- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trườn[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
TRƯỜNG THCS NGHĨA PHƯƠNG ĐỀ THI HSG LỚP
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số
Câu (3đ):
a) So sánh: 222333 333222
b) Tìm chữ số x y để số 1x8y2 chia hết cho 36
c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 2002 chia cho a có số dư 28 Câu 2 (2đ):
Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 a) Tính S
b) Chứng minh S Câu 3 (2đ):
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số cho 29 dư chia cho 31 dư 28 Câu 4 (3đ):
Cho góc AOB = 1350 C điểm nằm góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC
b) Gọi OD tia đối tia OC So sánh hai góc AOD BOD ĐÁP ÁN Bài 1 (3đ):
a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111 (0,5đ) 333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 (0,5đ) Suy ra: 222333 > 333222
b) Để số 1x8y2 36 ( x, y , x, y N )
+ + + +
4
9 )
1 (
y
y x
(0,5đ) 1;3;5;7;9
4
2 y=
y
(x+y+2) => x+y = x+y = 16 => x = 6;4;2;0;9;7 (0,25đ) Vậy ta có số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 (0,25đ) c) Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 ) a => 42 a (0,5đ)
=> a = 42 (0,5đ) Bài 2 (2đ):
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Suy ra: 8S = 32004 - => S =
8 32004−
(0,5đ) b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36(30 + 32 + 34 ) + + 31998(30 + 32 + 34 )
= (30 + 32 + 34 )( + 36 + + 31998 )
= 91( + 36 + + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S (0,25đ) Bài 3 (2đ): Gọi số cần tìm là: a
Ta có a = 29q + = 31p +28 (0,5đ) <=> 29(q - p) = 2p + 23
Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p (0,75đ) Vì a nhỏ hay q - p = => p = 3; => a = 121 (0,5đ) Vậy số cần tìm 121 (0,25đ) Bài 4 (3đ):
a) theo giả thiết C nằm góc AOB nên tia OC nằm hai tia OB OA
=> góc AOC + góc BOC = góc AOB => góc AOC = góc AOB - góc BOC => góc AOC = 1350 - 900 = 450
b) OD tia đối tia OC nên C, O, D thẳng hàng Do góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù) => góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 => góc AOD = 1350
Đề số
Bài : (2 điểm) Cho biểu thức
1 2
1
2
2
+ + +
− + =
a a a
a a A a, Rút gọn biểu thức
b, Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a, phân số tối giản Bài 2: (1 điểm)
Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc=n2−1 ) ( − = n cba
Bài 3 Với giá trị số tự nhiên a thì: a)
1 a
19 a
+ +
có giá trị nguyên
b)
23 a
17 a
− −
có giá trị lớn
Bài 4 Tìm chữ số tận số 62006, 72007
Bài 5. Trong thi có 50 câu hỏi Mỗi câu trả lời 20 điểm, trả lời sai bị trừ 15 điểm Một học sinh tất 650 điểm Hỏi bạn trả lời câu ?
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Ta có: 2 2 3 + + + − + = a a a a a
A =
1 ) )( ( ) )( ( 2 2 + + − + = + + + − + + a a a a a a a a a a
Điều kiện a ≠ -1 ( 0,25 điểm) Rút gọn cho 0,75 điểm
b.Gọi d ước chung lớn a2 + a – a2+a +1 (0,25đ) Vì a2 + a – = a(a+1) – số lẻ nên d số lẻ
Mặt khác, = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] d
Nên d = tức a2 + a + a2 + a – nguyên tố (0,5đ) Vậy biểu thức A phân số tối giản ( 0,25 điểm)
Bài 2:
abc= 100a + 10 b + c = n2 - (1)
cba= 100c + 10 b + c = n2 – 4n + (2) (0,25đ) Từ (1) (2) 99(a – c) = n – 4n – 99 (3) (0,25đ)
Mặt khác: 100 n2-1 999 101 n21000 11n31 394n – 5 119 (4) ( 0,25đ) Từ (3) (4) 4n – = 99 n = 26
Vậy: abc = 675 ( 0,25đ)
Bài 3 Với giá trị số tự nhiên a thì: a) a 19 a + +
có giá trị nguyên
a 17 a 17 a a 19 a N + + = + + + = + + =
Để N nguyên 4a + ước số 17 => a = 0, a = b) 23 a 17 a − −
có giá trị lớn
17 20 68 5(4 23) 47 47
4 23 4(4 23) 4(4 23) 4(4 23)
a a a
a a a a
− = − = − + = +
− − − −
Như tốn đưa tìm số tự nhiên a để 4a – 23 số tự nhiên nhỏ Vậy a = =>
23 a 17 a − − = 13
Bài 4 Tìm chữ số tận số 62006, 72007
Ta có: 62 = 36 ≡ (mod10), 6n ≡ (mod10) số nguyên dương n => 62006 ≡ (mod10) => chữ số tận 62006là
74 = 2401 ≡ (mod10), mà 72007 = 74.501.73
(74)501 ≡ (mod10) => chữ số tận 72004 1,
Mà chữ số tận 73 => chữ số tận 72007
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Nhưng bạn 650 điểm thiếu 1.000 – 650 = 350 (điểm) Thiếu 350 điểm số 50 câu bạn trả lời sai số câu Giữa câu trả lời trả lời sai chênh lệch 20 + 15 = 35(điểm) Do câu trả lời sai bạn 350:35 =10 (câu)
Vậy số câu bạn trả lời 50 – 10 = 40 (câu)
Đề số 3 Bài 1:
a Tìm số tự nhiên x, y cho (2x + 1)(y – 5) = 12 b.Tìm số tự nhiên cho 4n-5 chia hết cho 2n-1
c Tìm tất số B =62xy427, biết số B chia hết cho 99 Bài 2
a chứng tỏ
2 30
1 12
+ + n n
phân số tối giản
b Chứng minh : 2
1 + 2
3
+ 2
1
+ + 2 100
1 <1 Bài 3: Tìm ssó tự nhiên nhỏ có tính chất sau:
Số chia cho dư 1; chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư chia hết cho 13 Bài 4: Tìm x biết: x- 1 = 2x +
Bài 5: Cho đoạn thẳng Ab = 7cm Điểm C nằn Avà B cho AC = 2cm Các điểm D,E theo thứ tự trung điểm AC CB Gọi I trung điểm DE tính DE CI
ĐÁP ÁN Bài 1:
a.(1đ): Ta có 2x+1: y-5 Là ước 12
12= 1.12=2.6=3.4 (0,25đ) 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 2x+1=3 (0,25đ) => 2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17
hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ)
Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ)
để 4n-5 chia hết cho 2n - => chia hết cho 2n - (0,25đ) =>* 2n - 1=1 => n =1
*2n – = => n = (0,25đ) n = ; (0,25đ) c (1đ) Ta có 99=11.9
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15
B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) y-x=2 (0,25đ)
y-x=2 x + y = => y = 4; x = (0,25đ) y-x = x + y = 15 (loại) B = 6224427 (0,25đ) Bài 2: a Gọi d ước chung 12n + 1và 30n + ta có 5(12n + 1) - 2(30n+2) = chia hết cho d (0,5đ) d = nên 12n + 30n + nguyên tố
2 30
1 12
+ + n n
là phân số tối giản (0,5đ)
b Ta có 2
1 <
1
1 =
1
-2
2
1 <
3
1 =
2
-3
100
<
100 99
1 =
99
-100
1
(0,5đ)
Vậy 2
1 + 2
3
+ + 2 100
1 <
1
-2
+
-3
+ + 99
1
-100
2
1 + 2
3
+ + 2 100
1
<1-100
= 100
99
<1 (0,5đ) Bài 3:
Gọi x số phải tìm x + chia hết cho 3; 4; 5; nên x +2 bội chung 3; 4; 5; BCNN (3,4,5,6) = 60 nên x + = 60n
Do x = 60n - (n = 1,2,3 )
Do x số nhỏ có tính chất x phải chia hết cho 13 Lần lượt cho n = 1,2,3 ta thấy đến n = 10
Thì x = 598 chia hết cho 13 Số nhỏ cần tìm 598 Bài 4:
x - 1 = 2x + ta có: x - = 2x + x - = -(2x + 3) * x - = 2x +3
2x - x = -1 - x = -
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | x = -2/3
Vậy x = -4; x = -2/3 Bài 5:
+ Ta có: AC + CB = AB ( C nằm AB) nên CB = AB - AC = 7cm - 2cm = 5cm + Vì D E nằm A,B nên
AD + DE + EB = AB Suy ra: DE = AB - AD - EB
AD = 1/2 AC = 1/2.2 = 1(cm) (vì D trung điểm AC) EB = 1/2 BC = 1/2.5 = 2,5(cm) (vì E trung điểm BC) Vậy DE = - - 2,5 = 3,5 (cm)
+ Vì I trung điểm DE
Nên DI = 1/2 DE = 1/2 3,5 = 1,75(cm) Suy AI = AD + DI = + 1,75 = 2,75
+ Ta thấy AD < AC < AI nên (nằm D I) nên DC + CI = DI
Suy ra: CI = DI - DC = 1,75 - = 0,75 (cm) Kết luận: DE = 3,5cm; CI = 0,75cm
Đề số Câu 1: (2đ)
Thay (*) số thích hợp để a) 510* ; 61*16 chia hết cho b) 261* chia hết cho chia dư
Câu 2: (1,5đ) Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100
Câu 3: (3,5 đ) Trên đường qua địa điểm A; B; C (B nằm A C) có hai người xe máy Hùng Dũng Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B Họ khởi hành lúc để đến C vào lúc 11 ngày Ninh xe đạp từ C phía A, gặp Dũng luc gặp Hùng lúc 24 phút Biết quãng đường AB dài 30 km, vận tốc ninh 1/4 vận tốc Hùng Tính quãng đường BC Câu 4: (2đ) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ từ từ A đến B A1; A2; A3; ; A2004 Từ điểm M không nằm đoạn thẳng AB ta nối M với điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B Tính số tam giác tạo thành
Câu 5:
(1đ)Tích hai phân số 15
8
Thêm đơn vị vào phân số thứ tích 15 56
Tìm hai phân số
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Câu
a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho thì:
5 + + + * chia hết cho 3; từ tìm * {0; 3; 6; 9} (1đ) b) Để 261* chia hết cho chia dư thì:
* chẵn + + + * chia dư 1; từ tìm * = (1đ) Câu
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100
3.S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100).3 (0,5đ) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3
= 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100.(101 - 98) (0,5đ) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - - 98.99.100 + 99.100.101
S = 99.100.101: = 33 100 101 = 333300 (0,5đ) Câu
Thời gian từ A đến C Hùng là: 11 - = (giờ) Thời gian từ B đến C Dũng là: 11 - = (giờ)
Quãng đường AB 30 km khoảng cách Hùng Dũng bớt 10 km Vì lúc Hùng cịn cách Dũng 20 km, lúc Ninh gặp Dũng nên Ninh cách Hùng 20 km
Đến 24 phút, Ninh gặp Hùng tổng vận tốc Ninh Hùng là: 20 : 50( / )
24 60 20 60 24
h km = =
Do vận tốc Ninh 1/4 vận tốc Hùng nên vận tốc Hùng là: [50 : (1 + 4)] = 40 (km/h)
Từ suy quãng đường BC là: 40 - 30 = 90 (km)
Đáp số: BC = 90 km Câu 4: (2đ)
Trên đoạn thẳng AB có điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B đó, tổng số điểm AB 2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến điểm
Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) kết hợp với 2005 đoạn thẳng lại đoạn thẳng tương ứng AB để tạo thành 2005 tam giác
Do 2006 đoạn thẳng tạo thành 2005 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý MA kết hợp với MA1 để tam giác MA1 kết hợp với MA tam giác hai tam giác 1)
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Tích hai phân số
15
Thêm đơn vị vào phân số thứ tích 15 56
suy tích tích cũ
15 56 - 15 = 15 48
lần phân số thứ hai Suy phân số thứ hai 15 48
