+ Nhân đơn thức với đa thức ta lấy đơn thức, nhân với từng hạng tử của đa thức.. Phương pháp đặt nhân tử chung + Ph©n tÝch mçi h¹ng tö thµnh tÝch.. d) Tính diện tích hình chữ nhật.[r]
(1)ĐẠI SỐ
I.C
éng, Trõ ®a thøc:
1 Đơn thức đồng dạng:
Là đơn thức có phần biến hoàn toàn giống
2 Cộng trừ đơn thức:
+ Cộng trừ đơn thức cộng trừ đơn thức đồng dạng, ta cộng trừ hệ số; phần biến giữ nguyên
+ VÝ dô: 2x3y2 + x3y2 - x3y2 = (2 +1 – 5) x3y2 = -2 x3y2 3.Céng trõ ®a thøc:
+ Cộng trừ đa thức thực chất cộng trừ đơn thức (hạng tử) đồng dạng, sau thực bớc bỏ dấu ngoặc có dấu cộng có dấu trừ đằng trớc
+ VÝ du: (3a2b3 -2bc2+ ) – (3 bc2 - a2b3 + 5)
= 3a2b3 -2bc2+ – bc2 + a2b3 – 5
= 3a2b3 + a2b3 -2bc2 – bc2 + -
= 4a2b3 - 5bc2 –
II/ Nhân đa thức:
1
Nhân hai luỹ thừa số:
Khi nhân hai luỹ thừa số, ta giữ nguyên số cộng số mũ am an = am + n vÝ dô: x3 x2 = x5
2
Nhân đơn thức với đơn thức:
+ Nh©n hƯ sè víi nhau, nhân phần biến với nhau( nhân luỹ thừa cïng c¬ sè) + VÝ dơ: 5x2y 7x3 = 5.7.x2.x3 y.y0 = 35x5 y ( chó ý: a0 = 1)
3
Nhân đơn thức với đa thức:
+ Nhõn đơn thức với đa thức ta lấy đơn thức, nhõn với hạng tử đa thức + Chú ý: Từng hạng tử đa thức đơn thức nhân lu ý đến dấu hệ số đơn thức
+ VÝ dô: - 2a2b.( 3ab3 - 4a2b) =-2a2b.3ab3- 2a2b.(- 4a2b) = - 6a3b4 + 8a4b2. 4 Nhân đa thức với đa thức
+ Nhân đa thức với đa thức, ta nh©n hạng tử đa thc ny lần lợt vi cỏc
hng t ca đa thức kia.(råi thu gän nÕu cã thÓ)
(A + B)(C – D) = A(C – D) + B(C – D) = AC –AD + BC – BD
Bài tập áp dụng: Tính:
a/ -2
x(2x2+1) = b/ 2x2(5x3
-x-2
) = c/ 6xy(2x2-3y) = d/ (x2y – 2xy)(-3x2y) =
e/ (2x + y)(2x – y) = f/ (xy - 1)(xy + 5) =
III/ Chia ®a thøc:
1.
Chia hai luü thõa cïng c¬ sè :
Khi chia hai luỹ thừa số, ta giữ nguyên số trừ số mũ am : an = am - n vÝ dô: x3: x2 = x
2 Chia đơn cho đơn thức :
+ Chia đơn thức cho đơn thức , ta chia hệ số cho hệ số , chia luü thõa cïng c¬ sè
với
+ Ví dụ: 15x3y : (-3x2) = 15: (-3).x3:x2 y:y0 = - 5x y 3 Chia đa cho đơn thức :
Chia đa thức cho đơn thức, ta lấy hạng tử đa thức bị chia chia cho đơn thức + Chú ý: Từng hạng tử đa thức đơn thức chia lu ý đến dấu hệ số đơn thức
+ VÝ dô: (- 2a2b.+ 6ab3 - 4a2b2) : 2ab =- a + 3b – 2ab.
4)Chia đa thức biến sp xp:
(2)+ Tìm đa thức d thø nhÊt,
+ Chia h/tử bậc cao đa thøc d , cho h/tö bậc cao a thc chia,
+ Tìm đa thức d thø hai,
+ Chia…
Dõng l¹i h¹ng tư bËc cao nhÊt cđa ®a thøc d cã bËc bé bậc hạng tử bậc
cao cđa ®a thøc chia
2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3
2x4- 8x3- 6x2
- 5x3 + 21x2 + 11x - 3
- 5x3+ 20x2+10x
- x2 - 4x - 3
- x2 - 4x - 3
x2- 4x - 3
2x2 - x + 1
5 Hằng đẳng thức đáng nhớ:
-BÌNH PHƯONG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 -BÌNH PHƯONG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 -HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG : A2 - B2 = (A +B)(A- B)
-TỔNG HAI LẬP PHƯƠNG : A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) -HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG : A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)
-LẬP PHƯ¬NG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)3 = A3 + 3A 2B + 3AB2 + B3 -LẬP PHƯONG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)3 = A3 - 3A 2B + 3AB2 - B3
Bài tập áp dụng: ( hằng đẳng thức)
a/ (x + 4y)2 = b/ (3x + 1)2 = c/ (x + 3y)2 =
d/ (x – 7)2 = e/ (5 - y)2 = f/ ( 2x – 1)2 =
g/ x2 – (2y)2 = h/ x2 - = i/ 4x2 – 9y2 =
k/ x3 – = l/ + x3 = m/ 8x3 + 27 =
n/ ( x +1)3 = p/ ( x – 2)3 =
6) Phân tích đa thức thành nhân tử :
1. Phương pháp đặt nhân tử chung + Ph©n tÝch hạng tử thành tích + Tìm nhân tử chung
+ Viết nhân tử chung dấu ngoặc,các hạng tử lại ngoặc thơng hạng tử tơng ứng với nhân tử chung
Ví dụ: a/ 12x2- 4x = 4x 3x - 4x = 4x(3x – 1).
b/ x(y-1) +3(y-1) = (y - 1)(x +3)
2. Phương pháp dùng đẳng thức
+ Dùng đẳng thức để phân tích theo dạng sau:
D¹ng h¹ng tư: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 VÝ dô: a/ x2 + 2x +1 = x2 + 2.x.1 +12 = (x + 1)2
b/ x2- 4x + = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
Dạng hai hạng tử với phép tính trừ, hạng tử bình ph ơng biểu thức: A2 - B2 = (A +B)(A- B)
VÝ dô: a/ x2 – = (x – 1)(x + 1)
(3)D¹ng hai h¹ng tư với phép tính cộng, hạng tử lập ph ¬ng cđa mét biĨu thøc
A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) Chú ý: Bình bình phơng thiếu hiệu Ví dô: x3 + = (x +1)(x2 - x +1)
Dạng hai hạng tử với phép tính trừ, hạng tử lập ph ơng biểu thức
A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)
VÝ dô: x3 – = (x – 1)(x2 + x + 1)
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
(Thêng dïng cho loại đa thức có bốn hạng tử trở lên) + Kết hợp hạng tử thích hợp thành tõng nhãm
+ áp dụng liên tiếp phơng pháp đặt nhân tử chung.hoặc đẳng thức Ví dụ: a/ 2x3 – 3x2 + 2x –
= ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)
= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)
= ( x2 + 1)( 2x – 3)
b/ x2 – 2xy + y2 – 16
= (x2 – 2xy + y2) - 16
= (x – y)2 - 42
= ( x – y – 4)( x –y + 4) Phối hợp nhiều phương pháp
+ Trớc hết nghĩ đến phơng pháp đặt nhân tử chung
+ Tuỳ để sử phơng pháp dẳng thức nhóm hạng tử + Có thể đổi dấu để xuất nhân tử chung đẳng thức Ví dụ:
a/ 3xy2 – 12xy + 12x
= 3x(y2 – 4y + 4)
= 3x(y – 2)2
b) 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
= 3xy(x2 – 2x – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a)
5.
Phương pháp nhÈm nghiệm:
( Dùng cho đa thức biến dạng: A = ax2 + bx + c ; c gäi hạng tử tự do)
+ Nghim ca a thức thuộc tập ớc c.(với trờng hợp đa thức có nghiệm) + Thay lần lợt ớc tìm đợc nghiệm x1và x2( x1là nghiệm A(x1) =
(4)+ Khi A = ax2 + bx + c = a(x – x
1)(x – x2).
VÝ dô: A = x2 +5x –
(a = 1; c = 6) ¦(6) = 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; - Thư víi ta cã:A = 12 +5.1 - =
=> x1= ….vµ x2 = - 6.
VËy A = x2 +5x – = 1(x - 1)(x + 6) = (x - 1)(x + 6).
Chú ý: Phơng pháp áp dụng cho đa thức có bậc lín h¬n
Xem phần “chun đề phân tích đa thức thành nhân tử” tài liệu bồi dỡng
học sinh giỏi
Bài tập áp dụng: phân tích đa thức thành nhân tử:
1/ 2x2- 5xy 2/ x3 – 3/ -3xy3- 6x2y2+18y2x3
4/ 18(a- b) - 15a(b - a) 5/ 12x - 9- 4x2 6/ 1- 2y + y2
7/ x2- 8/ 10x-25 - x2 9/ x2 +2x+1- y2
10/ 2xy- x2- y2+16 11/ 25x – x3 12/ 10x2 + x3 + 25x
13/ x2+7x + 14/ x2 + 8x– 15/ x3 +1.
Bài tập tổng hợp:
Phân tích thành nhân tử:
a)3x- 6y b)2x3y- 2xy3- 4xy2- 2xy c) 3a - 3b + a2 – ab
d) x3 – 2x2 + x e)x2 9y2 f) 5x3y5x2y 5xy 5y
T×m x biÕt:
a/ (3x – 2)(2x +1)+(3 – 2x)( 3x + 5) = 13 b/ x2- 25 - (x+5) =
c/ x2(x2+4) - x2- =
Rót gọn tính giá trị biểu thức: A = (x2+3)2- (x +2)(x - 2) T¹i x =3
B = x2+ 4x+ T¹i x = 80
C = a(a - 1) - b(1- a) T¹i a =2001 vµ b =1999
Chøng minh biĨu thøc sau không phụ thuộc vào biến: D = (x+1)(x2x +1) (x+2)(x2 - 2x+ 4) - 7
TÝnh: a) Gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A = (x+1)(x-3)+11 b) Giá trị lớn biểu thức: B = - 4x2 +8x.
(5)
x x
x x
C x x
3 : ) ( 3 3 ) ( 3 x x x x C x x C
4) Cho phân thức :
:52 5 1 1 x x x x x x A
a) Điều kiện x để giá trị phân thức xác định : x 1
b) Rút gọn phân thức :
:52 5 1 1 x x x x x x A
1 . 5 2 : 1 2 1 1 x x A x x x x x A x x x x x 2 1 . 5 1 2 2 1 2 1 2 x x x x A x x x 2 1 . 5 1 1 2 1 2 2 x x x x x A 10 x A
c) Giá trị A :
Thay x = –3 phân thức A có giá trị :
2 10 10
3
A
Thay x = –1 không thỏa mãn điều kiện đề , nên phân thức A không xác
định
4) Chứng minh đẳng thức :
x y xx yy
(6)Giữ nguyên vế phải , biến đổi vế trái , ta có :
xy
x y y x x y x y x y x y x xy y x xy x x y : 1 : 2
x y xy y x xy xy xy x y y x x y x y x y x y x 2 : y x y x y x xy y x xy y x
So sánh vế trái vế phải Vậy đẳng thức cho
6)Giá trị nhỏ đa thức sau : a) A = x2 – 2x + = x ( x – ) + > 5 x ( x – ) = = > x = x =
vậy giá trị nhỏ đa thức A , x = x = b) B = 2x2 – 6x = x ( 2x – ) = = > x = x = 3 giá trị nhỏ đa thức B , x = x = 7) Giá trị lớn đa thức sau :
a) A = 4x – x2 + = x ( – x ) + < 3 x ( – x ) = = > x = x =
vậy giá trị lớn đa thức A , x = x = b) B = x – x2 = x ( – x ) = = > x = x = 1 giá trị lớn đa thức B , x = x =
II-HÌNH HỌC :
1)
M N
Chứng minh : kẻ đường chéo AC
A B C D F O GT KL
HT ABCD : AB //CD ; MN//AB//CD ; OE = OF
a) Tứ giác EMFN hình ? chứng minh
(7)a) Ta có : MN//AB//CD OE = OF
= > MA = MD ; NB = NC ( đoạn bị chắn đường song song cách )
Xét ABC có :
EN AC
2
// ( Đường trung bình tam giác ) (1)
Xét ABC có :
MF AC
2
// ( Đường trung bình tam giác )(2) Từ (1) (2) suy : EN //= MF
Mà EN MF hai cạnh đối tứ giác ENMF , nên ENMF hình bình hành ( có cặp cạnh đối song song )
b)Hình thang ABCD thêm điều kiện có hai cạnh bên ( tức hình cân ) EMFN hình thoi
2)
Chứng minh :
a) Xét tứ giác DEBF , ta có : EB AB ; DF DC (1) AB //= DC (gt ) (2)
AB EB
2
; DF DC
2
(gt) (3)
Từ (1) , (2) ,(3) , suy : EB //= DF
Mà EB DF cặp cạnh đối tứ giác DEBF , nên DEBF hình bình hành ( có cặp cạnh đối song song )
b)Xét tứ giác AEFD có :
AB//=DC ; AD//=BC (gt) (1)
AB BC
2
; DF DC
2
(gt) (2) AE = DF ; AD = EF (gt) (3)
Từ (1) , (2) (3) suy : AE = DF = AD = EF nên tứ giác AEFD hình thoi c) Xét tứ giác EMFN :
Từ chứng minh b : tứ giác AEFD hình thoi
= > AF BE M M 900 (1)
Chứng minh tương tự , ta có tứ giác BEFC hình thoi
= > ECBF N N 900 (2)
Từ (1), (2) suy : Tứ giác EMFN hình bình hành ( có cặp góc đối )
Hình bình hành EMFN có góc M góc vng , nên EMFN hình chữ nhật
B A
C D
E
F
M
N
GT GT
hbh ABCD : AB//=DC ; AD//=BC AB = BC => BC AB
2
EA = EB ; FD = FC
Diện tích ABCD = S
(8)d) Căn vào hình vẽ : hình bình hành ABCD có tam giác vng , mà hình chữ nhật EMFN tạo tam giác vuông
Do , diện tích hình chữ nhật EMFN : S S
4
3)
Chứng minh :
a) Xét tứ giác ABCD có : CD //= AB (gt)
Nên ABCD hình bình hành ( có cặp cạnh đối song song ) Mà AD , BC đường chéo hình bình hành ABCD MB = MC (gt)
Vậy theo tính chất hình bình hành : hai đường chéo cắt trung điểm đường, M thuộc đường chéo AD , nên ba điểm A , M , D thẳng hàng
b)Xét tam giác AED Ta có :
OA = OE (gt ) (1) MB = MA ( cm a) (2)
Từ (1) (2) suy : OM đường trung bình tam giác AED = > OM // ED
Và AE OM (gt) = > ED AE ( hay góc E = 900 )
Vậy tam giác AED tam giác vuông
c)Từ hình bình hành ABCD = > BD = AC ( cạnh đối diện ) (1) Xét tam giác vng AOC tam giác vng COE có :
OA = OE (gt) OC cạnh chung = > AOC = COE (Hai cạnh góc vng )
= > CE = AC ( Hai cạnh tương ứng ) (2) Từ (1) (2) suy : BD = CE
4)
Chứng minh :
a)Xét tứ giác ABEH có :
A
B C
E D
M O
GT
KL
ABC : OA = OE ; CD // AB CD = AB AE OM
MB = MC ;
a) A , M , D thẳng hàng b) Tam giác EAD vuông c) BD = CE
B
A
C D
