Thông tin tài liệu
BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1) Tìm giới hạn tồn giới hạn khơng tồn tạị hàm lim a x y2 x �0 x y �0 lim b x 2y x cos y lim x � 2x y �0 lim d lim lim 1) y x y x3 x �0 x y �0 lim g x �0 y �0 ; x 2y x �1 (x y �1 f y2 ; ; y2 x sin y x �0 x y �0 e ; x sin y x �0 y �0 c y2 sin y ; ; x y2 x y2 2) Xác định tập lớn hàm số liên tục: a u b xy x y3 � �x f (x, y) � �y y �x y x BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… 3) Xét liên tục hàm số f(x,y) a � �10 1 � exp �x sin 10 cos 10 � xy �0 � f (x, y) � � x y � � x y � (0,0);(1,0);(0,1) b c d e �(1 x) � e f (x, y) � � � e x cos y x �0 x cos x � � (1 sin xy) xy xy �0 f (x, y) � � x y � e � x y2 sin � f (x, y) � x y � � x y �0 O(0,0) O(0,0) O(0,0) x y � 2 (x y )sin x y2 �0 � 2 x y f (x, y) � � x y � 4) Hàm số f (x, y) sin 1 x y O(0,0) liên tục hình trịn x y ? 5) Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số sau mô tả chúng hệ số góc a u x 2x y 3xy3 b u xy xy c u x ln(x y3 ) ; d u xe3/ y ; BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… e u xy z3 ln z ; f u(x, y.z.t) xz tan(yt) 6) Tìm đạo hàm riêng hàm u tính chúng điểm a u sin(xyln z) M(1,0,1) b u xy3 z3 M(1,2,0) Giả sử hàm f g khả vi, đặt z yf (x y ) u y g(x y ) 7) Chứng minh z� z� z y x x y y yu � x xu � y x � z � z ; z x 2xy 3y với x s t ; y st s 1; t � s � t 8) Tìm 9) Tìm z� x ;z � y hàm số z z(x, y) xác định : a x y z 4xyz ; b xz ln(x y z) 10) Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn để tìm x z ln Tìm dz(1,1);d z(1,1) z y a Với z z(x, y) xác định b Với z z(x, y) xác định z ye x / z Tìm dz(0,1) c Tìm d y(0) với y y(x) xác định x y3 3xy 11) Nhiệt độ điểm đĩa kim loại phẳng cho T(x, y) 120 2 2x 3y T đo theo o C , x y theo mét Tìm vận tốc biến thiên nhiệt độ theo vị trí điểm (2,2) theo chiều trục Ox theo chiều trục Oy 12) Điện trở toàn phần hai dây dẫn với điện trở R1 R mạch điện mắc song song cho công thức � R(25,40) 1 � R Tìm R1 R R � R1 � R1 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… Lời giải R R1 R 22 1 � R � R(25,40) 64 �R � � R1 R R R R1 � R1 R R � R1 169 13) Chiều dài l , chiều rộng w chiều cao h hộp thay đổi theo thời gian Tại thời điểm định kích thước l 2m , w h 3m , l w tăng lên với vận tốc 0,2m/s h giảm với vận tốc 0,3m/s Tại thời điểm tìm vận tốc biến thiên đại lượng sau: (a) thể tích, (b) diện tích xung quanh Lời giải Thể tích hộp diện tích xung quanh V whl ; Sxq 2(l w)h Sự biến thiên đại lượng thể tích vận tốc biến thiên xác định Vl� l Vh� h Vw�w 0, 2wh 0,3wl 0,2hl �0,2 �0,3 0, �6 1, 2m3 / s Sự biến thiên đại lượng diện tích xung quanh vận tốc biến thiên xác định S� l hl hw (l w)h) l l S� h h S� w w Vl� 0,2 �3 0,3 �3 0,2 �5 1,4m / s � xy3 �2 14) Cho hàm f (x, y) �x y � � x y �0 x y �2 f (0,0) �2 f (0,0) Chứng minh tồn đạo hàm riêng cấp � �� x y �� y x 15) Tính : �x y � a d � � �z xy � BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… b d(x cos y) 16) Cho z arccos(x ln y) tính dz(0,1) d z(0,1) y 17) Cho f (x, y) cos(xe ) tính �3f � x 2� y 18) Tìm đạo hàm riêng cấp hai hàm số: a z x ln y tan(xy) b z xy � � �với f (x, y) 2x y x ln y � �và f xy 19) Tìm đạo hàm riêng f xy 20) Xét xem hàm sau nghiệm phương trình Laplace a u 2x y b u x y ; c u x 3x y 21) Tìm đạo hàm hàm số a r �5 12 � z(x, y) x ln y P( 4,e) theo hướng l � , � 13 13 � � b r r r � � 0, � theo hướng l 3i j u e x cos y P � � 6� c uuu r u(x, y,z) x y z P(2,2,1) theo hướng OP 22) Tìm tất điểm chiều biến thiên nhanh hàm số r r f (x, y) x 2y 2x i j 23) Tìm gradient f tìm tốc độ biến thiên điểm P theo hướng r véc tơ l a f (x, y,z) r z ; P(1,1,4) ; l (1,2,3) xy BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… r �4 � P(1,2) l ; � , � b f (x, y) xy 4x y ; �5 � r c f (u, v) u 3e v ; P(2,0) ; l (1,2) r r r r f (x, y,z) x sin yz P(1,3,0) ; ; l i 2j k d 24) Một núi có dạng paraboloid elliptic z 1000 ax by , a b số dương Tại điểm (1,2) độ cao núi tăng lên nhanh theo chiều nào? Một viên bi đặt điểm này, bi lăn theo chiều nào? Lời giải uuuur Tại điểm (1,2) độ cao núi tăng lên nhanh theo chiều grad z(1,2) uuuur grad z(1,2) 2(ax, by) (1,2) 2(a,2b) độ cao núi tăng lên nhanh theo chiều vec tơ có tọa độ �(a,2b) Một viên bi đặt điểm (1,2) , bi lăn theo chiều chiều vec tơ có tọa độ �(a,2b) 25) Tìm véc tơ đơn vị vng góc với mặt cos(xy) e z (,1,0) 26) Giả sử chất điểm xuyên vào mặt z x y điểm A(1,1, 3) theo chiều vng góc với mặt Chất điểm cắt mặt phẳng Oxy điểm nào? Lời giải Đó tốn tìm giao điểm đường thẳng qua điểm A(1,1, 3) vng góc với mặt có phương trình F z x y mặt phẳng xOy � điểm A(1,1, 3) thuộc mặt cong,Véc tơ phương đường thẳng r n Fx� ,Fy� ,Fz� (1,1, 3) (2, 2,2 3) đường thẳng qua điểm A(1,1, 3) có phương trình: BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… �x t � �y t � z 3t � Cắt xOy điểm (2,2,0) 27) Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số 5� x y2 điểm P � 2,1, � � xy � 2� a z(x, y) b f (x, y) x 3y điểm P(2,3,31) 28) Tìm phương trình tiếp diện pháp tuyến với mặt cho điểm a x 2y2 3z 21 P(4,1, 1) b x y z P(3,1,0) 29) Dùng vi phân để tính xấp xỉ lượng thiếc hộp mạ thiếc kín với đường kính cm chiều cao 12 cm lớp mạ dày 0.01 cm Lời giải Thể tích hộp có bán kính x chiều cao y F x y , lượng thiếc mạ dày 0.01 cm xấp xỉ F(x 0.01, y0 0.01) F(x , y0 ) �0.01Fx� (x , y ) 0.01Fy� (x , y0 ) 1,12 30) Dùng xấp xỉ tuyến tính để tính z( 0,95,0,02) z z(x, y) hàm ẩn từ phương trình xe y yz e z 31) Dùng xấp xỉ tuyến tính để tìm giá trị gần biểu thức,so sánh với giá trị tính máy tính bỏ túi a (1,01) 1,98 ; � 0,01 � ; b tan � � � 3,98 � BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… c (4,02)2 (3,99) (2,02) d (1,02) (1,97)3 ; e 5e0,06 (2,03)2 f (1,02)2 3e0,04 32) Tìm phân lớp điểm tới hạn hàm số sau: a z x 8xy 2y b z x sin(y) c z 2x 4y x 4y d z (1 xy)(x y) e z xy3 8x 12y f