: = 15 12 =
Từ suy phân số thứ là: 15 : =
Đề số
Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức
1 2 2 3 + + + − + = a a a a a A a, Rút gọn biểu thức
b, Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a, phân số tối giản Câu 2: (1 điểm)
Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc=n2−1 cba=(n−2)2 Câu 3: (2 điểm)
a Tìm n để n2 + 2006 số phương
b Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số Câu 4: (2 điểm)
a Cho a, b, n N* Hãy so sánh n b n a + + b a
b Cho A =
1 10 10 12 11 − −
; B =
1 10 10 11 10 + +
So sánh A B Câu 5: (2 điểm)
Cho 10 số tự nhiên : a1, a2, , a10 Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10
Câu 6: (1 điểm)
Cho 2006 đường thẳng đườngthẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng qui Tính số giao điểm chúng
ĐÁP ÁN Câu 1:
Ta có: 2 2 3 + + + − + = a a a a a
A =
1 ) )( ( ) )( ( 2 2 + + − + = + + + − + + a a a a a a a a a a
Điều kiện a ≠ -1 ( 0,25 điểm) Rút gọn cho 0,75 điểm
b.Gọi d ước chung lớn a2 + a – a2+a +1 (0,25đ) Vì a2 + a – = a(a+1) – số lẻ nên d số lẻ
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Nên d = tức a2 + a + a2 + a – nguyên tố (0,5đ)
Vậy biểu thức A phân số tối giản ( 0,25 điểm) Câu 2:
abc= 100a + 10 b + c = n2 - (1)
cba= 100c + 10 b + c = n2 – 4n + (2) (0,25đ) Từ (1) (2) 99(a – c) = n – 4n – 99 (3) (0,25đ)
Mặt khác: 100 n2-1 999 101 n21000 11n31 394n – 5 119 (4) ( 0,25đ) Từ (3) (4) 4n – = 99 n = 26
Vậy: abc = 675 ( 0,25đ) Câu 3: (2 điểm)
a) Giả sử n2 + 2006 số phương ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z) a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm)
+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm) + Nếu a,n tính chẵn lẻ (a-n)2 (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết không thỏa mãn (*) (0,25 điểm)
Vậy không tồn n để n2 + 2006 số phương (0,25 điểm)
b) n số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho
Vậy n2 + 2006 hợp số ( điểm) Câu 4: Mỗi câu cho điểm Ta xét trường hợp a
b = ;
a b ;
a
b (0,5đ) TH 1: a
b = a = b
a n a
1
b n b
+ = =
+ (0,5đ) TH 2: a
b a > b a + n > b+ n Mà a n
b n
+
+ có phần thừa so với
a b a
;
b n b
−
+ có phần thừa so với
a b
b −
,
vì a b a b
b n b
− −
+ nên
a n a
b n b
+
+ (0,25đ) TH3: a
b a < b a + n < b + n Khi a n
b n
+
+ có phần bù tới
b a
b n
− + ,
a
b có phần bù tới b a
b −
,
vì b a b a
b n b
− −
+ nên
a a n
b b n
+
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 b) Cho A =
1 10
1 10
12 11
− −
;
rõ ràng A < nên theoa, ba <1 ba+nn +
> ba A<
10 10
10 10 11 ) 10 (
11 ) 10 (
12 11 12
11
+ + = + −
+ −
(0,5đ)
Do A<
10 10
10 10
12 11
+ +
= =
+ +
) 10 ( 10
) 10 ( 10
11 10
1 10
1 10
11 10
+ +
(0,5điểm) Vây A<B
Câu 5: Lập dãy số Đặt B1 = a1
B2 = a1 + a2 B3 = a1 + a2 + a3 B10 = a1 + a2 + + a10
Nếu tồn Bi ( i= 1,2,3 10) chia hết cho 10 tốn chứng minh ( 0,25 điểm) Nếu không tồn Bi chia hết cho 10 ta làm sau:
Ta đen Bi chia cho 10 10 số dư ( số dư { 1,2.3 9}) Theo nguyên tắc Diriclê, phải có số dư Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n) ĐPCM
Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng cịn lại tạo nên 2005 giao điểm Mà có 2006 đường thẳng có : 2005x 2006 giao điểm Nhưng giao điểm tính lần số giao điểm thực tế là:
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - Luyên thi ĐH, THPT QG: - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí - HOC247 TV: