điểm đoạn thẳng hình vẽ Vì :

- D nằm A C, mà DC = 15(cm) ≠

16

2

AC AC

cm

  

 

 ;

- D nằm A B, mà AD = 17(cm) ≠

32

2

AB AB

cm

  

 

 

Bài 5.

a) Điểm N trung điểm đoạn thẳng MB AC b) Điểm B trung điểm đoạn thẳng NP MC c) Điểm I trung điểm đoạn thẳng AP

Bài 6. Khi vẽ ta có hai trường hợp:

-Trường hợp : Hai điểm A B thuộc hai tia đối ( A ∈ Ox, B ∈ Oy ngược lại)

Ta tính EF = 10 cm

-Trường hợp : Hai điểm A B thuộc tia Oy ( tia Ox) Ta tính EF = 2cm

Bài

a) Hai điểm M N nằm tia Ox, mà OM < ON ( 2cm < cm) Vậy, điểm M nằm hai điểm O N

b) Tia MO trùng với tia MP tia Mx’ Tia MO tia đối tia MN tia Mx

c) Muốn chứng tỏ M trung điểm đoạn thẳng NP ta phải chứng tỏ điểm M nằm hai điểm N P, NM = MP Thật :

- Theo câu a, điểm M nằm hai điểm O N theo đầu bài, điểm N P thuộc hai tia Ox Ox’ đối Vậy, điểm M phải nằm hai điểm N P

- Từ câu a ta có : ON = NM + MO

Thay số vào ta có :  NM  2NM 4(cm)

(1)

Ta có : MP = MO + OP Thay số vào ta có :

2 ( )

2 M 4c

MP   P m

(2)

- Từ (1) (2) có NM = MP = 4(cm) Điểm M thỏa mãn hai điều kiện trung điểm Vậy, M trung điểm đoạn thẳng NP

Bài

a) Giả sử điểm O nằm hai điểm M N, ta có : MN = MO + ON Thay số vào ta có : = + => vơ lí

Vậy, O khơng thể nằm hai điểm M N

b) Giả sử điểm M nằm hai điểm O N, ta có : ON = OM + MN Thay số vào ta có = + vơ lí

Giả sử điểm N nằm hai điểm lại O M, ta có : OM = ON + NM

Thay số vào ta có = + vơ lí

Vậy, theo câu a : O nằm hai điểm M N; theo câu b: M nằm hai điểm O N; N nằm hai điểm O M

Ta không điểm nằm hai điểm lại Vậy, ba điểm O, M, N với ba khoảng cách thẳng hàng

Bài 9.

-Theo đầu : AB = 36 cm, EH = 30 cm Vậy AE + HB = 36 – 30 = 6(cm)

Mà

2 AM

AE (1) ;

2 PB

HB (2) (E H trung điểm AM PB)

Từ (1) (2) ta có :

2 2

AM PB AM PB AEHB   

Mà AE + HB = 6(cm) , nên

6 12( )

2 AM PB

AM PB cm 

Vậy, MP = AB – ( AM +PB ) = 36 – 12 →MP = 24 (cm)

-Theo đầu : F trung điểm MN, nên MN FN 

(3)

Và G trung điểm NP, nên NP NG

(4) Từ (3) (4) suy :

2 2

MN NP MN NP FNNG   

(5)

Theo thứ tự lấy điểm chia thứ tự lấy trung điểm đoạn thẳng, N điểm nằm hai điểm F G; N điểm nằm hai điểm M P

Vậy FN + NG = FG MN + NP = MP

Thay vào (5) ta có :

24

12( )

2

MP

FG   cm Vậy độ dài đoạn thẳng FG 12 cm

Bài 10 Khi vẽ hình có hai trường hợp:

- Trường hợp 1( H.a) : Hai điểm B C phía với A, tức hai tia AB AC trùng

Trường hợp chia làm hai trường hợp nhỏ : AB > AC, AC > AB ( hai trường hợp chứng minh tương tự )

Ta chứng tỏ AB < AC:

N trung điểm AC, nên : AN AC

 (1)

M trung điểm AB, nên : AM AB

 (2)