z e 4x x y2 g z xy(x y 1) h z (x y )e x y2 i z 3x y x y j z e x (3y y3 x) k z 2x xy 5x y l z x 4x y 5y 4y 33) Điểm tới hạn cực đại, cực tiểu địa phương hay cực trị? a f (x, y) x y ; b f (x, y) e x 4y c f (x, y) x y 4x 6y 10 d f (x, y) ln(2x y 1) BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… e f (x, y) x y 2(x y) f f (x, y,z) x y z 2x 4y 6z g f (x, y) arccot gx y 2y h f (x, y) x y x 2xy y i f (x, y) x y xy j f (x, y) y (x 1) ; k f (x, y) x 2x y y y3 34) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm a) f (x, y) 4xy x y xy3 miền tam giác ABC với A(0,0);B(0,6);C(6,0) a f (x, y) (2x y )e (x y2 ) 2 miền D (x, y) : x y �4 2 b f (x, y) x y 12x 16y miền D (x, y) : x y �25 c f (x, y) x y xy 3xy miền D (x, y) : �x �2,0 �y �2 d f (x, y) x y x 2y miền D (x, y) : x �0, y �0, x y �2 � � x y2 � � D (x, y) : � miền e f (x, y) 9x 4y � � � � 2 35) Tìm GTLN, GTNN hàm 2 a f (x, y) 2x 3y miền D (x, y) : x y �1 2 b f (x, y) 2x 5y miền D (x, y) : x y �1 2 c f (x, y) x 3xy miền D (x, y) : x y �1 36) Tìm cực trị có điều kiện hàm số BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… a) f (x, y) 2x 3y với điều kiện 3x 2y �3 ; b) f (x, y) x y với điều kiện x y ; c) f (x, y) xy với điều kiện 3x 2y �10, x �0, y �0 ; d) f (x, y) (x 4) y với điều kiện x y2 �1 ; 37) Tìm cực trị có điều kiện hàm số a) f (x, y) xy với điều kiện 2x y ; b) f (x, y,z) x y z với điều kiện x y z ; c) f (x, y,z) xyz với điều kiện x y2 z ; d) f (x, y,z) x y z với điều kiện x y2 z2 1; e) f (x, y,z) x y z với điều kiện y x 1,z xy ; f) f (x, y,z) 2x 2y z với điều kiện x y z ; 38) Tìm GTLN, GTNN có điều kiện hàm số a) f (x, y) xy x với điều kiện x y ; b) f (x, y) cos(y x ) với điều kiện x y ; c) f (x, y,z) x y z với điều kiện x y z ; 39) Tìm thể tích hình hộp chữ nhật lớn số hình hộp chữ nhật với cạnh song song với trục toạ độ nội tiếp ellipsoid x2 z2 y 1 40) Tìm điểm đường cong x y6 64 gần xa với gốc toạ độ 41) Tìm hình chữ nhật có chu vi lớn nội tiếp elíp 10 x2 a2 y2 b2 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… 12) Tìm V vật thể mặt x y z ,trên mặt phẳng xOy mặt nón z x y 13) Tìm thể tích vật thể giới hạn x 0, z mặt cong x 4y ; z x y góc phần tám thứ 14) Tìm diện tích mặt cong a) Phần mặt trụ z y nằm miền hình chữ nhật có đỉnh (0,2),(0,0) ; (4,0),(4,2) b) Phần mặt cong z xy nằm mặt trụ x y ; c) Phần mặt pararaboloid 2x z y nằm miền góc phần tám thứ giới hạn mặt x y ; x d) Phần mặt x y z a mặt trụ x y2 ax 15) Tìm diện tích phần hữu hạn mặt paraboloid y x z bị cắt mặt phẳng y 25 16) Dùng toạ độ cực tính diện tích đồ thị hàm x y phía hình trịn đơn vị 17) Mật độ điểm microchip hình vng cạnh cm (45 r )g / cm , r khoảng cách theo cm từ điểm đến tâm chip Khối lượng chip bao nhiêu? 18) Miếng vàng mỹ nghệ xác định �x �2, �y �2 (theo cm) có mật độ khối lượng (x, y) x sin 4y (g / cm ) Nếu vàng bán với giá triệu VND/g, lượng vàng miếng vàng trị giá bao nhiêu? 