DE VA DAP AN CAC BT ON TAP KT 1 TIET CHUONG BIENHINH

những phép đối xứng tâm và nêu rõ cách xác định tâm đối xứng của các phép đó. Chứng minh khi cố định hai điểm A, B và cho điểm C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn luôn đi qua một điểm cố[r]

CÁC BÀI TỐN ƠN TẬP KIỂM TRA TIẾT CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

( Có hướng dẫn giải )

CÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ :

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ v   (1; 2) đường trịn (C) có phương trình: x2 y2 4x 4y 1 0

    

1) Viết phương trình ảnh đường trịn (C) qua phép đối xứng trục Oy

2) Viết phương trình ảnh đường trịn (C) qua phép tịnh tiến Tv

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình 3x -4y + = 0, đường trịn (C ) có tâm I(1; -2) qua điểm M(1; 0)

1) Viết phương trình đường trịn (C )

2) Viết phương trình đường thẳng (d1) ; (d2) ảnh (d) qua phép đối xứng

trục Ox phép vị tự tâm I tỉ số k = Viết phương trình đường trịn (C1) , (C2) ảnh

(C) qua phép đối xứng trục Ox phép vị tự tâm I tỉ số k =

3) Viết phương trình đường trịn (C3) ảnh đường tròn (C ) qua phép đồng dạng

hợp thành phép vị tự tâm I tỉ số k = phép tịnh tiến theo vectơ OB với B( -1;3). Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(3; 0) , B(0; 4) , C(-1; -2) Gọi A'B'C' ảnh tam giác ABC qua phép vị tự tâm I(1; -2) tỉ số Tính chu vi diện tích tam giác A'B'C'

( Hướng dẫn : Chu vi tam giác A'B'C' lần chu vi tam giác ABC Diện tích tam giác A'B'C' lần diện tích tam giác ABC )

CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC THƠNG THƯỜNG :

Bài 1 Cho tam giác ABC, tâm O, ba đường cao AA1,BB1,CC1 Hãy tìm xem có

phép biến hình biến ABC thành

Hướng dẫn :

Phép đồng - Phép đối xứng trục : DAA1; DBB1; DCC1 - Phép quay :Q(O, 120O)

 ;

Q(O, 240O)



Bài 2 Cho hai điểm A,B đường trịn (O ) khơng có điểm chung với đường thẳng AB.Qua điểm M chạy (O ) dựng hình bình hành MABN.Chứng minh điểm N thuộc đường tròn xác định

Hướng dẫn : MN ABkhông đổi Suy : Phép tịnh tiến theo AB biến M thành N

Vì M chạy (O ) nên N chạy (O’) ảnh (O ) qua TAB

Bài 3 Cho đường trịn (O,R) đường kính AB.Một đường tròn (O’,R’) tiếp xúc với (O,R) AB C D.Đường thẳng CD cắt (O,R) I Chứng minh I trung điểm cung AB

Hướng dẫn :

-C tâm vị tự (O ) (O’)

- D thuộc (O’),I thuộc (O ),C,D,I thẳng hàng nên ( , ') R R C

V biến O thành O’,I thành D

Bài 4 Cho đường trịn (O) đường kính AB đường thẳng d vng góc với AB B Với đường kinh MN thay đổi đường tròn ( MN khác AB), gọi P Q giao điểm d với đường thẳng AM AN Đường thẳng qua M, song song với AB cắt đường thẳng AN H

1) Chứng minh H trực tâm tam giác MPQ. 2) Chứng minh ABMH hình bình hành.

3) Tìm quĩ tích điểm H.

4) Tìm quĩ tích trực tâm tam giác NPQ.

Hướng dẫn : a) MH PQ QH, PM nên H trực tâm tam giác MPQ

b) AB//HM AH//BM nên ABMH hình bình hành c) Từ câu b) có MH  BA Suy : TBA biến M thành H

Quỹ tích H ảnh (O) qua TBA - trừ hai điểm ảnh A B

Nếu ta lấy điểm C cho A trung điểm BC, quỹ tích H đường trịn đường kính AC trừ hai điểm A C

d) Điểm N đóng vai trị hồn tồn tương tự điểm M , nên quĩ tích trực tâm tam giác NPQ trùng với quĩ tích điểm H

Bài 5 Cho hai phép quay QA QB có tâm quay A B ( phân biệt ) có góc quay

900 Gọi F hợp thành A

Q QB , F' hợp thành QB QA Hãy chứng tỏ F F'

những phép đối xứng tâm nêu rõ cách xác định tâm đối xứng phép

Hướng dẫn Lấy điểm O cho tam giác OAB tam giác vng cân với góc (AO,AB) =

(BA,BO) = 450

Khi đó, QA hợp tành hai phép đối xứng trục ĐAOvà ĐAB, QB hợp thành hai

phép đối xứng trục ĐAB ĐBO Vậy F hợp thành bốn phép đối xứng trục theo thứ tự : AO

Đ , ĐAB, ĐAB, ĐBO, tức hợp thành hai phép đối xứng trục ĐAO ĐBO Vì AO

vng góc với BO nên F phép quay tâm O góc quay

180 , tức phép đối xứng qua điểm

O Chú ý xác định điểm O điều kiện : Tam giác OAB vuông cân (OB,OA) = 900

Tương tự , F' phép đối xứng qua tâm O' , cho O'AB tam giác vuông cân mà (OA,OB) = 900

Bài 6 Về phía ngồi tam giác ABC vẽ hình vng BCMN ACPQ có tâm O O' a) Chứng minh cố định hai điểm A, B cho điểm C thay đổi đường thẳng NQ ln ln qua điểm cố định

b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh IOO' tam giác vuông cân

Hướng dẫn :

a) Xét Q QA, B phép quay tâm A, B với góc quay ( AQ, AC) = (BC, BN ) = 900

Hợp thành hai phép phép đối xứng qua điểm H xác định Vì phép đối xứng tâm H biến Q thành N nên H trung điểm đoạn thẳng NQ, tức đường thẳng NQ qua điểm H cố định

b) Cách : Gọi Q QO, O' phép quay có góc quay 900 với tâm quay tương ứng O O'

Cách : Phép quay tâm C góc quay 900 biến A thành P biến M thành B Bởi vậy, ta có

AM = PB AM PB Chú ý IO đường trung bình tam giác ABM IO'

đường trung bình tam giác APB nên suy IOO' tam giác vng cân

Bài 7 Cho đường trịn (O) điểm I khơng nằm đường trịn Với điểm A thay đổi đường tròn , dựng hình vng ABCD có tâm I

1) Tìm quỹ tích điểm C.

2) Tìm quỹ tích điểm B D.

3) Khi điểm I trùng với O, có nhận xét ba quỹ tích nói ? Hướng dẫn :

1) Phép đối xứng tâm ĐI với tâm I biến điểm A thành điểm C Vậy quĩ tích C đường trịn

1

( )O , ảnh đường trịn (O) qua phép đối xứng đó.

2) Phép quay Q tâm I góc quay 

biến điểm A thành điểm B phép quay Q' tâm I góc quay

2 

 biến điểm A thành điểm D Suy quĩ tích B D đường tròn ( )O2 ,

( )O : ảnh đường tròn (O) qua phép quay Q Q'

3) Khi I trùng với O ( )O1 , ( )O2 , ( )O3 trùng với (O) nên ba quĩ tích nói

đường trịn (O)

Bài Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A,B Một cát tuyến di động

qua A cắt hai đường tròn P Q

a) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn PQ.

b) I trung điểm đoạn PQ Tìm tập hợp điểm M PQ cho :

( )

2 k

AM  AP AQ   

                                      

, với k 1 c) Tìm tập hợp trọng tâm G ABI

Hướng dẫn :

a) Lập luận đến PBQ cân B Lập luận đến AIB 900 Kết luận, Vẽ hình

b)AI 12(AP AQ) Suy AM kAI Kết luận, Vẽ hình

c) Gọi N trung điểm AB Lập luận đến V I G

N: 

3

Kết luận, Vẽ hình

Bài 9 Cho đường tròn (O) (O’) cắt A B Một đường thẳng thay đổi qua A cắt (O) A C, cắt (O’) A D Gọi M N trung điểm AC AD

a) Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn MN b) Tìm quỹ tích trung điểm J đoạn CD. Hướng dẫn :

a) / / '

'

OM MN

OM O N

O N MN

   

   OO' NM hình thang vuông M N Gọi K trung điểm OO' K cố định

Ta có : KI IA KIA1V , mà K A cố định Suy : Tập hợp điểm I đường trịn (C )

đường kính AK

AC AD 1

AJ AC AD AM AN 2AI

2 2



     

                           

     

( I trung điểm MN ) Vậy : AJ 2AI   J ảnh I qua phép vị tự tâm A tỉ số

Mà I chạy đường tròn ( C )

Do : Tập hợp J đường tròn (C ') , với (C') ảnh (C ) qua phép vị tự tam A tỉ số

Bài 10 Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường trịn Một đường thẳng thay đổi qua P, cắt (O) hai điểm A B Tìm quỹ tích điểm M cho PM PA PB

  

Hướng dẫn :

Gọi I trung điểm AB

2

PA PB

PI  

                            

PM PA PB 2PI

   

Gọi V phép vị tự tâm P tỉ số k = V biến điểm I thành điểm M

Vì I trung điểm AB nên OI AB suy quĩ tích điểm I đường trịn (C) đường

kính PO

Vậy quĩ tích điểm M đường trịn (C') ảnh (C) qua phép vị tự V Nếu ta lấy O' cho PO' 2 PO (C') đường trịn đường kính PO'

Bài 11 Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O) điểm C thay đổi đường trịn đó.Dựng hình vng ABCD Tìm quỹ tích điểm B điểm D

Hướng dẫn :

Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M cho : AM = AB = AD

Khi đó, ta có

2

AM AB

AC AC 

Ngoài (AM, AB) = 450 (AM, AD) = -450

Suy ra, phép vị tự V tâm A tỉ số k =

2 biến điểm C thành điểm M phép quay Q tâm A góc quay 450 biến điểm M thành điểm B Vậy gọi F phép hợp thành V Q F

biến C thành B Vì quĩ tích C đường trịn (O) nên quĩ tích B ảnh đường trịn qua phép đồng dạng F

Đường trịn quỹ tích B xác định sau :

Gọi AR đường kính (O) PQ đường kính (O) vng góc với AR ( ta kí hiệu điểm P, Q cho (AR,AP) = 450) Khi dễ thấy phép đồng dạng F biến AR

thành AP Vậy quỹ tích B đường trịn đường kính AP Tương tự , ta quỹ tích D đường trịn đường kính AQ

Bài 12 Cho hình vng ABCD điểm M nằm cạnh hình vng Tìm điểm N, P nằm cạnh hình vng cho tam giác MNP tam giác

Hướng dẫn :

Giả sử dựng tam giác MNP thỏa mãn điều kiện toán Nếu dùng phép quay Q tâm M góc quay 600 N biến thành P hình vng ABCD biến thành hình vng

A'B'C'D' mà P nằm hình vng Từ suy cách dựng

Bài 13 Cho đường tròn (O) với dây cung PQ Dựng hình vng ABCD có hai đỉnh A, B nằm đường thẳng PQ hai đỉnh C, D nằm đường tròn

Giả sử dựng hình vng ABCD thỏa mãn điều kiện toán Gọi I trung điểm đoạn thẳng PQ OI đường trung trực PQ nên đường trung trực DC đường trung trực AB Từ suy ra, dựng hình vng PQMN có phép vị tự tâm I biến hình vng PQMN thành hình vng ABCD

Cách dựng :

Dựng hình vng PQMN Lấy giao điểm C C' đường thẳng IM đường tròn , lấy giao điểm D D' IN đường trịn( ta kí hiệu cho hai điểm C,D nằm phía đường thẳng PQ) Gọi điểm B,A,B',A' hình chiếu điểm C,D,C',D' đường thẳng PQ Ta hình vuông ABCD A'B'C'D' thỏa mãn điều kiện toán

Bài 14 Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O) điểm B cố định nằm đường thẳng d, d không qua A.Hãy xác định d điểm C cho tam giác ABC có trọng tâm nằm (O)

Hướng dẫn :

Giả sử dựng tam giác ABC với trọng tâm G thuộc (O) Gọi I trung điểm BC

3

AG AI

 

Như , phép vị tự ( , )

3

A

V biến I thành G biến đường thẳng d thành

đường thẳng d' qua G Vậy G giao điểm (O) d' suy cách dựng : Dựng đường thẳng d' ảnh d qua phép vị tự tâm A, tỉ số

3 Lấy G giao điểm (O) d'

Lấy I giao điểm đường thẳng AG d Xác định điểm C cho I trung điểm BC