Từ (1) (2) ta có :

2 2

AC AB AC AB ANAM    

(3)

Ta xét AB < AC, nêm điểm B nằm hai điểm A C

Ta có : AC = AB + BC => BC = AC - AB (4)

Ta có AN = AM + MN => MN = AN - AM (5) Thay (4) (5) vào (3), ta có: MN = BC/2 hay BC = 2MN

- Trường hợp ( H.b) : Hai điểm B C thuộc hai tia đối AB AC Suy hai trung điểm thuộc hai tia đối

M trung điểm AB, nên : AM AB

 (6)

N trung điểm AC, nên : AN AC

 (7)

Từ ( 6) (7) có :

2 AB AC

AM AN   (8)

Mà AB AC hai tia đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm B C

Ta có : BC = BA + AC (9)

M ∈ AB N∈ AC hai tia đối, nên điểm A nằm hai điểm M N ta có :

MN = AM + AN (10)

Thay (9) (10) vào (8), ta có :

2 BC

MN  hay BC = 2MN

Bài 11 Học sinh tự làm Bài 12

a) Có tia chung gốc O tia OA, Ox, OB, Oy, OC Oz b)

- Tại gốc A có tia Ax tia đối tia Ay, AO AB – Tại gốc O có tia Ox tia đối tia OB Oy – Tại gốc B có tia By tia đối tia Bx, BA BO – Tại gốc C có tia Cz tia đối tia CO

– Tại gốc O có tia OA trùng với tia Ox, tia OB trùng với tia Oy tia OC trùng với tia Oz – Tại gốc A có tia AO trùng với tia AB Ay

– Tại gốc B có tia BO trùng với tia BA Bx d) Có đoạn thẳng đoạn OA, OB, OC AB Bài 13.

a) Nếu O trung điểm đoạn thẳng MN ta có :

2

MN

OM ON   OM ON  cm

b) O nằm hai điểm M N, nên : MN = MO + ON (1)

mà MO = ON +2, thay vào (1) ta có :

8 = ON + + ON  = 2ON +  ON = 3(cm) Vậy OM = + = (cm)

Bài 14. Vì O nằm hai điểm M N, nên ta có : MN = MO + ON

Trong phép tính trên, biết hai số hạng tính số thứ ba Vậy cần biết độ dài hai đoạn thẳng tính đoạn thẳng cịn lại

Bài 15.

1) Tia CA CD hai tia đối nhau, tia CA CB hai tia đối

Những tia gốc C trùng tia CB trùng với tia CD

2)

– Theo đầu bài, D nằm hai điểm C B Vậy, hai tia CD CB trùng

– Theo đầu bài, C nằm hai điểm A B Vậy, hai tia CA CB hai tia đối

– Tia CA tia CB, mà tia CB trùng với tia CD Vậy, tia CA tia đối tia CD

Suy điểm C nằm hai điểm A D Bài 16. Xét hai trường hợp :

Ta có: BC = BA + AC

Thay số vào ta : 13,5 = 12 + AC Vậy AC = 1,5 ( cm)

– Trường hợp ( H.b) : Hai điểm B C phía với điểm A Vì BC > BA

(13,5 cm > 12cm), nên xảy trường hợp điểm C nằm hai điểm A B Chỉ xảy điểm B nằm hai điểm A C

Ta có : AC = AB + BC AC = 12 + 13,5 = 25,5 (cm) Vậy AC = 25,5 (cm)

Bài 17 Chia làm hai trường hợp :

- Trường hợp 1: Điểm O nằm hai điểm A B Ta có : AB = 21cm - Trường hợp 2: Điểm A B phía với điểm O Ta có : AB = cm

Bài 18. Đoạn AB chia thành ba đoạn theo thứ tự AC, CD, DB Vậy, hai điểm C D nằm hai điểm A B, hay đoạn thẳng CD nằm hai đoạn thẳng AC DB

E trung điểm AC nên

2 AC

AE (1)

F trung điểm DB nên

2 DB

FB (2)

Từ (1) (2) có :

2 2

AC DB AC BD

AEFB  AEFB  Trong AE + FB = AB – EF

Vậy, 28 16 12

2 AC BD

AEFB     Suy ra: AC + BD = 24 (cm)