E F
H
GT
KL
ABC : AB = AC = BC AH // BC
DA = DB ; EB = EC ; FA = FC
a) Tứ giác ABEH hình bình hành
b) Tứ giác AHCE hình chữ nhật
c) Tứ giác BDFC hình thang cân
(9)AH // BC ( gt ) BE BC => AH // BE (1)
AB // EH ( EF EH EF đường trung bình ACB ) (2)
Từ (1) (2) suy : tứ giác ABEH hình bình hành ( có cặp đối song song )
b) Xét tứ giác AHCE có : FA = FC (gt)
nên tứ giác AHCE hình bình hành (1) ( hai đường chéo cắt trung điểm đường )
Trong tam giác ABC AE vừa phân giác , …, vừa trung trực => AE BC = {E} , hay góc E = 900 (2)
Từ (1),(2) suy : hình bình hành AHCE hình chữ nhật (vì có góc vng )
c) Xét tứ giác BDFC có :
DF // BC ( theo gt DF đường trung bình ABC )
và FC = DB (vì gt cho : AB = AC ; DA = DB ; FA = FC )
Nên tứ giác BDFC hình thang cân ( có hai cạnh đối song song hai cạnh bên )
d) Xét tứ giác BDFE có :
DF = BE ( DF đường trung bình ABC ) (1)
FE = 12 AC ( trung tuyến thuộc cạnh huyền ) DB = 21 AB ( D trung điểm AB ) Mà AB = AC (gt)
Suy : FE = DB (2)
Từ (1) (2) suy : DF = BE = FE = DB
Vậy tứ giác BDFE hình thoi ( có bốn cạnh ) 5)
Chứng minh :
a) xét hình bình hành ABCD có : AB = DC ; AD = BC AE = CG ; BF = DH
= > AH = CF ; BE = DG ( hiệu đoạn )
Xét HAE FCG có : AH = CF (cmt) ; A C ; AE = CG (gt)
=> HAE = FCG ( c-g-c)
= > HE = GF (hai cạnh tương ứng ) (1)
Xét HDG EBF có : DH = BF (gt) ; D B ; DG = BE (cmt)
=> HDG = EBF ( c-g-c)
= > HG = EF (hai cạnh tương ứng ) (2)
Từ (1) , (2) suy : Tứ giác EFGH hình bình hành ( có cặp cạnh đối )
b) Xét hình bình hành ABCD có : đường chéo AC cắt đường chéo BD O (1) Xét hình bình hành EFGH có : đường chéo FH cắt đường chéo EG O (2) Từ (1) (2) suy : Các đoạn AC , BD , EG , FH đồng qui
6)
B A
C D
E
F
G H
KL
GT ABCD : AB//=DC ; AD//=BC; A C;B D
AE = CG ; BF = DH a) EFGH hình bình hành b) Các đoạn AC , BD , EG , FH đồng qui
(10)Chứng minh :
a)Xét tứ giác BCDE có : ED // BC ( theo gt : EA = EB ; DA = DC nên đường trung bình tam giác ABC )
và AB = AC ; EA = EB ; DA = DC
=> Tứ giác BCDE hình thang cân ( có hai cạnh đối song song hai cạnh bên )
b)Xét tứ giác ADME có : ME //= AD ( ME đường trung bình tam giác ABC ) , nên ADME hình bình hành
ED // BC ( theo gt : EA = EB ; DA = DC nên đường trung bình tam giác ABC )
AM BC
= > ED AM , mà ED AM hai đường chéo hình bình hành
BCDE , nên BCDE hình thoi
c) ) Điều kiện tam giác ABC tam giác ABC vuông cân A ADME
hình vng
B M C
E D
GT
KL
a) Tứ giác BCDE hình ? cm b) Tứ giác ADME hình ? cm c) Điều kiện tam giác ABC để ADME hình vng
ABC : AB = AC ; EA = EB ; DA = DC AM BC ; MB = MC