Đang tải... (xem toàn văn)
• Cùng với các điều kiện biên thay vì phải thực hiện các phép tính tích phân, vi phân sẽ được thay thế bằng các phép tính đại số. 2.[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP SỐ (Computer Method)
Chương 2: Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn
TS Lê Hữu Thanh
1
Chương 2: Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn 2.1 Khái niệm
• Phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp số để giải phương trình vi phân thường và vi phân đạo hàm riêng;
• Theo phương pháp này, đạo hàm biểu diễn qua giá trị hàm số điểm nút;
• Cùng với điều kiện biên thay phải thực hiện phép tính tích phân, vi phân được thay phép tính đại số
(2)2.2 Đạo hàm sai phân cấp 1: Xét hàm𝑓(𝑥)liên tục khả vi 𝑎, 𝑏 Chia đoạn phương trình thành đoạn nhỏ với khoảng chia ∆𝑥
3
y
x i i+1 i+2 i-1
i-2
𝑓𝑖 𝑓𝑖+1 𝑓𝑖+2
𝑓𝑖−1
𝑓𝑖−2 ∆𝑓
∆𝑥
∆𝑥: gọi bước sai phân Xét điểm𝑖, ta có:
𝑑𝑓 𝑑𝑥𝑖 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑓 ∆𝑥 ≈ ∆𝑓 ∆𝑥 ∆𝑓: gọi sai phân cấp
∆𝑓
∆𝑥: gọi tỷ sai phân Hình 2.1Phép chia sai phân
hữu hạn
(2.1)
Sai phân cấp biểu diễn ba hình thức sau:
y
x
i i+1 i+2 i-1
i-2
𝑓𝑖 𝑓𝑖+1 𝑓𝑖+2
𝑓𝑖−1
𝑓𝑖−2 ∆𝑓
∆𝑥
1) Sai phân lùi
∆𝑓 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 2) Sai phân tiến
∆𝑓 = 𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖 3) Sai phân trung tâm
∆𝑓 =
2(𝑓𝑖+1−𝑓𝑖−1)
Chương 2: Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn
Hình 2.1Phép chia sai phân hữu hạn
(2.2a) (2.2b)
(3)Sai phân trung tâm có ưu điểm:
• Cho kết xác phép tính đạo hàm
• Bước chia nhỏ độ cao
Do vậy, sai phân trung tâm thường sử dụng phép tính đạo hàm sai phân cấp Ta có, đạo hàm cấp định nghĩa sau:
∆𝑓 ∆𝑥 =
𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖−1 2∆𝑥
5
(2.3)
2.3 Đạo hàm sai phân cấp cao: Bằng cách tương tự, đạo hàm cấp định nghĩa sau:
𝑑𝑛𝑓 𝑑𝑥𝑛 𝑖
=∆
𝑛𝑓 𝑖
∆𝑥𝑛
∆𝑛𝑓: sai phân cấp𝑛của hàm𝑓tại điểm chia thứ 𝑖 Ta có, ∆𝑛𝑓được định nghĩa sau:
∆𝑛𝑓𝑖 = ∆ ∆𝑛−1𝑓𝑖
6
Chương 2: Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn
(2.4)
(4)Ví dụ: Sai phân cấp
∆2𝑓𝑖 = ∆ ∆𝑓𝑖 = ∆
1
2 𝑓𝑖+1− 𝑓𝑖−1 Ta có:
∆2𝑓𝑖 =1
4 𝑓𝑖+2−2𝑓𝑖 +𝑓𝑖−2 Đạo hàm cấp tương ứng:
𝑑2𝑓 𝑑𝑥2
𝑖 =
𝑓𝑖+2−2𝑓𝑖 +𝑓𝑖−2 4∆𝑥2
7
Để tăng độ xác, khoảng chia ∆𝑥 chia nhỏ thêm hai lần∆𝑥 =1
2∆𝑥 Khi đó, đạo hàm cấp
được viết lại sau: 𝑑2𝑓
𝑑𝑥2 𝑖 =
𝑓𝑖+1 −2𝑓𝑖 +𝑓𝑖−1
4 ∆𝑥42
= 𝑓𝑖+1 −2𝑓𝑖 +𝑓𝑖−1
(∆𝑥)2 =
∆2𝑓𝑖
∆𝑥2
Trong đó:
∆2𝑓𝑖 = 𝑓𝑖+1−2𝑓𝑖 +𝑓𝑖−1
(5)Tương tự, ta có sai phân cấp 4:
∆4𝑓𝑖 = ∆2(∆2𝑓𝑖) = ∆2(𝑓𝑖+1 −2𝑓𝑖 +𝑓𝑖−1) Ta có:
∆4𝑓𝑖 = 𝑓𝑖+2− 4𝑓𝑖+1 + 6𝑓𝑖 − 4𝑓𝑖−1+ 𝑓𝑖−2 Đạo hàm cấp 4:
𝑑4𝑓 𝑑𝑥4
𝑖 =
∆4𝑓𝑖 ∆𝑥4 =
𝑓𝑖+2− 4𝑓𝑖+1 + 6𝑓𝑖 − 4𝑓𝑖−1+ 𝑓𝑖−2 ∆𝑥4
9
2.4 Giải toán kết cấu phương pháp SPHH:
2.4.1 Mối liên hệ vi phân giữa𝑄, 𝑀, 𝑞, 𝑦′′ của dầm chịu uốn phẳng: Xét dầm chịu uốn hình vẽ, ta có:
10
Chương 2: Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn
EJ=const
z q(z)
𝑀𝑥
𝑉𝑦 𝑀𝑥
𝑉𝑦
Hình 2.2Mối liên hệ vi phân
các thành phần nội lực, tải trọng, độ võng độ cong
1) Moment – tải trọng: 𝑑2𝑀
𝑑𝑧2 = 𝑞
2) Moment – độ cong: 𝑦′′ =𝑑
2𝑦
𝑑𝑧2 =
𝑀 𝐸𝐽 3) Đạo hàm độ võng – tải trọng:
𝑦(4) =𝑑
4𝑦
𝑑𝑧4 =
𝑞 𝐸𝐽
(2.6a)
(2.6b)
(6)Trong đó:
𝑀: moment uốn (𝑀 > 0khi căng thớ dưới);
𝑞: tải trọng phân bố (𝑞 > có chiều hướng từ lên trên)
𝑦: độ võng (𝑦 > 0khi dầm bị võng lên trên) 𝐸𝐽: độ cứng dầm (trong đoạn dầm𝐸𝐽 =
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡)
11
Giả sử dầm chia thành𝑛 với độ dài đoạn
ℎnhư hình vẽ sau:
Chương 2: Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn
i+1 i-1 i
h
Phương trình (2.6) viết điểm chia thứ𝑖 ta có: 𝑀𝑖+1 − 2𝑀𝑖+ 𝑀𝑖−1 = ℎ2𝑞
𝑦𝑖+1− 2𝑦𝑖 + 𝑦𝑖−1 =ℎ
2𝑀
𝐸𝐽
𝑦𝑖+2− 4𝑦𝑖+1+ 6𝑦𝑖 − 4𝑦𝑖−1+ 𝑦𝑖−2 =𝑞ℎ
4
𝐸𝐽
(7)Ví dụ 1: Xác định moment độ võng điểm chia dầm sau:
13
𝐿/2
𝑞
𝐿/2
Nghiệm xác (phương pháp giải tích) Moment max: 𝑀𝑚𝑎𝑥=𝑞𝐿
2
12
Moment z: 𝑀𝑥=𝑞𝐿𝑥2 12−2𝑥
2
3𝐿2
Độ võng max: 𝑦𝑚𝑎𝑥= −𝑞𝐿
4
120𝐸𝐽
Độ võng z: 𝑦(𝑧)= 𝑞 960𝐸𝐽
𝑥 𝐿 5𝑙
2− 4𝑥2
𝑧
Hết Chương 2
Xin cám ơn