Vậy đoạn CD = AB – ( AC + BD ) = 28 – 24 = (cm) Bài 19.

thẳng qua B C)

Tia CB tia đối tia CD nên ba điểm B, C, D thẳng hàng (cùng nằm đường thẳng qua B C)

Vậy A D nằm đường thẳng qua B C, nên bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng b) Tia BC tia đối tia BA, nên điểm B nằm hai điểm A C

Ta có : AC = AB + BC

Thay số ta có : AC = + = (cm)

Tia CB tia đối tia CD, nêm điểm C nằm hai điểm B D Ta có : BD = BC + CD

Thay số ta có : BD = 3+4 = (cm) Vậy AC = BD = cm

c) I trung điểm BC, suy :

1,5( )

BI IC  cm

Từ ta tính độ dài đoạn AI ID để suy AI = Id kết luận I trung điểm đoạn AD

Bài 20

a) Điểm C thuộc tia đối tia AB, nên điểm A nằm hai điểm B C Vậy ta có : BC = BA + AC

Độ lớn đoạn BC, BA, BC số dương, nên tổng hai số phải lớn số hạng Vậy, BC phải lớn AC

b) F trung điểm đoạn CB, nên :

2 CB

CF (1)

E trung điểm đoạn CA, nên :

2 CA

CE (2)

Mà CA < Cb ( câu a), nên CE < CF, chứng tỏ điểm E nằm hai điểm C F Suy : CF = CE + EF

Thay (1) (2) vào (3), ta có : E 3( )

2 2 2

CB CA CB CA AB

F        cm Vậy EF = cm

Bài 21. Có thể biểu thị 6cm chữ khác Coi bắt tay hai em đường thẳng nối hai điểm

Theo cách giải thứ 12 ( chủ đề – Dạng 2), ta có : 15 

 ( bắt tay) Bài 22 Giải tương tự 51

Ta có số đoạn thẳng vẽ 21 

 ( đoạn thẳng)

Bài 23. Gọi điểm chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn C, điểm C phải nằm hai điểm A B

Ta có : AB = AC + CB I trung điểm AC, nên :

2 AC

IC  (1)

Q trung điểm CB, nên : CQ = CB / (2)

Tia CA CB hai tia đối nhau, mà I ∈ AC, Q ∈ CB, nên C phải nằm I Q

Ta có : IQ = IC + CQ (3)

Thay (1), (2) vào (3) có :

2 2

AC CB AC CB IQ   

hay 2

AB a IQ  ( a độ dài đoạn AB)

Bài 24.

a) Đoạn AB chia thành ba đoạn theo thứ tự AP, PQ, QB Vậy AB = AP + PQ + QB

2QP2QBPQ QB (2)

Vậy AB = 2QB + BQ + QB AB = 4QB (3)

I trung điểm QB, nên :

2 QB

IB (4)

I trung điểm QB, mà Q nằm hai điểm A B, nên I nằm hai điểm A B

Vậy ta có : AB = AI + IB (5)

Từ (3) ta có :

4

AB QB AB AB QBQB  

Vậy

QB AB IB 

(6)

Thay (6) vào (5) có :

8 8 7 ( ) 8 AB AB AI

AB AB AB AI AB AB a AI cm          

( a độ dài đoạn AB ) b) Theo (3) : AB = 4QB

Theo (1) : 2QB = AP

Vậy ta suy :

2

2 AB AB APAP

Mà E trung điểm AP, nên

AP AB EP 

(7)

Theo (6) : QB AB



Suy QB = AB

, mà PQ + QB, : PQ = AB

(8)

Theo (6) :

2

QB AB AB

QB

Mà I trung điểm QB, nên

2 QB QI 

Thay

4 AB

QB , có

8 AB

QI  (9)

Theo đầu bài, đoạn AB chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự AP, PQ, QB nên

EI = EP + PQ + QI (10)

Thay (7), (8), (9) vào (10) có: EI = AB

+ AB

+ AB

5

( )

8

AB a

EI EI cm

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia