BÁO CÁO KẾT QUẢNGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀTên chuyên đề:VẬN DỤNG HỆ THỨC VI – ÉT VÀO GIẢI MỘTSỐ DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LỚP 10

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ VĨNH YÊN TRƯỜNG THCS TÔ HIỆU BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ Tên chuyên đề: VẬN DỤNG HỆ THỨC VI – ÉT VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LỚP 10 F.Viète Nhóm tác giả: Trần Thị Nụ Nguyễn Hữu Đạt Năm học 2017 – 2018 BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ TOÁN "RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC" Lời giới thiệu: Là giáo viên dạy Toán lớp 9, nhà trường phân công ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, thực ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức Khi dạy hệ thức Vi-ét thấy dạy theo thứ tự lí thuyết tập SGK, SBT chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải tập thuộc chủ đề Quan trọng việc nhớ kiến thức em khơng có hệ thống Như kết làm em khơng cao, bên cạnh hầu hết đề thi vào THPT tỉnh nói chung tỉnh Vĩnh Phuc nói riêng có phần kiến thức hệ thức Vi-ét Chính thế, tơi tiến hành nghiên cứu SGK, SBT tốn lớp tài liệu tham khảo để tập hợp tập hệ thức Vi-ét Sau tiến hành phân dạng với dạng rõ ứng dụng Từ cách nghĩ cách làm tơi viết chun đề : Vận dụng hệ thức Vi –Ét vào giải số dạng toán ôn thi vào lớp 10 Trong khuôn khổ chuyên đề dù biết đề cập hết phương pháp giải tốn tơi hy vọng nguồn tài liệu bổ ích cho học sinh tài liệu tham khảo cho thầy cô giáo Tên chuyên đề: Vận dụng hệ thức Vi –Ét vào giải số dạng tốn ơn thi vào lớp 10 Tác giả chuyên đề: - Họ tên: Trần Thị Nụ - Nguyễn Hữu Đạt - Địa tác giả: Trường THCS Tô Hiệu – Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0983 590 658 Email: tranthinu10@gmail.com; Chủ đầu tư tạo chuyên đề: Trần Thị Nụ - Nguyễn Hữu Đạt Trường THCS Tô Hiệu – Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc Chức vụ: Giáo viên Lĩnh vực áp dụng chuyên đề: - Lĩnh vực áp dụng: Ơn thi vào lớp 10 THPT; bồi dưỡng học sinh giỏi lớp - Vấn đề mà chuyên đề giải quyết: Hệ thức Vi –Ét ứng dụng Ngày chuyên đề áp dụng lần đầu áp dụng thử: Áp dụng lần đầu 5/2017 Mô tả chất chuyên đề NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 7.1 Kiến thức bản: Các em cần nắm vững số kiến thức sau: 7.1.1 Định lí Vi-ét: (thuận) Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) b � x1  x   � � a � c � x1 x  � a Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, biết trước nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - c a 7.1.2 Định lí Vi-ét: (đảo) uvS � Nếu hai số u, v thỏa mãn � hai số hai nghiệm u.v  P � phương trình x2 – Sx + P = (Điều kiện để có hai số u, v S2 - 4P �0) 7.2 Các dạng toán phương pháp giải 7.2.1 Dạng toán 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn a Phương pháp: Để thực việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c = ( a �0 ), ta áp dụng nhận xét sau: Trường hợp (Trường hợp đặc biệt):  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - c a Trường hợp 2: Cho phương trình: x2 + bx + c = Ta thực theo bước: Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho nghiệm x1 x2 là: �x1  x  b � �x1.x  c Bước 2: Thực phân tích c thành tích hai thừa số (c = m.n), từ ta tính m + n Khi đó: +) Nếu m + n = - b ta chuyển sang bước (kết luận) +) Nếu m + n �- b, ta dừng lại trường hợp không nhẩm nghiệm Bước 3: Kết luận: Phương trình x2 + bx + c = có hai nghiệm x1 = m x2 = n Mở rộng: Nếu phương trình ax + bx +cx + d =  a �0  có nghiệm x0 phương trình phân tich thành  x-x   Ax +Bx + C  = +) Có nghiệm x  a  b  c  d  +) Có nghiệm x  1 a  b  c  d  b Ví dụ Ví dụ (Bài 26/SGK-Trang 53): Dùng điều kiện a + b + c = a – b + c = để tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 35x2 - 37x + = b) x2 - 49x - 50 = Giải a) 35x2 - 37x + = Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + = Do phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1, x2 = c  a 35 b) x2 - 49x - 50 = Nhận thấy phương trình có a - b + c = - (-49) + (-50) = Do phương trình c  50   50 có hai nghiệm x1 = - 1, x2 = -   a Ví dụ 2: Giải phương trình a) 5x - 6x + 8x - = b) 2x + x + 4x +5 = Giải: a) 5x - 6x + 8x - = có tổng hệ số a + b + c + d = - + - = nên phương trình có nghiệm x  phương trình 5x - 6x + 8x - = �  5x - 5x  -  x - x  +  7x -  = 2 � 5x  x - 1 - x  x - 1 +  x - 1 = �  x - 1  5x - x +  =  1  2 x-1=0 � � � 5x - x + 7= � +) Giải phương trình  1 x - 1= � x =1 +) Giải phương trình   5x - x + = Ta có    1  4.5.7   140  139  � phương trình   vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  b) 2x + x + 4x +5 = có a - b + c - d = - + - = nên phương trình có nghiệm x  1 phương trình 2x +x + 4x +5 = �  2x + 2x  -  x 2 + x  +  5x +5  = � 2x  x + 1 - x  x + 1 +  x + 1 = �  x + 1  2x - x+5 =0 x+1=0 � � � 2x - x + = �  1  2 +) Giải phương trình  1 x + = � x = - +) Giải phương trình   2x - x + = Ta có    1  4.2.5   40  39  � phương trình   vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  1 Nhận xét: Đối với phương trình có dạng ví dụ giải phương trình nhẩm nghiệm nhanh gọn việc vận dụng công thức nghiệm (công thức nghiệm thu gọn) Bài tập áp dụng Bài Nhẩm nghiệm phươnh trình sau: a x2 + 7x + 12 = c x2 -11x + 28 = b x2 - 7x + 12 = d x2 – 12x + 35 = Bài Giải phương trình a) 2x - 3x + 5x - = b) 3x +2 x + 7x +8 = 7.2.2 Dạng toán 2: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm cịn lại phương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm Phương pháp chung: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) cho biết nghiệm x1 = m Tìm nghiệm cịn lại x2 ? b Ta làm sau: Dùng hệ thức Vi-ét x1  x =  Thay x1 = m vào hệ a b b c thức, ta có x    x1    m ta dùng hệ thức x1.x  Thay x1 = m a a a �c � �c � : x1  � � :m vào hệ thức, ta có x  � � �a � �a � Ví dụ: Ví dụ (Bài 39/SBT-Trang 44): a Chứng tỏ phương trình 3x2 + 2x - 21 = có nghiệm -3 Hãy tìm nghiệm b Chứng tỏ phương trình -4x2 - 3x + 115 = có nghiệm Tìm nghiệm Giải a x1 = - nghiệm phương trình 3x2 + 2x - 21 = Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – – 21 = Cách 1: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x =  b 2 2 2 � x2   x1    3    = a 3 3 Cách 2: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x  c 21   7 � x   7  : x1   7  :  3  a 3 b x1 = nghiệm phương trình -4x2 - 3x + 115 = Vì -4.52 – 3.5 + 115 = - 100 – 15 + 115 = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x  c 115 �115 � �115 � 23  � x2  � : x1  � :5  � � a 4 �4 � �4 � Ví dụ (Bài 40/SBT-Trang 44): Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x phương trình, tìm giá trị m trường hợp sau: a x2 + mx - 35 = 0, biết nghiệm x1 = 7; b 3x2 – 2(m – 3)x + = 0, biết nghiệm x1 = Giải a x2 + mx - 35 = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x  c 35   35 Mà x1 = nên suy ra: a x  35 : x1  35 :  5 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x =  b m   m �   5    m � m  2 = a Vậy x2 = 5 , m = 2 b 3x2 – 2(m – 3)x + = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x  c  Mà x1 = nên suy ra: a 3 5 x  : x1  :  3 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x =  b  m  3  m  3 = � 5 � 16  2m  � m  11 a 3 Vậy x2 = 5, m = 11 Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng hệ thức Vi-ét x1.x  trước, sau sử dụng hệ thức Vi-ét x1  x =  c trước để tìm x2 a b (vì lúc biết x1 x2) để a suy giá trị tham số Bài tập áp dụng Bài Phương trình x2 – 2px + = có nghiệm x1 = 2, tìm p nghiệm Bài Phương trình x2 + 5x + q = có nghiệm x1 = 5, tìm q nghiệm Bài Phương trình x2 – 7x + q = có hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình Bài Tìm q hai nghiệm phương trình : x –qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm nghiệm lần nghiệm 7.2.3 Dạng toán 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng Phương pháp chung: Nếu hai số u, v thỏa mãn: uvS � � u.v  P � hai số hai nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (1) Điều kiện S2 - 4P �0 Nếu phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 số u, v cần tìm là: u  x1 u  x2 � � � � v  x v  x � � Ví dụ: Ví dụ (Bài 28/SGK-Trang 53): Tìm hai số u v trường hợp sau: a u + v = 32, u.v = 231; b u + v = -8, u.v = - 105; c u + v = 2, u.v = Giải a Ta có u + v = 32, u.v = 231 Do u v nghiệm phương trình: x2 - 32x + 231 =    32   4.231  100  �   100  10 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  32  10 32  10  21; x   11 2 Vậy u = 21, v = 11 u = 11, v = 21 b Ta có u + v = -8, u.v = - 105 Do u v nghiệm phương trình: x2 + 8x - 105 =   82  4. 105   484  �   22 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  8  22 8  22  7; x   15 2 Vậy u = 7, v = -15 u = -15, v = c Ta có: u + v = 2, u.v = Do u v nghiệm phương trình: x2 - 2x + =    2   4.9  32  � Phương trình vơ nghiệm Vậy không tồn cặp u, v thỏa mãn điều kiện Ví dụ (Giải tốn cách lập hệ phương trình): Tìm cạnh hình chữ nhật, biết chu vi 30m diện tích hình chữ nhật 54m2 Giải Gọi độ dài hai cạnh hình chữ nhật u v, điều kiện u, v > Vì chu vi hình chữ nhật 30m, nên ta có phương trình: 2.(u + v ) = 30 � u + v = 15 (1) Vì diện tích hình chữ nhật 54m2, nên ta có phương trình: u.v = 54 (2) u  v  15 � Từ (1) (2), ta có hệ phương trình: � u.v  54 � Do u, v nghiệm phương trình bậc hai: x - 15x + 54 = Ta có    15   4.54   � phương trình có nghiệm x1  6; x  Vậy hình chữ nhật có hai cạnh 6m 9m Ví dụ Giải hệ phương trình sau: �x  y  10 � �xy  24 Giải �x  y  10 � �x    y   10 � T có: � � �xy  24 �x.  y   24 Do x (-y) nghiệm phương trình: t2 – 10t - 24 = 10 Vậy hệ phương trình có nghiệm  4; 3  3;  b) �x  xy  y  � �x  y  � x  xy  y   3xy   � � � �x  y  � �  x  y   3xy  � �52  3xy  �� � �x  y  �x  y  �xy  � � �x  y  Theo định lí Vi – ét x; y nghiệm phương trình bậc hai X  X   Giải phương trình ta nghiệm X  X  Vậy hệ phương trình có nghiệm  3;   2;3 c) �x y  18 �  x �y �x  y  12 � � �  x  y   3xy  x  y   18 xy � � �x  y  12 �x  y  18 xy � � �x  y  12 54 xy  1728 � 123  xy.12  18 xy � � � � � �x  y  12 �x  y  12 �xy  32 � � �x  y  12 Theo định lí Vi – ét x; y nghiệm phương trình bậc hai: t  12t  32  Giải phương trình ta nghiệm t1  t2  Vậy hệ phương trình có nghiệm  4;8   8;  3 � � �x  y   x  y   3xy  x  y    x  y    2   �x  y  � � � � � � � � � d) �  x  y  xy  2 � �xy  2  x  y  xy  2  x  y  xy  2 � � Theo định lí Vi – ét x; y nghiệm phương trình bậc hai: (1) t2  t   a - b + c = 1-  -1 +  -2  = nên phương trình (1) có nghiệm t1  1 t2  Vậy hệ phương trình có nghiệm  1;   2; 1 �x  a �x  b có nghiệm � �y  b �y  a Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm � Chúng ta cần lưu ý điều để khơng bỏ xót nghiệm hệ phương trình Ví dụ 2: Giải hệ phương trình �x  y  xy  �2 �x  y  xy  19 Hướng dẫn �x  y  xy  - Muốn giải hệ phương trình �2 �x  y  xy  ta làm ? - Học sinh nêu cách làm biến đổi hpt dạng tổng tích x y �S  P  cách đặt S  x  y P  x y ta có hệ pt � �S  S  12  giải hệ phương trình Giải: �x  y  xy  � �2 �x  y  xy  � �  x  y   xy  � �xy    x  y  � � � 2   x  y �  x  y   xy  � x  y   � � � � � �xy    x  y  ��  x  y    x  y   12  � Đặt S  x  y P  x y �S  P  �S  P  �� �S  3; S  4 �S  S  12  Ta có hệ phương trình � �x  y  �xy  +) Với S = � P = ta có � theo định lí Vi – ét x; y nghiệm phương trình bậc hai t  3t   (1) a + b + c = 1+  -3 + 2= nên phương trình (1) có nghiệm t1  t2  Vậy hệ phương trình có nghiệm  1;   2;1 �x  y  theo định lí Vi – ét x; y nghiệm �xy  +) Với S = � P = ta có � phương trình bậc hai t  2t   (2) Giải pt (2) ta có  '   1  1.3    2  nên phương trình (2) vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm  1;   2;1 Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải hệ phương trình �x  y  xy  a) �2 �x  y  xy  20 � �x y  y x  30 b) � �x x  y y  35 1 � �x  y  x  y  � c) � �x  y    � x2 y2 � Bài 2: Giải hệ phương trình a) � �x  y  xy  �2 �y  x  xy  b) 4 2 � �x  y  x y  13 �  x  y   xy  � 7.2.6 Dạng tốn 6: Tìm hệ thức nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số Phương pháp chung: Ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 ( a �0,  �0 a �0,  ' �0 ) Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số Bước 3: Khử m để lập hệ thức S P, từ suy hệ thức hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số Ví dụ: Ví dụ Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - = (x ẩn) Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Giải Phương trình x2 – 2mx + 2m - = có:  '  m  2m    m  1   với m Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 S  x1  x  2m (1) � Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � P  x1x  2m  (2) � Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: S – P = � x1 + x2 - x1x2 = (không phụ thuộc vào m) Ví dụ Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - = (x ẩn) 21 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Giải Phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m �0 � m �0 m �0 � m �0 � � � � �� �� �� � � 9   28m   m 2m   4m m       � � � � � 28 2m  3 � S  x  x    � � m m Áp dụng hệ thức Vi-ét: � m4 � P  x 1x  1 � m m 12 � 4S   (1) � � m �� 12 � 3P   (2) � m Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc vào m) Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để khử m Trong trình làm tránh vội vàng áp dụng hệ thức Viét mà quên bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 Bài tập áp dụng 2 Bài 1: Cho phương trình: x -  m - 1 x + m + m + = (1) a) Với giá trị m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt? b) Gọi x1; x2 nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 2: Cho phương trình: x -  m - 1 x + m - = (1) a) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm kép b) Gọi x1; x2 nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m 2.7 Dạng toán 7: Xét dấu nghiệm Phương pháp chung: 22 Dùng hệ thức Vi-ét ta xét dấu nghiệm x 1, x2 phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) dựa kết quả: - Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1   x � P  c  a �  �0   ' �0  - Phương trình có hai nghiệm dấu � � P0 �  �0   ' �0  � � P0 - Phương trình có hai nghiệm dương � � � S0 �  �0   ' �0  � � P0 - Phương trình có hai nghiệm âm � � � S0 � - Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn �P  �S  nghiệm dương � � - Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ �P  �S  nghiệm dương � � Ví dụ: Ví dụ Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + = Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dương phân biệt Giải a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu � P  c 1 m  � m 1 a Vậy với m < phương trình có hai nghiệm trái dấu 23 b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  x1  x � '  m  3m  � � � �� P0 � � 1 m  �  m  � � S0  m  1  � � Vậy với < m < phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Ví dụ Cho phương trình mx2 - 6x + m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm Giải Để phương trình có hai nghiệm âm x1 �x  a �0 � �  ' �0 � �� P0 � � S0 � m �0 � � m �0  m �0 � � � 3 �m �3 �m � �� 0 �� � 3 �m   �m � �6 � m0 �  � �m Vậy với 3 �m  phương trình có hai nghiệm âm Bài tập áp dụng: Bài Cho phương trình: x  (2  m) x  m  a Xác định m để phương trình có nghiệm âm? b Xác định m để phương trình có nghiệm dương? Bài Cho phương trình: x  mx  m   a Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương b Xác định m để phương trình có Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ nghiệm dương Bài Gọi a b nghiệm phương trình x + px + = c d nghiệm phương trình x + qx + = Chứng minh hệ thức  a  c   a  d   b  c   b  d    p  q  24 7.2.8 Dạng tốn 8: Lập phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Phương pháp chung: Bước 1: Tìm tổng S tích P hai nghiệm phương trình bậc hai muốn lập Bước 2: Áp dụng định lí Vi-ét đảo lập phương trình dạng X2 – SX + P = Ví dụ: Ví dụ 1: Lập phương trình bậc có nghiệm là: a b   c 3 3 Giải a Ta có S =   1 P = 1�  2 2 Do phương trình cần lập x  x   hay x  3x   Vậy phương trình cần tìm x  3x   b Ta có S =         P =          4 Do ta có phương trình x  x   Vậy phương trình cần tìm x  x   c Ta có S  3 3 3 3   3 2      32  �3  ��3  �   P� �  � � � � � � 4 � �� �  95 1 Do ta có phương trình bậc hai: x  3x   Vậy phương trình cần tìm là: x  x   Ví dụ (Bài 42, 43/SBT-Trang 44) a) Lập phương trình có hai nghiệm hai số  b) Cho phương trình x2 + px – = có nghiệm x x2 Hãy lập phương trình có hai nghiệm hai số cho trường hợp sau: 25 1) -x1 -x2 2) 1 x1 x2 Giải   a) Ta có S = x1 + x2 = +  =  , P = x1x2 =  Vậy hai số  nghiệm phương trình cần lập   x2 – (  )x +  = b) Phương trình x2 + px – = có   p   Do phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = p 5   p , x1x2 =  5 1 1) Ta có -x1 + (-x2) = - (x1 + x2 ) = p -x1(-x2) = x1x2 = - Vậy phương trình cần lập : x2 - px - = 2) Ta có: 1 1 x1  x  p p 1   ,   + = = x1 x2 x 1x 5 x1 x x1x 5 Vậy phương trình cần lập : x2 - p x  = hay 5x2 - px - = 5 Nhận xét: Mặc dù tốn có nói x1, x2 nghiệm phương trình cho trước (như ví dụ phần b, ví dụ 2) Tuy nhiên ta phải tính biệt thức   ' để khẳng định phương trình cho trước có hai nghiệm, từ áp dụng định lí Vi-ét Điều đảm bảo tính chặt chẽ tốn học lời giải coi đầy đủ, chọn vẹn Bài tập áp dụng Bài Lập phương trình bậc có nghiệm là: a b  c 26 2 2 2 Bài Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 – 3x + = Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm: y1  x  1 ; y  x1  x1 x2 7.2.9 Dạng toán 9: Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp chung: Phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có nghiệm x1, x2 tam thức ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử sau: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Ví dụ: Ví dụ Phân tích đa thức x2 – 5x + thành nhân tử Giải Phương trình x2 – 5x + = có a + b + c = – + = Do phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = Vì đa thức x2 – 5x + = (x – 1)(x – 4) Ví dụ (Bài 33/SGK-Trang 54) Phân tích đa thức 2x2 – 5x + thành nhân tử Giải Phương trình 2x2 – 5x + = có a + b + c = – + = Do phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = Vì đa thức 2x2 – 5x + = 2(x – 1)(x – Bài tập áp dụng Phân tích đa thức thành nhân tử: a x  11x  30 b 3x2+14x+8 c 5x  8x-4 d x  (1  3)x-3+ 27 ) 7.2.10 Dạng tốn 10 Lập phương trình đường thẳng y = ax + b ( a �0 ) (d) quan hệ với Parabol y = mx2 ( m �0 ) (P) Phương pháp:  Để lập phương trình đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm A  x A ; y A  B  x B ; y B  , ta làm sau: Do đường thẳng (d) Parabol (P) có hai giao điểm nên hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: mx2 = ax + b  mx2 - ax - b = a � xA  xB  � � m (I) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x x  b �A B m Từ hệ (I) tìm a b  Phương trình (d) cần lập  Để lập phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) điểm A  x A ; y A  , ta làm sau: Do (d) (P) có giao điểm nên phương trình mx - ax - b = có nghiệm kép: x1 = x2 a � x  x  � m � b � (II) Vận dụng hệ thức Viet, ta có: �x1x  m � x1  x  x A � � � Từ hệ (II) tìm a b  Phương trình (d) cần lập Ví dụ: Ví dụ Cho parabol (P) có phương trình: y = x2 Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ xA = -1; xB = Lập phương trình đường thẳng qua A B Giải Goi phương trình đường thẳng qua A B có dạng y = ax + b (AB) Phương trình hồnh độ giao điểm (AB) (P) là: x2 = ax + b  x2 - ax - b =0 (1) 28 Ta có: xA = - 1; xB = nghiệm phương trình (1) 1   a a 1 �x A  x B  a � � �� �� Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � (1).2  b b2 � � �x A x B  b Vậy phương trình đường thẳng qua A B là: y = x + x2 Ví dụ Cho parabol (P): y  ; điểm A thuộc (P) có hồnh độ xA = Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A Giải Gọi phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A (d): y = ax + b Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x2 = ax + b  x2 - 4ax - 4b = (*) Ta có: xA = nghiệm kép (*) (x1 = x2 = xA ) Áp dụng hệ thức Vi-ét ra, ta có: �x1  x  4a  4a a 1 � � � �� �� �x1x  4b  4b b  1 � � �x  x  x  2 A �1 Vậy phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A là: y = x – Bài tập áp dụng Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol y = x (P) đường thẳng (d) có phương trình: y =  a - 1 x + - 2a ; (a tham số) a Với a = tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (d) (P) b Chứng minh với a đường thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt c Gọi hoành độ giao điểm đường thẳng (d) (P) x1, x2 Tìm a để x12 + x 22 = Bài 2: Cho phương trình x  2mx  2m   a Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm với giá trị m b Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm trái dấu 29 Bài 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = 2x 2, đường thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm I  0;  a Viết phương trình đường thẳng (d) b CMR: (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt A B c Gọi hoành độ giao điểm A B xA, xB CMR: x A - x B �2 Bài tập tự luyện Bài 1: (Bài 29,30/SGK-Trang 54, 30/SBT-Trang 43) Khơng giải phương trình, tính tổng tích nghiệm (nếu có) phương trình sau: a) 4x2 + 2x – = 0; b) 9x2 - 12x + = 0; d) (  )x2 + 4x +  = 0; c) 5x2 + x + = 0; e) 1,4x2 - 3x + 1,2 = 0; Bài 2: (Bài 31/SGK-Trang 54, 37/SBT-Trang 43) Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 7x2 - 9x + = 0; b) 23x2 - 9x - 32 = 0; c) (5 + )x2 + (5 - )x - 10 = 0; d) e) 31,1x2 – 50,9x + 19,8 = 0; 11 x - x= 0; f) 2x2 + 9x + = 0; g) (m – 1)x2 - 2(m + 3)x + m + = với m �1 Bài 3: (Bài 40/SBT-Trang 44) Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 phương trình, tìm giá trị m trường hợp sau: a) Phương trình x2 - 13x + m = 0, biết nghiệm x1 = 12,5; b) Phương trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0, biết nghiệm x1 = -2 Bài 4: (Bài 41/SBT-Trang 44) Tìm hai số u v trường hợp sau: a) u + v = 14, u.v = 40; b) u - v = 10, u.v = - 24; c) u2 + v2 = 85, u.v = 18 Bài (Đề tuyển sinh 10 Vĩnh Phúc 2004-2005) Cho phương trình 2x2 – 7x + = 0, nghiệm phương trình x1 x2 30 1) Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức: a) x1 + x2 ; x1x2 b) x13  x32 c) x1  x2 Bài (Đề tuyển sinh 10 Vĩnh Phúc 2004-2005) Cho phương trình 2x2 - 6x + = a) Gọi hai nghiệm phương trình x1 x2 Tính x13 + x23 – 2(x12 + x22) + 3(x12x2 + x1x22) x1 x2 b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x  x  Bài (Đề tuyển sinh 10 Vĩnh Phúc 2009-2010) Cho phương trình (ẩn x): x2 - 2(m + 1)x + m2 - = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12+x22 = x1.x2 + Bài (Đề tuyển sinh 10 Vĩnh Phúc 2011-2012) Cho phương trình: x  2(m  1) x  2m  (1) (với ẩn x ) 1) Giải phương trình (1) m =1 2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m 3) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 ; x2 Tìm giá trị m để x1 ; x2 độ dài hai cạnh tam giác vng có cạnh huyền 12 Bài (Đề tuyển sinh 10 Vĩnh Phúc 2013-2014) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x   Tính giá trị biểu thức: Q = x13  x23 Tìm m để phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2  x1 + x2 Bài 10 Cho phương trình x2 – 2(m + 7)x + m2 - = Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dấu 31 Những thông tin cần bảo mật (nếu có): khơng Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề: - Cần trang bị thêm tài liệu tham khảo môn - Tăg cường thêm thời lượng dành cho môn - Học sinh khối 9; 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: Trước áp dụng chuyên đề thấy nhiều học sinh lúng túng việc giải toán liên quan tới hệ thức Vi- ét Sau áp dụng chuyên đề, học sinh khắc phục nhiều nhược điểm, tỷ lệ học sinh làm tăng, học sinh nắm vững cách giải mà linh hoạt dạng toán khác Cụ thể kiểm tra lớp 9A, 9B thu kết sau: Lớp Giỏi Áp dụng đề tài SL Khá % SL Kết kiểm tra T.Bình Yếu % SL % S Kém % SL v L 9A Chưa áp dụng 20 49 15 37 41 em 9B Đã áp dụng Chưa áp dụng Đã áp dụng 10 17 10 26 25 21 25 61 54 64 10 22 26 10 10 39 em Qua số thống kê thấy rõ mức độ tiến học sinh Qua giảng dạy, ôn tập thấy em tự tin nhiều có u thích say mê giải dạng tốn hệ thức Vi-ét Đặc biệt kì thi vào THPT tháng 7/2017 học sinh giải phần tập tốt, góp phần nâng cao điểm tốn tỉ lệ đỗ vào THPT 11 Danh sách tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng chuyên đề lần đầu( có): 32 STT Tên tổ chức cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng chuyên đề Phường Đống Đa, TP Vĩnh n, Vĩnh Phúc Mơn Tốn Trường THCS Tơ Hiệu Nguyễn Thị Hoàng Giáo viên trường Học sinh lớp Yến THCS Tô Hiệu Nguyễn Hữu Đạt Giáo viên trường Giáo viên trường THCS Tô Hiệu THCS Tô Hiệu Trường THCS Tô Hiệu Xác nhận Thủ trưởng đơn vị (Ký tên, đóng dấu) Vĩnh Yên, ngày 29 tháng 03 năm 2018 Tác giả chuyên đề (Ký, ghi rõ họ tên) Trần Thị Nụ 33