ON TAPHKI LOP8hs nen tham khao

+ Nhân đơn thức với đa thức ta lấy đơn thức, nhân với từng hạng tử của đa thức.. Phương pháp đặt nhân tử chung + Ph©n tÝch mçi h¹ng tö thµnh tÝch.. d) Tính diện tích hình chữ nhật.[r]

(1)

ĐẠI SỐ

I.C

éng, Trõ ®a thøc:

1 Đơn thức đồng dạng:

Là đơn thức có phần biến hoàn toàn giống

2 Cộng trừ đơn thức:

+ Cộng trừ đơn thức cộng trừ đơn thức đồng dạng, ta cộng trừ hệ số; phần biến giữ nguyên

+ VÝ dô: 2x3y2 + x3y2 - x3y2 = (2 +1 – 5) x3y2 = -2 x3y2 3.Céng trõ ®a thøc:

+ Cộng trừ đa thức thực chất cộng trừ đơn thức (hạng tử) đồng dạng, sau thực bớc bỏ dấu ngoặc có dấu cộng có dấu trừ đằng trớc

+ VÝ du: (3a2b3 -2bc2+ ) – (3 bc2 - a2b3 + 5)

= 3a2b3 -2bc2+ – bc2 + a2b3 – 5

= 3a2b3 + a2b3 -2bc2 – bc2 + -

= 4a2b3 - 5bc2 –

II/ Nhân đa thức:

1

Nhân hai luỹ thừa số:

Khi nhân hai luỹ thừa số, ta giữ nguyên số cộng số mũ am an = am + n vÝ dô: x3 x2 = x5

2

Nhân đơn thức với đơn thức:

+ Nh©n hƯ sè víi nhau, nhân phần biến với nhau( nhân luỹ thừa cïng c¬ sè) + VÝ dơ: 5x2y 7x3 = 5.7.x2.x3 y.y0 = 35x5 y ( chó ý: a0 = 1)

3

Nhân đơn thức với đa thức:

+ Nhõn đơn thức với đa thức ta lấy đơn thức, nhõn với hạng tử đa thức + Chú ý: Từng hạng tử đa thức đơn thức nhân lu ý đến dấu hệ số đơn thức

+ VÝ dô: - 2a2b.( 3ab3 - 4a2b) =-2a2b.3ab3- 2a2b.(- 4a2b) = - 6a3b4 + 8a4b2. 4 Nhân đa thức với đa thức

+ Nhân đa thức với đa thức, ta nh©n hạng tử đa thc ny lần lợt vi cỏc

hng t ca đa thức kia.(råi thu gän nÕu cã thÓ)

(A + B)(C – D) = A(C – D) + B(C – D) = AC –AD + BC – BD

Bài tập áp dụng: Tính:

a/ -2

x(2x2+1) = b/ 2x2(5x3

-x-2

) = c/ 6xy(2x2-3y) = d/ (x2y – 2xy)(-3x2y) =

e/ (2x + y)(2x – y) = f/ (xy - 1)(xy + 5) =

III/ Chia ®a thøc:

1.

Chia hai luü thõa cïng c¬ sè :

Khi chia hai luỹ thừa số, ta giữ nguyên số trừ số mũ am : an = am - n vÝ dô: x3: x2 = x

2 Chia đơn cho đơn thức :

+ Chia đơn thức cho đơn thức , ta chia hệ số cho hệ số , chia luü thõa cïng c¬ sè

với

+ Ví dụ: 15x3y : (-3x2) = 15: (-3).x3:x2 y:y0 = - 5x y 3 Chia đa cho đơn thức :

Chia đa thức cho đơn thức, ta lấy hạng tử đa thức bị chia chia cho đơn thức + Chú ý: Từng hạng tử đa thức đơn thức chia lu ý đến dấu hệ số đơn thức

+ VÝ dô: (- 2a2b.+ 6ab3 - 4a2b2) : 2ab =- a + 3b – 2ab.

4)Chia đa thức biến sp xp:

(2)

+ Tìm đa thức d thø nhÊt,

+ Chia h/tử bậc cao đa thøc d , cho h/tö bậc cao a thc chia,

+ Tìm đa thức d thø hai,

+ Chia…

Dõng l¹i h¹ng tư bËc cao nhÊt cđa ®a thøc d cã bËc bé bậc hạng tử bậc

cao cđa ®a thøc chia

2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3

2x4- 8x3- 6x2

- 5x3 + 21x2 + 11x - 3

- 5x3+ 20x2+10x

- x2 - 4x - 3

x2- 4x - 3

2x2 - x + 1

5

Hằng đẳng thức

đáng nhớ

:

-BÌNH PHƯONG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 -BÌNH PHƯONG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 -HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG : A2 - B2 = (A +B)(A- B)

-TỔNG HAI LẬP PHƯƠNG : A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) -HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG : A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)

-LẬP PHƯ¬NG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)3 = A3 + 3A 2B + 3AB2 + B3  -LẬP PHƯONG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)3 = A3 - 3A 2B + 3AB2 - B3

Bài tập áp dụng: ( hằng đẳng thức)

a/ (x + 4y)2 = b/ (3x + 1)2 = c/ (x + 3y)2 =

d/ (x – 7)2 = e/ (5 - y)2 = f/ ( 2x – 1)2 =

g/ x2 – (2y)2 = h/ x2 - = i/ 4x2 – 9y2 =

k/ x3 – = l/ + x3 = m/ 8x3 + 27 =

n/ ( x +1)3 = p/ ( x – 2)3 =

6) Phân tích đa thức thành nhân tử :

1. Phương pháp đặt nhân tử chung + Ph©n tÝch hạng tử thành tích + Tìm nhân tử chung

+ Viết nhân tử chung dấu ngoặc,các hạng tử lại ngoặc thơng hạng tử tơng ứng với nhân tử chung

Ví dụ: a/ 12x2- 4x = 4x 3x - 4x = 4x(3x – 1).

b/ x(y-1) +3(y-1) = (y - 1)(x +3)

2. Phương pháp dùng đẳng thức

+ Dùng đẳng thức để phân tích theo dạng sau:

D¹ng h¹ng tư: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 VÝ dô: a/ x2 + 2x +1 = x2 + 2.x.1 +12 = (x + 1)2

b/ x2- 4x + = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

Dạng hai hạng tử với phép tính trừ, hạng tử bình ph ơng biểu thức: A2 - B2 = (A +B)(A- B)

VÝ dô: a/ x2 – = (x – 1)(x + 1)

(3)

D¹ng hai h¹ng tư với phép tính cộng, hạng tử lập ph ¬ng cđa mét biĨu thøc

A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) Chú ý: Bình bình phơng thiếu hiệu Ví dô: x3 + = (x +1)(x2 - x +1)

Dạng hai hạng tử với phép tính trừ, hạng tử lập ph ơng biểu thức

A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)

VÝ dô: x3 – = (x – 1)(x2 + x + 1)

3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

(Thêng dïng cho loại đa thức có bốn hạng tử trở lên) + Kết hợp hạng tử thích hợp thành tõng nhãm

+ áp dụng liên tiếp phơng pháp đặt nhân tử chung.hoặc đẳng thức Ví dụ: a/ 2x3 – 3x2 + 2x –

= ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)

= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)

= ( x2 + 1)( 2x – 3)

b/ x2 – 2xy + y2 – 16

= (x2 – 2xy + y2) - 16

= (x – y)2 - 42

= ( x – y – 4)( x –y + 4) Phối hợp nhiều phương pháp

+ Trớc hết nghĩ đến phơng pháp đặt nhân tử chung

+ Tuỳ để sử phơng pháp dẳng thức nhóm hạng tử + Có thể đổi dấu để xuất nhân tử chung đẳng thức Ví dụ:

a/ 3xy2 – 12xy + 12x

= 3x(y2 – 4y + 4)

= 3x(y – 2)2

b) 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

= 3xy(x2 – 2x – y2 – 2ay – a2 + 1)

= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]

= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]

= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a)

5.

Phương pháp nhÈm nghiệm:

( Dùng cho đa thức biến dạng: A = ax2 + bx + c ; c gäi hạng tử tự do)

+ Nghim ca a thức thuộc tập ớc c.(với trờng hợp đa thức có nghiệm) + Thay lần lợt ớc tìm đợc nghiệm x1và x2( x1là nghiệm A(x1) =

(4)

+ Khi A = ax2 + bx + c = a(x – x

1)(x – x2).

VÝ dô: A = x2 +5x –

(a = 1; c = 6) ¦(6) = 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; - Thư víi ta cã:A = 12 +5.1 - =

=

> x

=

…

.vµ x

= - 6.

VËy A =

1(x - 1)(x + 6)

(x - 1)(x + 6).

Chú ý: Phơng pháp áp dụng cho đa thức có bậc lín h¬n

Xem phần “chun đề phân tích đa thức thành nhân tử” tài liệu bồi dỡng

học sinh giỏi

Bài tập áp dụng: phân tích đa thức thành nhân tử:

1/ 2x2- 5xy 2/ x3 – 3/ -3xy3- 6x2y2+18y2x3

4/ 18(a- b) - 15a(b - a) 5/ 12x - 9- 4x2 6/ 1- 2y + y2

7/ x2- 8/ 10x-25 - x2 9/ x2 +2x+1- y2

10/ 2xy- x2- y2+16 11/ 25x – x3 12/ 10x2 + x3 + 25x

13/ x2+7x + 14/ x2 + 8x– 15/ x3 +1.

Bài tập tổng hợp:

Phân tích thành nhân tử:

a)3x- 6y b)2x3y- 2xy3- 4xy2- 2xy c) 3a - 3b + a2 – ab

d) x3 – 2x2 + x e)x2  9y2 f) 5x3y5x2y 5xy 5y

 T×m x biÕt:

a/ (3x – 2)(2x +1)+(3 – 2x)( 3x + 5) = 13 b/ x2- 25 - (x+5) =

c/ x2(x2+4) - x2- =

 Rót gọn tính giá trị biểu thức: A = (x2+3)2- (x +2)(x - 2) T¹i x =3

B = x2+ 4x+ T¹i x = 80

C = a(a - 1) - b(1- a) T¹i a =2001 vµ b =1999

Chøng minh biĨu thøc sau không phụ thuộc vào biến: D = (x+1)(x2x +1) (x+2)(x2 - 2x+ 4) - 7

TÝnh: a) Gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A = (x+1)(x-3)+11 b) Giá trị lớn biểu thức: B = - 4x2 +8x.

(5)





x x

C

x

3 : ) (

3







3



x

C

x

C

4) Cho phân thức :

:52 5 1 1              x x x x x x A

a) Điều kiện x để giá trị phân thức xác định : x  1

b) Rút gọn phân thức :

:52 5 1 1              x x x x x x A



 





1



.

5

2

:

1









x

A

x



 







x

A

x

2

1

.

5

1

2

1

2

1

2



















x

A

x

2

1

.

5

1

2

1

2















x

A

x

A

c) Giá trị A :

 Thay x = –3 phân thức A có giá trị :

  2 10 10

3     

A

 Thay x = –1 không thỏa mãn điều kiện đề , nên phân thức A không xác

định

4) Chứng minh đẳng thức :

x y xx yy

(6)

Giữ nguyên vế phải , biến đổi vế trái , ta có :

    xy

x y y x x y x y x y x y x xy y x xy x

x

y

  x y xy y x xy xy xy x y y x x y x y x y x

y

x





y

x

y

x

y

x

xy

y

x

xy

y

x



So sánh vế trái vế phải Vậy đẳng thức cho

6)Giá trị nhỏ đa thức sau : a) A = x2 – 2x + = x ( x – ) + > 5 x ( x – ) = = > x = x =

vậy giá trị nhỏ đa thức A , x = x = b) B = 2x2 – 6x = x ( 2x – ) = = > x = x = 3 giá trị nhỏ đa thức B , x = x = 7) Giá trị lớn đa thức sau :

a) A = 4x – x2 + = x ( – x ) + < 3 x ( – x ) = = > x = x =

vậy giá trị lớn đa thức A , x = x = b) B = x – x2 = x ( – x ) = = > x = x = 1 giá trị lớn đa thức B , x = x =

II-HÌNH HỌC :

1)

M N

Chứng minh : kẻ đường chéo AC

A B C D F O GT KL

HT ABCD : AB //CD ; MN//AB//CD ; OE = OF

a) Tứ giác EMFN hình ? chứng minh

(7)

a) Ta có : MN//AB//CD OE = OF

= > MA = MD ; NB = NC ( đoạn bị chắn đường song song cách )

 Xét  ABC có :

EN AC

2

//  ( Đường trung bình tam giác ) (1)

 Xét  ABC có :

MF AC

2

//  ( Đường trung bình tam giác )(2) Từ (1) (2) suy : EN //= MF

Mà EN MF hai cạnh đối tứ giác ENMF , nên ENMF hình bình hành ( có cặp cạnh đối song song )

b)Hình thang ABCD thêm điều kiện có hai cạnh bên ( tức hình cân ) EMFN hình thoi

2)

Chứng minh :

a) Xét tứ giác DEBF , ta có : EB



AB EB

2

 ; DF DC

2

 (gt) (3)

Từ (1) , (2) ,(3) , suy : EB //= DF

Mà EB DF cặp cạnh đối tứ giác DEBF , nên DEBF hình bình hành ( có cặp cạnh đối song song )

b)Xét tứ giác AEFD có :

AB//=DC ; AD//=BC (gt) (1)

AB BC

2

 ; DF DC

2

 (gt) (2) AE = DF ; AD = EF (gt) (3)

Từ (1) , (2) (3) suy : AE = DF = AD = EF nên tứ giác AEFD hình thoi c) Xét tứ giác EMFN :

 Từ chứng minh b : tứ giác AEFD hình thoi

= > AF BE 

 

M

90

 Chứng minh tương tự , ta có tứ giác BEFC hình thoi

= > ECBF 

 

N

90

Từ (1), (2) suy : Tứ giác EMFN hình bình hành ( có cặp góc đối )

 Hình bình hành EMFN có góc M góc vng , nên EMFN hình chữ nhật

B A

C D

E

F

M

N

GT GT

hbh ABCD : AB//=DC ; AD//=BC AB = BC => BC AB

2



EA = EB ; FD = FC

Diện tích ABCD = S

(8)

d) Căn vào hình vẽ : hình bình hành ABCD có tam giác vng , mà hình chữ nhật EMFN tạo tam giác vuông

Do , diện tích hình chữ nhật EMFN : S S

4

 3)

Chứng minh :

a) Xét tứ giác ABCD có : CD //= AB (gt)

Nên ABCD hình bình hành ( có cặp cạnh đối song song ) Mà AD , BC đường chéo hình bình hành ABCD MB = MC (gt)

Vậy theo tính chất hình bình hành : hai đường chéo cắt trung điểm đường, M thuộc đường chéo AD , nên ba điểm A , M , D thẳng hàng

b)Xét tam giác AED Ta có :

OA = OE (gt ) (1) MB = MA ( cm a) (2)

Từ (1) (2) suy : OM đường trung bình tam giác AED = > OM // ED

Và AE  OM (gt) = > ED  AE ( hay góc E = 900 )

Vậy tam giác AED tam giác vuông

c)Từ hình bình hành ABCD = > BD = AC ( cạnh đối diện ) (1) Xét tam giác vng AOC tam giác vng COE có :

OA = OE (gt) OC cạnh chung = >  AOC =  COE (Hai cạnh góc vng )

= > CE = AC ( Hai cạnh tương ứng ) (2) Từ (1) (2) suy : BD = CE

4)

Chứng minh :

a)Xét tứ giác ABEH có :

A

B C

E D

M O

GT

KL

ABC : OA = OE ; CD // AB CD = AB AE  OM

MB = MC ;

a) A , M , D thẳng hàng b) Tam giác EAD vuông c) BD = CE

B

A

C D

E F

H

GT

KL

ABC : AB = AC = BC AH // BC

DA = DB ; EB = EC ; FA = FC

a) Tứ giác ABEH hình bình hành

b) Tứ giác AHCE hình chữ nhật

c) Tứ giác BDFC hình thang cân

(9)

AH // BC ( gt ) BE



AB // EH ( EF



Từ (1) (2) suy : tứ giác ABEH hình bình hành ( có cặp đối song song )

b) Xét tứ giác AHCE có : FA = FC (gt)

nên tứ giác AHCE hình bình hành (1) ( hai đường chéo cắt trung điểm đường )

Trong tam giác ABC AE vừa phân giác , …, vừa trung trực => AE  BC = {E} , hay góc E = 900 (2)

Từ (1),(2) suy : hình bình hành AHCE hình chữ nhật (vì có góc vng )

c) Xét tứ giác BDFC có :

DF // BC ( theo gt DF đường trung bình ABC )

và FC = DB (vì gt cho : AB = AC ; DA = DB ; FA = FC )

Nên tứ giác BDFC hình thang cân ( có hai cạnh đối song song hai cạnh bên )

d) Xét tứ giác BDFE có :

DF = BE ( DF đường trung bình ABC ) (1)

FE = 12 AC ( trung tuyến thuộc cạnh huyền ) DB = 21 AB ( D trung điểm AB ) Mà AB = AC (gt)

Suy : FE = DB (2)

Từ (1) (2) suy : DF = BE = FE = DB

Vậy tứ giác BDFE hình thoi ( có bốn cạnh ) 5)

Chứng minh :

a) xét hình bình hành ABCD có : AB = DC ; AD = BC AE = CG ; BF = DH

= > AH = CF ; BE = DG ( hiệu đoạn )

Xét  HAE FCG có : AH = CF (cmt) ; A C ; AE = CG (gt)

=>  HAE = FCG ( c-g-c)

= > HE = GF (hai cạnh tương ứng ) (1)

Xét HDG EBF có : DH = BF (gt) ; D B ; DG = BE (cmt)

=>  HDG = EBF ( c-g-c)

= > HG = EF (hai cạnh tương ứng ) (2)

Từ (1) , (2) suy : Tứ giác EFGH hình bình hành ( có cặp cạnh đối )

b) Xét hình bình hành ABCD có : đường chéo AC cắt đường chéo BD O (1) Xét hình bình hành EFGH có : đường chéo FH cắt đường chéo EG O (2) Từ (1) (2) suy : Các đoạn AC , BD , EG , FH đồng qui

6)

B A

C D

E

F

G H

KL

GT ABCD : AB//=DC ; AD//=BC; A C;B D

AE = CG ; BF = DH a) EFGH hình bình hành b) Các đoạn AC , BD , EG , FH đồng qui

(10)

Chứng minh :

a)Xét tứ giác BCDE có : ED // BC ( theo gt : EA = EB ; DA = DC nên đường trung bình tam giác ABC )

và AB = AC ; EA = EB ; DA = DC

=> Tứ giác BCDE hình thang cân ( có hai cạnh đối song song hai cạnh bên )

b)Xét tứ giác ADME có : ME //= AD ( ME đường trung bình tam giác ABC ) , nên ADME hình bình hành

ED // BC ( theo gt : EA = EB ; DA = DC nên đường trung bình tam giác ABC )

AM  BC

= > ED  AM , mà ED AM hai đường chéo hình bình hành

BCDE , nên BCDE hình thoi

c) ) Điều kiện tam giác ABC tam giác ABC vuông cân A ADME

hình vng

B M C

E D

GT

KL

a) Tứ giác BCDE hình ? cm b) Tứ giác ADME hình ? cm c) Điều kiện tam giác ABC để ADME hình vng

ABC : AB = AC ; EA = EB ; DA = DC AM  BC ; MB = MC