19) Tính tích phân 2 dx dy cos (x y z) dz ; a) I ��� x cos z dxdydz � � b) I � V V (x, y,z) : z 0,z , x 0, y 0, x y 1 ; 2 � � x2 z2 � � I x y zdxdydz � � � V (x, y,z) : y �1� c) � V � � 20) Tính tích phân 15 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… a) I� xydxdydz � � V V miền phía mặt x y z miền mặt xOy giới hạn đường y x, y 0, x 1; b) I� xdxdydz � � V 2 V (x, y,z) : 4z 4y �x, x ; x dxdydz � � c) I � V V (x, y,z) : x y �z � 16 x y , z �0 ; d) I� zdxdydz � � e) I� zydxdydz � � V V 2 V (x, y,z) : x y �z �2y ; 2 V (x, y,z) : x y �4;0 �z �y ; � (x y) z � dxdydz � � f) I � � � V V (x, y,z) : (z 1) �x y ,z ; 21) Dùng toạ độ trụ tính tích phân: 2 � �x y dxdydz a) I � V V (x, y,z) : x y �16,z 5, z ; x dxdydz � � b) I � V V (x, y,z) : x y �1, 4x 4y �z , z �0 ; ze x � � c) I � V y2 dxdydz V (x, y,z) : x y z �2, z � x y ; z x y dxdydz V (x, y,z) : x y �2x,0 �z �a � � d) I � V 22) Tính tích phân cách đổi sang toạ độ cầu: 16 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… 9 x2 a) I dx � dy � 3 9 x2 x y2 � z x y z dz ; V (x, y,z) : x y z �9,z �0 (x y )dxdydz � � b) I � V V (x, y,z) : r �x y z �R , z �0 ; 2 � �x y z dxdydz V (x, y,z) : x y2 z �2z c) I � V ; 2 � x y2 z2 � � � I x y z dxdydz � � � (x, y,z) : �1�; d) V � V a b c � � 2 � �x 4y 9z dxdydz e) I � V 2 V (x, y,z) : x 4y 9z �1, x, y,z �0 23) x Tìm thể tích vật thể V: a) V giới hạn y2 z az(x y2 ), a 0;x �0; y �0;z �0 ; b) V giới hạn z x y mặt z x y 24) Dùng toạ độ trụ toạ độ cầu tuỳ theo mức độ tiện lợi tìm thể tích trọng tâm vật thể nằm mặt nón z x y nằm mặt cầu x y2 z 25) Tìm thể tích vật thể giới hạn mặt đóng x y z 26) Tìm khối lượng trọng tâm hình lập phương cho �x �12, �x �12, �x �12 hàm mật độ (x, y,z) x y z 27) Tìm khối lượng trọng tâm vật thể: 17 x BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… a) nằm mặt phẳng z x y miền mặt phẳng Oxy giới hạn đường cong y x, y 0, x với mật độ số b) Trong góc phần tám thứ giới hạn mặt trụ x y mặt phẳng y z , x , z với hàm mật độ (x, y,z) x y z 28) trọng tâm Viết cơng thức mà khơng tính giá trị, tích phân biểu diễn khối lượng, nửa mặt cầu x y2 z2 1, z �0 với hàm mật độ (x, y,z) x y z TÍCH PHÂN ĐƯỜNG MẶT 1) Tính tích phân y a) I �ds ; x t ; y t 0.5 �t �1 x L x 3zds ; x 2sin t; y t;z 2cos t;0 �t � b) I � L xy ds ; Với L nửa bên trái đường x y2 16 c) I � L xe yz ds Với L đoạn thẳng nối (0;0;0) đến (1;2;3) d) I � L 2) Tìm tọa độ trọng tâm dây đinh ốc trụ x 2cos t, y 2sin t, x 3t �t �2 với mật độ cosnt 3) Tìm tọa độ trọng tâm khối lượng dây mảnh x y2 với x �0 với mật độ cosnt r 4) Cho trường vectơ F (P;Q) có hướng đường trịn đồng tâm với tâm Pdx Qdy mang dấu ? Khi L xác định: gốc tọa độ,xác định I � L a) L là đoạn thẳng thẳng từ (3, 3) đến (3,3) b) L là đoạn thẳng thẳng từ (3, 3) đến (3,3) c) C vòng tròn đ/ hướng ngược kim đồng hồ với bán kính 3, tâm gố tọa độ 5) Tính tích phân 18 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… e x 1dx xydy ; x t ; y t �t �1 a) I � L xydx (x y)dy với L đường gấp khúc nối từ (0;0) đến (2;0) đến b) I � L (3;2) 6) 2x sin ydx (x cos y 3y )dy không phụ thuộc đường Hãy chứng tỏ I � L lấy tích phân,từ tính tích phân L đường nối (-1;0) đến (5;1) 7) Hãy chứng tỏ tích phân (1 x )dy 2xydx I � (1 x )2 y2 không phụ thuộc đường � AB lấy tích phân miền đơn liên D ��2 ( �1;0) ,từ tính tích phân cung � đường không cắt Ox nối A(0;0) đến B(1;1) AB 8) (1 y y sin 2x)dx (x ycos x)dy Tìm giá trị để tích phân I � L khơng phụ thuộc đường lấy tích phân r r r Tính cơng trường lực F xi (y 2) j dịch chuyển vật dọc theo cung 9) xycloit x t sin t; y cos t;0 �t �2 r Tính cơng trường lực F (xz; yx; yz) dịch chuyển vật dọc theo đường 10) x t ; y t ;z t �t �1 r Tính cơng trường lực F (x y3 ; y x ) dịch chuyển vật từ A(0;0) đến 11) B(2;1) 12) Mô tả tập mở liên thông (x; y) : x 0, y 0 ; (x; y) : x �1 ; (x; y) :1 x y 9 13) Tính tích phân đường theo hai cách:+trực tiếp;+Green I xy dx x dy với L biên hình chữ nhật � a) L ABCD:A(0;0),B(2;0),C(2;3),D(0;3) Giải xydx x y3dy với L biên tam giác ABC:A(0;0).B(1;0),C(1;2) b) I � L c) I �(5x � AB 4y)dx (4y3 3x)dy với cung x a y từ -a đến a (a>0) 19 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… 14) Tính tích phân đường theo công thức Green theo hướng dương e y dx 2xe y dy với L hình vng có cạnh a) I � L x 0;x 1; y 0; y 3 I y dx x dy với L đường tròn x y2 � b) L y3dx x 3dy với L gồm đoạn từ (-2;0) đến (2;0) nửa đường c) I � L tròn x y2 (y e d) I � x )dx (2x cos y )dy với L biên miền giới hạn L parabol y x ; x y 15) Dùng công thức Green để tính tích phân sau theo chiều dương x ydx y xdy với L biên miền giới hạn x y2 a) I � L x ydx xdy với L biên miền giới hạn x y b) I � L (ye xy 2x cos y x y)dx (xe xy x sin y xy xy)dy c) I � L với L biên miền giới hạn x y 2x d) I �(x � OA y 2x y)dx (xy x 2y)dy với � OA cung từ O(0;0) đến A(0;2) đường x y 2y 0(x �0) Kiểm tra trường véc tơ sau trường Tìm hàm f cho r 16)uuuur F graff r a) F (yz;zx; yx) r b) F (2xy; x+2zy; y ) 17) Tính tích phân mặt x yzdS với S phần mặt phẳng z 2x 3y xác định � a) I � S 0,3 � 0,2 20 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… xdS với S phần mặt cong � b) I � y x 4z �x �2,0 �z �2 S (x y z )dS với S phần mặt trụ x y nằm � c) I � S z 0;z zdS với S phần mặt paraboloit � d) I � z x y nằm mặt z S 18) Tính thơng lượng trường vec tơ qua mặt định hướng dương tương ứng: r a) F (x, y,z) với S mặt mặt x y z r b) F (0, y, z) với S phần mặt paraboloit y x z với �y �1 hình trịn x z �1; y r c) F (xy, yz,zx) với S phần mặt paraboloit z x y nằm phía hình vng �x �1;0 �y �1 hướng lên r d) F (xy, 2y,3x) với S phần mặt x y z r Chất lỏng với mật độ 1200 chảy với vận tốc v (y,1,z) Tìm tốc độ chảy qua 19) mặt z x y với x y �36 20) Nhiệt độ điểm (x,y,z) chất với hệ số dẫn nhiệt K = 6,5 U 2y 2z Tìm vận tốc truyền nhiệt vào bên qua mặt trụ y z �x �4 21) Dùng Cơng thức Stoke để tính tích phân,trong L định hướng ngược Pdx Qdy Rdz với chiều kim đồng hồ nhìn từ xuống.Tức tính I � L r F (P,Q,R) r a) F (x y , y z ,z x ) với L tam giác ABC : A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1) r b) F (2z,4x,5y) với L giao mặt trụ x y mặt phẳng z x 21 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… r c) F (x z, y x,z ) với L giao mặt trụ x y2 mặt phẳng y x z r d) F (y z,z x, x y) với L giao mặt x y a mp x z 1;a 0,h a h r e) F (x y3 ,1, z) với L giao mặt trụ x y2 mặt phẳng z r 22) Tính công trường lực F (x x z , y y x ,z z y ) sinh chất điểm chuyển động ảnh hưởng dọc theo biên phần mặt cầu x y z nằm góc phần tám thứ nhất, theo chiều ngược kim đồng hồ nhìn từ bên 23) Dùng Định lý Divergence (Công thức Ostrogragski-Gauss) để tính tích phân mặt I� Pdydz Qdzdx Pdxdy , nghĩa tính thơng lượng Fr (P,Q,R) qua mặt � S S r a) F (x , y3 ,z3 ) với S mặt x y z r b) F (e x sin y,e x cos y, yz ) với S mặt hình hộp x 0, x 1, y 0, y 1,z 0,z r c) F (x , y ,z ) với S mặt x y z r d) F (x, yz,z ) với S mặt x y z a (a 0) r e) F (y z,z x, x y) với S mặt ngồi nón x y z (0 �z �h) không kể đáy r f) F (3xy , xe z ,z3 ) với S mặt giới hạn y z , x 1; x r g) F (x, y,z) với S mặt trụ x y2 a (a �z �a) không kể đáy r h) F (x, y ,1) với S mặt trụ x y 2ax (a 0;0 �z �a) khơng kể đáy 24) Tính 22 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… I� x y z dydz với S mặt giới hạn z y �x (0 �x �1) � S 25) Tìm trường véc tơ gradient hàm số: a) f (x, y) ln(x 2y) b) f (x, y) x y 3x � � uuuur x y z � � , , c) gradf (x, y,z) � x y2 z x y2 z x y z � � � uur 26) Tìm curl hay rot div trường véc tơ: r uur r r a) F (xy, yz,zx) rotF ( y, z, x) ; divF x y z r b) F (e x sin y,e x cosy,z) r uur r divF ; rotF (0,0,0) r 27) Chứng tỏ trường F (4x y 2xy3 ,2x y 3x y 4y3 ) trường dùng điều để tính tích phân (4x � y 2xy3 )dx (2x y 3x y 4y3 )dy L dọc theo đường L : x t sin t; y 2t cos t (0 �t �1) 28) Xét xem trường véc tơ có trường hay khơng Nếu đúng, tìm hàm f ứng với trường véc tơ r r r a) F (2x cos y ycos x)i ( x sin y sin x) j r r r b) F xe y i ye x j r 29) Cho F (ax 3xz , x y by3 ,cz3 ) Tìm giá trị a, b, c để tích phân I� (ax 3xz )dydz (x y by3 )dzdx cz3dxdy không phụ thuộc vào việc � S chọn mặt S mà biên giao mặt paraboloid hyperbolic z y x mặt trụ x y định hướng ngược kim đồng hồ nhìn từ bên PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Kiểm tra y cos x(sin x 1) nghiệm toán y� y tan x cos x giá trị ban đầu � � y(0) 1 khoảng � , � � 2� 1) 23 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… 2) Giải phương trình tách biến dy xe x a dx y y du 2u t tu dt 3) Tìm nghiệm PTVP thoả mãn điều kiện ban đầu dy y , y(1) ; a dx b y� e x y e x y , y(0) ; b du 2t sec t c , u(0) 5 dt 2u 4) Tìm phương trình đường cong thoả mãn y� 4x y cắt trục Oy 5) Dung dịch glucose truyền theo đường tĩnh mạch vào máu với vận tốc khơng đổi r Khi glucose đưa vào, chuyển thành chất khác bị đẩy khỏi máu với vận tốc tỷ lệ thuận với nồng độ thời điểm Như vậy, mơ hình biểu diễn dC r kC , k nồng độ C C(t) dung dịch glucose máu dt số dương a Giả sử nồng độ thời điểm t C0 Xác định nồng độ thời điểm tuỳ ý cách giải PTVP nói r C(t) diễn giải đáp án bạn b Giả sử C0 , tìm giới hạn tlim �� k 6) Chu kỳ bán rã cesi-137 30 năm Giả sử có mẫu 100 mg a Tìm khối lượng cịn lại sau t năm b Mẫu lại sau 100 năm? c Sau lại mg? Lời giải: Gọi f (t) hàm thể khối lượng chất cesi-137 theo biến thời gian t.Từ giả thiết tốn ta có f (t 30x) x f (t) � f (t) x f (t 30x) ,ở x tính theo năm.Điều chứng tỏ sau 30 năm khối lượng cesi-137 giảm nửa so với ban đầu.Mặt khác ta có lượng cá bơn halibut Thái bình dương mơ hình hố PTVP dy � y� ky � 1 � ,trong dt � K� 24 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… y(t) sinh khối (khối lượng tổng cộng cá thể quần thể) theo kilogram thời điểm t (đo theo năm), dung lượng cực đại ước lượng K �107 kg k 0,71 theo năm d Nếu y(0) �107 kg , tìm sinh khối năm sau e Bao lâu sinh khối đạt �107 kg ? 7) Trong mơ hình sinh trưởng theo mùa, hàm tuần hồn theo thời gian đề nghị để tính đến biến đổi có tính mùa vụ liên quan đến vận tốc sinh trưởng Những biến đổi có thể, chẳng hạn, gây thay đổi có tính chất mùa vụ nguồn thức ăn dP kP cos(rt ) P(0) P0 , Tìm nghiệm mơ hình sinh trưởng theo mùa dt k, r φ số dương 8) Giải PTVP toán ban đầu: a (x 3y )dx 2xydy ; y x tan y y(1) ; b xy� x y� y � c y� �x sin � x ysin ; x� x � y y sin y(1) ; d y� x x 2 e (x y)ydx x dy 9) Xét xem phải phương trình tuyến tính: a y� ye x x y5 b xy� ln x x y c x y� y sin x d xy� y x sin x 10) Giải PTVP: a y� 2y 2e x ; b c d e xy� y x; dy 2xy x ; dx y� 3x y 6x ; y xy� y� ln y ; 25 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… f g y x2 ; x 1 y� y tan x sin x y� 11) Giải toán giá trị ban đầu: dv 2tv 3t e t v(0) ; a dt b xy� y x sin x y( ) 12) Những nhà tâm lý quan tâm đến lý luận học tập khảo sát đường cong học Đường cong học đồ thị hàm số P(t), hiệu học kỹ dP coi hàm thời gian huấn luyện t Đạo hàm thể vận tốc mà dt hiệu suất học nâng lên dP a Bạn nghĩ P tăng lên nhanh nào? Điều xảy với t tăng lên? dt Giải thích b Nếu M mức cực đại hiệu mà người học có khả đạt được,giải dP k(M P) , k số dương mơ hình hợp lý cho việc thích PTVP dt học c Giải PTVP để tìm biểu thức P(t).Dùng lời giải bạn để vẽ đồ thị đường cong học.Giới hạn biểu thức gì? 13) Giải PTVP Bernoulli: y3 y ; a y� x x b xy� y xy ; c (2xy y)dx xdy ; d 2xyy� y2 x ; 2x y� ; x cos y 4sin 2y e f xy� y y ln x ; g xy� 2xy ln x y 14) Một vật khối lượng m rơi xuống từ trạng thái nghỉ giả sử sức cản khơng khí tỷ lệ thuận với vận tốc vật Nếu S(t) khoảng cách rơi sau t (t) gia tốc a v� (t) Nếu g gia tốc trọng trường giây vận tốc v S� 26 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… lực hướng xuống tác động lên vật mg cv , c số dương, Định dv luật Newton thứ hai dần đến m mg cv dt ct mg � m � � 1 e � a Giải PT coi PT tuyến tính để v � c � � � 15) Giải PTVP toàn phần: (x y )dx 2xydy 0; a x2 b (2x y 1)dx (2y x 1)dy ; c 1 x x y dx x y ydy ; � 1� (x y)dx �x � dy � y� 16) Giải PTVP dùng thừa số tích phân: � x � �x � 1 � dx � 1� dy ; a � � y � �y � d b (1 x y)dx x (y x)dy ; c y(1 x y)dx x(2 yx )dy ; d (sin y x )dx x sin 2ydy ; e (2xy y)dx xdy 17) Giải PTVP a ; � xy� y� � b (1 x )y� y� 0 18) Giải PTVP � y� 0; a 4y� � 2y� y 0; b y� � 8y� 41y ; c y� � y� y d y� 19) Giải toán giá trị ban đầu: � 5y� 3y y(0) 3, y� (0) 4 ; a 2y� � 4y� y y� (0) 1,5; y(0) ; b 4y� 20) Giải PTVP � y y(0) 3, y� ( ) 4, ; a 4y� � 6y� 25y y� () 2, y(0) ; b y� 27 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… 21) Giải PTVP � a y� 3y� 2y x ; b � y� 4y� 5y e x ; � c y� y� xe x y� (0) 1, y(0) ; � 2y� sin 4x ; d y� � e y� 3y� 2y (12x 4)e x � y (x 2)cos x ; f y� � � � g y� 6y� 12y� 8y 3e 2x 22) Tìm nghiệm riêng PTVP � a y� 3y e x cos x y(0) y� ( ) ; � 4y� 3y y(0) 0; y� (0) ; b y� 23) Viết dạng nghiệm riêng phương pháp hệ số bất định, không xác định hệ số � a y� 9y x sin x ; b � y� 3y� 4y (x x 1)e x ; c � y� 2y� 10y x e x cos3x ; � d y� 2y� 2y xe x sin x ; � y 2cos x e y� � � � f y� 3y� 3y� y (1 x )e x ; � y x sin x g y� 24) Giải PTVP (i) dùng phương pháp hệ số bất định (ii) dùng phương pháp biến thiên số � 4y x ; a y� � b y� 2y� y e 2x ; c � y� 5y� 6y (x 1)e 2x ; d � y� y� xe x ; e f g � y� 3y� 2y xe3x � y� 4y� 8y sin 2x h i j � 9y� y 3x e x y(0) 1, � y� 9y 6cos3x ; � y� y 3sin x � y� y� 6y e 2x ; 28 y� (0) ; BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… 25) 26) a 27) � k y� y� e x 2cos x ; � y� y 2sin x y� (0) 1, y( / 2) l Tìm nghiệm tổng quát PT y(4) y Dùng phương pháp biến thiên tham số giải PTVP: � y� y sec x 0 x / 2; � 3y� 2y b y� ; e x � y ; c y� x e 2x � d y� ; 4y� 5y cos x ex � 2y� y e y� ; x2 � y� f y� ; ex Dùng phép đổi biến x e t giải phương trình Euler: a � x y� 5xy� 13y ; b � x y� xy� y 2sin(ln x) c � x y� xy� yx d � � � x y� 3x y� 6xy� 6y ; � x y� xy� y cos(ln x) � 28) Dùng phép đổi biến z xy giải phương trình: xy� 2y� xy e x 29) Giải hệ phương trình: 5x 3y �x � a � ; 3x y �y� 3x y �x � b � ; 4x y �y� 2x y �x � c � 3x 4y �y� e 29 ... biến thiên đại lượng sau: (a) thể tích, (b) diện tích xung quanh Lời giải Thể tích hộp diện tích xung quanh V whl ; Sxq 2(l w)h Sự biến thiên đại lượng thể tích vận tốc biến thiên xác định... ; b 4y� 20) Giải PTVP � y y(0) 3, y� ( ) 4, ; a 4y� � 6y� 25y y� () 2, y(0) ; b y� 27 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… 21) Giải PTVP �... elíp 10 x2 a2 y2 b2 BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng ………………………………………………………………………………………… 42) Tìm điểm mặt cong xy z gần gốc toạ độ 43) Một hộp bìa tơng khơng nắp tích dm3 Tìm kích thước
Ngày đăng: 20/04/2021, 20:45
Xem thêm:
