Các dạng toán về Trung điểm của đoạn thẳng Toán 6

Trung điểm của đoạn thẳng: là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng. Trung điểm của đoạn thẳng còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | CÁC DẠNG TOÁN VỀ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG

I LÍ THUYẾT

Trung điểm đoạn thẳng: điểm nằm cách hai đầu đoạn thẳng Trung điểm đoạn thẳng cịn gọi điểm đoạn thẳng

Ví dụ 1: Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB Ta có:

M trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ MA = MB M nằm hai điểm A, B Hoặc M trung điểm đoạn thẳng AB AM MB AB

MA MB

+ = 

  = 

Hoặc M trung điểm đoạn thẳng AB

2

AM =BM = AB

Ví dụ 2: Trên tia lấy ba điểm A, M, B Biết OA = 8, OB = 14 OM = 11 Chứng minh M trung điểm AB

Hướng dẫn giải:

Ta có: OA < OM < OB ⇒ M thuộc đoạn thẳng AB

Ta lại có: MA = OM - OA = 3; MB = OB - OM = ⇒ MA = MB (2) Từ (1), (2) ⇒ M trung điểm đoạn thẳng AB

II CÁC DẠNG TOÁN.

1 Dạng NHẬN BIẾT MỘT ĐIỂM LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG Phương pháp giải

Vận dụng định nghĩa trung điểm đoạn thẳng Để chứng tỏ M trung điểm AB, phải có đủ để hai điều kiện :

– M nằm A B (hoặc AM + MB = AB) – MA = MB

Ví dụ 1.

Trên tia Ox, vẽ hai điểm A, B cho OA = 2cm ; OB = 4cm a) Điểm A có nằm hai điểm o B không ?

b) So sánh OA AB

c) Điểm A có trung điểm đoạn thẳng OB khơng ? Vì ?

Giải

(2)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b) Điểm A nằm O B nên :

OA + AB = OB;

AB = OB – OA = – = (cm) Vậy : OA = AB

c) Điểm A trung điểm OB A nằm O B OA = AB

Ví dụ 2.

Cho hai tia đối Ox, Ox’ Trên tia Ox vẽ điểm A cho OA = 2cm Trên tia Ox’ vẽ điểm B cho OB = 2cm Hỏi O có trung điểm đoạn thẳng AB khơng ? Vì ?

Giải

Hai tia OA, OB đối nên O nằm A B Lại có OA = OB = 2cm nên O trung điểm AB

Ví dụ 3

Gọi O giao điểm hai đường thẳng xx’, yy’ Trên xx’ vẽ đoạn thẳng CD dài 3cm, yy‘ vẽ đoạn thẳng EF dài 5cm cho o trung điểm chung hai đoạn thẳng

Hướng dẫn

Trên tia Ox vẽ điểm C cho : OC = 3:2 = 1,5 (cm) Bạn đọc tự vẽ điểm D, E , F

Ví dụ 4.

Cho đoạn thẳng AB dài 6cm Gọi c trung điểm AB Lấy D E hai điểm thuộc đoạn thẳng AB cho AD = BE = 2cm Vì C trung điểm DE ?

(3)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vì C trung điểm AB nên C nằm A, B (1) CA = CB = 6:2 = 3(cm)

Trên tia AB có : AD < AC (2 < 3) nên điểm D nằm A c (2) : CD = AC – AD = – = 1(cm)

Lập luận tương tự ta điểm E nằm B c (3) CE = cm Từ (1), (2), (3) suy điểm C nằm D E Mặt khác có:

CD = CE (= cm) nên c trung điểm DE

Ví dụ Cho điểm o nằm hai điểm A B cho AO = 1/2 AB Chứng tỏ O trung điểm AB

Giải

Điểm O nằm A B (1) nên : AO + OB = AB ; OB = AB – OA ; OB = AB – 1/2AB = 1/2 AB Do OA = OB (2)

Từ (1) (2) suy o trung điểm AB

Ví dụ Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm Điểm c nằm A B cho AC = 1/3 AB Điểm o nằm tia CB cho CO = 1/2 AC

Chứng tỏ O trung điểm AB

Giải

AC = 1/3 = 2(cm); CO = 1.2 = (cm)

Hai tia CA , CO đối nên C nằm A O : AO = AC + CO = + = 3(cm)

Trên tia AB có AO < AB (3 < 6) nên O nằm A B, mặt khác AO = 1/2 AB nên o trung điểm AB

(4)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Chọn câu bao gồm đủ hai điều kiện định nghĩa trung điểm đoạn thẳng

Ví dụ 7.

Khi ta kết luận điểm I trung điểm đoạn thẳng AB ? Em chọn câu trả lời câu trả lời sau :

a) Cho biết IA = IB ; b) Cho biết AI + IB = AB ;

c) Cho biết AI + IB = AB IA = IB ; d) Cho biết IA = IB = AB/2

Hướng dẫn

Câu c), câu d)

Ví dụ 8

Xem hình 96 Đo đoạn thẳng AB, BC, CD, CA điền vào chỗ trống phát biểu sau :

a) Điểm C trung điểm … vì…

b) Điểm C khơng trung điểm … C khơng thuộc đoạn thẳng AB c) Điểm A không trung điểm BC vì…

Hướng dẫn

a) BD C nằm B, D CB = CD (= 2,5 cm); b) AB ;

c) A không nằm B C

3 Dạng TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Phương pháp giải

Dựa vào nhận xét : khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng đến đầu đoạn thẳng nửa độ dài đoạn thẳng

Ví dụ 9. Cho đoạn thẳng AB Gọi M N trung điểm AB AM Giả sử AN = l,5cm Tính AB

Hướng dẫn

(5)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Ví dụ 10. Cho đoạn thẳng AB trung điểm M Lấy điểm o nằm A M Hãy chứng tỏ OM = (OB – OA)/2

Giải

Điểm o nằm A M nên AO < AM; M trung điểm AB nên AM = MB < AB Suy AO < AM < AB,

Do M nằm o B, ta có OM = OB – MB (1) Mặt khác OM = MA – OA (2) Từ (1) (2) suy OM + OM = OB – MB + MA – OA hay 2OM = OB – OA, OM= (OB – OA)/2

4 Dạng TÌM TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG Phương pháp giải

Xét điểm, chọn điểm thỏa mãn định nghĩa trung điểm đoạn thẳng

Ví dụ 11 Tìm hình 99, điểm trung điểm đoạn thẳng,

biết AB = BC = CD = DE

Hướng dẫn

B trung điểm đoạn thẳng AC;

C trung điểm đoạn thẳng BD; AE; D trung điểm đoạn thẳng CE

Ví dụ 12 Cho điểm O nằm A B Gọi M N thứ tự trung điểm OA OB

Biết AB = a, tính MN

Giải

M trung điểm OA nên M nằm

A O ; MO = 1/2 AO N trung điểm OB nên N nằm B O ; ON = 1/2 OB Ta lại có O nằm A B (đề bài) nên O nằm M N Suy :

(6)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội

dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây

dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành

cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia